Estatística

Prévia do material em texto

, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Visão Conceitual Básica: População, Universo, Amostragem, 
Amostra, Senso, Experimento Aleatório, Método Estatístico. 
 
Objetivo da Estatística: Coletar, organizar, processar, apresentar e analisar 
informações. 
 
• 28, 27, 23, 28, 21, 26, 28, 20, 29, 30 – Informação desorganizada 
• 20, 21, 23, 26, 27, 28, 28, 28, 29, 30 – Informação organizada 
• Informação apresentada por meio de um gráfico: 
 
 
 
• Estatística pode ser dividida em: 
 
1. Descritiva – coleta, organiza e apresenta dados; 
2. Probabilística – explica resultados ao acaso; 
3. Inferencial – analisa e interpreta os dados disponíveis. 
 
População ou universo: conjunto que contém todos os elementos que possuem uma 
ou mais característica em comum. Podemos dizer que população e universo são 
sinônimos. 
1 1 1 1 1
3
1 1
20 21 23 26 27 28 29 30
 
 
Por exemplo, número de funcionários de uma empresa e habitantes do estado de 
Minas Gerais. 
A população pode ser dividida em: 
 
A) Finita: número limitado ou pequeno de observações 
B) Infinita: apresenta número muito grande ou ilimitado de observações 
 
Amostragem: é um processo que determina a seleção dos elementos a serem 
escolhidos para investigação, ou seja, qual a técnica utilizada para escolher uma 
amostra representativa da população. 
A amostragem pode ser dividida em: 
A) Aleatória Simples: elementos retirados ao acaso: qualquer cidadão da cidade de Belo 
Horizonte. 
B) Aleatória estratificada: podemos separar a população em estratos (subgrupos) e 
fazer o sorteio: alunos separados por sexo. 
 
Amostra: é um subconjunto extraído da população para análise e deve ser 
representativo daquele grupo. 
 
 
 
Censo: é um estudo dos dados relativos a TODOS os elementos de uma população. 
 
 
Amostra
• Parte dos 
elementos
Censo
• Todos os 
elementos
População ou Universo 
Amostra 
 
 
Experimento Aleatório: O experimento aleatório é o experimento repetido em iguais 
condições e que pode fornecer resultados diferentes. 
 
Método estatístico: O método estatístico é utilizado para investigação de um 
fenômeno. Por meio do registro de todas as variações das causas possíveis, procura 
determinar a influência que cada fator tem no resultado final. 
Para realizar essa pesquisa estatística, as seguintes etapas são seguidas: 
1) Planejamento – Nasce com o objetivo da pesquisa 
2) Execução – Coleta de dados; pesquisa propriamente dita 
3) Avaliação – Condensação, apuração, cálculos e eliminação dos erros 
4) Apresentação – Gráficos, tabelas, relatórios, diagramas. 
 
Variáveis Quantitativas e Qualitativas 
 
Variáveis: dados ou informações coletadas. As variáveis são divididas em dois tipos: 
 
 
 
• Variável Quantitativa – obtidas a partir de medição, cálculos ou contagem. 
• Variável Qualitativa – resultado é uma propriedade, atributo ou qualidade. 
 
Além disso, ocorre outra divisão entre as variáveis. Veja o esquema abaixo: 
 
Variáveis
Quantitativas Qualitativas
 
 
• Variável quantitativa discreta: ocorre quando trabalhamos com número inteiros (não 
apresenta parte decimal) ou pontos isolados. Por exemplo, número de filhos e 
número de acidentes em uma rodovia. 
• Variável quantitativa contínua: a variável pode assumir qualquer valor. Por exemplo, 
altura e peso, consumo de energia elétrica. 
• Variável qualitativa nominal: não admite ordenação. Por exemplo, sexo, estado civil ou 
religião. 
• Variável qualitativa ordinal: permite a ordenação ou sequência. Por exemplo, nível de 
instrução ou classe social. 
 
 
Exercícios 
 
1) O gerente de uma empresa, com um total de 150 funcionários, realizou um 
experimento com o objetivo de verificar o consumo de água dos funcionários durante 
o turno de trabalho. Foram selecionados, aleatoriamente, 50 funcionários e 
mensurada a quantidade de litros de água consumida por cada um, no período de 30 
dias. Sabe-se, também, que cada funcionário teve a mesma probabilidade de ser 
incluído na seleção. Com base nestas informações, relacione a segunda coluna de 
acordo com a primeira: 
 
(1) Quantidade total de funcionários da empresa; ( ) Variável contínua. 
(2) Consumo de litros de água por funcionário; ( ) Amostra. 
(3) 50 funcionários selecionados aleatoriamente; ( ) Amostragem aleatória simples. 
(4) Técnica utilizada para seleção da amostra; ( ) População. 
Variável
Quantitativa
Discreta
Contínua
Qualitativa
Nominal
Ordinal
 
Marque a alternativa que contém a sequência CORRETA de respostas, na ordem de 
cima para baixo: 
A. ( ) 4, 2, 3, 1. 
B. ( ) 2, 1, 4, 3. 
C. ( ) 3, 2, 1, 4. 
D. ( ) 2, 3, 4, 1. 
 
2) Suponha que o gráfico abaixo represente o número de armas apreendidas em 
determinada localidade por mês. É correto afirmar que número total de armas 
apreendidas no período julho a dezembro é: 
 
 
 
A. ( ) Variável quantitativa contínua 
B. ( ) Variável quantitativa discreta 
C. ( ) Variável qualitativa ordinal 
D. ( ) Variável qualitativa nominal 
3) O comandante do 350° BPM, com o propósito de estimar a religião (católico, 
budista, protestante) dos policiais, entregou a um analista um cadastro com os nomes 
de todos os policiais do batalhão para que esse profissional realizasse entrevistas com 
todos os policiais. A partir dessa situação hipotética, marque a alternativa CORRETA: 
 
80
60
80
40
60
40
0
20
40
60
80
100
Frequência do nº de armas
Jul Ago Set Out Nov Dez
 
a) a variável religião é qualitativa ordinal 
b) se o examinador realizar a pesquisa com todos os policiais, será realizado um censo 
c) para ser considerado um censo, a pesquisa precisa de pelo menos metade dos 
policiais 
d) A amostra será maior que a população 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) D 
2) B 
3) B 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Tendência Central: Média, Mediana, Moda. 
 
Medidas de tendência central: buscam descrever, resumidamente, as distribuições de 
frequência. Ou seja, caracterizam o comportamento dos elementos de uma série de 
dados. 
As medidas de tendência central são as seguintes: 
 
• Média 
• Moda 
• Mediana 
 
Média aritmética: Divisão entre a soma de todos os elementos pelo número de 
elementos. 
 
�̅� =
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
 
 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
𝑛 = 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
 
Exemplo: Considere o seguinte grupo: X: {2, 5, 12, 11, 2, 3} 
Soma de todos os elementos = ∑ x6 = 2 + 5+ 12 + 11 + 2 + 3 = 35 
Número de elementos = 6 
�̅� =
35
6
= 5,83 
 
• Propriedades da média aritmética 
 
1. Somando ou subtraindo uma constante a cada elemento do conjunto, a 
média aritmética fica adicionada ou subtraída dessa constante. 
Somando-se a constante 3 → X: {2+3, 5+3, 12+3, 11+3, 2+3, 3+3} 
Soma de todos os elementos = 53 
Número de elementos = 6 
 
�̅� =
53
6
= 8,33 
 
2. Multiplicando ou dividindo por uma constante cada elemento do conjunto, a 
média aritmética fica multiplicada ou dividida por essa constante. 
Multiplicando pela constante 2 – X: {2x2, 5x2, 12x2, 11x2, 2x2, 3x2} 
Soma de todos os elementos = 70 
Número de elementos = 6 
�̅� =
70
6
= 11,67 
 
Moda: observação mais frequente, ou seja, aparece o maior número de vezes. 
 
Exemplo: X: {1, 8, 8, 15, 17, 20, 20, 26, 26, 26, 27} 
O elemento 27 aparece três vezes e é o mais frequente do conjunto. 
 
Mediana: valor que ocupa a posição central do conjunto, quando ordenadas em 
ordem crescente, ou seja, divide o conjunto em duas faixas. 
 
Exemplo: X = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6} → 19 elementos 
O número destacado ocupa a posição central do meu conjunto. 
Como encontrar a posição central do conjunto e determinar a mediana? 
•Quando o número de elementos foi ímpar: a mediana será o valor que ocupa 
a posição central. 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 
𝑛 + 1
2
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
 
Tomando como base o exemplo anterior, temos que a posição central é calculada da 
seguinte maneira: 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 = 
19 + 1
2
= 10 
 
Ou seja, a minha mediana é o valor “3” e ocupa a posição “10”. 
 
 
• Quando o número de elementos for par: a mediana será a média aritmética 
dos dois valores centrais. 
 
Exemplo: X = {1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6} → 20 elementos 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 1 = 
𝑛
2
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 2 = 
𝑛
2
+ 1, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 
 
Tomando como base o conjunto com 20 elementos, temos que: 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 1 = 
20
2
= 10 
 
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 2 = 
20
2
+ 1 = 10 + 1 = 11 
 
Porém, ainda não encontramos a mediana, apenas as posições. 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 
3 + 4
2
= 3,5 
 
Ou seja, a mediana desse conjunto é “3,5” e as posições centrais são “10” e “11”. 
 
Média ponderada: é a média de um conjunto de dados que possuem pesos variados. 
É definida por uma divisão. O numerador é a soma de cada valor multiplicado pelo 
seu peso e o divisor é a soma de todos os pesos. 
 
𝑀𝑃
̅̅ ̅̅ =
𝑋1𝑃1 + 𝑋2𝑃2 + ⋯ + 𝑋𝑁𝑃𝑁
𝑃1 + 𝑃2 + ⋯ + 𝑃𝑁
 
 
Sendo que x representa os valores e p representa os pesos. 
 
Exercícios: 
 
 
1) Em um concurso para Soldados da PMMG, os alunos fizeram provas de 
matemática, português, geografia e história. Os respectivos pesos das disciplinas 
eram: 10, 10, 08 e 08. Considerando que no concurso cada disciplina tinha 10 
questões e um aluno obteve o seguinte número de acertos: 09 em matemática; 05 em 
português; 10 em geografia e 08 em história. Marque a alternativa CORRETA que 
apresenta a nota do aluno: 
A. ( ) 7,55 
B. ( ) 7,44 
C. ( ) 7,72 
D. ( ) 7,89 
 
2) Considere a seguinte tabela relacionada ao número de viagens realizadas por um 
grupo de pessoas durante o ano. Determine a média, moda e mediana 
 
Número de viagens 
no ano (𝒙𝒊) 
Número de pessoas 
(𝒇𝒊) 
0 5 
1 7 
2 5 
3 3 
4 2 
5 1 
 
A) ( ) 1,70; 1; 1 
B) ( ) 1,70; 7; 1,5 
C) ( ) 1,5; 3; 1 
D) ( ) 1,7; 3; 1,5 
 
3) Considere o conjunto abaixo e calcule a média, moda e mediana. 
 
X = {10, 12, 22, 22, 24, 25, 31, 47, 58, 59} 
 
A) ( ) 22; 2; 24 
 
B) ( ) 23,5; 22; 24,5 
C) ( ) 31; 22; 24,5 
D) ( ) 31; 22; 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) D 
2) A 
3) C 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Dispersão: Amplitude, Variância, Desvio Padrão. 
 
Amplitude: é a diferença entre os valores extremos de um conjunto. Portanto, é a 
diferença entre o maior e o menor elemento do conjunto. 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑥𝑚𝑖𝑛í𝑚𝑜 
𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝑥𝑚𝑖𝑛í𝑚𝑜 = 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
Suponha o conjunto X: {24, 27, 35, 39, 40, 58, 61, 74}. 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑥𝑚𝑖𝑛í𝑚𝑜 = 74 − 24 = 50 
 
Os valores que se encontram entre os extremos foram desconsiderados. 
 
Amplitude para dados agrupados sem intervalos de classe: a fórmula é idêntica 
Exemplo: 
 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 
10 3 
15 4 
20 5 
25 2 
 
Temos que os seguintes valores como máximo e mínimo, respectivamente: 10 e 25. 
Portanto, a amplitude é de 15 (A = 25 – 10 = 15). 
 
Amplitude para dados agrupados em classes: neste caso, existem duas formas de 
encontrar a amplitude. Considere a seguinte tabela: 
 
Classes 𝑷𝑴𝒊 𝒇𝒊 
1 |---- 9 5 4 
9 |---- 19 14 7 
19 |---- 29 24 3 
29 |---- 39 34 8 
 
 
1) Diferença entre o ponto médio da última classe (𝑃𝑀Ú𝑙𝑡) e o ponto médio da primeira 
classe (𝑃𝑀𝑃𝑟𝑖). 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝑃𝑀Ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 − 𝑃𝑀𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 = 34 − 5 = 29 
 
2) Diferença entre o limite superior da última classe (𝐿𝑆𝑢𝑝) e o limite inferior da primeira 
classe (𝐿𝐼𝑛𝑓). 
 
𝐴 = 𝐿𝑆𝑢𝑝 − 𝐿𝐼𝑛𝑓 = 39 − 1 = 38 
 
Variância: avaliar quanto os dados estão dispersos em relação à média aritmética. Ou 
seja, quanto maior a variância, maior a dispersão dos dados. 
Além disso, é uma medida de dispersão mais estável que a amplitude porque 
considera todos os elementos do conjunto. 
Para calcular a variância, devemos levar em consideração se estamos tratando de 
uma população ou de uma amostra. 
• Cálculo da variância populacional – simbolizada pela letra 𝜎, utiliza todos os 
elementos da população. 
 
𝜎2 =
∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
∑ = 𝑆𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑛
𝑖=1 – Representação matemática para soma 
𝑥𝑖 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
𝜇 = 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
n = Número de dados da população 
 
• Cálculo da variância amostral – simbolizada pela letra 𝑠, utiliza uma amostra 
da população. 
 
𝑠2 =
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
 
 
𝑠2 = 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
 
∑ = 𝑆𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠𝑛
𝑖=1 – Representação matemática para soma 
𝑥𝑖 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
�̅� = 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
n = Número de dados da amostra 
 
Passo a passo: 
1°) Calcular a média 
2°) Subtrair cada valor da média 
3°) Elevar cada valor ao quadrado 
4°) Somar todos os valores encontrados 
5°) Dividir a soma por n (variância populacional) ou n-1 (variância amostral) 
 
Desvio Padrão: definido como sendo a raiz quadrada da variância. Para calcular o 
desvio-padrão populacional, temos que: 
 
𝜎 = √
∑ (𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛
𝑖=1
𝑛
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 − 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
E, para desvio-padrão amostral: 
 
𝑠 = √
∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 − 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
𝑠 = √𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Considere o seguinte conjunto X: {5, 10, 15, 20, 25} e calcule a variância 
populacional e amostral: 
 
 
1°) Calcular a média 
 
�̅� =
5 + 10 + 15 + 20 + 25
5
= 15 
 
2°) Subtrair cada valor da média 
 
𝑥1 − �̅� = 5 − 15 = −10 
𝑥2 − �̅� = 10 − 15 = −5 
𝑥3 − �̅� = 15 − 15 = 0 
𝑥4 − �̅� = 20 − 15 = 5 
𝑥5 − �̅� = 25 − 15 = 10 
 
3°) Elevar cada valor ao quadrado 
 
1→ (−10)2 = 100 
2→ (−5)2 = 25 
3→ (0)2 = 0 
4→ (5)2 = 25 
5→ (10)2 = 100 
 
4°) Somar todos os valores encontrados 
 
∑ = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
𝑛
𝑖=1
 
 
5°) Dividir a soma por n (variância populacional) ou n-1 (variância amostral) 
 
𝜎2 =
250
5
= 50 → 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
 
𝑠2 =
250
5 − 1
= 62,50 → 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
 
 
2) A diferença entre o maior e o menor valor em um conjunto de dados é denominado 
(a): 
 
a) curva normal. 
b) amplitude total. 
c) média. 
d) média ponderada. 
e) moda. 
 
3) Marque a alternativa referente à amplitude total da tabela de frequências 
apresentada a seguir: 
 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 
22 5 
26 10 
27 15 
34 8 
35 9 
 
 
a) 4 
b) 223 
c) 13 
d) 28 
 
GABARITO 
1) 50; 62,50 
2) B 
3) C 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise e Interpretação Matemática de Gráficos, Tabelas e 
Diagramas estatísticos 
 
Gráficos: objetivo apresentar dados/informações de maneira rápida, prática e visual. 
Existem diversos tipos de gráfico, sendo que cada um tem as suas vantagens e 
desvantagens de acordo com os dados coletados. 
O objetivo é entender os dados. Para isso, a leitura do gráfico e seus elementos é 
fundamental. Por exemplo, título, os dados descritos nos eixos e as cores e/ou 
preenchimentos. Veja o exemploa seguir: 
 
 
 
Resumidamente, temos as seguintes informações: 
 
• Em abril foram roubados 35 carros, 20 motos e 10 pedestres. 
• Em maio foram roubados 25 carros, 40 motos e 15 pedestres. 
• Em junho foram roubados 30 carros, 30 motos e 10 pedestres. 
 
• Tipos de gráficos 
 
1) Gráfico em colunas 
 
0
10
20
30
40
50
Carro Moto Pedestre
Número de registros de ocorrências de roubo, 
de abril a junho 
Abril Maio Junho
 
 
 
Os gráficos são representados verticalmente, com alturas proporcionais aos 
respectivos dados. 
 
2) Gráfico em barras 
 
 
 
Os dados são organizados horizontalmente, com comprimentos proporcionais aos 
respectivos dados. 
 
3) Gráfico em setores (pizza) 
 
0
2
4
6
8
10
12
Direito Penal Estatística Português
Número de aulas por disciplina
Número de aulas
0 2 4 6 8 10 12
Direito Penal
Estatística
Português
Número de aulas por disciplina
Número de aulas
 
 
 
Esse tipo tem o objetivo de exibir a partes de um todo. O tamanho de cada classe é 
relativo ao tamanho da sua amostra. 
 
4) Gráfico em linhas 
 
 
 
Os dados são ligados por uma linha. Esse tipo de gráfico é usado para representar a 
variação de alguma variável ao longo do tempo. 
 
5) Histograma 
 
43%
57%
População de uma determinada cidade em %
Homens Mulheres
0
5000
10000
15000
20000
2010 2015 2020
População urbana de determinada cidade 
em anos
População urbana
 
 
 
O histograma representa dados agrupados em classes. Além disso, as classes são 
dispostas com comprimento proporcional aos dados. Nesse exemplo, temos os anos 
de serviço em determinada em instituição: 1 a 5 anos, 5 a 9 anos, 9 a 13 anos, 13 a 
17 anos, 17 a 21 anos e 21 a 25 anos. 
 
6) Diagrama de ramos e folhas 
 
É um tipo de representação gráfica de uma distribuição de elementos; cada número é 
separado em duas partes; em geral, de um lado as unidades e do outro o restante do 
número. Exemplo: 
X = {10, 12, 22, 24, 25, 31, 47, 58, 59} 
 
1 0 2 
2 2 4 5 
3 1 
4 7 
5 8 9 
 
Perceba que juntando as dezenas (lado esquerdo) com as unidades (lado direito), 
temos os elementos do conjunto X. 
 
 
1 0 2 → 10, 12 
2 2 4 5 → 22, 24, 25 
3 1 → 31 
4 7 → 47 
5 8 9 → 58, 59 
 
Cada diagrama terá uma chave de resposta diferente. Você precisa fazer a leitura do 
diagrama para interpretar as informações. 
 
EXERCÍCIO 
 
1) Suponha que o gráfico abaixo represente o número de armas apreendidas em 
determinada localidade por mês. 
 
 
É correto afirmar que número total de armas apreendidas no período julho a dezembro 
é: 
 
A) 120 
B) 360 
C) 240 
D) 300 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Frequência do nº de armas
Jul Ago Set Out Nov Dez
 
2) Analise o gráfico abaixo e marque a alternativa CORRETA: 
 
 
 
 
A. ( ) Houve redução da nota de corte para as mulheres em todos os anos. 
B. ( ) A média da nota de corte para os homens é de 33 
C. ( ) No ano de 2021, a diferença da nota de corte entre mulheres e homens foi 
de 6%. 
D. ( ) A nota de corte diminuiu pelo menos 10% para homens de 2020 para 2021. 
 
3) O comandante do 67° Batalhão realizou pesquisa sobre os crimes ocorridos na área 
das companhias no mês de junho. Considere as informações do gráfico abaixo e 
marque a alternativa CORRETA. 
 
32
34
30
39
36 36
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
2019 2020 2021
Gráfico: nota de corte por sexo dos concursos da PM de 
2019 a 2021
Homem Mulher
 
 
 
A. ( ) A 357ª CIA teve o dobro de homicídios que a 363ª CIA. 
B. ( ) O número total de furtos foi menor que o número total roubos. 
C. ( ) Os roubos ocorridos na 357ª CIA representa mais que 20% do número total 
de roubos. 
D. ( ) A 357ª CIA teve 20% menos roubos que a 363ª CIA. 
 
 
GABARITO 
1) B 
2) D 
3) D 
 
 
8
24
10
15
24
18
6
1
2
0 5 10 15 20 25 30
357 CIA PM
361 CIA PM
363 CIA PM
Gráfico: crimes na área do 67° BPM, por CIA PM no mês de junho
Homicídios Furtos Roubos
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise e Interpretação Matemática de Gráficos, Tabelas e 
Diagramas estatísticos. 
 
A tabela é outra forma de organizar e apresentar os dados coletados e tem como 
objetivo apresentar dados/informações de maneira rápida, prática e visual. 
Assim como os gráficos, existem diferentes tipos de tabela e a leitura dos elementos 
é fundamental: título, eixos, colunas, linhas. 
Veja o exemplo a seguir: 
 
População urbana de determinada cidade em anos 
2010 2015 2020 
10.000 12.000 15.000 
 
Além desse, veja outro exemplo: 
• Quantidade de patrimônios históricos cadastrados nos estados A e B. 
• Estado A = 40 estátuas, 60 museus, 50 templos 
• Estado B = 10 estátuas, 20 museus, 20 templos 
 
Patrimônios Estado A Estado B 
Estátuas 40 10 
Museus 60 20 
Templos 50 20 
Total 150 50 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) A tabela seguinte mostra as quantidades de patrimônios históricos cadastrados nos 
estados A e B. 
 
Patrimônios Estado A Estado B 
Estátuas 40 10 
 
Museus 60 20 
Templos 50 20 
Total 150 50 
 
A partir dessa tabela, é correto afirmar: 
 
A) As estátuas cadastradas nos estados A e B, juntas, correspondem a mais de 
20% do total dos patrimônios históricos cadastrados. 
B) Os museus do estado A correspondem a metade de todos os patrimônios 
históricos cadastrados do estado. 
C) Os templos do estado B correspondem a metade dos templos do estado A. 
D) O número de templos do estado A é maior que todos os patrimônios históricos 
cadastrados do estado B. 
 
2) Considere a tabela abaixo que apresenta dados sobre o número de viagens no ano 
que pessoas fizeram: 
 
Número de viagens 
no ano (𝒙𝒊) 
Número de pessoas 
(𝒇𝒊) 
0 5 
1 7 
2 5 
3 3 
4 2 
5 1 
 
Determine a média, moda, mediana: 
a) 1,9; 1; 1; 
b) 2,1; 1; 2; 
c) 1,9; 7; 1; 
d) 2,1; 7; 2; 
 
 
GABARITO 
1) A 
2) A 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de frequências 
 
Notação para representação das classes: 
O termo inclusive significa que o valor está incluso na classe. O termo exclusive 
significa que o valor não está incluso na classe 
 
|----| → inclusive e inclusive 
----| → exclusive e inclusive 
|--- → inclusive e exclusive 
--- → exclusive e exclusive 
 
Após compreender essa notação, vamos ao quadro de distribuição de frequência: 
 
Classe PM f 𝒇𝒂𝒄 𝒇𝒓% 𝒇𝒓𝒂𝒄% 
0 |---- 5 2,5 10 10 18,18 18,18 
5 |---- 10 7,5 23 33 41,81 59,99 
10 |---- 15 12,5 17 50 30,90 90,89 
15 |---- 20 17,5 5 55 9,09 100 
Total - 55 - 100 - 
 
PM – Ponto médio das classes. Média aritmética simples dos limites inferior e superior 
da classe. Exemplo: 
 
𝑃𝑀 𝑑𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 
0 + 5
2
= 2,5 
 
f – Frequência absoluta. Número de ocorrências da classe. Exemplo: a classe 5 |---- 
10 ocorreu 23 vezes. 
Importante saber que o total (última linha) é calculado a partir da soma de todas as 
frequências absolutas. No nosso exemplo, temos que a soma total é 55. 
 
𝑓𝑎𝑐 – Frequência absoluta acumulada: é calculada a partir da soma da frequência 
acumulada anterior com a frequência absoluta da classe correspondente. Exemplo: 
 
 
• Primeira 𝑓𝑎𝑐 → como não há classe anterior, a frequência acumulada é a própria 
classe = 10 
• Segunda 𝑓𝑎𝑐 → 10 (frequência acumulada anterior) + 23 (frequência absoluta 
da classe correspondente) = 33 
• Terceira 𝑓𝑎𝑐 → 33 (frequência acumulada anterior) + 17 (frequência absoluta 
da classe correspondente) = 50 
• Quarta 𝑓𝑎𝑐 → 50 (frequência acumulada anterior) + 5 (frequência absoluta da 
classe correspondente) = 55 
 
𝑓𝑟% - Frequência relativa: parte que a classe representa em relação ao todo. 
Descobrimos o valor da frequência relativa de classe dividindo a frequência absoluta 
simples, f, pela frequência total. Exemplo: a frequência relativa da classe 5 |---- 10𝑓𝑟% =
23
55
= 0,4181 𝑜𝑢 41,81% 
 
𝑓𝑟𝑎𝑐% - Frequência relativa acumulada: é calculada a partir da soma da frequência 
relativa acumulada anterior com a frequência relativa da classe correspondente. 
Exemplo: 
 
• Primeira 𝑓𝑟𝑎𝑐% → como não há classe anterior, a frequência acumulada é a 
própria classe = 18,18 
• Segunda 𝑓𝑟𝑎𝑐% → 18,18 (frequência acumulada anterior) + 41,81 (frequência 
relativa da classe correspondente) = 59,99 
• Terceira 𝑓𝑟𝑎𝑐% → 59,99 (frequência acumulada anterior) + 30,90 (frequência 
relativa da classe correspondente) = 90,89 
• Quarta 𝑓𝑟𝑎𝑐% → 90,89 (frequência acumulada anterior) + 9,09 (frequência 
relativa da classe correspondente) = 100 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Analisando a distribuição de frequências abaixo onde F é a frequência simples, PM é 
o ponto médio, F% é a frequência relativa e Fac% é a frequência acumulada relativa. 
 
 
 
 
 
 
 
Classes F PM F % Fac % 
12 |---- 16 4 14 7,02 7,02 
16 |---- 20 12 18 21,05 28,07 
20 |---- 24 19 22 33,33 61,40 
24 |---- 28 X 26 Y Z 
28 |---- 32 7 30 12,28 100,00 
Total 57 - - - 
 
Marque a alternativa CORRETA: 
A. ( ) Para o cálculo do valor de x, basta somente considerarmos o PM da 
respectiva classe. 
B. ( ) Para calcularmos o valor de z, nunca se considera o valor de y. 
C. ( ) Para o cálculo de y, consideramos tão somente dois valores específicos da 
coluna de frequência simples. 
D. ( ) O valor da média ponderada está entre 21 e 22 anos de idade. 
 
2) Considere a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classes F F % Fac % 
12 |---- 16 18 15,00 15,00 
16 |---- 20 X 30,83 45,83 
20 |---- 24 45 Y 83,33 
24 |---- 28 13 10,83 94,16 
28 |---- 32 7 W Z 
Total 120 100 - 
 
Marque a alternativa CORRETA: 
A. ( ) O valor de X é o dobro da frequência absoluta da classe 12 |---- 16 
B. ( ) Para calcular o valor de Y, consideramos o valor de X. 
C. ( ) Para o cálculo de Z, consideramos os pontos médios das classes. 
D. ( ) O valor de W é representa a menor frequência relativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) C 
2) D 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variação percentual 
 
Variação percentual: determina a diferença em porcentagem entre dois valores. 
Podemos encontrar a variação da seguinte forma: 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 𝑥 100 
 
Além disso, a variação percentual pode ser: 
• Maior que zero (positiva) – aumento 
• Menor que zero (negativa) – redução 
• Zero – sem alteração 
 
Exemplo: 
 
 
 
• Variação percentual do número de registros de roubo a carro de abril a maio: 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
25 − 35
35
 𝑥 100 = −28,57%, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒 28,57% 
 
• Variação percentual do número de registros de roubo a pedestre de abril a 
junho: 
 
35
20
10
25
40
15
30 30
10
0
10
20
30
40
50
Carro Moto Pedestre
Número de registros de ocorrências de roubo, 
de abril a junho 
Abril Maio Junho
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
10 − 10
10
 𝑥 100 = 0%, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑛ã𝑜 ℎ𝑜𝑢𝑣𝑒 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑢 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 
 
• Variação percentual do número de registros de roubo a moto de abril a maio: 
 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 
40 − 20
20
 𝑥 100 = 100%, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 100% 
 
Exercícios 
 
1) O gráfico abaixo evidência a evolução do número de roubos em determinada 
localidade nos meses maio e junho – 2021. Qual a maior variação percentual? 
 
 
 
A) ( ) Residência 
B) ( ) Pedestres 
C) ( ) Moto 
D) ( ) Carro 
 
2) Considere o seguinte gráfico: 
 
30
15
21
9
36
12
25
9
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Carro
Moto
Pedestres
Residência
Maio Junho
 
 
 
Marque a alternativa CORRETA: 
A) ( ) Houve aumento de 50% de junho para julho. 
B) ( ) O número total de homicídios no período é par. 
C) ( ) Houve redução de 50% de maio para junho. 
D) ( ) Houve redução de pelo menos 65% de maio para julho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1) C 
2) D 
6
1
2
0 1 2 3 4 5 6 7
Maio
Junho
Julho
Gráfico: homicídios na área do 100° BPM, por CIA 
PM do mês de maio a julho
Homicídios
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERÍCIOS 
 
1) O comandante do 150° BPM, com o propósito de estimar o peso de seus policiais, 
entregou a um analista um cadastro com os nomes de todos os policiais do batalhão 
para que esse profissional realizasse entrevistas com todos os policiais. A partir dessa 
situação hipotética, marque a alternativa CORRETA: 
a) a variável peso é quantitativa discreta 
b) se o examinador realizar a pesquisa com todos os policiais, será realizado um censo 
c) caso o profissional apresente o dados por meio de uma tabela, essa etapa é de 
execução do método estatístico 
d) o grupo completo de todos os policias é denominado amostragem simples 
 
2) Considere o diagrama abaixo e calcule a média, moda e mediana. 
 
0 4 
1 2 3 
2 1 1 2 
3 9 
4 0 1 
 
3) Considere a seguinte tabela relacionada ao peso de alguns policiais. Calcule a 
média, moda e mediana. 
 
Peso dos policiais (𝒙𝒊) Número de policiais (𝒇𝒊) 
70 2 
75 4 
80 2 
85 1 
90 1 
Soma 10 
 
 
4) Considere o número de furtos ocorridos na área do 1° BPM de janeiro a abril. 
Calcule a amplitude, a variância amostral e o desvio padrão amostral: 
 
 
 
5) Considere o gráfico abaixo. Considere que o número de furtos do período foi 90. 
Marque a alternativa que contém a soma do número de homicídios e roubos: 
 
 
10
22
18
22
0
5
10
15
20
25
Janeiro Fevereiro Março Abril
15
60
5
20
Crimes em %
Roubo Furto Homicídio Outros
 
 
 
a. 22 
b. 30 
c. 8 
d. 45 
 
6) (UFU-MG - 2019 - UFU-MG - Técnico em Estatística) Considere as seguintes 
variáveis. 
I. Tamanho de um objeto (pequeno, médio ou grande) 
II. Volume de água em um rio 
III. Número de clientes numa fila 
IV. Número da seção de votação 
V. Comprimento de um inseto 
VI. Classe Social 
Com relação à classificação dos dados requeridos como variáveis de pesquisa, é 
correto afirmar que 
a) as variáveis I, IV e VI são qualitativas. 
b) as variáveis III e V são quantitativas contínuas. 
c) as variáveis II e III são quantitativas discretas. 
d) a variável IV é qualitativa ordinal. 
 
7) (CESPE - 2018 - ABIN - Oficial Técnico de Inteligência - Área 4) Em fevereiro de 
2018, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira 
(INEP) começou a segunda etapa do Censo Escolar 2017, o módulo “Situação do 
Aluno”. Nessa etapa, serão coletadas informações sobre rendimento e movimento 
escolar dos alunos ao final do ano letivo de 2017. Para isso, será importante que as 
escolas utilizem seus registros administrativos e acadêmicos, como ficha de 
matrícula, diário de classe, histórico escolar. 
A partir do texto antecedente, julgue o item que se segue, relativo a estatísticas 
educacionais. 
 
O texto se refere a um estudo censitário de diferentes variáveis da realidade 
educacional do país. 
 
 
8) (IMA - 2017 - Prefeitura de Penalva - MA - Auxiliar Administrativo) Assinale a 
alternativa que apresenta o conceito de variável quantitativa discreta: 
A) É aquela que expressa o valor de uma contagem, por exemplo, idade, 
quantidade de televisores numa casa, quantidade de habitantes de uma cidade. 
B) É aquela que separa os indivíduos em classes com uma determinada ordem, 
por exemplo, nível de escolaridade: fundamental, médio e superior. 
C) É aquela que expressa uma medida como um valor real, por exemplo, peso e 
altura. 
D) É aquela que separa os indivíduos em classes, porém não é possível 
estabelecer uma ordem, por exemplo, sexo (masculino e feminino) e esporte 
praticado (futebol, basquete, ciclismo…). 
 
9) O gráfico apresenta as notas de um aluno,nas disciplinas de matemática e 
química, nos três quadrimestres de 2021. 
Assinale a alternativa que apresenta a diferença entre as médias de matemática e 
química: 
 
 
 
A) 0 
B) 1,5 
C) 1 
5
6
4
4,5
3,5
4
1° Quadri. 2° Quadri. 3° Quadri.
Matemática Química
 
D) 0,5 
 
10) (CESPE) A crise mundial tem contribuído para o aumento da entrada de 
estrangeiros no Brasil. A maior parte vem de países vizinhos, a exemplo do Paraguai. 
A tabela a seguir apresenta, de acordo com dados do Ministério da Justiça, a 
quantidade de paraguaios que vieram para o Brasil nos anos de 2009, 2011 e 2012. 
 
Ano Paraguaios 
2009 11000 
2010 X 
2011 19000 
2012 27300 
 
Se a média anual de imigrantes paraguaios para o Brasil, no período de 2009 a 2012, 
foi de 17 600, então, quantos paraguaios imigraram para o Brasil em 2010? 
A) 13 100 
B) 14 325 
C) 15 000 
D) 15 840 
E) 17600 
 
11) (CESPE) No registro das quantidades de filhos de 200 casais, verificaram-se os 
valores mostrados na tabela seguinte. Nesse caso, a quantidade média de filhos para 
esse grupo de casais é igual a: 
 
Qtd. 
Filhos 
1 2 0 3 4 5 6 
Qtd. 
Casais 
50 40 40 30 25 10 5 
 
A) 0 
 
B) 1 
C) 2 
D) 2,5 
E) 3 
 
12) (CESPE) A tabela seguinte mostra a distribuição das idades dos 30 alunos da 
turma A do quinto ano de uma escola de ensino fundamental. 
A partir dessa tabela, julgue o item. A moda dessa distribuição é igual a 11 anos. 
 
Idade (em 
anos) 
9 10 11 12 13 14 
Qtd. 
Estudantes 
6 22 0 1 0 1 
 
13) (CESPE) Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma 
quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando 
os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores observados da 
variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado aeroporto, 
julgue o próximo item. 
O desvio padrão amostral da variável X foi inferior a 7 
 
GABARITO 
1) Letra B 
2) Média = 23,7; Moda = 21; Mediana = 21 
3) Média = 77,5; Moda 75; Mediana = 75 
4) Amplitude = 12; Variânica amostral = 32; Desvio-padrão amostral = √32 
5) Letra B 
6) Letra A 
7) Certo 
8) Letra A 
9) Letra C 
10) Letra A 
 
11) Letra C 
12) Errado 
13) Certo 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERÍCIOS 
 
1) Considere o gráfico abaixo: 
 
 
 
Marque a alternativa CORRETA: 
 
a) Houve aumento de 50% de fevereiro a março. 
b) O número total de roubos no período é par. 
c) Houve redução de 12% de janeiro a fevereiro. 
d) Houve redução de 50% de janeiro a março. 
 
2) Em uma prova dentro da academia da PMMG, os alunos fizeram prova de Direito 
Penal Militar, Direito Penal, Legislação Extravagante e Português. Os respectivos 
pesos das disciplinas eram: 10, 9, 8 e 7. Considerando que cada disciplina tinha 10 
questões e aluno obteve o seguinte número de acertos: 8 em Direito Penal Militar, 8 
em Direito Penal, 4 em Legislação Extravagante e 6 em Português. Marque a 
alternativa que apresenta a nota do aluno: 
A. ( ) 6,31 
B. ( ) 7,64 
C. ( ) 6,64 
D. ( ) 5,37 
 
18
6
12
0 5 10 15 20
Janeiro
Fevereiro
Março
Gráfico: roubos na área do 300° BPM, por CIA PM do 
mês de janeiro a março
Homicídios
 
3) Considere a seguinte tabela e marque a alternativa CORRETA: 
 
Classe PM f 𝒇𝒂𝒄 𝒇𝒓% 𝒇𝒓𝒂𝒄% 
0 |---- 15 7,5 16 Z 16,67 16,67 
15 |---- 30 W 32 48 33,33 X 
30 |---- 45 37,5 Y 56 8,33 58,33 
45 |---- 60 52,5 40 96 41,67 100 
Total - 96 - 100 - 
 
a. W=22,5 
b. Y=50,00 
c. X=8 
d. Z=16,67 
 
4) Considere a seguinte tabela. Assinale a alternativa que contém a amplitude 
calculada por meio do ponto médio: 
 
Classe f 𝒇𝒂𝒄 𝒇𝒓% 𝒇𝒓𝒂𝒄% 
0 |---- 15 16 16 16,67 16,67 
15 |---- 30 32 48 33,33 50,00 
30 |---- 45 8 56 8,33 58,33 
45 |---- 60 40 96 41,67 100 
Total 96 - 100 - 
 
a. 60 
b. 30 
c. 45 
d. 40 
 
5) O gráfico abaixo evidencia a evolução de denúncias feitas junto ao “DISK 
DENÚNCIA – 181” em determinada localidade nos meses janeiro e agosto: 
 
Denúncia Janeiro Agosto 
Relativo à drogas 40 48 
Encontro de 
cativeiro 
12 8 
Encontro de 
cadáver 
20 23 
Violência 
doméstica 
1 1 
Abuso sexual 18 16 
 
a. Violência doméstica 
b. Encontro de cativeiro 
c. Relativo à drogas 
d. Encontro de cadáver 
 
6) A tabela seguinte mostra a distribuição das idades dos 30 alunos da turma A do 
quinto ano de uma escola de ensino fundamental. A partir dessa tabela, julgue o item. 
O desvio padrão das idades é inferior a 1 ano. 
 
Idade (em 
anos) 
9 10 11 12 13 14 
Qtd. 
Estudantes 
6 22 0 1 0 1 
 
7) Observe a tabela com classificações de variáveis e exemplos. 
 
 
 
 
A) I C II B III D IV A 
B) I B II C III A IV D 
C) I C II D III A IV B 
D) I B II C III D IV A 
 
8) A seguir tem-se o tempo, em dias, de espera para uma amostra aleatória de sete 
pacientes que agendaram suas consultas em um posto de saúde local. O X representa 
o tempo de espera do último paciente. 
12 8 25 15 2 3 X 
Sabendo-se que a média aritmética do tempo de espera foi de 10 dias, pode-se 
concluir que a mediana do tempo de espera desses pacientes foi igual a 
A) 8 dias 
B) 15 dias 
C) 10 dias 
D) 5 dias 
 
9) Considerando um levantamento de dados realizado pelo departamento de 
Recursos Humanos do Município de Capanema/PR, sobre a idade dos servidores 
públicos, observada a idade que mais se repete no conjunto de dados, tem-se o 
conceito estatístico de: 
A) Moda das idades. 
B) Média das idades. 
C) Mediana das idades. 
D) Variância das idades. 
E) Desvio-padrão das idades. 
 
 
10) A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável 
X, que representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de 
determinada instituição pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item 
seguinte. A amplitude total da amostra é igual ou superior a 5. 
 
N° diário de 
denúncias (X) 
Frequência 
Relativa 
0 0,3 
1 0,1 
2 0,2 
3 0,1 
4 0,3 
Total 1,0 
 
11) Abaixo, temos as ocorrências policiais registradas pela 34ª Região de Polícia 
Militar (34ª RPM) nos meses de janeiro e fevereiro de 2021. 
 
 
As localidades da 34ª RPM que apresentaram MAIOR e MENOR variação percentual 
(%) no registro de ocorrências no período em estudo foram, respectivamente: 
A. ( ) 5 e 2. 
B. ( ) 2 e 3. 
40
90
30
100
300
7060
20
50
110
240
100
1 2 3 4 5 6
Janeiro Fevereiro
 
C. ( ) 3 e 2. 
D. ( ) 2 e 4. 
 
12) Considere o digrama abaixo. A média, moda e mediana é igual a 
 
0 2 2 9 
1 0 2 3 5 
3 7 
 
A) 12,5; 2; 11 
B) 12,5; 1; 10 
C) 11; 2; 12 
D) 12,5; 2; 10 
 
GABARITO 
1) Letra B 
2) Letra C 
3) Letra A 
4) Letra C 
5) Letra B 
6) Certo 
7) Letra D 
8) Letra A 
9) Letra A 
10) Errado 
11) Letra D 
12) Letra A 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Testando Conhecimento 
 
1 – Considere que um estudo será realizado com uma amostra aleatória de n funcionários 
de um hospital para avaliar a satisfação deles no ambiente de trabalho. Cada um dos 800 
funcionários do hospital foi classificado segundo sua renda (baixa, média e alta) e sexo 
(feminino e masculino). A tabela a seguir apresenta os resultados. 
 
Usando a técnica de amostragem aleatória estratificada, com a renda e o sexo sendo as 
variáveis de estratos, foi obtida uma amostra de 36 funcionários do sexo feminino com baixa 
renda. 
Se foi usada a alocação proporcional nos estratos, o tamanho da amostra n foi 
( A ) 180. 
( B ) 120. 
( C ) 72. 
( D ) 58. 
 
2 – Assinale a alternativa que indica uma desvantagem da técnica de amostragem 
sistemática. 
( A ) Não ser probabilística. 
( B ) Exigir grandes tamanhos de amostragem. 
( C ) Podem ocorrer problemas se existir algum tipo de periocidade oculta. 
( D ) Alta complexidade. 
 
3 – As técnicasde amostragem podem ser classificadas como amostras probabilísticas e 
amostras não probabilísticas. São, respectivamente, uma técnica probabilística e uma 
técnica não probabilística: 
( A ) Amostra aleatória simples e amostra sistemática. 
( B ) Amostra por cotas e amostra por julgamento. 
( C ) Amostra por conglomerado (cluster) e amostra por cotas. 
( D ) Amostra aleatória simples e amostra por conglomerado (cluster). 
 
 
 
 
4 – Assumindo que todas as outras variáveis permaneçam inalteradas, para diminuir a 
amplitude do intervalo de confiança de uma amostra, o que deve acontecer com o tamanho 
dessa amostra? 
( A ) Aumentar. 
( B ) Permanecer igual. 
( C ) Diminuir. 
( D ) Nada se pode afirmar. 
 
5 – Pretende-se fazer uma pesquisa com alunos de uma faculdade e, para isso, são 
escolhidos, aleatoriamente, 20 alunos de cada ano. Esse tipo de amostragem é denominado 
amostra 
( A ) aleatória simples. 
( B ) aleatória estratificada. 
( C ) aleatória por agrupamento. 
( D ) aleatória sistemática. 
 
6 – O tempo médio para um medicamento surtir efeito sobre os pacientes é uma informação 
importante para os pesquisadores. Em um estudo inicialmente realizado com uma amostra 
aleatória de 9 pacientes, foi obtido o valor médio do tempo de = 15 minutos. 
Sabendo-se que os pesquisadores estão assumindo, a partir de dados históricos, que o 
desvio-padrão do tempo para a população de pacientes é σ = 4 minutos, analise as afirmativas 
a seguir. 
I. Em um intervalo de confiança bilateral de 95%, a margem de erro ao estimar a média do 
tempo para a população de pacientes é 2,7 minutos, aproximadamente. 
II. O intervalo de confiança para estimar o tempo médio da população de pacientes deve ser 
baseado na distribuição t de student com 8 graus de liberdade. 
III. Para garantir, com 95% de confiança, uma margem de erro de até ±1 minuto na estimação 
da média populacional do tempo, uma amostra com 65 pacientes seria suficiente. 
IV. Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s) 
( A ) II, apenas. 
( B ) II e IV, apenas. 
( C ) I e III, apenas. 
( D ) I, III e IV, apenas. 
 
 
7 – Considere que cada funcionário de uma empresa teve aumento de 44% no valor do seu 
plano de saúde. 
Com relação às medidas de tendência central e de dispersão, os novos valores dos planos 
de saúde, após o reajuste, terão: 
( A ) uma variância 1,44 vezes maior que a variância antes do reajuste. 
( B ) um desvio-padrão 1,2 vezes maior que o desvio-padrão antes do reajuste. 
( C ) uma média aritmética igual à média aritmética anterior ao reajuste. 
( D ) um coeficiente de variação igual ao coeficiente de variação anterior ao reajuste. 
 
 
8 – Estatísticas descritivas sintetizam os dados resumindo a informação. São medidas de 
posição e dispersão, respectivamente: 
 
( A ) Amplitude e desvio padrão. 
( B ) Quartis e coeficiente de variação. 
( C ) Variância e média. 
( D ) Mediana e quartis. 
 
 
9 – Considerando um levantamento de dados realizado pelo departamento de 
Recursos Humanos do Município de Capanema/PR, sobre a idade dos servidores 
públicos, observada a idade que mais se repete no conjunto de dados, tem-se o 
conceito estatístico de: 
( A ) Moda das idades. 
( B ) Média das idades. 
( C ) Mediana das idades. 
( D ) Variância das idades. 
10 – Na estatística, há diferentes tipos de medidas. Sabendo disso, assinale a 
alternativa que apresenta corretamente somente as medidas estatísticas de tendência 
central. 
( A ) Média, mediana e moda. 
( B ) Amplitude, mediana e desvio padrão. 
( C ) Coeficiente de variação, curtose e simetria. 
( D ) Dispersão, desvio médio e escore padrão. 
 
 
 
11 – O número de empregados de uma empresa é igual a 200, sendo que 60% são homens 
e o restante mulheres. Nesta empresa, a média aritmética dos salários da população 
formada pelos salários dos homens é igual a 5 mil reais, com um coeficiente de variação 
igual a 30%, e a média aritmética dos salários da população formada pelos salários das 
mulheres também é igual a 5 mil reais, porém com um coeficiente de variação igual a 20%. 
Considerando a população formada por todos os 200 empregados da empresa, obtém-se 
que a variância, em mil reais ao quadrado, dos respectivos salários é igual a 
( A ) 1,69 
( B ) 1,75 
( C ) 1,30 
( D ) 2,50 
 
 
12 – A variável x tem média 4 e desvio padrão 2, enquanto a variável y tem média 3 e desvio 
padrão 1. A covariância entre x e y é –1. 
O coeficiente de correlação entre x e y é 
 
( A ) 0,5. 
( B ) -0,5. 
( C ) 1. 
( D ) -0,25. 
 
13 – Exemplos comuns de medidas de dispersão estatística são: 
I – média; 
II – mediana; 
III – variância; 
IV - desvio padrão; 
V - amplitude interquartil. 
Está(ão) correta(s): 
( A ) somente V 
( B ) somente V e IV. 
( C ) somente V, IV e III. 
( D ) somente V, IV, III e II. 
 
 
 
14 – Todas as informações obtidas através de dados amostrais, ou seja, que não abrangem 
o todo da população de interesse, são baseadas em estimativas. Quais das sentenças, 
abaixo enunciadas, concordam com a afirmativa? 
I – nascimentos esperados para o ano em curso; 
II - a média populacional da altura dos homens adultos; 
III – número de óbitos do último exercício; 
IV – quantidade de munícepes que pagam o IPTU em dia; 
V – alcance da última campanha de vacinação, realizada pelo município. 
Estão corretas: 
( A ) somente I , II e III. 
( B ) somente II, III e IV. 
( C ) somente III, IV e V. 
( D ) somente I, II e V. 
 
 
15 – Em bioestatística, as medidas de variação medem o grau com que os dados tendem a 
se distribuir em torno de um valor central. É considerada (o) como medida de dispersão ou 
variabilidade de dados: 
( A ) média aritmética. 
( B ) moda. 
( C ) média ponderada. 
( D ) desvio-padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01 02 03 04 05 
 B C C A B 
06 07 08 09 10 
 A D B A D 
11 12 13 14 15 
 B B C D D