Prova Final

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UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo
CCE - Centro de Cieˆncias Exatas
DMAT - Departamento de Matema´tica
Prof.: Etereldes
07/07/2010
Prova Final - A´lgebra Linear - Engenharias
1. Dada a Matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3

(a) (1,0) Determine os autovalores e autovetores de A.
(b) (1,0) A matriz A e´ diagonaliza´vel? Caso afirmativo, determine uma matriz P que
diagonaliza A.
(c) (0,5) Existe uma matriz ortogonal P , isto e´ P−1 = P T , que diagonaliza A? Justifique?
2. Dada a matriz
A =
1 2 −1 00 2 1 1
2 2 −3 −1

(a) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o linha de A.
(b) (1,0) Encontre uma base para o espac¸o nulo de A.
(c) (0,5) Mostre que os espac¸os linha de A e o espac¸o nulo de A sa˜o ortogonais, isto e´, se
u pertence ao espac¸o linha e v pertence ao espac¸o nulo, enta˜o < u, v >= 0.
(d) (0,5) Conclua que Posto(A) +Nulidade(A) = 4.
3. Dada a base B = {(2, 2, 1); (1, 0, 1); (1, 2,−1)} para o R3.
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base B.
(b) (1,0) Ortogonalize B.
(c) (0,5) Determine as coordenadas do vetor u = (1, 5, 3) na base ortogonal encontrada
no item (b).
4. Seja o plano Π definido pela equac¸a˜o x− y + 2z = 0.
(a) (1,0) Dado um ponto P = (a, b, c) qualquer em R3, determine o ponto Q ∈ Π tal que
o vetor
−→
QP seja ortogonal ao plano Π.
(b) (1,5) A func¸a˜o que associa a cada ponto P ∈ R3 o ponto Q ∈ Π obtido no item acima
e´ uma transformac¸a˜o linear? No caso afirmativo determine seus autovetores e seus
autovalores.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas.
Boa prova!