Resistência de Materiais II - Aula2

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Resistência de Materiais II
Professora: Cristiane Arantes
Aula 2
Estado de tensão causado por cargas combinadas
Em muitas estruturas os membros devem resistir a mais de um tipo de carregamento. Observe as
estruturas apresentadas na Figura 1. Conhecidos como carregamentos combinados, situações
similares a essas ilustradas na Figura 1 ocorrem em uma variedade enorme de máquinas,
construções, veículos, ferramentas etc.
Figura 1 - Exemplos de estruturas submetidas a carregamentos combinados: (a) Viga perfil I sustentada por um 
cabo com carregamento axial e fletor combinados. (b) Vaso de pressão cilíndrico sustentado como uma viga e 
(c) Eixo em torção e flexão combinadas. Gere (2003) 
Aula 2
Estado de tensão causado por cargas combinadas
Superposição de Efeitos
•Um membro estrutural submetido a carregamentos combinados pode com frequência ser 
analisado superpondo-se as tensões e deformações causadas por cada carregamento agindo 
separadamente;
•As tensões e deformações devem ser funções lineares das cargas aplicadas, que por sua vez exigem 
que o material siga a Lei de Hooke e os deslocamentos permaneçam pequenos;
•As tensões e deformações devido a um carregamento, não devem ser afetadas por outros 
carregamentos;
•Estruturas comuns satisfazem essas condições e por isso o uso da superposição é bastante comum 
em engenharia. 
Aula 2
Estado de tensão causado por cargas combinadas
Roteiro de Cálculo
1) Selecione um ponto da estrutura em que as tensões e as deformações devem ser 
determinadas. (O ponto é geralmente selecionado em uma seção transversal em que as 
tensões são grandes, como uma seção transversal onde o momento fletor apresenta 
seu valor máximo). 
2) As componentes de força devem agir passando pelo centroide da seção transversal e as 
componentes de momento devem ser calculadas em torno do eixo do centroide.
3) Para cada carregamento na estrutura determine as resultantes de tensão na seção 
transversal contendo o ponto selecionado. ( As resultantes de tensão possíveis são uma 
força axial, um momento de torção, um momento fletor de força de cisalhamento).
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Estado de tensão causado por cargas combinadas
Roteiro de Cálculo
4) Calcule as tensões normais e de cisalhamento no ponto selecionado devido a cada 
uma das resultantes de tensão. Se a estrutura é um vaso de pressão, determine as 
tensões devido a pressão interna.
5) Obtenha as tensões σx, σy e τxy agindo em um elemento de tensão no ponto.
6) Determine as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas no ponto 
selecionado, usando as equações de transformação de tensão ou o círculo de Mohr.
7) Determine as deformações no ponto a partir da Lei de Hooke para tensão plana.
8) Escolha pontos adicionais e repita o processo.
Aula 2: Carregamento combinado
Exercício
Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na figura abaixo. 
Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
Figura 2 - Exemplo de estrutura submetida a carregamentos 
combinados, elemento submetido à uma força. Hibbeler 7ª ed.
Cargas internas: Para o equilíbrio na
seção é preciso haver uma força axialde
15.000 N atuando no centiode e um
momento fletor de 750.000 N.mm em
torno do eixo do centroide ou eixo
principal.
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Exercício
Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na figura abaixo. 
Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
Figura 3 - Carregamentos combinados, 
Tesnão normal distribuída devido à força 
Normal. Hibbeler.
Componentes da tensão:
Força Normal: A distribuição da tensão normal uniforme 
devida à força normal.
Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na figura abaixo. 
Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C.
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Exercício
Figura 4 - Carregamentos combinados, 
Tesnão normal distribuída devido ao 
momento fletor. Hibbeler.
Componentes da tensão:
Força Normal: A distribuição da tensão normal devida ao 
momento fletor é mostrada na figura 4. E a tensão máxima é 
dada por:.
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Exercício
Superposição de Efeitos:
Se as distribuições das tensões normais forem somadas algebricamente, a 
distribuição da tensão resultante fica:
Figura 5 - Carregamentos combinados, Superposição de efeitos. Hibbeler.
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Exercício
Superposição de Efeitos:
A localização da linha de tensão nula pode ser determinada por semelhança de 
triângulos:
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Exercício
Superposição de Efeitos:
De acordo com a figura observamos que em B e em C só atua tensão normal ou 
tensão uniaxial:
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Exercício
O tanque na Figura6 tem raio interno de 600mm e espessura de 12mm. Está cheio até a borda 
superior comágua cujo peso específico é ƴágua =10 kN/m³. Se o tanque é de aço com peso específico
ƴaço = 78kN/m³, determine o estado de tensão no ponto A. Considere a parte superior do tanque 
aberta. 
Figura 6 – Tanque com água .Carregamentos 
combinados,Hibbeler.
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Exercício
Figura 6 – Tanque com água .Carregamentos combinados, Hibbeler.
Cargas internas:
O diagrama de corpo livre da seção
do tanque e da água acima do ponto A
é mostrado na Figura 6. Observe que o
peso da água é suportado pela
superfície da água imediatamente
abaixo da seção e não pelas paredes
do tanque. Na direção vertical, as
paredes simplesmente apoiam o peso
do tanque.
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Exercício
Figura 6 – Tanque com água .Carregamentos 
combinados, Hibbeler.
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Exercício
Figura 6 – Tanque com água .Carregamentos combinados, Hibbeler.
Cargas internas:
A tensão na direção circunferencial é 
desenvolvida pela pressão da água no 
nível A. Para obter essa pressão, 
devemos usar a lei de Pascal, segundo 
a qual a pressão em um ponto 
localizado a uma profundidade z na 
água é 
Por consequência, a pressão no 
tanque no nível A é :
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Exercício
Figura 6 – Tanque com água .Carregamentos 
combinados, Hibbeler.
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Exercício
Componentes da tensão:
Tensão circunferencial:
Tensão logitudinal:
OBS: 
A equação não se aplica, 
visto que o tanque é aberto na parede 
superior e, portanto, como já vimos, á agua 
não pode desenvolver uma carga nas 
paredes na direção longitudinal. 
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Exercício
Figura 7(a) – Haste maciça.Carregamentos combinados, Hibbeler.
A haste maciça mostrada na Figura 7(a)
tem raio de 0,75 cm. Se estiver sujeita á
carga mostrada, determine o estado de
tensão no ponto A.
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Exercício
Figura 7 (b) – Haste maciça.Carregamentos combinados, Hibbeler.
Cargas Internas.
A haste é secionada no ponto A. Pelo
diagrama de corpo livre do segmento AB,
Figura 7(b), as cargas internas resultantes
podem ser determinadas pelas seis
equações de equilíbrio. A força normal
(500 N) e a força de cisalhamento (800 N)
devem agir no centroide da seção
transversal, e as componentes do
momento fletor (8.000 N · cm e 7.000 N ·
cm) são aplicadas em torno dos eixos do
centroide (principais).
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Exercício
Figura 7 (c) – Haste maciça.Carregamentos combinados, Hibbeler.
Cargas Internas.
Para "visualizar“ melhor as distribuições da 
tensão devidas a cada uma dessas cargas, 
consideraremos as resultantes iguais, mas 
opostas que agem em AC Figura 7 (c).
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ExercícioComponentes da tensão.
Força normal. 
A distribuição da tensão normal é mostrada na Figura 7(d). Para o ponto A, temos
𝜎𝐴 =
𝑃
𝐴
=
500𝑁
𝜋 0,75𝑐𝑚 2
= 283𝑁0𝑐𝑚2 = 2,83 𝑀𝑃𝑎
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Exercício
Componentes da tensão.
Força de cisalhamento. 
A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na Figura 7(e). Para o ponto A, Q é determinada 
pela área semicircular sombreada. Pela tabela apresentada no final deste livro, temos
𝑄 = 𝑦′𝐴′ =
4 0,75𝑐𝑚
3𝜋
1
2
𝜋 0,75𝑐𝑚 2 = 0,283 𝑐𝑚³
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Exercício
Componentes da tensão.
Força de cisalhamento. 
A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na Figura 7(e). Para o ponto A, Q é determinada 
pela área semicircular sombreada. Pela tabela apresentada no final deste livro, temos
𝑄 = 𝑦′𝐴′ =
4 0,75𝑐𝑚
3𝜋
1
2
𝜋 0,75𝑐𝑚 2 = 0,283 𝑐𝑚³
𝜏𝐴 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
=
800𝑁 0,2813𝑐𝑚³
1
4𝜋 0,75𝑐𝑚
4 − (0,75𝑐𝑚)
=
604𝑁
𝑐𝑚2
= 6,04 𝑀𝑃𝑎
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Exercício
Componentes da tensão.
Momentos fletores. 
Para a componente de 8.000 N · cm, o ponto A encontra-se no eixo neutro Figura 7 (f), portanto, a 
tensão normal é:
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Exercício
Componentes da tensão.
Momentos fletores. 
Para o momento de 7.000 N · cm, c = 0,75 cm, portanto, a tensão normal no ponto A Figura 7(g) é:
𝜎𝐴 =
𝑀 𝑐
𝐼
=
7000𝑁 × 𝑐𝑚 (0,75𝑐𝑚)
1
4𝜋 0,75𝑐𝑚
4
=
21126𝑁
𝑐𝑚2
= 211,26𝑀𝑃𝑎
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Exercício
Componentes da tensão.
Momento de torção. 
No ponto A, ρA = c = 0,75 cm Figura 7(h). Assim, a tensão de cisalhamento é:
𝜏𝐴 =
𝑇 𝑐
𝐽
=
11200𝑁 × 𝑐𝑚 (0,75𝑐𝑚)
1
2𝜋 0,75𝑐𝑚
4
=
16,901𝑁
𝑐𝑚2
= 169,01𝑀𝑃𝑎
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Exercício
Superposição
Quando os resultados acima são superpostos, vemos que um elemento de material em A está sujeito 
às componentes da tensão normal, bem como da tensão de cisalhamento, figura 7(i).