Lei de Gauss

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Lei de Gauss
Ewaldo Luiz de Mattos Mehl
Universidade Federal do Paraná
Departamento de Engenharia Elétrica
mehl@ufpr.br
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Lei de Gauss
Agenda
Revisão: Produto escalar
Quem fio Carl Friedrich Gauss?
Lei de Gauss – Analogia
Linhas de campo elétrico
Fluxo do campo elétrico
Simetria
Usando da Lei de Gauss 
Fio infinito
Chapa carregada
Esfera sólida
Placas paralelas
2
Revisão: Produto Escalar de dois vetores
Em coordenadas cartesianas:
sen
cos
3
Let's revise some basics first. Given two vectors, a and b, we can do two different forms of multiplication. The scalar, or "dot" product is the easier and the first we will meet.
The scalar product of two vectors is the related to the PROJECTION of one on to the other. You can think of this as the shadow cast by one on the other if you like.
Thus the scalar product is zero if they are perpendicular, maximum if they are parallel and in betwen otherwise.
Formally, it's given by the formulae shown in terms of angle and magnitudes, or in cartesian co-ordinates as shown here.
Revisão: Vetor x Escalar
Em coordenadas cartesianas:
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and just as a sanity-check, here's what happens when we multiply a vetor by a scalar - it simply changes length (and possibly direction)
Carl Friedrich Gauss
Braunschweig, 30 de Abril de 1777
 Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855)
Príncipe dos matemáticos
Eletricidade: Lei de Gauss
Estatística: Curva de Gauss
Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel
Astronomia: Lei de Gauss da gravitação
Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton
Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre
...
5
Lei de Gauss: Analogia
Desejamos medir a “intensidade da chuva” em um dia chuvoso
Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o número de pingos que caírem sobre uma superfície em um determinado intervalo de tempo
Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb
Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de água resultante
Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss
O método 1 é um procedimento “trabalhoso” ou “microscópico” 
O método 2 é um procedimento “mais elegante” ou “macroscópico” 
Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!
6
1C
1C
1C
 Todas estas representações estão “corretas”, pois os vetores são apenas uma forma de representação gráfica de um fenômeno físico.
 Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico.
Linhas de Campo Elétrico
8C
Quantas linhas saem da esfera?
8C Þ 8 linhas
16C Þ 16 linhas
16C
32C
32C Þ 32 linhas
Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera
Linhas de Campo Elétrico
8
Vamos fazer isso em forma gráfica em primeiro lugar. O método de Gauss é que olhamos, não no número de linhas de campo que emanam de uma carga pontual e depois somá-los (ou integrá-los), mas que efetivamente contar o número de linhas do campo deixando uma superfície fechada (na verdade, "encontramos o fluxo total elétrico" ... mais tarde). O que vamos então encontrar é que se nós escolhemos a nossa superfície fechada cuidadosamente, a matemática torna-se quase trivial. Eu sei que a perspectiva de integrais de superfície está causando um sentimento afundando-se profundamente, mas pense comigo - eles estão OK e apenas exemplos muito simples irá aparecer no seu caminho neste curso!
Vamos manter a 2D para agora e adotar um esquema de desenho em que cada Coulomb de carga é representada por (ou é visto como sendo capaz de gerar) uma linha de campo elétrico (este é 100% arbitrária!). Vamos escolher uma "superfície" circular!
Então, 8C leva a 8 linhas de campo E saíndo aravés da superfície. 16C leva a 16 linhas e 32C para 32 E-linhas ... E assim por diante.
O número de linhas de campo elétrico deixando uma superfície fechada é proporcional à carga delimitada pela superfície.
"O fluxo elétrico total deixando uma superfície fechada é proporcional à carga delimitada pela superfície", então temos realmente declarou a lei de Gauss, e, assim, a equação de Maxwell em primeiro lugar!
8C
Quantas linhas saem da superfície?
8C Þ 8 linhas
16C Þ 16 linhas
16C
32C
32C Þ 32 linhas
Linhas de Campo Elétrico
Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA
9
And the shape of the surface does not matter
8C
Linhas que saem = +
Linhas que entram = -
8C Þ 0 linhas
16C Þ 0 linhas
16C
32C
32C Þ 0 linhas
Conclusão:
Quando a carga envolvida pela superfície fechada é zero, o número efetivo de linhas de campo que cortam a superfície é zero!
Linhas de Campo Elétrico
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It does matter, however, if the surface does not enclose any charge
Superfícies gaussianas
Não!
11
Não importa a forma !
Superfícies gaussianas
Atenção!
As superfícies gaussianas são imaginárias!
Não é necessário que exista um corpo sólido com o formato da superfície!
12
Não importa a forma !
Lei de Gauss: Analogia gráfica
O número de linhas do campo elétrico que saem de uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à carga elétrica envolvida por esta superfície
S(linhas de campo E) a Carga envolvida pela superfície fechada
N Coulombs Þ aN linhas de campo elétrico
13
And, happily, all of this is true in 3D as well.
Fluxo do Campo Elétrico
 Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica utilizada.
 É melhor portanto definir uma forma mais precisa que expresse a “quantidade” de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície.
 Esta “quantidade” é chamada de Fluxo do Campo Elétrico 
 Unidade: N.m2/C
1C
1C
1C
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Here is the same thing in simple maths – the dot product automatically take account of the “foreshortening” effect that makes the same area, in the same flux of rain, get either wetter or not, depending upon it’s angle to the flux.
Lei de Gauss e 
Fluxo do Campo Elétrico ()
(Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida)
 proporcional a qenvolvida
			
o= 8,85 x 10-12 C/N.m2
Constante de permissividade do vácuo
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So - biting the bullet, here is Gauss properly. D is just E multiplied by the dielectric constant ε, which is ε0 = 8.85 x 10-12 for a vacuum and more for materials with some dielectric properties. The “charge enclosed” now becomes a volume integral of charge/volume in a closed surface and the “number of E-field lines” becomes the integral of E (actually D) over the same closed surface. What’s the dot product, D.E, all about, though?
Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é:
maior.
o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
+q
Superfície Gaussiana #1
Superfície Gaussiana #2
maior.
o mesmo.
C. menor, mas não zero.
D. zero.
E. Não se tem informações suficientes para responder.
+q
Superfície Gaussiana #1
Superfície Gaussiana #2
Questão no 1
Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico.
Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é:
Revisão: Integral de Área
Esta área ficará mais molhada!
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dA
dA
Chuva
Chuva
Esta área ficará mais molhada!
Integral de Área
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Flux density D and field E have a direction - and here's why.
Look at the water-flux example once more. The same rainfall has dramatically different effects depending upon its direction. Look at the rectangular “umbrellas”. So - the direction, or orientation, is at least as important as the area. A huge umbrella held at 90° to the rainfall
won't keep you very dry.
Mathematically, this means that when we talk about an element of area (perversely, usually called ds ... "s" standing for “surface”) we actually have to make it a vector and give it direction - chosen to be PERPENDICULAR to the surface. With this convention, we call is ds. Get used to this - we will see it again.
dA
dA
Chuva
Chuva
Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de chuva que “molha” cada área retangular depende do ângulo entre a área e a direção de caída da chuva!
Integral de Área
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And here they are in close-up.
dA
dA
Chuva [C]
Chuva [C]
Casos extremos
 Vetores C e dA em 180°: máximo “molhamento”
 Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície
Integral de Área
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Fluxo de chuva 
através de uma área dA
Fluxochuva = CdA (produto escalar de dois vetores)
|C|´|dA|´cos(q)
C.dA cos(q)
Fluxochuva = 0 para q=90° cos(q) = 0
Fluxochuva = -C.dA para q=180°  cos(q) = -1
Generalizando:
Fluxochuva = C.dA cos(q)
Para -1 < cos(q) < +1
dA
C

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Here is the same thing in simple maths – the dot product automatically take account of the “foreshortening” effect that makes the same area, in the same flux of rain, get either wetter or not, depending upon it’s angle to the flux.
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral
O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do produto do campo elétrico pela área, considerando-os como vetores:
 Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores:
 Caso 1: Os vetores E e A são paralelos
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Here is the same thing in simple maths – the dot product automatically take account of the “foreshortening” effect that makes the same area, in the same flux of rain, get either wetter or not, depending upon it’s angle to the flux.
Superfície
Gaussiana
1. Dividir a superfície em pequenos “elementos” de área A
2. Para cada elemento de área A calcular o termo:
3. Somar todos os termos calculados anteriormente:
4. Tomar o limite quando cada elemento de área é infinitesimal:
5. A somatória dos elementos infinitesimais torna-se então a integral, que é o fluxo:
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral
Questão no 2
Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura.
Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero?
Superfície Gaussiana A
Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
Questão no 2
Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura.
Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero?
Superfície Gaussiana A
Superfície Gaussiana B
C. Superfície Gaussiana C
D. Superfície Gaussiana D
E. Ambas as superfícies C e D
F. Ambas as superfícies A e B
A superfície gaussiana deve ser decomposta por um conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor perpendicular ao elemento de área.
Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de área sempre aponta “para fora” da superfície gaussiana.
O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do produto escalar em cada elemento de área:
EdA = E.dA cos(q)
O ‘truque’ é escolher uma 
superfície gaussiana 
conveniente, de modo que 
a integral de área ( ) 
possa ser facilmente calculada.
dA
Superfície
Gaussiana
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral: anote!
27
Self-explanatory …
Fluxo do Campo Elétrico ()
na forma integral: anote!
A escolha da superfície gaussiana geralmente é o maior problema para se aplicar a Lei de Gauss!
O procedimento é buscar a SIMETRIA
28
Self-explanatory …
Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se um observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação.
Atenção: Simetria é uma noção intuitiva!
Esfera sem
defeitos
superficiais
Eixo de
Rotação
Observador
Simetria
rotacional
Esfera sem
defeitos
superficiais
Eixo de
Rotação
Observador
Simetria
rotacional
Cilindro
sem defeitos
superficiais
Observador
Tapete mágico
Simetria de Translação
Plano infinito
e sem defeitos
Linear
Superficial
Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Volumétrica
ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR
Linear
Superficial
Simbologia para cargas uniformemente distribuídas
Volumétrica
FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER
Forma integral:
Superfície gaussiana:
Identificar a região na qual deseja-se calcular o campo elétrico.
Escolher uma superfície gaussiana conveniente: Observe a simetria!
Calcular a carga interna à superfície gaussiana qin
Aplicar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico:
Roteiro
Lei de Gauss
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Usando a Lei de Gauss 
Fio infinito
Chapa carregada
Dentro de um condutor
Placas paralelas
35
Usando a Lei de Gauss:
Deduzir uma expressão que permita calcular o Campo Elétrico produzido por um fio longo carregado com com carga uniforme l [C/m]
rl C/m
L
Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro:
dA
dA
E
dA
E
r
36
 
 
Nas “tampas” do cilindro os
vetores E e dA são perpendiculares
Então:
Não existe fluxo do campo elétrico através das “tampas” do cilindro!
dA
E
r
Cálculo do Fluxo: 
37
rl C/m
L
dA
dA
E
E & dA são paralelos
EdA = |E|´|dA| = E.dA
Cálculo do Fluxo: 
38
rl C/m
L
E
A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície
Cálculo do Fluxo: 
39
 
E = constante
 
 A integral de todos os dA 
é a superfície lateral do cilindro: 
 
Então:
rl C/m
r
L
 2pr
Cálculo do Fluxo: 
L
 2pr
40
A Lei de Gauss também pode ser escrita como:
A carga dentro da superfície gaussiana é:
Então:
Cálculo do Campo Elétrico: 
rl C/m
r
L
 2pr
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Discussão do resultado obtido
|E| é proporcional a 1/r
A medida que nos afastamos do fio carregado o campo elétrico fica mais fraco.
Intuitivamente correto!
O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado
Intuitivamente correto!
A intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no fio (rl)
Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais intenso
Intuitivamente correto!
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