P2 2010_1

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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
08/06/2010
Prova 2 - A´lgebra Linear - F´ısica
1. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x+ y + z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto
Q ∈ Π tal que o vetor ~QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido
no item acima e´ uma transformac¸a˜o linear?
2. Dado o plano Π definido pela equac¸a˜o 2x+ y − z = 0
(a) (1,0) Encontre uma base {u1, u2} para o plano Π.
(b) (1,0) Encontre uma base B = {u1, u2, u} do espac¸o euclidiano R3,
onde u e´ ortogonal a u1 e u2.
(c) (0,5) Usando o item anterior, determine a matriz canoˆnica da trans-
formac¸a˜o linear T : R3 → R3 que e´ a reflexa˜o no plano Π.
3. Dada a matriz
A =
 1 4 5 −13 −2 1 2
−1 0 −1 −3

(a) (1,5) Encontre uma base para o espac¸o coluna da matriz A.
(b) (1,0) Encontre uma base para S = {b ∈ R3;Ax = b tem soluc¸a˜o}.
4. Dado o conjunto S = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y + z + t = 0}.
(a) (1,5) Mostre que S e´ um subespac¸o do R4.
(b) (1,0)O conjuntoB = {(1, 2, 0, 1); (3, 1,−1,−1); (1,−2,−2,−1); (0, 2, 1, 1)}
gera o subespac¸o S?
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!