Prova 2 de Álgebra Linear + Resolução

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Primeira Prova de A´lgebra Linear
Vito´ria, 15 de maio de 2012
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Justifique seu racioc´ınio.
1. Seja
A =
 1 −1 01 1 1
−1 −5 −3

(a) Determine a soluc¸a˜o do sitema linear homogeneo Ax = 0.
(b) Determine a intersec¸a˜o do subespac¸o encontrado no item (a) com o plano pi
determinado pela equac¸a˜o −2x+ 3y − z − 1 = 0.
(c) Encontre a equac¸a˜o do plano que conte´m o subespac¸o encontrado no item (a) e
e´ perpendicular ao plano pi dado no item (b).
2. Seja C = {v1;v2;v3;v4} um conjunto de vetores em R5, onde
v1 = (−1, 2, 3, 1,−1);v2 = (2, 2, 1, 1, 1);v3 = (2, 1,−1,−1, 1);v4 = (1,−1,−1, 1, 1).
Determine bases para o espac¸o gerado por C e para seu complemento ortogonal.
3. Seja B = {v1 = (2,−1, 3, 2, 5); v2 = (−1, 2, 3,−1, 1); v3 = (1, 1, 0, 0, 1)} base de W .
(a) Determine uma base ortogonal de W .
(b) Se v = v1−v2 +v3, enta˜o determine a projec¸a˜o ortogonal de v no espac¸o gerado
por B.
4. Verdadeiro ou falso? Justifique.
(a) Seja u um vetor na˜o nulo. Se u× v = u×w, enta˜o v = w.
(b) Seja V um espac¸o com produto interno e W um subespac¸o de V . Para qualquer
u ∈ V , os vetores projW u e projW⊥ u sa˜o ortogonais.
(c) Se {v1,v2,v3} e´ um conjunto linearmente dependente de vetores na˜o-nulos, enta˜o
cada vetor no conjunto pode ser obtido como combinac¸a˜o linear dos outros dois.
(d) Se b e´ um vetor tal que o sitema Ax = b na˜o tem soluc¸a˜o, enta˜o b na˜o pertence
ao espac¸o-coluna de A.
Boa Prova!!!
1
Prof.: Etereldes
16/05/2012
Sugesta˜o de Prova II - A´lgebra Linear
1. (a) A forma escalonada da matriz aumentada do sistema e´: 1 0 1/2 00 1 1/2 0
0 0 0 0
 .
Logo, o sistema Ax = 0 e´ equivalente a
 x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o e´
S = {(−z
2
,−z
2
, z); z ∈ R} = ger{(−1,−1, 2)}.
(b) Se (x, y, z) ∈ pi ∩S enta˜o

2x+ 3y − z = 1
x+
z
2
= 0
y +
z
2
= 0
, cuja soluc¸a˜o u´nica e´ (
1
3
,
1
3
,−2
3
).
(c) Seja P o plano pedido. Enta˜o ηP (−1,−1, 2) × (−2, 3,−1) = (−5,−5,−5) e´
normal a P . Como (
1
3
,
1
3
,−2
3
) ∈ P , enta˜o P = {(x, y, z) ∈ R3;< (x, y, z) −
(
1
3
,
1
3
,−2
3
), (−5,−5,−5) >= 0} cuja equac¸a˜o e´ x+ y + z = 0.
2. Seja A a matriz cujas linha sa˜o v1, v2, v2 e v4. A matriz A e´ equivalente por linhas
a:
R =

5 0 0 6 4
0 5 0 −8 −2
0 0 5 9 1
0 0 0 0 0
 .
Uma base para W = ger{C} e´ {(5, 0, 0, 6, 4), (0, 5, 0,−8,−2), (0, 0, 5, 9, 1)}. Como
W⊥ e´ igual ao nu´cleo de A, basta encontrar uma base para o espac¸o soluc¸a˜o de
Rx = 0. Logo, uma base para W⊥ e´ {(−6, 8,−9, 5, 0), (−4, 2,−1, 0, 5)}.
3. (a) Seja u1 = (1, 1, 0, 0, 1) e
u′2 = v2 − Pu1v2 = (
−5
3
,
4
3
, 3,−1, 1
3
)
. Logo, u2 = (−5, 4, 9,−3, 1) e u1 sa˜o ortogonais. Seja
u′3 = v3 − Pu1v3 − Pu2v3 = (
5
11
,
−37
11
,
25
11
,
32
11
)
2
.
Logo, u3 = (5, 37, 24, 25, 32) e´ ortogonal a u1 e a u2. Veja que B
′ = {u1, u2, u3}
na˜o e´ uma base ortonormal de W .
(b) [v]B = v1− v2 + v3 = (4,−2, 0, 3, 5). Como B′ e´ ortogonal [v]′B = α1u1 +α2u2 +
α3u3 onde αi =
< v, ui >
‖ui‖2 . Logo,
[v]B′ = (
7
3
,
−42
132
,
181
3619
).
4. (a) Falso. Sejam u,w ∈ R3 tais que v = w− u seja na˜o nulo. Enta˜o u× v = u×w.
(b) Verdadeiro. Pois projWu ∈ W e projW⊥u ∈ W⊥.
(c) Falso. Pois {u1 = (1, 0), u2 = (0, 1), u3 = (0, 2)} e´ LD, e na˜o existe a, b ∈ R tais
que u1 = au2 + bu3.
(d) Verdadeiro. Se Ax = b enta˜o b e´ combinac¸a˜o linear das colunas de A.
	p2
	P2 solução