Prova1 2002-2

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
2o. Semestre de 2002 – 1a. Prova
03/12/2002 – 09:25-11:05
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1: Considere o sistema de equac¸o˜es lineares AX = B, onde
A =
1 −1 50 a −1
1 5 a
 , B =
 ab
a+ 3b
 e b 6= 0.
Determine os valores de a para que o sistema admita u´nica soluc¸a˜o, nenhuma soluc¸a˜o e infinitas
soluc¸o˜es. Diga por que a quantidade de soluc¸o˜es deste sistema na˜o depende do valor de b.
Questa˜o 2: Seja
A =
 1 0 22 −1 3
4 1 8
 .
a) Calcule a inversa, se existir, da matriz A.
b) Encontre todas as soluc¸o˜es do sistema AX = B, onde B = (4, 11, 11)t.
Questa˜o 3: Seja
C =

2 5 −3 −2
−2 −3 2 −5
1 3 −2 2
−1 −6 4 3
 .
a) Calcule detC.
b) Calcule det
(
epi√
2
(C−1)tD
)
, onde
D =

3 10 13 0
0 −1 epi 5
0 0
√
2 4
0 0 0 5
 .
Questa˜o 4: A equac¸a˜o x2 = 1 tem duas soluc¸o˜es reais: x = 1 e x = −1. Resolva a equac¸a˜o
correspondente no conjunto das matrizes reais 2 × 2. Em outras palavras, se I denota a matriz
identidade 2 × 2, encontre todas as matrizes quadradas 2 × 2 que satisfazem a equac¸a˜o X2 = I.
Quantas soluc¸o˜es existem?
A resoluc¸a˜o da prova sera´ colocada no site oficial de GAAL: http://www.mat.ufmg.br/gaal