Resistência de Materiais II - Aula1

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03/08/2015
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Resistência de Materiais II
Professora: Cristiane Arantes
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1ª ETAPA
Prova: 20pts
Trabalho: 5pts
APS: 5pts
Total : 30pts
2ª ETAPA
Prova: 30pts
Trabalho: 5pts
APS: 5pts
Total: 40pts
3ª ETAPA
Prova: 20pts
Trabalho: 5pts
APS: 5pts
Total: 30pts
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Bibliografia Recomendada
•HIBBELER, R.C., Resistência dos Materiais. 7ª ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
•BOTELHO,H.C. Manoel. Resistência dos Materiais – Para entender e 
Gostar. São Paulo: Editora Blucher, 2008.
•BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell Jr.; DEWOLF, John T. 
Resistência dos Materiais. 4ª ed. São Paulo: McGraw-Hill/Tecmed, 
2006.
Aula 1
Vasos de pressão de paredes finas
Um reservatório cilíndrico de raio r e espessura t é considerado de parede fina se:
�
�
≥ 10
Figura 01: Tanques de armazenamento Figura 02: Compressores de Ar
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Aula 1
Vasos de pressão de paredes finas
Nessa condição, pode-se supor que as tensões se distribuem de maneira uniforme ao longo da 
espessura do cilindro. 
Também é suposto que está sujeito a uma pressão interna uniforme p, maior que a atmosférica e
relativa à mesma, isto é, pressão manométrica.
O quadrilátero pequeno da Figura 01 representa
uma porção elementar da parede do cilindro,
que sofre ação das tensões:
�α1 ao longo da circunferência,
�α2 no sentido longitudinal.
Figura 03: Tensão circunferencial
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Vasos de pressão de paredes finas
Considera-se uma porção cilíndrica de largura Δx como em A da mesma figura. Se essa porção é cortada diametralmente (B 
da figura), a tensão σ1 atua na direção perpendicular às superfícies das extremidades S1. Para o equilíbrio estático, a força 
devido a essas tensões deve ser igual à força devido à pressão interna p. Assim,
2 × �	 × 
	 = 2 × �	 × ∆
 × � = � × 2� × ∆
.
Notar que a força devido à pressão é igual ao valor dela multiplicado pela área frontal às extremidades das superfícies S1 (2r 
Δx) e não ao longo da circunferência.
Portanto, �� =
��
�
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Vasos de pressão de paredes finas
Para a tensão σ2, considera-se um corte transversal do cilindro conforme Figura 02.
A tensão σ2 atua sobre uma coroa circular conforme indicado no lado direito da figura. Como t é pequeno em relação 
a r, pode-se supor sua área igual a 2 π r t. E a força para equilibrar é igual à pressão interna multiplicada pela área do 
círculo de raio r. Assim, �� × 2��� = ���
�.
Portanto, �� =
��
��
Figura 04: Tensão longitudinal
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Vasos de pressão de paredes finas
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Vasos de pressão de paredes finas
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Vasos de pressão de paredes finas
Falha em uma tubulação de cobre devido ao excesso de pressão interna pelo 
congelamento da água (freezing). Note que a falha ocorreu em planos a 45º da 
superfície do tubo.
Figura 05: Falha de tubulação cilíndrica
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Aula 1
Vasos de pressão de paredes finas
Seja um reservatório esférico de raio r e espessura t de parede. A parede é considerada fina se
�
�
≥ 10, de forma similar ao cilíndrico do tópico anterior.
Se o reservatório é preenchido por um fluido sob pressão p (relativa a atmosférica), a simetria 
sugere que as tensões σ são as mesmas em quaisquer direções.
Considerando-se uma semi-esfera conforme lado direito da 
Figura 03, a tensão σ atua perpendicularmente à área cortada 
(aproximadamente igual a 2 π r t). 
Figura 06: Tensão circunferencial
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Vasos de pressão de paredes finas
• Devido à simetria do vaso e ao modo de deformação assumido, a tensão normal 
é uniforme ao redor da circunferência e constante na espessura.
• A equação σ=pr/2t será obtida para qualquer corte da esfera através do seu 
centro, logo o vaso estará submetido as mesmas tensões sem todas as direções.
• Na superfície o estado é plano das tensões e no interior triaxial mas, como r/t>10 
σ3<<σ1,2 e pode-se considerar estado plano em toda a espessura.
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Vasos de pressão de paredes finas
E a força para manter a condição de equilíbrio estático é igual à pressão interna multiplicada pela 
área do círculo de raio r.
Assim, σ2��� = ����
Ou � =
��
��
Observar que é igual à menor tensão calculada para o reservatório cilíndrico do tópico anterior. Por 
isso, pode-se supor que o reservatório esférico é o que suporta maior pressão com a menor 
quantidade de material.
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Vasos de pressão de paredes finas
Teste de Pressão em Vaso Esférico
Figura 07: Falha em vaso esférico
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Exercício
1) O tanque do compressor de ar está sujeito a uma pressão interna de 0,63 MPa. Se o diâmetro
interno do tanque for 550 mm e a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da
tensão que agem no ponto A.
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Exercício
2) O tubo de extremidade aberta feito de cloreto de polivinil tem diâmetro interno de 100 mm e
espessura de 5 mm. Se transportar água corrente à pressão de 0,42 MPa, determine o estado de
tensão nas paredes do tubo.
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Exercício
3) O tanque cilíndrico de armazenamento despressurizado tem uma espessura de parede de 4,8
mm, é feito de uma aço com 400 Mpa de tensão de escoamento, possui uma altura máxima de 14,6
m e um diâmetro externo de 7,6 m. Determine:
a) A máxima altura h da água, que pode ser suportada pelo tanque se um coeficiente de segurança
de 4,0 é desejado. Considere o peso específico da água igual a 9807 N/m³.
b) As tensões circunferencial e longitudinal se o tanque estiver completamente cheio.
c) Considere o fator de segurança de 4,0, o tanque poderia ser utilizado nas condições da letra b?
Justifique.
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Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas
Exercício
4) Um vaso de pressão esférico tem um diâmetro interno de 4,0 m e uma espessura de parede de
15 mm. O tanque será construído de aço estrutural que tem limite de escoamento de 250 Mpa. Se a
pressão interna no vaso for de 1200 kpa, responda:
a) Este vaso pode ser tratado como uma peça de parede fina? Justifique.
b) Qual é a tensão na parede do vaso?
c) Qual é o coeficiente de segurança de projeto para este vaso em relação ao limite de
escoamento?
5) Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. Se for submetido a uma pressão interna p =
300 kPa, determine a espessura exigida para que a tensão normal máxima não ultrapasse 12 MPa.
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Exercício
6) Um tanque esférico pressurizado deverá ser fabricado com aço de 125 mm de espessura. Se for
submetido a uma pressão interna p = 1,4 MPa, determine seu raio externo para que a tensão
normal máxima não ultrapasse 105 MPa.
7) A figura mostra duas alternativas para apoiar o cilindro de parede fina. Determine o estado de
tensão na parede do cilindro para ambas as alternativas, se o pistão P provocar uma pressão interna
de 0,5 MPa. A parede tem espessura de 6 mm, e o raio interno do cilindro é 200 mm.
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Aula 1: Vasos de pressão de paredes finas
Exercício
8) O tubo de extremidade aberta tem parede de espessura 2 mm e diâmetro interno 40 mm.
Calcule a pressão que o gelo exerceu na parede interna do tubo para provocar a ruptura mostrada
na figura. A tensão máxima que o material pode suportar na temperatura de congelamento é σ
max= 360 MPa. Mostre como a tensão age sobre um pequeno elemento de material imediatamente
antes de o tubo falhar.
Aula 2
Estado de tensão causado por cargas combinadas
Em muitas estruturas os membros devem resistir a mais de um tipo de carregamento. Observe as
estruturas apresentadasna Figura 1. Conhecidos como carregamentos combinados, situações
similares a essas ilustradas na Figura 1 ocorrem em uma variedade enorme de máquinas,
construções, veículos, ferramentas etc.
Figura 1 - Exemplos de estruturas submetidas a carregamentos combinados: (a) Viga perfil I sustentada por um 
cabo com carregamento axial e fletor combinados. (b) Vaso de pressão cilíndrico sustentado como uma viga e 
(c) Eixo em torção e flexão combinadas. Gere (2003) 
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Aula 2
Estado de tensão causado por cargas combinadas
Superposição de Efeitos
•Um membro estrutural submetido a carregamentos combinados pode com frequência ser analisado 
superpondo-se as tensões e deformações causadas por cada carregamento agindo separadamente;
•As tensões e deformações devem ser funções lineares das cargas aplicadas, que por sua vez exigem que o 
material siga a Lei de Hooke e os deslocamentos permaneçam pequenos;
•As tensões e deformações devido a um carregamento, não devem ser afetadas por outros carregamentos;
•Estruturas comuns satisfazem essas condições e por isso o uso da superposição é bastante comum em 
engenharia. 
Aula 2
Estado de tensão causado por cargas combinadas
Roteiro de Cálculo
1) Selecione um ponto da estrutura em que as tensões e as deformações devem ser determinadas. (O ponto é 
geralmente selecionado em uma seção transversal em que as tensões são grandes, como uma seção 
transversal onde o momento fletor apresenta seu valor máximo). 
2) Para cada carregamento na estrutura determine as resultantes de tensão na seção transversal contendo o 
ponto selecionado. ( As resultantes de tensão possíveis são uma força axial, um momento de torção, um 
momento fletor de força de cisalhamento).
3) Calcule as tensões normais e de cisalhamento no ponto selecionado devido a cada uma das resultantes de 
tensão. Se a estrutura é um vaso de pressão, determine as tensões devido a pressão interna.
4) Obtenha as tensões σx, σy e τxy agindo em um elemento de tensão no ponto.
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Estado de tensão causado por cargas combinadas
Roteiro de Cálculo
5) Determine as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas no ponto selecionado, usando as 
equações de transformação de tensão ou o círculo de Mohr.
6) Determine as deformações no ponto a partir da Lei de Hooke para tensão plana.
7) Escolha pontos adicionais e repita o processo.
Aula 2: Carregamento combinado
Exercício