Evoluindo_Mat_Financeira

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Rodrigo Arraes Alvarenga
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À minha mãe, Gisa sem 
seus esforços e sacrifícios, 
cursar Administração seria 
uma tarefa quase impossível. 
Muito obrigado, Te Amo.
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Agradecimentos
Primeiramente a DEUS, por ter me dado força, sabedoria e paciên cia nos 
momentos mais difíceis da construção dessa obra.
À Direção da Faculdade de Educação de Bacabal FEBAC, por me apoiar 
incondicionalmente na construção e divulgação dessa obra;
A todos os meus alunos do Curso de Administração da Faculdade de Educa-
ção de Bacabal –FEBAC, por serem a razão de minha intensa e incessante 
busca pelo conhecimento;
A todos os meus ex-alunos do município de Pedreiras, dos quais sinto falta;
À Professora de Comunicação e Expressão da FEBAC, Solana Cristhyna 
Mendes Nobrega, por aceitar gentilmente a efetuar, com rapidez e carinho, 
as correções ortográficas dessa obra, meu muito obrigado;
Ao Professor de Matemática da FEBAC, Francisco Junior, por ter colabo-
rado na construção de diversos exercícios que compõem essa obra. Obrigado 
meu amigo;
À minha tia Denny, por me cobrar a conclusão dessa obra todas as vezes 
que eu ia à sua casa. Sem essas cobranças, talvez essa obra demoraria mais 
alguns meses para estar pronta;
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Apresentação
Esta obra é a materialização de um sonho que tenho desde o início de minha carreira na docência do ensino superior. A metodologia 
utilizada na resolução dos exemplos propostos é exatamente a utilizada 
por mim em sala de aula.
Pensado e desenvolvido para atender àqueles que nunca tiveram con-
tato com a Matemática Financeira ou àqueles que têm pouco contato 
com a disciplina, porém, necessitam de conhecimento na área para a 
resolução de questões matemáticas reais. Ou ainda, para aqueles que 
estudam em cursos de graduação e cursos preparatórios.
O título desta obra “Evoluindo com a Matemática Financeira” busca dei-
xar transparecer sua proposta, que é elevar gradualmente o conhecimento 
do leitor com o entendimento de cada capítulo. Desse modo, a própria 
disposição dos capítulos foi elaborada para atingir esse objetivo.
O Capítulo I é uma introdução à Matemática Financeira, pois aborda 
temas preliminares e regras básicas, porém essenciais para o bom en-
tendimento dos demais capítulos.
O Capítulo II tem como tema central os juros simples e, entre os cálculos de 
juros simples abordados nesse capítulo, inclui-se também, o cálculo do perí-
odo, da taxa de juros e do capital envolvidos em uma operação financeira.
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O Capítulo III envolve a operação de descontos, que é muito utilizada 
em nosso dia-a-dia, tanto na área empresarial quanto pessoal, por isso, 
abordaram-se as quatro modalidades de descontos, sendo elas: racional 
simples, comercial simples, racional composto e comercial composto.
O Capítulo IV inicia dando ênfase a taxas equivalentes como uma es-
pécie de pré-requisito para estudar o tema central desse capítulo, que é 
os juros compostos. Dentro desse capítulo, estudou-se como calcular o 
montante, a taxa de juros e o período em uma operação financeira. Foi 
estabelecida ainda uma diferença entre as duas modalidades de capita-
lização de juros, sendo elas: o simples e o composto.
No Capítulo V são abordadas, como tema central, as séries de pagamen-
tos iguais e sucessivos, os quais chamamos de anuidades. As anuidades 
aqui trabalhadas são as antecipadas e as postecipadas. Nesse capítulo, 
teremos a oportunidade de resolver as questões utilizando tanto a calcu-
ladora HP 12C, quanto a forma algébrica.
 Muito utilizados para a concretização do sonho da casa própria, entre ou-
tras realizações, os sistemas de amortizações de empréstimos ou financia-
mentos têm seu espaço garantido no Capítulo VI desta obra. E é passado ao 
leitor de forma bem didática, explicando passo a passo, mês a mês, como 
desenvolver uma tabela de amortização utilizando todos os sistemas.
Esta obra se encerra com seu sétimo capítulo mergulhado em um tema de 
total interesse para todo empreendedor, investidor, governo, bancos etc., 
que é a análise das alternativas de investimentos. E entre as diversas fer-
ramentas utilizadas, principalmente pelo investidor, estão: valor presente 
líquido, período de payback, taxa interna de retorno e índice de lucrativi-
dade. Lembrando que cada uma dessas ferramentas traz uma informação 
relevante sobre o projeto, conforme veremos nesse sétimo capítulo.
Espero que gostem desta obra, pois foi desenvolvida no intuito de aju-
dar você, leitor, em cada momento importante de sua vida, seja na em-
presarial ou na pessoal.
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Prefácio
Observando, em um passado recente, o expressivo e sucessivo crescimento do subsetor de intermediação financeira e seguros no 
Brasil, mesmo em cenários de crise econômica, parece inquestionável 
o aumento da necessidade por capital humano nessa área. Esta deman-
da excessiva e insatisfeita por si, justifica e dá legitimidade a todo 
interesse de prover educação financeira de nível básico à sociedade 
brasileira.
Mais especificamente, em países como o Brasil, os serviços financeiros 
não parecem estar disponíveis para um significativo percentual da popu-
lação, a qual por ser de baixa renda, precisaria dos instrumentos finan-
ceiros ofertados, uma vez que o mercado financeiro doméstico é aponta-
do como um dos motores do crescimento e da redução da pobreza.
Assim, um dos principais desafios de uma economia em desenvolvimen-
to, caracterizada por incentivos equivocados no que concerne à poupan-
ça, consiste em proporcionar maturidade financeira para a população em 
face de uma nova realidade a ser enfrentada pela atual geração de jovens, 
a qual precisará possuir uma previdência privada, por exemplo.
Idiossincrasias a parte, tornam-se necessárias que as noções básicas 
desta ciência estejam acessíveis a uma maior fatia da população mais 
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XII Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
carente e desassistida, sendo a elaboração de livros-texto em Matemáti-
ca Financeira um importante vetor neste processo.
Quando recebi o honroso convite pessoalmente do professor Rodrigo 
Arraes para escrever o prefácio desta obra, fiquei surpreso positivamen-
te com a missão que o autor se propusera, pois como estudioso na área, 
reconheço que tal tarefa é densa e exaustiva, não pela extensão ou grau 
de complexidade das finanças, mas sim pelo fato de ser esta uma obra 
que se destina à didática, à simplicidade em suas explicações teóricas e 
à resolução de exercícios aplicados à realidade brasileira atual, útil para 
a capacitação de profissionais e estudantes, mesmo que estes não atuem 
em áreas afins.
O conteúdo desta obra de caráter incomum, em razão de sua “simplici-
dade”, acessibilidade e abrangência, creio eu, será de forte relevância 
na disseminação da cultura financeira no Brasil.
RodRigo ARRAes AlvARengA
Professor doutor em 
Economia/Finanças da 
Universidade Federal do Ceará
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Sumário
Capítulo 1: Conceitos Preliminares sobre Matemática 
Financeira ....................................................... 1
1.1 Objeto de Estudo da Matemática Financeira ................ 1
1.2 Definição de Juros ......................................................... 1
1.3Regras dos Juros ........................................................... 1
1.3.1 Conversão da Taxa de Juros ........................................................2
1.3.2 Conversão do Período .................................................................4
1.4 Taxa Proporcional ......................................................... 5
1.5 Taxa Equivalente ........................................................... 6
1.6 Elementos da Fórmula dos Juros .................................. 7
1.7 Diagrama do Fluxo de Caixa – DFC ............................. 8
Capítulo 2: Juros Simples ................................................11
2.1 Definição .......................................................................11
2.2 Calculando os Juros de uma Operação Financeira ...... 12
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XIV Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
2.3 Calculando o Capital Objeto de uma Operação 
Financeira .................................................................... 13
2.4 Calculando a Taxa de Juros Cobrada em uma 
Operação Financeira .................................................... 15
2.5 Calculando o Período de uma Operação Financeira .... 17
2.6 Calculando os Juros de uma Operação Financeira 
Tendo por Base O Montante ........................................ 19
Capítulo 3: Desconto de Títulos ...................................... 27
3.1 Definição ...................................................................... 27
3.2 Desconto Racional Simples ......................................... 28
3.3 Desconto Comercial Simples ....................................... 31
3.4 Desconto Racional Composto ...................................... 33
3.5 Desconto Comercial Composto ................................... 37
Capítulo 4: Juros Compostos .......................................... 47
4.1 Definição ...................................................................... 47
4.2 Taxas Equivalentes ....................................................... 47
4.3 Calculando o Montante de uma Operação 
Financeira .................................................................... 50
4.4 Calculando a Taxa de Juros de uma Operação 
Financeira .................................................................... 53
4.5 Calculando o Período de uma Operação Financeira .... 56
4.6 Diferença Entre Juros Simples e Juros Compostos ...... 58
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Sumário XV
Capítulo 5:Anuidade ........................................................ 71
5.1 Definição ...................................................................... 71
5.2 Anuidades Antecipadas ................................................ 71
5.3 Anuidades Postecipadas ............................................... 76
Capítulo 6: Sistemas de Amortização de 
Financiamento .............................................. 83
6.1 Definição ...................................................................... 83
6.2 Sistema de Amortização Constante - SAC ................... 83
6.3 Sistema de Amortização Price ou Francês ................... 97
6.4 Sistema De Amortização Misto – SAM ..................... 109
6.5 Sistema de Amortização Americano – SAA .............. 124
Capítulo 7: Análise de Alternativas de Investimentos 135
7.1 Definição .................................................................... 135
7.2 Valor Presente Líquido – VPL ................................... 135
7.3 Método do Payback ................................................... 138
7.3.1 Payback Simples ......................................................................138
7.3.2 Payback Descontado ................................................................144
7.4 Taxa Interna de Retorno – TIR................................... 154
7.5 Índice de Lucratividade – IL ...................................... 157
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Capítulo 1: 
 
Conceitos Preliminares sobre 
Matemática Financeira
1.1 objeto de estudo dA MAteMáticA FinAnceiRA
A Matemática Financeira tem por objeto de estudo, a variação do valor 
do dinheiro ao longo do tempo. A intensidade dessa variação é propor-
cional à qualidade do investimento escolhido. E com a ajuda da Mate-
mática Financeira, teremos a oportunidade de saber escolher a opção 
que melhor remunera o capital aplicado.
1.2 deFinição de juRos
Juros é a remuneração paga ou recebida pelo uso ou pela aplicação de um 
determinado capital, por um certo período de tempo. Exemplo: Andréa apli-
cou R$ 2.000,00 por um período de 1 mês e essa aplicação foi remunerada 
a uma taxa de 5%a.m. Ao final do período, Andréa recebeu R$ 2.100,00. 
Logo, se Andréa aplicou R$ 2.000,00 e recebeu R$ 2.100,00, os juros rece-
bidos por Andréa são de R$ 100,00 ou (R$ 2.100,00 – R$ 2.000,00).
1.3 RegRAs dos juRos
Para quem está iniciando os estudos na Matemática Financeira, deve 
ter em mente duas regras básicas, porém importantes, para o sucesso 
dos cálculos.
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2 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
Regra nº 1: TODA vez que a taxa de juros for inserida na fórmula, 
ela deve estar na forma decimal. Mas você deve estar perguntando-se: 
como obter essa forma decimal? É simples, vejamos alguns exemplos 
abaixo:
Taxa unitária Transformação Taxa decimal
Taxa de 3%a.a.: (3 / 100) 0,03%a.a
Taxa de 2%a.a.: (2 / 100) 0,02%a.a
Taxa de 5%a.a.: (5 / 100) 0,05%a.a
Taxa de 8%a.a.: (8 / 100) 0,08%a.a
Regra nº 2: A taxa de juros de uma operação financeira e o período 
dessa aplicação deverão, obrigatoriamente, estar na mesma unidade de 
tempo. Então, como fazer para deixá-los na mesma unidade de tem-
po? A resposta para essa pergunta é: conversão. Vejamos os subtópicos 
abaixo.
1.3.1 conveRsão dA tAxA de juRos
De capitalização maior para capitalização menor – Basta dividir a 
capitalização maior pela quantidade de períodos a que se refere a capi-
talização menor. Nos exemplos, vamos converter essas taxas de juros, 
com o objetivo de transformá-las em taxas de juros mensais. Vejamos 
como ficam: 
Capitalização Maior Transformação Capitalização Menor
 18% a.a. 18% / 12 1,5%a.m.
 24% a.a. 24% / 12 2,0%a.m.
 12%a.s. 12% / 6 2,0%a.m. 
 06%a.t. 06% / 3 2,0%a.m 
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Capítulo 1: Conceitos Preliminares sobre Matemática Financeira 3
Nos dois primeiros exemplos, pudemos observar que as taxas de juros es-
tavam, inicialmente, a.a. ou ao ano. E nosso objetivo era transformá-las 
em taxas mensais. Então, como fazer para converter a taxa de 18%a.a. em 
uma taxa mensal? Faça a seguinte pergunta: um ano possui quantos meses? 
Ao responder essa pergunta, você estará desvendando o segredo da técnica 
de conversão. Agora, basta dividir a taxa de 18%a.a. por 12 e você terá: 
1,5%a.m ou ao mês. Repita essa pergunta para resolver o segundo exem-
plo. Para resolver o terceiro e quarto exemplos, as perguntas são semelhan-
tes, porém você deve mudar apenas os períodos. Logo, as perguntas serão: 
um semestre possui quantos meses? Um trimestre possui quantos meses? 
Em seguida, é só dividir a taxa pela quantidade de meses. 
De capitalização menor para capitalização maior – Neste caso, você 
deverá efetuar a operação inversa àquela utilizada anteriormente. As-
sim, basta multiplicar a capitalização menor pela quantidade de perío-
dos a que se refere a capitalização maior. Vamos utilizar os exemplos 
anteriores para facilitar o entendimento. Vejamos como converter essas 
taxas de juros, em taxas anuais: 
Capitalização Menor Transformação Capitalização Maior
 1,5% a.m. 1,5% x 12 18%a.a.
 2,0% a.m. 2,0% x 12 24%a.a.
 2,0%a.s. 2,0% x 02 04%a.a. 
2,0%a.t. 2,0% x 04 08%a.a.Para resolvermos esses exemplos, devemos fazer as mesmas pergun-
tas feitas nos exemplos anteriores. Porém, sua aplicação será diferente. 
Vejamos como fica o primeiro exemplo: converter 1,5%a.m. ao mês 
em uma taxa anual. Então, vamos fazer a pergunta? Um ano possui 
quantos meses? Agora, vamos multiplicar a taxa de 1,5%a.m. por 12 e 
você encontrará 18%a.a. ou ao ano. Essa pergunta resolverá o segundo 
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exemplo. Para resolver a terceira e quarta questões, as perguntas serão, 
respectivamente: Um semestre possui quantos meses? Um trimestre 
possui quantos meses? Ao responder essas questões, multiplique o va-
lor encontrado pela taxa a ser convertida. 
1.3.2 conveRsão do PeRíodo
Ao optar em converter o período, deve-se ter mente que a base para 
essa conversão será o período em que a taxa está sendo capitalizada. 
Lembre-se da regra nº. 2 - a taxa e o período devem estar na mesma 
unidade de tempo. Mas antes de vermos como funciona, observe as 
informações abaixo:
1 ano possui: 12 meses; 6 bimestres; 4 trimestres; 3 quadrimestres; 2 
semestres; 360 dias. 
1 semestre possui: 6 meses; 3 bimestres; 2 trimestres; 180 dias. 
1 quadrimestre possui: 4 meses; 2 bimestres; 120 dias. 
1 trimestre possui: 3 meses; 1,5 bimestre; 90 dias. 
1 bimestre possui: 2 meses; 60 dias. 
1 mês possui: 30 dias.
Exemplo1: 
Converter 3 anos em:
a – Semestre: 
Se 1 ano possui 2 semestres, então, 3 anos possuem 6 semestres. 
(3 anos x 2 semestres/ano) = 6 semestres.
b – Quadrimestre: 
Se 1 ano possui 3 quadrimestres, então, 3 anos possuem 9 quadrimes-
tres. (3 anos x 3 quadrimestres/ano) = 9 quadrimestres.
c – Trimestre: 
Se 1 ano possui 4 trimestres, então, 3 anos possuem 12 trimestres. 
(3 anos x 4 trimestres/ano) = 12 trimestres.
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Capítulo 1: Conceitos Preliminares sobre Matemática Financeira 5
d – Bimestre: 
Se 1 ano possui 6 bimestres, então, 3 anos possuem 18 bimestres. 
(3 anos x 6 bimestres/ano) = 18 bimestres.
e – Mês: 
Se 1 ano possui 12 meses, então, 3 anos possuem 36 meses. 
(3 anos x 12 meses/ano) = 36 meses.
Exemplo2: 
Converter 2 anos em:
a – Semestre: 
Se 1 ano possui 2 semestres, então, 2 anos possuem 4 semestres. 
(2 anos x 2 semestres/ano) = 4 semestres.
b – Quadrimestre: 
Se 1 ano possui 3 quadrimestres, então, 2 anos possuem 6 quadrimes-
tres.(2 anos x 3 quadrimestres/ano) = 6 quadrimestres.
c – Trimestre: 
Se 1 ano possui 4 trimestres, então, 2 anos possuem 8 trimestres. 
(2 anos x 4 trimestres/ano) = 8 trimestres.
d – Bimestre: 
Se 1 ano possui 6 bimestres, então, 2 anos possuem 12 bimestres. 
(2 anos x 6 bimestres/ano) = 12 bimestres.
e – Mês: 
Se 1 ano possui 12 meses, então, 2 anos possuem 24 meses. 
(2 anos x 12 meses/ano) = 24 meses.
1.4 tAxA PRoPoRcionAl
Este tipo de taxa só poderá ser utilizado se o regime de capitalização envolvi-
do for o regime de capitalização simples. Neste caso, podemos considerar a 
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6 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
seguinte situação: 01% ao dia é proporcional a 30% ao mês, que por sua vez, 
é proporcional a 180% ao semestre, proporcional ainda a 360% ao ano.
1.5 tAxA equivAlente
Pode-se dizer que, se duas ou mais taxas forem aplicadas sobre um mes-
mo capital e pelo mesmo período de tempo, produzindo assim o mesmo 
juro monetário, então, essas taxas serão consideradas taxas equivalentes.
Exemplo1: 
Considere uma aplicação de R$ 1.000,00 feito por Andréa, por um pe-
ríodo de 2 anos, a uma taxa de 02%a.m. ou 24%a.a. Quanto Andréa irá 
receber, a título de juros monetários, ao final desse período?
Aplicando a taxa de 02%a.m. no período de 24 meses, teremos:
J1 = 1.000,00 x 0,02 x 24 
J1 = 480,00 
Aplicando a taxa de 24%a.a. no período de 02 anos, teremos:
J2 = 1.000,00 x 0,24 x 2 
J2 = 480,00 
Como podemos observar, os juros monetários obtidos nas duas situa-
ções são exatamente iguais. Logo, concluímos que as taxas de 02%a.m. 
e 24%a.a. SÃO equivalentes.
Exemplo2: 
Um investimento no valor de R$ 5.000,00 aplicados por 3 anos está 
sendo remunerado a uma taxa de 18%a.a. ou 03%a.m. Responda: qual 
o valor dos juros? As taxas de juros são equivalentes?
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Capítulo 1: Conceitos Preliminares sobre Matemática Financeira 7
Aplicando a taxa de 18%a.a. e o período de 3 anos, teremos:
J1 = 5.000,00 x 0,18 x 3 
J1 = 2.700,00 
Aplicando a taxa de 03%a.m. no período de 36 meses, teremos:
J2 = 5.000,00 x 0,03 x 36 
J2 = 5.400,00 
No exemplo 2, constata-se que o juro da primeira simulação é diferen-
te do juro da segunda simulação. Logo, pode-se afirmar que as taxas 
de 18%a.a. e 03%a.m. NÃO são equivalentes.
1.6 eleMentos dA FóRMulA dos juRos
Quando se trabalha com juros, seja na capitalização simples (juros sim-
ples), seja na capitalização composta (juros compostos), deparamo-nos 
com basicamente 04 (quatro) elementos comuns a esses tipos de ca-
pitalização, são eles: juros j, capital c, taxa i e período n. Falaremos 
rapidamente sobre cada um.
Juros  É a remuneração para ou recebida por outrem, pelo uso ou 
pela aplicação de uma determinada quantia de dinheiro. Exemplo: Car-
la emprestou R$ 200,00 para sua prima, que lhe pagou R$ 300,00 um 
mês depois. Se Carla emprestou R$ 200,00 e recebeu R$ 300,00, signi-
fica dizer que a prima de Carla a remunerou em R$ 100,00 por usar seu 
dinheiro pelo período de um mês. 
Capital  É uma quantia monetária que é objeto de uma operação de 
empréstimo ou pagamento. No exemplo anterior, o capital objeto de 
empréstimo de Carla para sua prima foi de R$ 200,00.
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8 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
Taxa  É a representação percentual dos juros envolvidos em uma 
operação financeira. Tomemos o exemplo anterior. Carla emprestou R$ 
200,00 e recebeu R$ 300,00. Nesse caso, a taxa de juros que representa 
essa operação é de 50%a.m., ou seja, Carla recebeu R$ 200,00 (seu ca-
pital), mais R$ 100,00 (50% do seu capital). 
Período  Unidade de tempo durante o qual o capital objeto da operação 
financeira ficou em posse de terceiros. Ainda no exemplo anterior, o capi-
tal de Carla ficou em posse de sua prima por 1 mês, assim, o período é 1. 
1.7 diAgRAMA do Fluxo de cAixA – dFc
Como vimos no item 1.1, o objeto de estudo da Matemática Financeira 
é a variação do dinheiro ao longo do tempo. Essa variação pode ser 
positiva ou negativa e o conjunto de todas essas variações é definido 
como fluxo de caixa.
O Diagrama do Fluxo de Caixa nada mais é do que a representação 
gráfica do fluxo de caixa. Onde a linha horizontal representa a linha 
do tempo. Já as setas direcionadas para cima, representam a variação 
positiva sofrida pelo caixa. As setas direcionadas para baixo, mostram 
que o caixa sofreu variação negativa. Vejamos o exemplo abaixo:
Exemplo1: 
Considere um empréstimo em família (sem juros) no valor de R$ 
5.000,00 para ser pago em 5 meses.
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Capítulo 1: Conceitos Preliminares sobre Matemática Financeira 9
No período 0 (zero), a seta está direcionada para cima, isso indica que 
o caixa sofreu uma variação positiva, correspondente ao capital de R$ 
5.000,00 que foi acrescido ao caixa. As setas apontadas para baixo 
representam o pagamento das parcelas referente ao empréstimo. 
Exemplo2: 
Andréa efetuou uma aplicação no valor de R$ 5.000,00 pelo período 
de 1 ano. Ao final dessa aplicação, Andréa resgatou R$ 6.000,00. Re-
presentando graficamente fica:
Perceba no gráfico acima que o período 0 (zero) foi o período onde An-
dréa efetuou a aplicação,o que ocasionou um desembolso no valor de R$ 
5.000,00 e esse desembolso é representado pela seta direcionada para bai-
xo. Ao final do período da aplicação, Andréa resgatou o capital aplicado 
mais os juros dessa aplicação. O valor desse resgate é de R$ 6.000,00 e tal 
resgate alavanca o capital, sendo representado pela seta voltada para cima. 
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10 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
Exemplo3: 
A loja EletroDelta está fazendo a seguinte promoção para TVs de 21”: 
à vista R$ 1.000,00 ou 1 + 4 de R$ 300,00. 
Nesse exemplo, o valor à vista da TV é representado pela seta direcio-
nada para cima, isso porque quem está adquirindo essa TV, está tendo 
um aumento no seu patrimônio. Entretanto, no mesmo momento 0 
(zero), o valor da entrada deve ser representado por uma seta voltada 
para baixo, pois se trata de um desembolso. Da mesma forma, o res-
tante das prestações deverá ser representado por setas voltadas para 
baixo. 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1ª) Represente graficamente as operações abaixo: 
a – A compra de uma geladeira em 1 + 5 de R$ 670,00, sendo o preço 
à vista de R$ 1.990,00.
b – A concessionária “Carro Zero” faz a seguinte promoção para car-
ros novos: R$ 33.000,00 à vista ou 0 + 10 de R$ 3.500,00.
c – A compra de uma câmera digital para pagamento único após 30 
dias no valor de R$ 800,00. Considere valor à vista de R$ 720,00.
d – A venda de uma moto no valor à vista de R$ 7.500,00 ou financia-
da em 1 + 8 de R$ 910,12, com taxa de 1,8%a.m.
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Capítulo 2: 
 
Juros Simples
2.1 deFinição
É quando a taxa de juros incide SEMPRE sobre o valor principal ou 
valor presente de uma operação financeira. No regime de capitalização 
simples, os juros produzidos ao final do primeiro período não se somam 
ao principal, ou seja, a base de cálculo para o segundo período continua 
sendo o valor principal. Esse comportamento se repete até o último 
período contratado na operação. Assim, os juros produzidos no período 
anterior não produzem juros para o período seguinte.
Exemplo:
Seja um empréstimo no valor de R$ 5.000,00, para pagamento ao final 
de 5 meses, a uma taxa de 4%a.m. Calcule o valor dos juros pagos ao 
final de cada mês.
Período Cálculo do Juro Juro Apurado Juro Acumulado
1 5.000,00 x 0,04 200,00 200,00
2 5.000,00 x 0,04 200,00 400,00
3 5.000,00 x 0,04 200,00 600,00
4 5.000,00 x 0,04 200,00 800,00
5 5.000,00 x 0,04 200,00 1.000,00
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12 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
Pode-se observar que, período após período, a taxa de juro SEMPRE 
incidiu sobre o capital emprestado. E esse capital não se somou ao 
juro apurado do período anterior para servir de base de cálculo dos 
períodos seguintes. Assim, pode-se dizer que o juro, no regime de 
capitalização simples, é linear ou constante e neste caso, sempre será 
R$ 200,00.
2.2 cAlculAndo os juRos de uMA oPeRAção 
FinAnceiRA
Para solucionar a questão acima, utilizou-se a seguinte fórmula de 
cálculo:
J = C x i x n
Onde: 
J  É a remuneração paga pela utilização do capital de outrem 
C  É a quantia que foi emprestada ou o valor principal 
i  É a representação percentual do juro cobrado pelo empréstimo 
n  É o período durante o qual o capital ficou emprestado a outrem
Exemplo1:
Qual o valor dos juros produzidos pelo capital de R$ 15.000,00, apli-
cado durante 5 anos a uma taxa de 03%a.a.?
J = ? C = 15.000,00 i = 0,03%a.a. n = 5
J = C x i x n 
J = 15.000,00 x 0,03 x 5 (multiplique a taxa i pelo tempo n) 
J = 15.000,00 x 0,15 
J = 2.250,00
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 12 22/2/2010 20:14:26
Capítulo 2: Juros Simples 13
Exemplo2:
Calcular os juros recebidos por Marcos, após ter aplicado 
R$ 225.000,00 em um fundo de investimento que remunerava essa 
aplicação em 6%a.s., considerando que o período de investimento foi 
de 4 anos.
Nesse caso, antes de colocar os valores na fórmula, devemos lembrar 
da regra nº. 2 dos juros. A taxa e o período devem estar na mesma uni-
dade de tempo. Então, vamos fazer a pergunta: 4 anos possuem quantos 
semestres? A resposta é 8. Logo:
J = ? C = 225.000,00 i = 0,06%a.s. n = 8 semestres
J = C x i x n 
J = 225.000,00 x 0,06 x 8 (multiplique a taxa i pelo tempo n) 
J = 225.000,00 x 0,48 
J = 108.000,00
2.3 cAlculAndo o cAPitAl objeto de uMA 
oPeRAção FinAnceiRA
Para encontrarmos o capital ou o valor principal de uma operação fi-
nanceira, devemos, então, adotar a seguinte fórmula de cálculo:
JC=
i x n
Assim, se dividirmos os juros monetários envolvidos em uma opera-
ção financeira pelo produto resultante da multiplicação da taxa i com o 
período n, encontraremos o valor do capital ou o valor principal objeto 
dessa operação.
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14 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
Exemplo1:
Qual o valor do capital que, aplicado em um fundo de investimento por 
um período de 12 meses, remunerado a uma taxa de 2%a.m. renderá um 
juro monetário de R$ 50.000,00?
J = 50.000,00 C = ? i = 0,02%a.m. n = 12 meses
JC=
i x n
50.000,00C=
(multiplique a taxa i pelo tempo n)0,02 x 12
50.000,00C=
(divida o Juro J pelo produto)0,24
C= 208.333,33
Exemplo2:
Há 24 meses, Andréa efetuou uma aplicação no Banco Bom Lugar. Hoje, 
ao ir à agência para resgatar seu capital investido, o gerente lhe falou que 
só a título de juros, Andréa irá receber R$ 45.000,00. Quanto ela aplicou, 
considerando que esse capital foi remunerado a uma taxa de 1,5%a.m.?
J = 45.000,00 C = ? i = 0,015%a.m. n = 24 meses
JC=
i x n
45.000,00C=
(multiplique a taxa i pelo tempo n)0,015 x 24
45.000,00C=
(divida o Juro J pelo produto)0,36
C= 125.000,00
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Capítulo 2: Juros Simples 15
Exemplo3:
Este mês, a caderneta de poupança pagou para o Sr. Antonio, a título de 
juros, R$ 24.000,00 por uma aplicação feita por ele há 8 meses. Tal apli-
cação foi remunerada a uma taxa de 07%a.m. Qual o valor do depósito 
feito pelo Sr. Antonio, para que pudesse render essa quantia em juros?
J = 24.000,00 C = ? i = 0,07%a.m. n = 8 meses
JC=
i x n
24.000,00C=
(multiplique a taxa i pelo tempo n)0,07 x 8
24.000,00C=
(divida o Juro J pelo produtoa)0,56
C = 42.857,14
2.4 cAlculAndo A tAxA de juRos cobRAdA eM uMA 
oPeRAção FinAnceiRA
Ao calcular a taxa de juros cobrada em uma operação financeira, deve-
se ter em mente que o período da capitalização (a.a.; a.s.; a.q.; a.t.; a.b.; 
a.m. ou a.d.) da taxa encontrado será o mesmo do período n utilizado 
na seguinte fórmula:
JC=
i x n
Exemplo1:
Determine a taxa de juros mensais que, aplicada sobre um capital de 
R$ 85.000,00, rende R$ 27.000,00 a título de juros, considerando um 
período de 6 meses.
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16 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
J = 27.000,00 C = 85.000,00 i = ?. n = 6 meses
JC=
i x n
27.000,00i=
(multiplique o Capital C pelo tempo n)85.000,00 x 6
27.000,00i=
510.000,00
i = 0,0529% a.m.
Nesse caso, ao encontrar a taxa de juros, você pode optar por aceitá-la 
nessa forma decimal ou pode mudá-la para a forma unitária. Para isso, 
basta multiplicar a taxa encontrada por 100. Assim, a taxa que antes 
estava em 0,0529%a.m. fica em 5,29%a.m.
Exemplo2: 
Determine a taxa de juros paga por um mutuário que tomou emprestado 
R$ 50.000,00 pelo prazo de 2 anos e pagou, a título de juros, a quantia 
de R$ 7.500,00.
J = 7.500,00 C = 50.000,0 i = ? n = 2 anos
JC=
i x n
7.500,00i=
(multiplique o Capital C pelo tempo n)50.000,00 x 2
7.500,00i=
100.000,00
i = 0,075% a.a. ou 7,5%a.a.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd16 22/2/2010 20:14:26
Capítulo 2: Juros Simples 17
Exemplo3: 
Qual a taxa de juros que, aplicada sobre um capital de R$ 23.000,00 por 
um período de 5 anos, renderá juros monetários de R$ 4.000,00?
J = 4.000,00 C = 23.000,00 i = ? n = anos
JC=
i x n
4.000,00i=
(multiplique o Capital C pelo tempo n)23.000,00 x 5
4.000,00i=
115.000,00
i = 0,034% a.a. ou 3,4%a.a.
2.5 cAlculAndo o PeRíodo de uMA oPeRAção 
FinAnceiRA
Período é uma unidade de tempo (ano, semestre, quadrimestre, trimes-
tre, bimestre, mês, quinzena ou dia) durante o qual o capital objeto de 
uma operação financeira fica em posse de terceiros. Quando encontrar-
mos o período n, sua unidade de tempo será a mesma da taxa de juros i 
utilizada na fórmula abaixo:
Jn=
C x i
Exemplo1:
Quanto tempo é necessário para que um capital de R$ 32.000,00, apli-
cado em uma caderneta de poupança que remunera essa aplicação em 
5%a.m., renda R$ 7.200,00 a título de juros?
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18 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
J = 7.200,00 C = 32.000,00 i = 0,05%a.m. n = ?
Jn=
C x i
7.200,00n=
(multiplique o Capital C pela taxa i)32.000,00 x 0,05
7.200,00n=
1.600,00
n =4,5 meses ou 4 meses e 15 dias
Exemplo2:
Neilan quer saber quanto tempo será necessário para que seu capital de 
R$ 120.000,00 renda R$ 32.000,00 a título de juros, caso seja aplicado 
em um fundo de investimento que remunere sua aplicação em 8%a.a.
J = 32.000,00 C = 120.000,00 i = 0,08%a.a. n = ?
Jn=
C x i
32.000,00n=
(multiplique e Capital C pela taxa i)120.000,00 x 0,08
32.000,00n=
9.600,00
n =3,3 anos ou 3anos e 4 meses
Exemplo3:
Quanto tempo será necessário para que um capital de R$ 38.000,00, 
aplicado em uma caderneta de poupança, renda R$ 11.000,00 a título de 
juros? Considere a taxa de juros de 2%a.m.
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Capítulo 2: Juros Simples 19
J = 11.000,00 C = 38.000,00 i = 0,02%a.a. n = ?
11.000,00n=
(multiplique o Capital C pela taxa i)38.000,00 x 0,02
11.000,00n=
760,00
n =14,47 meses ou 1 ano e 5 meses
dicA iMPoRtAnte
Veja as três fórmulas abaixo e diga o que elas têm em comum:
JC=
i x n
Ji=
C x n
Jn=
C x i
Como podemos perceber, essas três fórmulas possuem duas coisas em 
comum, são elas: 1ª – todas possuem quatro elementos (Juros J, Capital 
C, Taxa i, Tempo n). 2ª – todas possuem o elemento juros J, como nu-
merador. Então, vamos para a dica importante: se estamos calculando 
1 dos elementos, significa que ainda sobram 3 elementos, desses 3 ele-
mentos, os Juros J SEMPRE serão o numerador. Então, ainda restam 2 
elementos, aí é só multiplicá-los entre si. 
Memorize essa dica e você jamais esquecerá essas três fórmulas.
2.6 cAlculAndo os juRos de uMA oPeRAção 
FinAnceiRA tendo PoR bAse o MontAnte
Antes de oferecermos o conceito de montante, iremos resolver uma ques-
tão de juros simples, para facilitar seu entendimento posterior. Exemplo: 
Viviane emprestou R$ 5.000,00 pelo período de 1 ano, a uma taxa de 
20%a.a. Determine o juro recebido por Viviane ao final do período.
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20 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
J = ? C = 5.000,00 i = 0,20%a.a. n = 1
J = C x i x n 
J = 5.000,00 x 0,20 x 1 (multiplique a taxa i pelo tempo n) 
J = 5.000,00 x 0,20 
J =1.000,00
Montante é a soma do capital inicial ou o valor presente com o juro 
monetário resultante de uma operação financeira. No exemplo acima, 
o capital inicial é de R$ 5.000,00 e o juro monetário é de R$ 1.000,00, 
logo, o valor do montante é de R$ 6.000,00. Tal resultado pode ser en-
contrado a partir da seguinte fórmula:
M = C + J
Onde:
M  É o resultado da soma do capital inicial com os juros 
C  O capital inicial ou o valor presente que foi emprestado 
J  É a remuneração paga pela utilização do capital de outrem
M = C + J 
M = 5.000,00 + 1.000,00 
M = 6.000,00
Agora que já sabemos o que é montante, iremos determinar o valor do 
juro de uma operação financeira, tendo por base o montante ou o valor 
futuro. E para encontrarmos o juro dessa operação, nós utilizaremos a 
seguinte fórmula:
 = × − + × 
11
1
J M
i n
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Capítulo 2: Juros Simples 21
Exemplo1:
Neilan aplicou uma determinada quantia na caderneta de poupança. 
Após 2 meses, ela recebeu um montante de R$ 60.000,00. Sabendo que 
essa aplicação foi remunerada a uma taxa de 6%a.m., quanto Neilan irá 
receber a título de juros ao final do período? 
J = ? M = 60.000,00 i = 0,06%a.a. n = 2
 = × − + × 
11
1
J M
i n
( )
 
= × − + ×  
160.000,00 1
(multiplique a taxa i pelo tempo n)1 0,06 2
J
( )
 
= × − +  
160.000,00 1
(some a unidade com o produto)1 0,12
J
( )
 
= × − 
  
160.000,00 1
(efetue a divisão)1,12
J
J = 60.000,00 x [1 – 0,892] (efetue a subtração)
J = 60.000,00 x 0,108 (efetue a multiplicação)
J = 6.480,00
Exemplo2:
Determine o juro de uma aplicação que rendeu um montante de R$ 
28.000,00 pelo período de 3 meses, a uma taxa de 2%a.m.
J = ? M = 28.000,00 i = 0,02%a.a. n = 3
 = × − + × 
11
1
J M
i n
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 21 22/2/2010 20:14:27
22 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
( )
 
= × − + ×  
128.000,00 1
(multiplique a taxa i pelo tempo n)1 0,02 3
J
( )
 
= × − +  
128.000,00 1
(some a unidade com o produto)1 0,06
J
( )
128.000,00 1
efetue a divisão1,06
J  = × −  
[ ]( )60.000,00 1 0,943 efetue a subtraçãoJ = × −
J = 60.000,00 x 0,057 (efetue a multiplicação)
J = 3.420,00
Exemplo3:
Giovana recebeu, a título de montante, a importância de R$ 47.000,00 
por uma aplicação feita há 6 anos. O que Giovana quer saber é o quanto 
ela recebeu de juros, admitido que essa aplicação foi remunerada a uma 
taxa de 4%a.a.
J = ? M = 47.000,00 i = 0,04%a.a. n = 6
 = × − + × 
11
1
J M
i n
( ) ( )
128.000,00 1
multiplique a taxa i pelo tempo n1 0,04 6
J
 
= × − + × 
( ) ( )
128.000,00 1
some a unidade com o produto1 0,24
J
 
= × − + 
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 22 22/2/2010 20:14:28
Capítulo 2: Juros Simples 23
( ) ( )
128.000,00 1
efetue a divisão1,24
J
 
= × − 
 
J = 28.000,00 x 1 – 0,806 (efetue a subtração)
J = 28.000,00 x 0,194 (efetue a multiplicação)
J = 5.432,00
exeRcícios de FixAção
1) Qual o valor dos juros produzidos por um capital de R$ 63.200,00 
aplicado por um período de 6 semestres, a uma taxa de 3%a.s.?
a – 11.230,00
b – 11.376,00
c – 11.458,00
d – 11.551,00
e – 11.589,00
2) Se um capital de R$ 23.900,00 for aplicado em uma caderneta 
de poupança pelo período de 8 anos, quanto esse capital irá render, 
a título de juros, sabendo que esse investimento foi remunerado a 
uma taxa de 5%a.a.?
a – 9.400,00
b – 9.420,00
c – 9.560,00
d – 9.670,00
e – 9.710,00
3) Apliquei meu dinheiro a uma taxa de 6% ao mês, após 60 dias, 
quero saber quanto receberei a título de juros simples, consideran-
do um capital de R$ 34.000,00.
a – 4.092,00
b – 4.091,00
c – 4.090,00
d – 4.080,00
e – 4.082,00
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24 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
4) Ana pediu R$ 12.000,00 emprestados à sua prima. Considerando 
que o período de empréstimo foi de 4 meses, quanto Ana irá pagar, 
a título de juros, sabendo que sua prima cobrou uma taxa de juros 
de 8%a.m.?
a – 3.809,00
b – 3.812,00
c – 3.821,00
d – 3.837,00
e – 3.840,00
5) Quanto devo aplicar hoje, a uma taxa de juros simples de 5%a.m., 
para obter R$4.000,00 de juros em um período de 6 meses?
a – 13.333,34
b – 13.356,23
c – 13.379,50
d – 13.401,12
e – 13.412,20
6) Qual o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 8%a.m., 
renderá R$ 20.000,00 de juros, considerando que tal capital ficou 
aplicado por 6 meses?
a – 41.666,67
b – 41.678,90
c – 41.702,80
d – 41.712,14
e – 41.723,69
7) R$ 52.000,00 é o resultado de uma aplicação feita há 10 meses. 
Determine o valor aplicado, caso a taxa de juros seja de 3%a.m.
a – 173.330,65
b – 173.331,90
c – 173.332,12
d – 173.333,34
e – 173.334,24
8) Andréa recebeu R$ 45.000,00 por uma aplicação feita há 4 meses. 
Considerando que essa aplicação foi remunerada a uma taxa de 
6%a.m, pergunta-se: quanto Andréa aplicou?
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Capítulo 2: Juros Simples 25
a – 187.000,00
b – 187.500,00
c – 188.000,00
d – 188.500,00
e – 189.000,00
9) Qual a taxa que, aplicada sobre um capital de R$ 120.000,00 por 
um período de 9 meses, renderá R$ 32.000,00 a título de juros?
a – 0,0296%a.m. ou 2,96%a.m.
b – 0,0220%a.m. ou 2,20%a.m.
c – 0,0280%a.m. ou 2,80%a.m.
d – 0,0300%a.m. ou 3,00%a.m.
e – 0,0305%a.m. ou 3,05%a.m.
10) Giovana aplicou R$ 52.000,00 em uma caderneta de poupança e 
ao final de 8 meses, Giovana recebeu R$ 21.000,00. Qual a taxa que 
remunerou esse capital?
a – 0,0478%a.m. ou 4,78%a.m.
b – 0,0498%a.m. ou 4,98%a.m.
c – 0,0504%a.m. ou 5,04%a.m.
d – 0,0550%a.m. ou 5,50%a.m.
e – 0,0565%a.m. ou 5,65%a.m.
11) Para que um capital de R$ 49.000,00 renda R$ 12.000,00 a título 
de juros, por um período de 5 meses, qual seria a taxa necessária?
a – 0,0431%a.m. ou 4,31%a.m.
b – 0,0440%a.m. ou 4,40%a.m.
c – 0,0464%a.m. ou 4,64%a.m.
d – 0,0470%a.m. ou 4,70%a.m.
e – 0,0489%a.m. ou 4,89%a.m.
12) Um empréstimo de R$ 30.000,00 é quitado por R$ 38.000,00 ao 
final de 5 meses. Calcule a taxa aplicada nessa operação.
a – 0,0542%a.m. ou 5,42%a.m.
b – 0,0533%a.m. ou 5,33%a.m.
c – 0,0580%a.m. ou 5,80%a.m.
d – 0,0592%a.m. ou 5,92%a.m.
e – 0,0598%a.m. ou 5,98%a.m.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 25 22/2/2010 20:14:28
26 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
13) Determine quantos anos serão necessários para que o capital 
de R$ 15.000,00 renda R$ 2.700,00 a título de juros, considerando 
a taxa de 8%a.a.
a – 2 anos e 2 meses
b – 2 anos e 3 meses
c – 2 anos e 4 meses
d – 2 anos e 5 meses
e – 2 anos e 6 meses
14) Neilan possui um capital de R$ 20.000,00 e se ela aplicar esse 
capital em um fundo que o remunera a uma taxa de 10%a.a, quan-
to tempo será necessário para que ela obtenha R$ 5.000,00, a título 
de juros? 
a – 2 anos e 4 meses
b – 2 anos e 5 meses
c – 2 anos e 6 meses
d – 2 anos e 7 meses
e – 2 anos e 8 meses
15) Giovana obteve R$ 35.000,00 de juros por ter aplicado um ca-
pital de R$ 80.000,00. Determine o tempo necessário para que ela 
obtenha esse rendimento, considerando a taxa de 12%a.a.
a – 3 anos e 3 meses
b – 3 anos e 4 meses
c – 3 anos e 5 meses
d – 3 anos e 6 meses
e – 3 anos e 7 meses
16) Quanto tempo será necessário para que um capital de R$ 
90.000,00 renda R$ 28.000,00, a título de juros, se esse capital for 
aplicado a uma taxa de 15%a.a.?
a – 1 ano e 8 meses
b – 1 ano e 9 meses
c – 1 ano e 10 meses
d – 1 ano e 11 meses
e – 2 anos 
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 26 22/2/2010 20:14:28
 
Capítulo 3: 
 
Desconto de Títulos
3.1 deFinição
É uma operação que se faz presente sempre que há uma antecipação de 
recursos. Essa antecipação pode vir de duas formas, são elas: 1ª – quan-
do um título (duplicata, nota promissória, letra de câmbio, cheque pré-
datado etc.), é resgatado antes do período contratado. 2ª – pela quitação 
de uma obrigação financeira antes do seu período contratual.
A operação de desconto pode ser classificada de duas formas, são elas:
Desconto Comercial
Nesta forma de desconto, a taxa SEMPRE incidirá sobre o valor futuro 
do título, o que, obviamente, resultará em um desconto maior que o pro-
duzido pelo desconto racional. Isso porque, como vimos no capítulo an-
terior, o valor futuro é composto pelo valor presente somado aos juros.
Desconto Racional
Nesta forma de desconto, a taxa incidirá sobre o valor presente ou va-
lor nominal do título, o que resultará em um desconto menor que o 
produzido pelo desconto comercial, uma vez que a base de desconto é 
menor.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 27 22/2/2010 20:14:28
28 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
Essas duas formas de desconto subdividem-se em mais duas cada uma, 
ficando assim: 
A partir de agora, iremos trabalhar cada uma dessas formas de desconto.
3.2 desconto RAcionAl siMPles
Este modelo de desconto é caracterizado pela semelhança de sua fór-
mula com a fórmula do Valor Presente – VP – no regime de capitali-
zação composta. Vejamos abaixo as fórmulas do Valor Atual – VA e 
Desconto – D:
( )
VNVA
l i n
=
+ × D = VN – VA
Onde:
VA  Valor Atual ou Atualizado
VN  Valor de um título contido em contrato
D  Valor do desconto 
i  Taxa de desconto que incide sobre o Valor Nominal
n  Período de tempo ao qual o título é antecipado
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 28 22/2/2010 20:14:29
Capítulo 3: Desconto de Títulos 29
Exemplo1:
O proprietário da empresa Delta Autopeças Ltda, foi ao Banco Beta 
com o intuito de descontar uma duplicata no valor de R$ 43.500,00, 
com vencimento para 8 meses. Determine o Valor Atual e o Desconto, 
considerando a taxa de desconto de 5%a.m.
( )
VNVA
l i n
=
+ ×
( )( )
43.500,00
multiplique a taxa i pelo tempo n1 0,05 8
VA =
+ ×
( ) ( )
43.500,00
efetue a soma1 0,40
VA =
+
( )
43.500,00
efetue a divisão1,40
VA =
VA = 31.071,42 (valor recebido pela empresa de autopeças)
D = VN – VA 
D = 43.500,00 - 31.071,42 
D = 12.428,58 (valor do desconto)
Exemplo2:
Determine o valor atual de uma nota promissória, cujo valor nominal 
é de R$ 21.000,00, com seu vencimento datado para daqui a 7 meses. 
Considere a taxa de desconto de 2%a.m.
( )
VNVA
l i n
=
+ ×
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 29 22/2/2010 20:14:29
30 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
( )( )
21.000,00
multiplique a taxa i pelo tempo n1 0,02 7
VA =
+ ×
( ) ( )
21.000,00
efetue a soma1 0,14
VA =
+
( )
21.000,00
efetue a divisão1,14
VA =
VA = 18.421,05 (valor da nota promissória após o desconto)
D = VN – VA 
D = 21.000,00 - 18.421,05 
D = 2.578,95 (valor do desconto)
Exemplo3:
Viviane procurou o Banco Esperança no intuito de antecipar o recebi-
mento de uma duplicata que tem seu vencimento agendado para daqui 
a 11 meses. Quanto Viviane irá receber, considerando que a taxa de 
desconto é de 4%a.m. e o seu valor nominal é de R$ 37.000,00?
( )
VNVA
l i n
=
+ ×
( )( )
37.000,00
multiplique a taxa i pelo tempo n1 0,04 11
VA =
+ ×
( ) ( )
37.000,00
efetue a soma1 0,44
VA =
+
( )
37.000,00
efetue a divisão1,44
VA =
VA = 25.694,44 (o valor recebido por Viviane)
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 30 22/2/2010 20:14:29
Capítulo 3: Desconto de Títulos 31
D = VN – VA 
D = 37.000,00 - 25.694,44 
D = 11.305,56 (valor do desconto)
3.3 desconto coMeRciAl siMPles
É aquele que é obtido pela multiplicação do valor nominal pela taxa 
de desconto simples e pelo período ao qual o título foi antecipado. A 
fórmula que veremos a seguir é muito semelhante àquela utilizada para 
calcular os juros no regime de capitalização simples; vejamos: 
D = VN x i x n VA = VN x (1 - i x n)
Exemplo1:
Vamos utilizar o exemplo anterior, onde a duplicata tem o vencimento 
para daqui a 11 meses, com uma taxa de desconto simples de 4%a.m. e 
valor nominal de R$ 37.000,00.
VA = VN x (1 - i x n)
VA = 37.000,00 x (1 – 0,04 x 11)(multiplique a taxa i pelo tempo n)
VA = 37.000,00 x (1 – 0,44) (efetue a subtração)
VA = 37.000,00 x 0,56 (efetue a multiplicação)
VA = 20.720,00 (valor atual da duplicata recebida por Viviane)
Exemplo2:
Neilan descontou uma duplicata no valor nominal de R$ 15.000,00, 
com vencimento para 6 meses. Calcule o valor descontado e o valor 
atual, considerando a taxa de 3%a.m.
VA = VN x (1 - i x n)
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 31 22/2/2010 20:14:29
32 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
VA = 15.000,00 x (1 – 0,03 x 6) (multiplique a taxa i pelo tempo n)
VA = 15.000,00 x (1 – 0,18) (efetue a subtração)
VA = 15.000,00 x 0,82 (efetue a multiplicação)
VA = 12.300,00 (valor atual da duplicata recebida por Viviane)
D = VN x i x n
D = 15.000,00 x 0,03 x 6 (multiplique a taxa i pelo tempo n)
D = 15.000,00 x 0,18 (efetue a multiplicação)
D = 2.700,00 (valor do desconto)
Exemplo3:
O Sr. Antonio descontou uma nota promissória com valor nominal de 
R$ 7.200,00 no Banco Delta. Essa nota promissória tinha seu venci-
mento para daqui a 8 meses. Calcule o valor recebido pelo Sr. Antonio, 
bem como o valor descontado. Considere a taxa de 2,5%a.m.
VA = VN x (1 - i x n)
VA = 7.200,00 x (1 – 0,025 x 8) (multiplique a taxa i pelo tempo n)
VA = 7.200,00 x (1 – 0,20) (efetue a subtração)
VA = 7.200,00 x 0,80 (efetue a multiplicação)
VA = 5.760,00 (valor atual da duplicata recebida pelo Sr. Antonio)
D = VN x i x n
D = 7.200,00 x 0,025 x 8 (multiplique a taxa i pelo tempo n)
D = 7.200,00 x 0,20 (efetue a multiplicação)
D =1.440,00 (valor do desconto)
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 32 22/2/2010 20:14:30
Capítulo 3: Desconto de Títulos 33
3.4 desconto RAcionAl coMPosto
A metodologia aplicada para calcular o desconto racional simples é ex-
tramente semelhante ao que estudaremos no capítulo seguinte (Juros 
Compostos), alterando, evidentemente, a nomenclatura dos itens que 
compõem a fórmula do desconto racional. Vejamos as duas fórmulas 
com a qual trabalharemos a seguir.
( )1 n
VNVA
i
=
+
( )
( )
1 1
1
n
n
i
D VN
i
 + −
= ×  
+  
Exemplo1:
Um lojista foi ao banco descontar uma nota promissária no valor nomi-
nal de R$ 32.000,00, com vencimento para 5 meses. Considerando que 
o banco trabalha com a metodologia do desconto racional composto, 
determine o valor atual e o valor descontado pelo banco, considerando 
a taxa de desconto de 3%a.m.
( )1 n
VNVA
i
=
+
( ) ( )5
32.000,00
some a unidade com a taxa i1 1,03
VA =
+
( ) ( )5
32.000,00
efetue a potenciação1,03
VA =
( )
32.000,00
utilize 9 casas decimais e efetue a divisão1,159274074
VA =
VA = 27.603,48 (valor do título recebido pelo lojista)
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 33 22/2/2010 20:14:30
34 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
( )
( )
1 1
1
n
n
i
D VN
i
 + −
= ×  
+  
( )
( )
( )
( )
5
5
efetue a soma1 0,03 1
32.000,00
efetue a soma1 0,03
D
 + −
= ×  
+  
( )
( )
( )
( )
5
5
efetue a potenciação1,03 1
32.000,00
efetue a potenciação1,03
D
 −
= ×  
  
( )efetue a subtração1,159274074 132.000,00
1,159274074
D − = ×   
( )efetue a divisão0,15927407432.000,00
1,159274074
D  = ×   
D = 32.000,00 x 0,137391137 (efetue a multiplicação)
D = 4.396,52 (valor do desconto)
Exemplo2:
Determine o valor atual e o desconto de uma duplicata, cujo valor no-
minal é de R$ 83.000,00 com vencimento agendado para daqui a 4 me-
ses. Considere a taxa de desconto estabelecida em 6%a.m.
( )1 n
VNVA
i
=
+
( ) ( )4
83.000,00
efetue a soma da unidade com a taxa i1 0,06
VA =
+
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 34 22/2/2010 20:14:30
Capítulo 3: Desconto de Títulos 35
( ) ( )4
83.000,00
efetue a potenciação1,06
VA =
( )
83.000,00
utilize 9 casas decimais e efetue a divisão1,262476960
VA =
VA = 65.743,77 (valor atual da duplicata)
( )
( )
1 1
1
n
n
i
D VN
i
 + −
= ×  
+  
( )
( )
( )
( )
4
4
efetue a soma da unidade com a taxa i1 0,06 1
83.000,00
efetue a soma da unidade com a taxa i1 0,06
D
 + −
= ×  + 
( )
( )
( )
( )
4
4
efetue a potenciação1,06 1
83.000,00
efetue a potenciação1,06
D
 −
= ×   
( )
( )
efetue a potenciação1,262476960 183.000,00
efetue a potenciação1,262476960
D − = ×  
( )efetue a divisão0,26247696083.000,00
1,262476960
D  = ×  
D = 83.000,00 x 0,207906337 (efetue a multiplicação)
D = 17.256,23
Exemplo3:
Um título cujo valor nominal é de R$ 4.200,00 foi descontado a uma 
taxa de 4%a.m. Considere que o vencimento desse título está agendado 
para daqui a 90 dias. Calcule o valor atual e o desconto desse título.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 35 22/2/2010 20:14:31
36 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
( )1 n
VNVA
i
=
+
( ) ( )3
4.200,00
efetue a soma da unidade com a taxa i1 0,04
VA =
+
( ) ( )3
4.200,00
efetue a soma da unidade com a taxa i1 0,04
VA =
+
( ) ( )3
4.200,00
efetue a potenciação1,04
VA =
( )
4.200,00
efetue a divisão1,124864000
VA =
VA = 3.733,78 (valor atual do título)
( )
( )
1 1
1
n
n
i
D VN
i
 + −
= ×  
+  
( )
( )
( )
( )
3
3
efetue a soma da unidade com a taxa i1 0,04 1
4.200,00
efetue a soma da unidade com a taxa i1,04
D
 + −
= ×  
  
( )
( )
( )
( )
3
3
efetue a potenciação1,04 1
4.200,00
efetue a potenciação1,04
D
 −
= ×  
  
( )efetue a subtração1,124864000 14.200,00
1,124864000
D − = ×   
( )efetue a divisão0,1248640004.200,00
1,124864000
D  = ×   
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 36 22/2/2010 20:14:31
Capítulo 3: Desconto de Títulos 37
D = 4.200,00 x 0,111003641 (efetue a multiplicação)
D = 466,22 (valor do desconto
3.5 desconto coMeRciAl coMPosto
O desconto comercial composto dificilmente é utilizado aqui no Brasil, 
uma vez que a base de cálculo para esse tipo de desconto é o montante 
(valor principal + juros), o que ocasiona um desconto maior do que 
aquele encontrado tendo como metodologia o desconto racional sim-
ples. Vejamos abaixo as fórmulas do valor atual e desconto.
VA = VN x (1 – i)n D = VN x [1 – (1 – i)n]
Exemplo1:
Neilan foi ao banco para descontar uma nota promissória cujo valor 
nominal é de R$ 13.000,00, com vencimento para daqui a 6 meses. 
Determine o valor atual e o desconto, considerando a taxa de desconto 
de 3,5%a.m.
VA = VN x (1 – i)n
VA = 13.000,00 x (1 – 0,035)6 (efetue a subtração)
VA = 13.000,00 x (0,965)6 (efetue a potenciação)
VA = 13.000,00 x 0,807539696 (efetue a multiplicação)
VA = 10.498,02 (valor atual da promissória)
D = VN x [1 – (1 – i)n]
D = 13.000,00 x [1 - (1 -0,035)6] (efetue a subtração no parêntese)
D = 13.000,00 x [1 - (0,965)6] (efetue a potenciação)
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 37 22/2/2010 20:14:31
38 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
D = 13.000,00 x [1 – 0,807539696] (efetue a subtração)
D = 2.501,98 (valor descontado na promissória)
Exemplo2:
Uma duplicata com valor nominal de R$ 9.000,00, com vencimento 
para daqui a 120 dias, será descontada a uma taxa de 5%a.m. Qual o 
valor atual e o desconto dessa duplicata?
VA = VN x (1 – i)n
VA = 9.000,00 x (1 - 0,05)4 (efetue a subtração)
VA = 9.000,00 x (0,95)4 (efetue a potenciação)
VA = 9.000,00 x 0,814506250 (efetue a multiplicação)
VA = 7.330,56 (valor atual da duplicata)
D = VN x [1 – (1 – i)n]
D = 9.000,00 x [1 – (1 – 0,05)4] (efetue a subtração no parêntese)
D = 9.000,00 x [1 – (0,95)4] (efetuea potenciação)
D = 9.000,00 x [1 – 0,814506250] (efetue a subtração)
D = 9.000,00 x 0,185493750 (efetue a multiplicação)
D = 1.669,44 (valor descontado na duplicata)
Exemplo3:
Determine o valor de desconto e o valor atual de uma nota promissó-
ria, cujo valor nominal é de R$ 33.000,00, a uma taxa de desconto de 
2%a.m. e com vencimento para daqui a 60 dias. 
VA = VN x (1 – i)n
VA = 33.000,00 x (1 - 0,02)2 (efetue a subtração)
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 38 22/2/2010 20:14:31
Capítulo 3: Desconto de Títulos 39
VA = 33.000,00 x (0,98)2 (efetue a potenciação)
VA = 33.000,00 x 0,960400000 (efetue a multiplicação)
VA = 31.693,20 (valor atual da duplicata)
D = VN x [1 – (1 – i)n]
D = 33.000,00 x [1 – (1 – 0,02)2] (efetue a subtração no parêntese)
D = 33.000,00 x [1 – (0,98)2] (efetue a potenciação)
D = 33.000,00 x [1 – 0,960400000] (efetue a subtração)
D = 33.000,00 x 0,039600000 (efetue a multiplicação)
D = 1.306,80 (valor descontado na duplicata)
exeRcícios de FixAção
Nesta série de exercícios, a título de comparação de resultados, serão 
fornecidas cinco questões, que você deverá resolvê-las utilizando as 
quatro modalidades de descontos. Assim, a partir dos resultados obti-
dos, será possível observar, entre outras coisas, qual modalidade possui 
o maior desconto e qual modalidade possui o menor desconto.
I) Utilizando a metodologia do desconto racional simples, calcule os 
valores atuais e os descontos das seguintes questões:
1 – Qual o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo valor 
nominal é de R$ 15.900,00, com vencimento para daqui a 9 meses, 
considerando a taxa de antecipação de 5%a.m.?
a – R$ 10.459,36 e R$ 5.440,64, respectivamente;
b – R$ 10.965,52 e R$ 4.934,48, respectivamente;
c – R$ 11.958,32 e R$ 3.941,68, respectivamente;
d – R$ 12.125,32 e R$ 3.774,68, respectivamente;
e – R$ 10.459,36 e R$ 5.440,64, respectivamente.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 39 22/2/2010 20:14:31
40 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
2 – Giovana quer descontar uma duplicata cujo valor nominal é 
de R$ 20.000,00 e seu vencimento está datado para daqui a 11 me-
ses. Calcule o valor atual e o desconto, considerando uma taxa de 
6%a.m.
a – R$ 12.328,87 e R$ 7.671,13, respectivamente;
b – R$ 12.645,20 e R$ 7.354,80, respectivamente;
c – R$ 12.580,74 e R$ 7.419,26, respectivamente;
d – R$ 12.874,32 e R$ 7.125,68, respectivamente;
e – R$ 12.048,19 e R$ 7.951,81, respectivamente.
3 – Aretusa pretende descontar uma nota promissória que tem seu 
vencimento datado para daqui a 150 dias, a uma taxa de desconto 
de 4%a.m. Calcule o valor atual e o desconto, considerando que o 
valor nominal desse título é de R$ 9.000,00.
a – R$ 7.100,00 e R$ 1.900,00, respectivamente;
b – R$ 7.400,00 e R$ 1.600,00, respectivamente;
c – R$ 7.600,00 e R$ 1.400,00, respectivamente;
d – R$ 7.500,00 e R$ 1.500,00, respectivamente;
e – R$ 7.200,00 e R$ 1.800,00, respectivamente.
4 – Determine o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo va-
lor de face é de R$ 23.500,00. Considere um período de antecipação 
de 8 meses e a uma taxa de 2%a.m.
a – R$ 20.890,25 e R$ 2.609,75, respectivamente;
b – R$ 20.740,50 e R$ 2.759,50, respectivamente;
c – R$ 20.258,62 e R$ 3.241,38, respectivamente;
d – R$ 20.145,32 e R$ 3.354,68, respectivamente;
e – R$ 20.490,20 e R$ 3.009,80, respectivamente.
5 – Supondo que uma duplicata possua um valor de face de R$ 
12.000,00 e seu vencimento agendado para daqui a 180 dias, qual 
seria o valor atual e o desconto dessa duplicata, considerando uma 
taxa de 3%a.m.?
a – R$ 10.169,49 e R$ 1.830,51, respectivamente;
b – R$ 10.256,30 e R$ 1.743,70, respectivamente;
c – R$ 10.470,21 e R$ 1.529,79, respectivamente;
d – R$ 10.585,25 e R$ 1.414,75, respectivamente;
e – R$ 10.748,35 e R$ 1.251,65, respectivamente.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 40 22/2/2010 20:14:31
Capítulo 3: Desconto de Títulos 41
II) Utilizando a metodologia do desconto comercial simples, recalcule 
os valores atuais e os descontos das questões correspondentes ao tópico 
anterior:
1 – Qual o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo valor 
nominal é de R$ 15.900,00, com vencimento para daqui a 9 meses, 
considerando a taxa de antecipação de 5%a.m.?
a – R$ 8.469,25 e R$ 7.430,75, respectivamente;
b – R$ 8.250,90 e R$ 7.649,10, respectivamente;
c – R$ 8.670,60 e R$ 7.229,40, respectivamente;
d – R$ 8.952,20 e R$ 6.947,80, respectivamente;
e – R$ 8.745,00 e R$ 7.155,00, respectivamente.
2 – Giovana quer descontar uma duplicata cujo valor nominal é 
de R$ 20.000,00 e seu vencimento está datado para daqui a 11 me-
ses. Calcule o valor atual e o desconto, considerando uma taxa de 
6%a.m.
a – R$ 13.300,00 e R$ 6.700,00, respectivamente;
b – R$ 13.200,00 e R$ 6.800,00, respectivamente;
c – R$ 13.400,00 e R$ 6.600,00, respectivamente;
d – R$ 13.500,00 e R$ 6.500,00, respectivamente;
e – R$ 13.800,00 e R$ 6.200,00, respectivamente.
3 – Aretusa pretende descontar uma nota promissória que tem seu 
vencimento datado para daqui a 150 dias, a uma taxa de desconto 
de 4%a.m. Calcule o valor atual e o desconto, considerando que o 
valor nominal desse título é de R$ 9.000,00.
a – R$ 7.100,00 e R$ 1.900,00, respectivamente;
b – R$ 7.400,00 e R$ 1.600,00, respectivamente;
c – R$ 7.600,00 e R$ 1.400,00, respectivamente;
d – R$ 7.500,00 e R$ 1.500,00, respectivamente;
e – R$ 7.200,00 e R$ 1.800,00, respectivamente.
4 – Determine o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo va-
lor de face é de R$ 23.500,00. Considere um período de antecipação 
de 8 meses e a taxa de 2%a.m.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 41 22/2/2010 20:14:31
42 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
a – R$ 19.620,00 e R$ 3.880,00, respectivamente;
b – R$ 19.950,00 e R$ 3.550,00, respectivamente;
c – R$ 19.550,00 e R$ 3.950,00, respectivamente;
d – R$ 19.740,00 e R$ 3.760,00, respectivamente;
e – R$ 19.800,00 e R$ 3.700,00, respectivamente.
5 – Supondo que uma duplicata possua um valor de face de R$ 
12.000,00 e seu vencimento agendado para daqui a 180 dias, qual 
seria o valor atual e o desconto dessa duplicata, considerando uma 
taxa de 3%a.m.?
a – R$ 9.840,00 e R$ 2.160,00, respectivamente;
b – R$ 9.990,00 e R$ 2.010,00, respectivamente;
c – R$ 9.450,00 e R$ 2.550,00, respectivamente;
d – R$ 9.680,00 e R$ 2.320,00, respectivamente;
e – R$ 9.320,00 e R$ 2.680,00, respectivamente.
III) Utilizando a metodologia do desconto racional composto, recalcule 
os valores atuais e os descontos das questões correspondentes ao tópico 
anterior:
1 – Qual o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo valor 
nominal é de R$ 15.900,00, com vencimento para daqui a 9 meses, 
considerando a taxa de antecipação de 5%a.m.?
a – R$ 10.562,23 e R$ 5.337,77, respectivamente;
b – R$ 10.249,28 e R$ 5.650,72, respectivamente;
c – R$ 10.480,10 e R$ 5.419,90, respectivamente;
d – R$ 10.741,21 e R$ 5.158,79, respectivamente;
e – R$ 10.830,70 e R$ 5.069,30, respectivamente.
2 – Giovana quer descontar uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 
20.000,00 e seu vencimento está datado para daqui a 11 meses. Cal-
cule o valor atual e o desconto, considerando uma taxa de 6%a.m.
a – R$ 10.535,75 e R$ 9.464,25, respectivamente;
b – R$ 10.214,32 e R$ 9.785,68, respectivamente;
c – R$ 10.369,78 e R$ 9.630,22, respectivamente;
d – R$ 10.680,21 e R$ 9.319,79, respectivamente;
e – R$ 10.945,20 e R$ 9.054,80, respectivamente.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 42 22/2/2010 20:14:31
Capítulo 3: Desconto de Títulos 43
3 – Aretusa pretende descontar uma nota promissória que tem seu 
vencimento datado para daqui a 150 dias, a uma taxa de desconto 
de 4%a.m. Calcule o valor atual e o desconto, considerando que o 
valor nominal desse título é de R$ 9.000,00.
a – R$ 7.950,47 e R$ 1.049,53, respectivamente;
b – R$ 7.770,54e R$ 1.229,46, respectivamente;
c – R$ 7.580,12 e R$ 1.419,88, respectivamente;
d – R$ 7.482,30 e R$ 1.517,70, respectivamente;
e – R$ 7.397,34 e R$ 1.602,66, respectivamente.
4 – Determine o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo va-
lor de face é de R$ 23.500,00. Considere um período de antecipação 
de 8 meses e a taxa de 2%a.m.
a – R$ 20.290,15 e R$ 3.209,85, respectivamente;
b – R$ 20.154,36 e R$ 3.345,64, respectivamente;
c – R$ 20.057,02 e R$ 3.442,98, respectivamente;
d – R$ 20.001,20 e R$ 3.498,80, respectivamente;
e – R$ 20.541,29 e R$ 2.958,71, respectivamente.
5 – Supondo que uma duplicata possua um valor de face de R$ 
12.000,00 e seu vencimento agendado para daqui a 180 dias, qual 
seria o valor atual e o desconto dessa duplicata, considerando uma 
taxa de 3%a.m.?
a – R$ 10.852,14 e R$ 1.147,86, respectivamente;
b – R$ 10.680,70 e R$ 1.319,30, respectivamente;
c – R$ 10.500,00 e R$ 1.500,00, respectivamente;
d – R$ 10.190,20 e R$ 1.809,80, respectivamente;
e – R$ 10.049,81 e R$ 1.950,19, respectivamente.
IV) Utilizando a metodologia do desconto comercial composto, recal-
cule os valores atuais e os descontos das questões correspondentes ao 
tópico anterior:
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44 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
1 – Qual o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo valor 
nominal é de R$ 15.900,00 com vencimento para daqui a 9 meses, 
considerando a taxa de antecipação de 5%a.m.?
a – R$ 10.910,20 e R$ 4.989,80, respectivamente;
b – R$ 10.741,00 e R$ 5.159,00, respectivamente;
c – R$ 10.540,85 e R$ 5.359,15, respectivamente;
d – R$ 10.020,97 e R$ 5.879,03, respectivamente;
e – R$ 10.380,10 e R$ 5.519,90, respectivamente.
2 – Giovana quer descontar uma duplicata cujo valor nominal é 
de R$ 20.000,00 e seu vencimento está datado para daqui a 11 me-
ses. Calcule o valor atual e o desconto, considerando uma taxa de 
6%a.m.
a – R$ 10.125,96 e R$ 9.874,04, respectivamente;
b – R$ 10.250,00 e R$ 9.750,00, respectivamente;
c – R$ 10.654,84 e R$ 9.345,16, respectivamente;
d – R$ 10.840,51 e R$ 9.159,49, respectivamente;
e – R$ 10.954,70 e R$ 9.045,30, respectivamente.
3 – Aretusa pretende descontar uma nota promissória que tem seu 
vencimento datado para daqui a 150 dias, a uma taxa de desconto 
de 4%a.m. Calcule o valor atual e o desconto, considerando que o 
valor nominal desse título é de R$ 9.000,00.
a – R$ 7.592,74 e R$ 1.407,26, respectivamente;
b – R$ 7.900,10 e R$ 1.099,90, respectivamente;
c – R$ 7.338,35 e R$ 1.661,65, respectivamente;
d – R$ 7.284,65 e R$ 1.715,35, respectivamente;
e – R$ 7.490,20 e R$ 1.509,80, respectivamente.
4 – Determine o valor atual e o desconto de uma duplicata cujo va-
lor de face é de R$ 23.500,00. Considere um período de antecipação 
de 8 meses e a taxa de 2%a.m.
a – R$ 19.840,32 e R$ 3.659,68, respectivamente;
b – R$ 19.992,93 e R$ 3.507,07, respectivamente;
c – R$ 19.762,20 e R$ 3.737,80, respectivamente;
d – R$ 19.654,10 e R$ 3.845,90, respectivamente;
e – R$ 19.500,00 e R$ 4.000,00, respectivamente.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 44 22/2/2010 20:14:32
Capítulo 3: Desconto de Títulos 45
5 – Supondo que uma duplicata possua um valor de face de R$ 
12.000,00 e seu vencimento agendado para daqui a 180 dias, qual 
seria o valor atual e o desconto dessa duplicata, considerando uma 
taxa de 3%a.m.?
a – R$ 9.570,00 e R$ 2.430,00, respectivamente;
b – R$ 9.690,74 e R$ 2.309,26, respectivamente;
c – R$ 9.780,36 e R$ 2.219,64, respectivamente;
d – R$ 9.850,20 e R$ 2.149,80, respectivamente;
e – R$ 9.995,66 e R$ 2.004,34, respectivamente.
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Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 46 22/2/2010 20:14:32
 
Capítulo 4: 
 
Juros Compostos
4.1 deFinição
Nesse modelo de capitalização, os juros produzidos no primeiro mês, 
são incorporados ao capital inicial, servindo de base de cálculo para os 
juros do período seguinte, produzindo novos juros. Esse processo se 
repete até o final do período contratual.
O regime de capitalização composta é largamente utilizado aqui no 
Brasil, porque o capital aplicado rende de forma exponencial. Porém, 
antes de comprovarmos esse crescimento exponencial, devemos estu-
dar o próximo tópico, no intuito de atender a regra nº. 2 dos juros.
4.2 tAxAs equivAlentes
O conceito de taxa equivalente no regime de capitalização composta é 
idêntico ao apresentado no regime de capitalização simples. Ou seja, 
quando duas ou mais taxas aplicadas sobre um mesmo capital, pelo 
mesmo período de tempo, produzirão o mesmo juro monetário. Entre-
tanto, sua formula de calculo é diferente. 
No regime de capitalização simples, basta dividir/multiplicar a taxa 
pelo número de período ao qual se deseja encontrar. Exemplo: 30%a.m. 
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 47 22/2/2010 20:14:32
48 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
transformado em uma taxa anual. Nesse caso, deve-se multiplicar 30 
por 12 (12 é a quantidade de meses em 1 ano), o que nos dá 360%a.a. 
Como vimos, encontrar a taxa equivalente no regime de capitalização 
simples é fácil. Agora vamos encontrar a taxa anual que equivale a 
30%a.m. E para isso, devemos utilizar a fórmula abaixo.
( )
( )
1 1 100
100
prazo em dias da taxa desejada QUERO
prazo em dias da taxa fornecida TENHOtaxaieq
 
  = + − ×     
Exemplo1:
Qual a taxa anual que corresponde a 3%a.m.?
( )
( )
1 1 100
100
prazo em dias da taxa desejada QUERO
prazo em dias da taxa fornecida TENHOtaxaieq
 
  = + − ×     
( )
360
3031 1 100
100
ieq efetue a divisão da taxa
   = + − ×    
( ) ( )
360
301 0 03 1 100ieq , efetue a divisão na potência = + − ×  
( ) ( )121 0 03 1 100ieq , efetue a adição = + − × 
( ) ( )121 03 1 100ieq , efetue a potenciação = − × 
ieq = [1,425760887 – 1] x 100 (efetue a multiplicação)
ieq = 0,425760887 x 100 (efetue a multiplicação)
ieq = 42,58%a.a.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 48 22/2/2010 20:14:32
Capítulo 4: Juros Compostos 49
Agora, vamos fazer o processo inverso, ou seja, transformar uma 
taxa anual em uma taxa mensal e para isso, utilizaremos o exemplo 
anterior.
Exemplo2:
Qual a taxa mensal que corresponde a 42,58%a.a.?
( )
( )
1 1 100
100
prazo em dias da taxa desejada QUERO
prazo em dias da taxa fornecida TENHOtaxaieq
 
  = + − ×     
( )
30
36042 581 1 100
100
,ieq efetue a divisão da taxa
   = + − ×    
( ) ( )
30
3601 0 4258 1 100ieq , efetue a divisão na potência = + − ×  
( ) ( )0 0833333331 4258 1 100 = − × 
,ieq , efetue a adição
ieg = [(1.0,4258) 0,083333333 – 1] x 100 (efetue a potenciação)
ieg = [1,030002355 – 1] x 100 (efetue a subtração)
ieq = 0,030002355 x 100 (efetue a multiplicação)
ieq = 3,00% a.a.
Aprender a calcular a taxa equivalente no regime de capitalização com-
posta é uma espécie de pré-requisito para resolver questões dos juros 
compostos. Isso porque nem sempre é possível encontrar o período e a 
taxa na mesma unidade de tempo.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 49 22/2/2010 20:14:32
50 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
4.3 cAlculAndo o MontAnte de uMA oPeRAção 
FinAnceiRA
O montante de uma operação financeira é a soma do capital inicial 
aplicado/emprestado com os juros recebidos/devidos. No regime de ca-
pitalização composta, o montante poderá ser encontrado utilizando a 
fórmula abaixo.
M = P x (1 + i)n
Onde:
M  É o montante (soma do principal com os juros)
P  É o principal, valor inicial ou valor presente
i  É a taxa de juros
n  É o período de tempo
Exemplo1:
Juliana tomou emprestado do Banco Esperança a quantia de R$ 25.000,00 
por um período de 6meses. Ao final do período, quanto Juliana irá pa-
gar ao banco, considerando a taxa de juros de 3%a.m.?
M = ? P = 25.000,00 i = 0,03%a.m. n = 6 meses
M = P x (1 + i)nM = 25.000,00 x (1 + 0,03)6 (efetue a soma) 
M = 25.000,00 x (1,03)6 (efetue a potenciação) 
M = 25.000,00 x 1,194052296 (efetue a multiplicação) 
M = 29.851,30 (valor pago por Juliana)
Neste exemplo, não houve a necessidade de calcular a taxa equivalen-
te, uma vez que a taxa e período estavam na mesma unidade de tempo 
(mês). Agora, vamos analisar o exemplo abaixo.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 50 22/2/2010 20:14:32
Capítulo 4: Juros Compostos 51
Exemplo2:
Andréa aplicou R$ 30.100,00 em uma caderneta de poupança que re-
munerava esse capital em 6%a.a. Quanto Andréa irá resgatar ao final 
de 5 meses?
Solução:
Perceba que a taxa está ao ano e o tempo está ao mês. Logo, existe 
a necessidade de colocar esses dois elementos da fórmula na mesma 
unidade de tempo. E para isso, vamos utilizar inicialmente o conceito 
de taxa equivalente. Depois, calculamos o montante dessa operação fi-
nanceira, ficando assim:
( )
( )
1 1 100
100
prazo em dias da taxa desejada QUERO
prazo em dias da taxa fornecida TENHOtaxaieq
 
  = + − ×     
( )
30
36061 1 100
100
ieq efetue a divisão da taxa
   = + − ×    
( ) ( )
30
3601 0 06 1 100ieq , efetue a divisão na potência = + − ×  
ieq = [(1 + 0,06)0,083333333 – 1] x 100 (efetue a adição)
ieq = [(1,06)0,083333333 – 1] x 100 (efetue a potenciação)
ieq = [(1,004867550 – 1] x 100 (efetue a subtração)
ieq = [1,004867550 x 100 (efetue a multiplicação)
ieq = 0,48%a.m.
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 51 22/2/2010 20:14:33
52 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
Agora que já encontramos o valor da taxa mensal que corresponde 
a 6%a.a., valor calcular o montante. E para isso, iremos utilizar a 
seguinte fórmula:
M = ? P = 30.100,00 i = 0,48%a.m. n = 5 meses
M = P x (1 + i)n 
M = 30.100,00 x (1 + 0,048)5 (efetue a soma) 
M = 30.100,00 x (1,048)5 (efetue a potenciação) 
M = 30.100,00 x 1,264172716 (efetue a multiplicação) 
M = 38.051,59 (valor resgatado por Andréa)
É importante frisar que, apesar da taxa ser de 0,48%a.m., ou seja, me-
nos de 1%a.m. ainda assim, faz-se necessário dividi-la por 100 para 
que possamos colocá-la na fórmula dos juros compostos. Ficando 
0,048%a.m.
Exemplo3:
Determine o valor do montante após 8 meses da aplicação de um capital 
de R$ 19.000,00. Considere a taxa de juros de 15%a.a.
Solução:
Perceba que este exemplo é semelhante ao anterior, onde a taxa e o perí-
odo NÃO estão na mesma unidade de tempo. Assim, devemos proceder 
da mesma forma como foi feito anteriormente. Ou seja, calcular a taxa 
equivalente, depois calcular o montante, ficando assim:
( )
( )
1 1 100
100
prazo em dias da taxa desejada QUERO
prazo em dias da taxa fornecida TENHOtaxaieq
 
  = + − ×     
Evo__Mat_Fin_Cad_00.indd 52 22/2/2010 20:14:33
Capítulo 4: Juros Compostos 53
( )
360
30151 1 100
100
ieq efetue a divisão da taxa
   = + − ×    
( ) ( )
360
301 0 15 1 100ieq , efetue a divisão na potência = + − ×  
ieq = [(1 + 0,15)0,083333333 – 1] x 100 (efetue a adição)
ieq = [(1,15)0,083333333 – 1] x 100 (efetue a potenciação)
ieq = [1,011714916 – 1] x 100 (efetue a subtração)
ieq = [0,011714916 x 100 (efetue a multiplicação)
ieq = 0,117%a.m. (essa é a taxa mensal que equivale a 15%a.a)
Agora vamos calcular o montante da aplicação financeira.
M = ? P = 19.000,00 i = 1,17%a.m. n = 8 meses
M = P x (1 + i)n 
M = 19.000,00 x (1 + 0,0117)8 (efetue a soma) 
M = 19.000,00 x (1,0117)8 (efetue a potenciação) 
M = 19.000,00 x 1,097523934 (efetue a multiplicação) 
M = 20.852,95 (valor do montante)
4.4 cAlculAndo A tAxA de juRos de uMA 
oPeRAção FinAnceiRA
Taxa de juros é a representação em percentual da remuneração paga/
recebida por empréstimo feito/obtido por outrem. Saber calcular a 
taxa de juros é de suma importância, pois podemos calcular o preço 
do capital emprestado, decidindo assim, por opções de empréstimos 
mais baratas.
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54 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
1
nMi= 1 100
P
   − ×    
Exemplo1:
Determine a taxa que é capaz de transformar um capital de R$ 
34.000,00 em um montante de R$ 52.000,00, considerando um pe-
ríodo de 6 meses.
1
nMi= 1 100
P
   − ×    
( )
1
652 000 00 1 100
34 000 00
. ,i= efetue a divisão do montante pelo capital
. ,
   − ×    
( ) ( )
1
61 529411764 1 100i= , efetue a divisão na potência − ×  
i = [(1,529411764) 0,166666666 – 1] x 100 (efetue a potenciação)
i = [1,073381413 - 1] x 100 (efetue a subtração)
i = 0,073381413 x 100 (efetue a multiplicação)
i = 7,33%a.m.
Exemplo2:
Giovana aplicou R$ 12.000,00 por um período de 8 meses. Ao final 
desse período, Giovana recebeu R$ 18.000,00. Determine a taxa que 
remunerou esse capital. 
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Capítulo 4: Juros Compostos 55
1
nMi= 1 100
P
   − ×    
( )
1
818 000 00 1 100
12 000 00
. ,i efetue a divisão do montante pelo capital
. ,
   = − ×    
( ) ( )
1
81 5 1 100i , efetuea a divisão na potência = − ×  
i = [(1,5) 0,125 – 1] x 100 (efetue a potenciação)
i = [1,051989505 – 1] x 100 (efetue a subtração)
i = 0,051989505 x 100 (efetue a multiplicação)
i = 5,19%a.m.
Exemplo3:
Um capital de R$ 4.444,00, aplicados por um período de 5 meses, ren-
de um montante de R$ 5.000,00. Determine a taxa de juros envolvida 
nessa operação financeira.
1
nMi= 1 100
P
   − ×    
( )
1
55 000 00 1 100
4 440 00
. ,i efetuea a divisão do montante pelo capital
. ,
   = − ×    
( ) ( )
1
51 125112511 1 100i , efetuea a divisão na potência = − ×  
i = [(1,125112511) 0,20 – 1] x 100 (efetue a potenciação)
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56 Evoluindo com a matEmáitca FinancEira – Rodrigo Arraes Alvarenga
i = [1,023856733 – 1] x 100 (efetue a subtração)
i = 0,023856733 x 100 (efetue a multiplicação)
i = 2,35%a.m.
4.5 cAlculAndo o PeRíodo de uMA oPeRAção 
FinAnceiRA
O período de tempo n é o período no qual um determinado capital C foi 
emprestado a outrem. E para calcularmos esse período, iremos utilizar o 
Logaritmo Neperiano - LN. Vejamos como ficam os exemplos abaixo:
Exemplo1:
Maylla aplicou R$ 100,00 em uma caderneta de poupança. Tal apli-
cação é remunerada a uma taxa de 2%a.m. Maylla quer saber quanto 
tempo seu capital deverá ficar aplicado para que se transforme em um 
montante de R$ 200,00?
Para solucionarmos essa questão, deveremos considerar LN2 = 0,6931 
e LN1,02 = 0,0198. Agora, vejamos a fórmula do cálculo.
( )
MLN
Pn
LN 1 i
  
    =
+ 
  
( )
( )
( )
200 00
100 00
1 0 02
,LN efetue a divisão do montante M pelo capital C,n
Efetue a soma da unidade com taxa iLN ,
  
    =
+ 
  
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Capítulo 4: Juros Compostos 57
( )
( ) ( )
2
1 02
LN
n Use a propriedade do Logaritmo Neperiano
LN ,
 
=  
 
0 6931
0 0198
,n
,
 =   
n = 35 meses
Exemplo2:
João aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos de 1,8%a.m. Em quanto 
tempo João terá um montante de R$ 11.543,00?
Para solucionarmos essa questão, deveremos considerar LN1,018 = 
0,00775 e LN1,154 = 0,06198. Agora, vejamos a fórmula do cálculo.
( )
MLN
Pn
LN 1 i
  
    =
+ 
  
( )
( )
( )
11 543 00
10 000 00
1 0 018