Resistência de Materiais II - Aula3

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Resistência de Materiais II
Professora: Cristiane Arantes
Aula 3
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
Iremos ver nessa aula sobre transformação das componentes de tensão associadas
a um determinado sistema de coordenadas com uma orientação diferente. Uma
vez definidas as equações de transformação necessárias, poderemos obter a
tensão normal máxima e a tensão de cisalhamento máxima em um ponto e
determinar a orientação dos elementos sobre os quais elas agem . Iniciaremos pela
transformação de tensão no plano, uma vez que essa condição é muito comum na
prática da engenharia.
Aula 3
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
O estado geral de tensão em um ponto é
caracterizado por seis componentes
independentes da tensão normal e de
cisalhamento que agem nas faces de um
elemento de material localizado no ponto.
Figura 1: Tensor de tensões
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
O estado geral de tensão no plano em um ponto é, portanto, representado por uma
combinação de duas componentes de tensão normal, σx e σy , e uma componente
de tensão de cisalhamento, τxy que agem nas quatro faces do elemento.
O estado plano de tensão em um
ponto é representado exclusivamente
por três componentes que agem
sobre um elemento que tenha uma
orientação especifica neste ponto.
Figura 2: Estado plano de tensões
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
O estado de tensão for definido pelas componentes σx e σy e τxy orientadas ao 
longo dos eixos x, y.
As componentes σx’ e σy’ e τx’y’ orientadas ao longo dos eixos, x', y' de modo que 
representem o mesmo estado de tensão no ponto. 
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
0 estado plano de tensão em um ponto na superfície da fuselagem do avião é 
representado no elemento orientado om o mostra a Figura abaixo. Represente o 
estado de tensão no ponto em um elemento orientado a 30° no sentido horário em 
relação à posição mostrada.
0 elemento é secionado pela reta a-a na Figura 9.4a, o 
segmento inferior removido e, considerando que o 
plano secionado (inclinado) tem área ΔA, os planos 
horizontal e vertical têm as áreas mostradas na Figura 
3 (b). O diagrama de corpo livre do segmento é 
mostrado na Figura 3 (c). Aplicando as equações de 
equilíbrio de força nas direções x' e y' para evitar
uma solução simultânea para as duas incógnitas σx’ e 
τx’y’ temos:
Figura 3 (a)
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
Figura 3 (b)
Figura 3 (c)
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
Agora, temos de repetir o procedimento para 
obter a tensão no plano perpendicular b-b. O 
corte do elemento na Figura 3 (a) ao longo de b-
b resulta em um segmento cujos lados têm as 
áreas mostradas na Figura 3 (e). Se orientarmos
o eixo + x' para fora, perpendicularmente à face 
secionada, o diagrama de corpo livre associado 
será o mostrado na Figura 3 (f). Assim, teremos:
Figura 3 (a)
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
Figura 3 (e)
Figura 3 (f)
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TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO
Por essa análise podemos concluir que o estado de tensão no
ponto pode ser representado escolhendo um elemento
orientado como mostra a Figura 3 (a) ou escolhendo um
elemento orientado como mostra a Figura 3 (d). Em outras
palavras, os estados de tensão são equivalentes.
Figura 3 (d)
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CONVENÇÃO DE SINAL
Uma componente de tensão normal ou de cisalhamento é positiva contanto que aja na direção positiva da
coordenada na face positiva do elemento ou na direção negativa da coordenada na face negativa do
elemento, Figura 4(a). Por exemplo, σx é positiva, porque age para a direita na face vertical direita e para a
esquerda (direção-x) na face vertical esquerda. A Figura 4 (a) mostra a tensão de cisalhamento agindo na
direção positiva em todas as quatro faces do elemento. Na face direita, τxy age para cima (direção +y); na face
inferior, τxy age para a esquerda (direção -x) e assim por diante.
Figura 4: Convenção de sinal
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CONVENÇÃO DE SINAL
Figura 4: Convenção de sinal
Tensão normal positiva age para fora de todas as
faces e a tensão de cisalhamento positiva age
para cima na face direita do elemento
Definir um eixo x’ positivo dirigido para fora,
perpendicular ou normal ao plano, e um eixo y’
associado dirigido ao longo do plano, de acordo
coma figura 4 (b).
O Ângulo Ѳ é medido do eixo x positivo para o
eixo x’ positivo. Ele é positivo desde que siga a
curvatura dos dedos da mão direita, isto é, no
sentido anti-horário, como mostra a figura 4 (b).
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CONVENÇÃO DE SINAL
Figura 5: Componentes das tensões
Considerando que a área secionada é ΔA, as
áreas das faces horizontal e vertical do segmento
são ΔA sen Ѳ e ΔA cos Ѳ, respectivamente.
Aplicando as equações de equilíbrio de força
para determinar as componentes da tensão
normal e de cisalhamento desconhecidas, σx’ e
τx’y’.
Diagrama de corpo livre
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CONVENÇÃO DE SINAL
Figura 5: Componentes das tensões
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CONVENÇÃO DE SINAL
Figura 5: Componentes das tensões
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CONVENÇÃO DE SINAL
Para aplicar as equações de transformação de tensão, basta
entrar com os valores conhecidos de σx’ e σy’ e τx’y’ e Ѳ de
acordo com a convenção de sinal definida.
Se o cálculo de σx’ e σy’ e τx’y’ produzir quantidades positivas
essas tensões agirão na direção positiva dos eixos x' e y' .
Figura 6: Componentes das tensões
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EXEMPLO
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo
elemento mostrado na Figura 7 (a). Determine o estado de
tensão no ponto em outro elemento orientado a 30° no
sentido horário em relação à posição mostrada.
Figura 7: Exemplo 9.2 - Hibbeler
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EXEMPLO
Plano CD: Para obter as componentes de tensão no plano CD, Figura
7(b), o eixo x' positivo é dirigido para fora perpendicularmente a CD, e o
eixo y’ associado é dirigido ao longo de CD. O ângulo medido de x até o
eixo x' é Ѳ = -30° (em sentido horário).
Figura 7: Exemplo 9.2 - Hibbeler
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EXEMPLO
Plano BC: De modo semelhante, as componentes de tensão que agem
na face BC, Figura 7(c), são obtidas usando Ѳ = 60° (em sentido horário).
Figura 7: Exemplo 9.2 - Hibbeler
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EXEMPLO
Aqui, τx’y’ foi calculada duas vezes, como confirmação.
O sinal negativo para σx’ indica que essa tensão age na
direção de x' negativo, Figura 7(c). Os resultados são
mostrados no elemento na Figura 7(d).
Figura 7: Exemplo 9.2 - Hibbeler
Aula 3: Tensões principais e tensão de
cisalhamento máxima no plano
Aula 3: Tensões principais e tensão de
cisalhamento máxima no plano
Aula 3: Tensões principais e tensão de 
cisalhamento máxima no plano
Dependendo do sinal escolhido, esse resultado dá a
tensão normal máxima ou minínima no plano que age
em um ponto, onde σ1 ≥ σ2 . Esse conjunto particular de
valores é denominado tensões principais no plano, e os
planos correspondentes sobre os quais agem são
denominados planos principais de tensão.
Nenhuma tensão de cisalhamento ocorre nos planos
principais.
Aula 3: Tensões principais e tensão de 
cisalhamento máxima no plano
Figura 8: Tensão de cisalhamento máxima - Hibbeler
Aula 3: Tensões principais e tensão de 
cisalhamento máxima no plano
Os planos para tensão de cisalhamento máxima podem ser
determinados orientando um elemento a 45° em relação à
posição de um elemento que define os planos da tensão
principal.
Tensão normal nos planos onde ocorre a tensão de
cisalhamento máxima.
Aula 3: Tensões principais e tensão de 
cisalhamento máxima no plano
• As tensões principais representam a tensão normal máxima e a tensão mínima no ponto;
• Quando o estado de tensão é representado pelas tensões principais, nenhuma tensão de cisalhamento
ocorre sobre o elemento;
• O estado de tensão no ponto também podeser representado como a tensão de cisalhamento máxima no
plano. Nesse caso, uma tensão normal média também age no elemento;
• O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima no plano com as tensões normais médias
associadas está orientado a 45° em relação ao elemento que representa as tensões principais.
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EXEMPLO Quando a carga de torção T é aplicada à barra na Figura 9 (a), ela produz 
um estado de tensão de cisalhamento puro no material. 
Determine (a) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão 
normal média associada e (b) as tensões principais.
Figura 9: Exemplo 9.3 - Hibbeler
Convenção de sinal:
Tensão de cisalhamento máxima no plano 
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EXEMPLO
Foi constatado por métodos experimentais que materiais dúcteis
falharão devido a tensão de cisalhamento. O resultado é que, se for
aplicado um torque a uma barra feita de aço doce, a tensão de
cisalhamento máxima no plano provocará a ruptura da barra.
Figura 9: Exemplo 9.3 - Hibbeler
Tensão principal
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EXEMPLO
Figura 9: Exemplo 9.3 - Hibbeler
Se agora aplicarmos a Equação com Ѳp2= 45°, então:
Assim, σ2 = -τ age em Ѳp2 = 45° como mostra a Figura 9 (b),
e σ1 = τ age na outra face, Ѳp1 = 135°.
OBSERVAÇÃO: Materiais frágeis falham por conta da tensão normal. É por
isso que, quando um material frágil, como o ferro fundido, é submetido à
torção, falha sob tração à inclinação de 45°.
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EXEMPLO Quando a carga axial P é aplicada à barra na Figura 10 a, produz uma
tensão de tração no material. Determine (a) as tensões principais e (b) a
tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média
associada.
Figura 10: Exemplo 9.4 - Hibbeler
Convenção de sinal:
Tensão de cisalhamento máxima no plano 
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EXEMPLO
Figura 10: Exemplo 9.4 - Hibbeler
Convenção de sinal:
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EXEMPLO
Por observação, o elemento orientado como mostra a Figura 10 a ilustra 
uma condição de tensão principal visto que nenhuma tensão de 
cisalhamento age nesse elemento. Isso também pode ser mostrado por 
substituição direta dos valores acima nas equações. Assim,
Figura 10: Exemplo 9.4 - Hibbeler
Tensão principal
OBSERVAÇÃO: Se a barra for feita de material dúctil como aço doce, então
a tensão de cisalhamento provocará a ruptura da barra quando esta for
submetida à tração.