Regiane Galdino dos Santos_Aplicações_derivadas - EGP2A

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FACULDADE OPET 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regiane Galdino dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO II 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba 
 2015 
 
 
 
 
Regiane Galdino dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO II 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de resolução de exercícios de aplicações 
de derivadas apresentado ao curso de Engenharia 
de Produção como requisito parcial para obtenção 
de nota para a disciplina de Cálculo 2 da Faculdade 
Opet – Campus Avenida Iguaçu. 
 
Professor (a) Orientador (a): Douglas Rodrigues. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba 
2015 
 
 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 4 
Exercício 01: ....................................................................................................... 5 
Exercício 02 ........................................................................................................ 6 
Exercício 03 ........................................................................................................ 7 
Exercício 04: ....................................................................................................... 8 
Exercício 05: ..................................................................................................... 10 
REFERENCIAS ................................................................................................ 11 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
INTRODUÇÃO 
O trabalho aqui apresentado contém a resolução de cinco exercícios 
contendo aplicações de derivadas, matéria ministrada pelo professor Douglas 
Rodrigues no decorrer no segundo semestre do curso de Engenharia de Produção. 
A seguir com o intuito de esclarecer e entender melhor as aplicações de 
derivadas utilizadas no dia a dia, principalmente para calcular áreas, volumes e no 
âmbito do setor da contabilidade facilitando o cálculo de custos, lucros e receitas. 
 
5 
 
Exercício 01: 
O gerente de exportação recebeu da filial russa dois modelos matemáticos: 
���� = −���	 + ��−	�� + � + ��	�	���� = �� + �� + ��� + ��	 
O gerente perguntou ao eng. de Produção, qual o valor do Lucro Marginal, quando 
teremos q (seu número de chamada) peças? 
�������	���	���������������� =	������������������′ −	��!�������������′ 
Obs.: O custo é em U$$, arredondar para duas casas decimais. ���"���#�� = $$$	&'. �)*, �& 
, = - − . 
, = �� + �� + ��� + ��	 −−��
�	 + ��−	�� + � 	 /,/� = ��	 − ��� − ��	 −	 	�� − /0/� 
 
/0/� = −��
�	 + ��−	�� + � + � 
 
/0/� = 1. 2
3 + 13. 24² 
 
/0/� =
�	�� + ��. 6−�		. �	� + �7 . 6−���	 + ��7 . �−*���−	�� + ��² + �� 
 
 
 
6 
 
,89:;<=9> = /?/@ − /0/� 
,8	��� = ��	 − ��� − ��	 −	 	�� −	
�	�� + ��. 6−�		. ���	 + �7 . 6−���	 + ��7 . �−*���−	�� + ��² 
,8	��*� = �. �*	 − ��*² − ��*	 −	 	�*�
−	�	. �*� + ��. 6−�		. √�*�	 + �7 . B−√�*�	 + �. �*C. �−*. �*��−	. �*� + ��² 
 
,8	��*� = &'. 	'� − �*&* − ��&�&* −	 	��*)&*
−	��'		�. 6−�		. √�*�	 + �7 . B−√*&*	 + �. �*C. �−��*��−	. �. �* + ��² 
 
,8	��*� = &'. 	'� − �*&* − ��&�&* −	 	��*)&*
−	��'		�. 6−�		. ��'7 . �−D, && + ���. �−��*��−	. �. �* + ��² 
,8	��*� = &'. 	'� − �*&* − ��&�&* −	 	��*)&* −	��'		�. �−��&�. ��	, �	�. �−��*��−	. �. �* + ��² 
 
,8	��*� = &'. 	'� − �*&* − ��&�&* −	 	��*)&* −	�. '�'. '&&. 	�&, �D�'D. �&�. *�*. D'� 
 ,8	��*� = &'. 	'� − ', ''�� − �, �	& − 	*, �* − 	', '�D 
 ,8	��*� = &'. �)*, �& 
 
 
Exercício 02 
 
Houve uma expansão em uma granja assim teve de aumentar a construção do 
aviário. Só que o encarregado da produção cometeu um erro, não encomendando 
alambrado suficiente para este novo projeto. Assim o engenheiro de produção teve 
de refazer os cálculos. Os dados fornecidos estão no esboço abaixo, sendo que seu 
perímetro é de 2400 metros. Quais são suas dimensões para que tenhamos área 
máxima? Obs. (N seu número de chamada). 
Área Máxima = 23,07 m² 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 = E	. F	 ∴ 9 = �*	. F 
H = �.E	. @	 ∴ H = ��@ 
I = �.E. @ + �.E. @ + E. F + E. F 
I = �.E. @ + �.E. F 
I = �. ��. @ + �. �*. F 
I = �'�. @ + ��. F 
��'' = �'�. @ + ��F 
 
? = 9. H	 ∴ ? = �*. F. ��@ 
? = �*. @. ��'' − �*. �'�. @² 
? = *��''@ − �&'�F² 
 
/?/@ = *��'' − �. �&'�@ = ' 
 
@3 =	 *��''�. �&'� ≅ ��, ��8 
 
 ��'' = �'�. @ + ��F 
��F = ��'' − �'�@ 
��F = ��'' − �'�. ��, �� 
��F = ��'' − ��'', �* 
��F = �. ��), D� 
F = �. ��), D��� F = �	, '&	8 
 
Exercício 03 
O engenheiro responsável Douglas necessita projetar um tanque (com tampa) de 
forma de um paralelepípedo (conforme figura abaixo), com um revestimento interno 
de uma cerâmica importada. Calcule as dimensões que permitem a máxima 
economia de material para produzir o reservatório de volume de 10.N m3. Assim ele 
determinou ao seu estagiário (2º período de eng. de produção) para esta tarefa. 
Obs. (N seu número de chamada). 
 
 
k = 9,19 m 
L = 3,07 m 
 
 
 
 
 
N.x 
2Ny 
N.x 
2Ny 
3L 
L 
K 
8 
 
2 = �'.E = �*'	8³ 
 
?LML9> = N> + 	>� + 	>N + 	>N + 	>� + N> ?LML9> = �N> + *>� + *>N 2 = 	>. >	. N	 
�*' = 	>�. N 
N =	�*'	>² 
 
?LML9> = �N> + *>� + *>N 
?LML9> = �.		 �*'	>² 	 . > + *>� + *	. �*'	>² 	 . > 
 
?LML9> =	��'	> 	+ *>� + ��'	> 	 
 
?LML9> = 	*>� + �'�'	> 
 
?LML9> = 	*>� + �'�'	> 
 
?′LML9> = 	��> −	�'�'	>� = '	
 
?′LML9> = 	��> = 	�'�'	>� 
 
,	 =	 �'�'		.		�� = 	 O�'�'	. �� =	 		, '&	8 
N =	 �*'		.		�	, '&�² = ), �)	8	 
 
 
 
Exercício 04: 
 
O engenheiro responsável pela implantação de uma nova linha de produção de 
alimentos se deparou com um problema. Esta linha apresenta um resfriador de aço 
Inox (com a tampa) com um formato quadrangular que de armazenar 64 000 litros 
de um produto altamente corrosivo. Determine: 
I). As dimensões (em metros) deste resfriador para que seja mínimo o consumo de 
material utilizado no seu revestimento interno. Ver desenho (fora de dimensão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
a 
b a = 4 m 
b = 4 m 
 
9 
 
2 = *�''	> 
9�. H = *� 
�8	 = �'''>2 = *�'''> ∶ 2 = 	*�	8³ ?LML9> = �. 9. H + �. 9� + �. 9. H ?LML9> = �. 9� + �. 9. H 
H = 	*�9� 
?LML9> = �. 9� + �. 9. *�9² 
?LML9> = �. 9� +	�*�9 
/?/9 = �9 −	��*9� = ' 
 
�9 = 	��*	9� 
 
9	 =	��*� 9 = �	8 
 
H =	*��* = � 
 
 
II) Seu custo 
Matéria-prima 
O contrato com o fornecedor da matéria-prima exige Chapa Aço Inox 430 Alto Brilho 
2000x1250 mm, na Esp. de 0,95mm, cujo valor de mercado é R$325,00 (por chapa). 
Solda 
��!��QM>/9 = ��'%	#�	S�����	�. �$D�', '' 
Obs.: Volume (m3) é o espaço ocupado por um corpo, já a capacidade (litros) é o 
que vai dentro deste volume. Lembrar: 1 m3 = 1 000 litros. Obs.: Você sabia que os 
utensílios em aço inoxidável evitam qualquer tipo de contaminações dos alimentos e 
da água. Além de tudo, mantém o frescor dos artigos manuseados. 
Custo em R$ 20.835,00 
 ?LML9> = �. 9. H + �. 9� + �. 9. H ?LML9> = �. 9� + �. 9. H ?LML9> = �. �� + �. �. � ?LML9> = 	� + 	*� ?LML9> = )*	8² ?LML9>	0T9U9	>9LV:9> = �	8	. �, ��	8 
?LML9>	0T9U9	>9LV:9> = �, �	8³ 
E0T9U9W	 = )*�, � = 	D, � .M=W</V:9: = 39 
.1WLM0T9U9 = 	)	. 	�� .1WLM0T9U9 = -$	��.*&�, '' 
 
.1WLMWM>/9 = ��'	. )*	. D�' 
 .1WLMWM>/9 = -$	D. �*', '' 
 
 
 .1WLMLML9> = -$	��.*&�, ''+ -$	D. �*','' 
 .1WLMLML9> = -$	�'.D	�, '' 
10 
 
Exercício 05: 
 
Em uma indústria metalúrgica o preço de vendade um produto é dado com as 
seguintes informações: 
Preço: um valor de R$-0,001 por quantidade vendida mais R$10,00 fixos. 
Custo: Um valor de R$2,00 por quantidade vendida mais R$12000,00 fixos. 
Qual o Lucro marginal com os seguintes níveis de produção: 
L (2000 + N) = R$ 3948 
L (3000 + N) = R$ 1948 
 
A Renda é o Preço vezes a quantidade (x). 
Z[\ç^ = �10 − 0,001a� 
bcde^ = �12000 + 2a� 
g\h\iej = �Z. k� 
g\h\iej = �10. 10lm. k�. k 
b3�k� = 2 
g = 10k − 0,002. k 
Derivar: 
n3 = g3 − b′ 
n3 = 10. 0,002. k − 2 
n3 = 8 − 	0,002. k 
 
n3�26� = 8 − 	0,002. �2000 + 26� 
n3�26� = 3.948 
 
n3�26� = 8 − 	0,002. �3000 + 26� 
n3�26� = 1.948 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERENCIAS 
 
Material contendo questões para resolução encaminhado via e-mail disponibilizado 
pelo professor Douglas Rodrigues.