Calculo I - Notas de aulas - 2007

Prévia do material em texto

Ca´lculo I
Notas de aulas
Andre´ Arbex Hallack
Julho/2007
I´ndice
0 Preliminares 1
0.1 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Relac¸a˜o de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.6 Func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 A Derivada 21
1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 A definic¸a˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7 Regras de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Derivac¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Aplicac¸o˜es da Derivada 65
2.1 Acre´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 A Derivada como raza˜o de variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
i
2.5 Concavidade e pontos de inflexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6 Aplicac¸o˜es em problemas de ma´ximos e/ou mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.7 Aplicac¸o˜es nos esboc¸os de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.8 Apeˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.9 Apeˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.10 Apeˆndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.11 Apeˆndice D: Aproximac¸o˜es via
Polinoˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 A Integral Definida 123
3.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2 Somas de Riemann e a definic¸a˜o da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4 O Teorema Fundamental do Ca´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.6 Mudanc¸a de varia´vel na integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4 Te´cnicas de integrac¸a˜o 145
4.1 Integrac¸a˜o por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Algumas integrais trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Substituic¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4 Integrais de func¸o˜es racionais (Frac¸o˜es Parciais) . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Integrais impro´prias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 Aplicac¸o˜es geome´tricas
da Integral Definida 169
5.1 A´reas de regio˜es planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2 Volumes de (alguns) so´lidos de revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Refereˆncias 185
Cap´ıtulo 0
Preliminares
0.1 Nu´meros reais
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos nu´meros reais, os
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de nu´meros reais nessa identificac¸a˜o:
IN = { 1, 2, 3, . . . } (nu´meros naturais) ⊂ IR
∩
Z = { . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . } (nu´meros inteiros) ⊂ IR
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q 6= 0 } (nu´meros racionais) ⊂ IR
Temos ainda nu´meros reais que na˜o sa˜o racionais. Sa˜o os chamados nu´meros irracionais.
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem 1:
Do Teorema de Pita´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 .
Portanto a =
√
2 (e
√
2 na˜o e´ racional).
1
2 CAPI´TULO 0
(B) Outro nu´mero irracional famoso:
FATO: A raza˜o entre o comprimento e o diaˆmetro de qualquer circunfereˆncia e´ constante.
Essa raza˜o e´ um nu´mero chamado pi .
Assim, se C e´ qualquer circunfereˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
l
2r
= pi
pi e´ um nu´mero irracional (pi ≈ 3, 141592 )
Obs.: Existem muito mais nu´meros irracionais do que racionais !
Operac¸o˜es ba´sicas em IR
Existem em IR duas operac¸o˜es ba´sicas:
ADIC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a+ b ∈ IR (soma)
MULTIPLICAC¸A˜O: a ∈ IR, b ∈ IR 7−→ a · b ∈ IR (produto)
Essas operac¸o˜es possuem as seguintes propriedades:
COMUTATIVIDADE: a+ b = b+ a
a · b = b · a
quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
ASSOCIATIVIDADE: a+ (b+ c) = (a+ b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+ 0 = a
a · 1 = a
para todo a ∈ IR.
EXISTEˆNCIA DE INVERSOS:
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a+ (−a) = 0 .
Todo a 6= 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b+ c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
Preliminares 3
Consequ¨eˆncias: (das propriedades)
1) Duas novas operac¸o˜es:
Subtrac¸a˜o: Dados a, b ∈ IR, definimos: a− b = a+ (−b) ;
Divisa˜o: Dados a, b ∈ IR, com b 6= 0, definimos: a
b
= a · b−1 .
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , enta˜o a = 0 ou b = 0 .
4) Cada a ∈ IR possui um u´nico inverso aditivo −a ∈ IR.
Cada a 6= 0 em IR possui um u´nico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR .
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
6) a−1 =
1
a
para todo a 6= 0 em IR.
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a2 = b2 enta˜o a = ±b .
0.2 Relac¸a˜o de ordem em IR
Podemos decompor a reta IR como uma unia˜o disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} :
IR+ e´ o conjunto dos nu´meros reais POSITIVOS;
IR− e´ o conjunto dos nu´meros reais NEGATIVOS.
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
• a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ;
• A soma de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
O produto de dois nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo.
4 CAPI´TULO 0
Dados nu´meros reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a e´ menor do que
b (ou b e´ maior do que a ) quando b− a ∈ IR+ , ou seja, b− a e´ um nu´mero positivo:
Propriedades da relac¸a˜o de ordem:
1) Se a < b e b < c enta˜o a < c .
2) Se a, b ∈ IR enta˜o a = b ou a < b ou a > b .
3) Se a < b enta˜o a+ c < b+ c para todo c ∈ IR.
4) Se a < b , temos: c > 0 ⇒ a · c < b · c
c < 0 ⇒ a · c > b · c
5) Se a < b e a′ < b′ enta˜o a+ a′ < b+ b′ .
6) Se 0 < a < b e 0 < a′ < b′ enta˜o 0 < a · a′ < b · b′ .
7) Se a > 0 enta˜o
1
a
> 0 .
8) Se 0 < a < b enta˜o 0 <
1
b
<
1
a
.
Intervalos: Dados nu´meros reais a < b , definimos:
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }
Preliminares 5
(a,+∞) = { x ∈ IR ; x > a }[a,+∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞,+∞) = IR
• Atenc¸a˜o: +∞ e −∞ na˜o sa˜o nu´meros reais ! Sa˜o apenas s´ımbolos !
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR e´ dito LIMITADO quando existem nu´meros reais a e b tais
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b .
Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
(Exemplos)
Observac¸o˜es:
(A) Todo conjunto finito e´ limitado.
(B) CUIDADO ! NA˜O CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos nu´meros naturais NA˜O E´ limitado.
Consequ¨eˆncias importantes deste fato:
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados nu´meros reais a e b , com a > 0 , e´ poss´ıvel obter
um nu´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b .
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois nu´meros reais a e b quaisquer, com a < b , e´
poss´ıvel obter um nu´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q 6= 0) tal que a < r < b
(por menor que seja a distaˆncia entre a e b ).
6 CAPI´TULO 0
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer nu´mero real x
(mesmo irracional), e´ poss´ıvel obter uma sequ¨eˆncia de nu´meros RACIONAIS que se aproximam
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) pi = 3, 141592 . . .
3 3, 1 =
31
10
3, 14 =
314
100
3, 141 =
3141
1000
3, 1415 =
31415
10000
. . . −→ pi
2) Tome um nu´mero racional r1 > 0 e considere:
r2 =
1
2
(
r1 +
3
r1
)
∈ Q (r2 > 0 , r22 > 3 )
↓
r3 =
1
2
(
r2 +
3
r2
)
∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r23 > 3 )
↓
r4 =
1
2
(
r3 +
3
r3
)
∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r24 > 3 )
↓
...
↓
rn+1 =
1
2
(
rn +
3
rn
)
∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , r2n+1 > 3 )
↓
...
Esta sequ¨eˆncia de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
nu´mero real. Qual ?
Tente generalizar esse processo !
0.3 Valor absoluto
Dado qualquer nu´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MO´DULO
DE x ) da seguinte forma:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um nu´mero real x e´ a distaˆncia de x ate´
o 0 (zero). (Exemplos)
Preliminares 7
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x,−x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
4) |a+ b| ≤ |a|+ |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
5) Seja c > 0 : |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
0.4 Func¸o˜es
• Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ constitu´ıda de:
(a) Um conjunto X chamado o DOMI´NIO da func¸a˜o (onde a func¸a˜o esta´ definida)
(b) Um conjunto Y chamado o CONTRA-DOMI´NIO da func¸a˜o (onde f “toma os valores”)
(c) Uma correspondeˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
um U´NICO elemento f(x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar func¸o˜es tais que X e Y sa˜o conjuntos de nu´meros
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma func¸a˜o f : X → Y , sua IMAGEM e´ o conjunto
f(X) = { f(x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do domı´nio sa˜o representados por uma VARIA´VEL INDEPENDENTE.
Os elementos da imagem sa˜o representados por uma VARIA´VEL DEPENDENTE.
• Gra´fico: O GRA´FICO de uma func¸a˜o f : X → Y e´ o conjunto dos pontos (x, y) do
Plano Cartesiano tais que y = f(x) , com x ∈ X .
• Func¸o˜es limitadas: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita LIMITADA quando sua imagem
f(X) e´ um conjunto limitado. Em geral, e´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f(A) e´ um
conjunto limitado.
8 CAPI´TULO 0
• Func¸o˜es crescentes ou decrescentes: Uma func¸a˜o f : X → Y e´ dita ...
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) < f(x2) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) > f(x2) .
(Obs.: o mesmo tipo de definic¸a˜o se aplica tambe´m a subconjuntos do domı´nio - por exemplo,
podemos dizer que uma certa func¸a˜o e´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo
dentro do domı´nio).
Exemplos:
(A) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = −x2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3]→ IR dada por f2(x) = −x2 + 4 .
(C) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = |x| .
(D) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
(E) f5 : [−1, 1]→ [0,+∞) dada por f5(x) =
√
1− x2 .
(F) f6 : [−1, 1]→ IR que associa x 7→ y tais que x2 + y2 = 1 NA˜O E´ UMA FUNC¸A˜O
BEM DETERMINADA.
(G) f7 : IR→ IR dada por f7(x) =

1
x
se x >
1
4
−3 se x ≤ 1
4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2]→ IR dada por f8(x) = x .
(I) f9 : IR→ IR dada por f9(x) = −2x+ 1 .
(J) f10 : [0,+∞)→ IR dada por f10(x) = −
√
x .
Preliminares 9
• Ma´ximos e mı´nimos: Dizemos que uma func¸a˜o f : X → Y assume VALOR
MA´XIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f(x) ≤ f(c) para todo
x ∈ X . Neste caso f(c) e´ chamado VALOR MA´XIMO ABSOLUTO DE f .
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f(x) ≤ f(c) para todo
x ∈ (a, b) ∩X , enta˜o c e´ dito um PONTO DE MA´XIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)
e´ um VALOR MA´XIMO RELATIVO DE f .
De modo ana´logo, definimos tambe´m MI´NIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MI´NIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustrac¸a˜o)
Exemplo: f4 : IR→ IR dada por f4(x) = |−x2 + 4| .
Observac¸o˜es:
(i) Todo ma´ximo (mı´nimo) absoluto e´ ma´ximo (mı´nimo) local.
(ii) Uma func¸a˜o PODE NA˜O ASSUMIR valores ma´ximos ou mı´nimos.
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), deter-
mine seus pontos e valores ma´ximos e mı´nimos, se existirem.
• Construc¸a˜o de func¸o˜es atrave´s de operac¸o˜es: Sejam f, g : X → IR func¸o˜es
definidas num mesmo domı´nio X ⊂ IR .
A partir de f e g vamos construir novas func¸o˜es (f + g), (f − g), (f · g) :
(f + g) : X → IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g) : X → IR dada por (f − g)(x) = f(x)− g(x)
(f · g) : X → IR dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x)
10 CAPI´TULO 0
Para ilustrar, consideremos a func¸a˜o indentidade f : IR → IR dada por f(x) = x e
func¸o˜es constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c e´ um nu´mero real
qualquer, fixado).
Utilizando a func¸a˜o identidade e func¸o˜es constantes, podemos construir (atrave´s das operac¸o˜es
de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o) um importante tipo de func¸a˜o p : IR → IR chamada FUNC¸A˜O
POLINOMIAL:
p(x) = anx
n + an−xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x+ a0 para todo x ∈ IR
an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an 6= 0
(essa e´ dita uma func¸a˜o polinomial de grau n)
(Exemplos)
Se quisermos utilizar a operac¸a˜o de divisa˜o, temos que tomar o cuidado para evitar “diviso˜es
por 0 (zero)”.
Assim, dadas f, g : X → IR e sendo Z = { x ∈ X ; g(x) = 0 } , podemos definir:
(f/g) : X − Z → IR pondo (f/g)(x) = f(x)
g(x)
Para ilustrar, temos as chamadas FUNC¸O˜ES RACIONAIS, dadas pelo quociente de func¸o˜es
polinomiais:
p, q : IR→ IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
(p/q) : IR− Z → IR dada por (p/q)(x) = p(x)
q(x)
(Exemplos)
• Composic¸a˜o de func¸o˜es:
Sejam f : X → IR e g : Y → Z func¸o˜es tais que f(X) ⊂ Y (a imagem de f esta´
contida no domı´nio de g).
Preliminares 11
A cada elemento de X associamos um u´nico elemento de Z, aplicando inicialmente a func¸a˜o
f e depois a func¸a˜o g.
Podemos pensar enta˜o em uma func¸a˜o de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
um u´nico elemento g(f(x)) ∈ Z :
(g ◦ f) : X −→ Z
x 7−→ g(f(x))
(Exemplos)
• Inversa˜o de func¸o˜es:
Seja f : X → Y uma func¸a˜o. A cada x ∈ X esta´ associado um u´nico f(x) ∈ Y .
Nos interessa a situac¸a˜o em que a associac¸a˜o inversa f(x) 7→ x e´ uma func¸a˜o de Y em X.
Para isso, f devera´ possuir duas caracter´ısticas:
• f(X) = Y (a imagem de f e´ todo o conjunto Y );
• x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y .
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, a
imagem def e´ todo o contradomı´nio Y . (Exemplos)
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ chamada INJETORA quando elementos distintos do domı´nio
teˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 6= x2 em X ⇒ f(x1) 6= f(x2) em Y . (Exemplos)
Uma func¸a˜o f : X → Y e´ INVERTI´VEL quando ela e´ sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNC¸A˜O g : Y → X que associa y 7→ g(y) e
tal que g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
g e´ dita A INVERSA DA FUNC¸A˜O f e escrevemos g = f−1 .
(Exemplo)
12 CAPI´TULO 0
Exerc´ıcio: Para cada uma das func¸o˜es dadas posteriormente, fac¸a o que se pede:
a) Fac¸a um esboc¸o do GRA´FICO da func¸a˜o.
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a func¸a˜o dada e´ LIMITADA ou na˜o.
c) Em que partes de seu domı´nio a func¸a˜o e´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
d) Determine pontos e valores MA´XIMOS ou MI´NIMOS (quando existirem).
e) A func¸a˜o e´ INJETORA ? Justifique.
f) A func¸a˜o e´ SOBREJETORA ? Justifique.
g) Se a func¸a˜o dada for INVERTI´VEL, determine sua INVERSA e fac¸a um esboc¸o do
GRA´FICO DA FUNC¸A˜O INVERSA.
1) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 .
2) g1 : IR→ IR+ ∪ {0} dada por g1(x) = |3x− 1| .
3) h1 : IR→ IR dada por h1(x) = −x2 + 9 .
4) p1 : (0, 3]→ (0, 6] dada por p1(x) = 2x .
5) q1 : (−∞, 5]→ IR dada por q1(x) =
{
x2 se x < 1
−x+ 2 se x ≥ 1 .
6) r1 : [0,+∞)→ IR+ ∪ {0} dada por r1(x) = |x2 − 3x| .
7) s1 : IR→ IR dada por s1(x) = x2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3]→ IR dada por u1(x) = x2 + 2 .
9) v1 : IR
+ → IR+ dada por v1(x) = x2 .
10) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = − |x| .
11) g2 : IR→ IR dada por g2(x) = − x
3
+ 1 .
Preliminares 13
12) h2 : (−3,+∞)→ IR dada por h2(x) = − x
3
+ 1 .
13) p2 : IR
+ ∪ {0} → IR− ∪ {0} dada por p2(x) = −
√
2x .
14) q2 : IR→ IR dada por q2(x) =
{
1 se 1 ≤ x ≤ 3
0 se x < 1 ou x > 3
.
15) r2 : IR→ IR dada por r2 = q2.s1 .
16) s2 : IR→ IR dada por s2(x) =
{
1/x se x 6= 0
0 se x = 0
.
17) u2 : IR→ [−1,+∞) dada por u2(x) =

√−x se x < 0
−1/2 se x = 0√
x− 1 se x > 0
.
18) v2 : (−∞,−1) ∪ [0,+∞)→ IR dada por v2(x) =
{
−pi se x < −1
x2 se x ≥ 0 .
19) f3 : (−1, 1]→ IR dada por f3(x) = 1−
√
1− x2 .
0.5 Func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas
Revisa˜o:
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes).
a 6= 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = 1
an
(n = 1, 2, 3, . . .) .
n PAR e a ≥ 0 : b = n√a ⇔ bn = a , b ≥ 0 .
n I´MPAR e a ∈ IR : b = n√a ⇔ bn = a .
Definimos poteˆncias RACIONAIS de nu´meros reais positivos do seguinte modo:
a > 0 , p, q inteiros , q 6= 0 ⇒ ap/q = q√ap
Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1+r2 e ar > 0 .
14 CAPI´TULO 0
Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
Se x e´ racional, ja´ temos ap/q = q
√
ap .
Se x e´ IRRACIONAL, sabemos que e´ poss´ıvel obter uma sequ¨eˆncia de racionais r1, r2, r3, . . .
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1, r2, r3, . . . −→ x
FATO: A sequ¨eˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um nu´mero real, o qual DEFINI-
MOS como ax .
Temos enta˜o a nossa func¸a˜o exponencial de base a:
• Fixado a > 0 em IR, a func¸a˜o fa : IR→ IR+ dada por fa(x) = ax para todo x ∈ IR
e´ chamada FUNC¸A˜O EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
ax · ay = ax+y , (ax)y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1
Gra´fico:
Crescimento ou decrescimento: fa(x) = a
x e´
{
CRECENTE se a > 1
DECRESCENTE se a < 1
Inversa: Se a 6= 1 enta˜o fa : IR → IR+
x 7→ ax
e´ SOBREJETORA e INJETORA, ad-
mitindo portanto uma func¸a˜o inversa f−1a : IR
+ → IR
y 7→ f−1a (y)
.
Preliminares 15
f−1a e´ chamada FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA DE BASE a e escrevemos f
−1
a (y) = loga y .
Temos enta˜o: y = ax ⇔ x = loga y .
x
fa7−→ ax = y f
−1
a7−→ x = loga y = loga ax
y
f−1a7−→ x = loga y fa7−→ y = ax = aloga y
• Fixado a > 0 , a 6= 1 em IR, temos a func¸a˜o f−1a : IR+ → IR dada por f−1a (y) = loga y .
Propriedades:
loga(x · y) = loga x+ loga y , loga(xy) = y · loga x , loga 1 = 0
Gra´fico:
Um nu´mero especial
(A) Se´ries nume´ricas:
Uma SE´RIE NUME´RICA e´ uma soma x1+x2+x3+ . . . com uma quantidade INFINITA
de parcelas.
ATENC¸A˜O: Uma se´rie pode representar ou na˜o um nu´mero real bem definido !!!
Para vermos isso, precisamos observar o comportamento das chamadas somas parciais:
s1 = x1
s2 = x1 + x2
s3 = x1 + x2 + x3
...
16 CAPI´TULO 0
Quando a sequ¨eˆncia s1 , s2 , s3 , . . . se aproxima tanto quanto desejarmos de um nu´mero
a ∈ IR a` medida que n cresce, dizemos que a se´rie CONVERGE PARA a e escrevemos
x1 + x2 + x3 + . . . = a
Caso contra´rio a se´rie e´ chamada DIVERGENTE (a soma na˜o e´ um nu´mero real bem
definido).
Exemplos:
1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . e´ uma se´rie DIVERGENTE.
s1 = 1
s2 = 1 + 1 = 2
s3 = 1 + 1 + 1 = 3
...
sn = n
...
A sequ¨eˆncia s1, s2, s3, . . . na˜o se aproxima de nenhum nu´mero real em particular. Por-
tanto a se´rie e´ divergente.
2) Se r ∈ IR e |r| < 1 , sabemos que 1 + r + r2 + r3 + . . . = 1
1− r (CONVERGENTE!)
Em particular: 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ . . . =
1
1− 1
2
=
1
1
2
= 2
3) 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+ . . . (se´rie harmoˆnica) e´ uma se´rie DIVERGENTE.
4)
pi
2
− 1
3!
(pi
2
)3
+
1
5!
(pi
2
)5
− 1
7!
(pi
2
)7
+ . . . = 1 (CONVERGENTE)
5) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + . . . e´ uma se´rie DIVERGENTE.
(B) Se´ries de termos na˜o-negativos:
Vamos considerar se´ries x1 + x2 + x3 + . . . tais que xn ≥ 0 para todo n ∈ IN .
FATO: Uma se´rie x1 + x2 + x3 + . . . de termos na˜o-negativos converge se, e somente se,
existe b ∈ IR tal que x1 + x2 + x3 + ...+ xn ≤ b para todo n ∈ IN (“a soma e´ limitada”).
Preliminares 17
(C) O nu´mero e :
Consideremos a se´rie 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . .
E´ fa´cil ver que
2 < 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
+ . . . < 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+ . . . = 3
Segue do FATO anterior que a se´rie 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+ . . . CONVERGE para um
nu´mero real (entre 2 e 3), conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
O nu´mero real e acima definido ira´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso
curso de Ca´lculo I, no que se refere a`s func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica, na base e :
Exponencial: ex e sua inversa, a func¸a˜o logar´ıtmica loge x (escrevemos log x ou lnx ).
Obs.: Outro modo de obter o nu´mero e :(
1 +
1
1
)1
,
(
1 +
1
2
)2
,
(
1 +
1
3
)3
,
(
1 +
1
4
)4
. . . −→ e
0.6 Func¸o˜es trigonome´tricas
• Medidas de aˆngulos em radianos:
Um aˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunfereˆncia (centrada
no ve´rtice do aˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunfereˆncia considerada:
Assim, um aˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
r o raio da circunfereˆncia considerada:
θ
1
=
l
r
⇒ l = θ · r
Desta forma, e´ fa´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos e´ 2pi rad :
2pir = θ · r ⇒ θ = 2pi rad
18 CAPI´TULO 0
• Relac¸o˜es trigonome´tricas nos triaˆngulos retaˆngulos:
Consideremos 0 < θ <
pi
2
e um aˆngulo de θ rad em um triaˆngulo retaˆngulo:
sen θ =
b
a
cos θ =
c
a
tg θ =
sen θ
cos θ
=
b
c
cos2 θ + sen 2θ = 1
• O c´ırculo trigonome´trico:
Relac¸o˜es:
cos2 θ + sen 2θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2θ , csc2 θ = 1 + ctg 2θ , ctg θ =
1
tg θ
( sen θ 6= 0)
• Aˆngulos nota´veis:
θ (rad) 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 pi 3pi/2 2pi
sen θ 0 1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1 0
cos θ 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0 1
tg θ 0
√
3
3
1
√
3 @ 0 @ 0Preliminares 19
• Fo´rmulas de transformac¸a˜o: cos(a+ b) = cos a · cos b− sen a · sen b cos(a− b) = cos a · cos b+ sen a · sen bsen (a+ b) = sen a · cos b+ sen b · cos a sen (a− b) = sen a · cos b− sen b · cos a
sen 2a =
1− cos 2a
2
cos2 a =
1 + cos 2a
2
cos a · cos b = 1
2
· cos(a+ b) + 1
2
· cos(a− b)
sen a · sen b = 1
2
· cos(a− b)− 1
2
· cos(a+ b)
sen a · cos b = 1
2
· sen (a+ b) + 1
2
· sen (a− b)
• Func¸o˜es trigonome´tricas:
Func¸a˜o SENO:
sen : IR −→ IR
x 7−→ sen x
Gra´fico:
Im ( sen ) = [−1, 1]
sen (−x) = − sen x (e´ uma func¸a˜o I´MPAR)
sen (x+ 2pi) = senx (e´ uma func¸a˜o PERIO´DICA de per´ıodo T = 2pi)
20 CAPI´TULO 0
A func¸a˜o SENO e´ ...
... CRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kpi − pi/2 , kpi + pi/2] , k I´MPAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MA´XIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kpi + pi/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR MI´NIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kpi + 3pi/2 (k ∈ Z)
Se sen x 6= 0 , enta˜o temos cscx = 1
sen x
. Assim, na˜o e´ dif´ıcil ver que a func¸a˜o
csc : IR− {kpi , k ∈ Z} → IR , que associa x 7→ csc x = 1/ sen x tem gra´fico:
A func¸a˜o SENO NA˜O E´ injetora e NA˜O E´ sobrejetora, mas
f : [−pi/2, pi/2] −→ [−1, 1]
x 7−→ sen x
e´ BIJETORA
e tem portanto inversa
f−1 : [−1, 1] −→ [−pi/2, pi/2]
y 7−→ f−1(y) = arc sen y
Exerc´ıcio: Fac¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a func¸a˜o SENO, para as func¸o˜es
COSSENO e TANGENTE.
Cap´ıtulo 1
A Derivada
1.1 Motivac¸a˜o
Seja dada uma func¸a˜o f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanc¸a de x por uma
func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma reta e´ atrave´s da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x, f(x)) ,
se houver esta tangente.
Consequ¨eˆncia: Podemos relacionar uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento de
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gra´fico de f em cada ponto (onde existir).
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
21
22 CAPI´TULO 1
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
(C)
f assumindo ma´ximo ou mı´nimo local
no interior de um intervalo
}
⇒ mt = 0 no ponto de ma´ximo ou mı´nimo.
(D)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para cima, em um intervalo
}
⇒ mt crescente neste intervalo.
(E)
Concavidade do gra´fico de f
voltada para baixo, em um intervalo
}
⇒ mt decrescente neste intervalo.
Obtendo “mt” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) :
A Derivada 23
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAC¸O˜ES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x 6= a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gra´fico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :
Temos enta˜o uma func¸a˜o msa : I − {a} → IR
x 7→ msa(x) =
f(x)− f(a)
x− a
Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x→ a ).
O esperado e´ que, quando x→ a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
nu´mero real e teremos
msa(x)→ mta ∈ IR , quando x→ a
Neste caso, dizemos que a func¸a˜o f e´ deriva´vel no ponto a, existe a reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e´ chamado a derivada de f no ponto
a (escrevemos f ′(a) ).
Obs.: E´ fundamental, para fazermos x→ a , que possamos aproximar o ponto a por uma
sequ¨eˆncia de pontos do domı´nio X de f , diferentes de a.
Exemplo:
24 CAPI´TULO 1
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma func¸a˜o g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
pontos x ∈ X , x 6= a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x→ a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x)→ L ∈ IR quando
x→ a .
1.2 Limites
Dada uma func¸a˜o f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando
x se aproxima de a , x 6= a .
Para isso, a na˜o precisa pertencer ao domı´nio de f , mas deve ser aproximado por pontos
do domı´nio:
Definic¸a˜o 1.1. (Ponto de acumulac¸a˜o): Um ponto a e´ chamado um PONTO DE ACUMULAC¸A˜O
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, ta˜o pro´ximos de a
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de X.
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
O conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de A e´ A′ = [−1, 3] .
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
Temos B′ = [0, 3] .
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
Neste caso C ′ = [1, 2] ∪ [3, 5] .
A Derivada 25
Consideremos agora, por exemplo, a func¸a˜o f : IR− {1} → IR dada por
f(x) =
3x2 − 2x− 1
x− 1
1 na˜o pertence ao domı´nio de f , mas e´ ponto de acumulac¸a˜o de IR − {1} . Podemos
enta˜o observar o comportamento de f(x) quando x→ 1 (x se aproxima de 1, x 6= 1)
Temos:
x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997
x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 a` medida que x→ 1 .
Dizemos enta˜o que 4 e´ o limite de f(x) quando x tende a 1 (x→ 1) e escrevemos:
lim
x→1
3x2 − 2x− 1
x− 1 = 4 .
A definic¸a˜o de limite
Definic¸a˜o 1.2. Sejam f : X → IR uma func¸a˜o e a ∈ X ′ (a e´ ponto de acumulac¸a˜o do
domı´nio - na˜o precisa pertencer a X).
Dizemos que um nu´mero real L e´ o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos
lim
x→a
f(x) = L
quando ...
... podemos obter f(x) ta˜o pro´ximo de L quanto
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-
lores (no domı´nio de f) diferentes de a .
m TRADUZINDO
... para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter um
δ > 0 (em geral dependendo do �) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x− a| < δ enta˜o |f(x)− L| < � .
26 CAPI´TULO 1
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR→ IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (func¸a˜o constante).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f1(x) = lim
x→a
c = c
• Seja f2 : IR→ IR dada por f2(x) = x ∀ x ∈ IR (func¸a˜o identidade).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a
f2(x) = lim
x→a
x = a
• Seja f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
sen x = 0
• Seja f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
cosx = 1
• Seja f5 : IR− { 0} → IR dada por f5(x) = sen x
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
sen x
x
= 1
• Seja f6 : IR− { 0} → IR dada por f6(x) = cosx− 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
• Seja f7 : IR− { 0} → IR dada por f7(x) = e
x − 1
x
∀ x 6= 0 .
Temos:
lim
x→0
ex − 1
x
= 1
A Derivada 27
1.3 Teoremas para (ajudar no) ca´lculo de limites
Teorema 1.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Temos:
lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
x→a
(f(x)− L) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)− L| = 0
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim
x→a
f(x) = 0 ⇔ lim
x→a
|f(x)| = 0 .
Exemplo: Sabemos que lim
x→0
x = 0 . Enta˜o segue que lim
x→0
|x| = 0 .
Teorema 1.2. (Sandu´ıche) Sejam f , g , h func¸o˜es tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
x 6= a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
h(x) , enta˜o lim
x→a
g(x) = L .
Exemplo: Vamos mostrar que lim
x→0
sen x = 0 .
28 CAPI´TULO 1
Teorema 1.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X ′ e lim
x→a
f(x) = L , lim
x→a
g(x) = M . Enta˜o:
lim
x→a
[f(x)± g(x)] = L±M ;
lim
x→a
f(x) · g(x) = L ·M ;
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
se M 6= 0 ;
lim
x→a
n
√
f(x) =
n
√
L
{
se n e´ I´MPAR e L e´ qualquer real
se n e´ PAR e L > 0
Exemplos:
(A) Seja p : IR→ IR dada porp(x) = cnxn + cn−1xn−1 + . . .+ c1x+ c0 ,
com cn, cn−1, . . . , c1, c0 ∈ IR (constantes) e cn 6= 0 ( p e´ uma func¸a˜o polinomial de grau n).
A Derivada 29
(B) Func¸o˜es racionais (quocientes de func¸o˜es polinomiais)
(C) lim
x→0
cosx = 1
30 CAPI´TULO 1
(D) lim
x→0
sen x
x
= 1
(E) lim
x→0
cosx− 1
x
= 0
A Derivada 31
Teorema 1.4. Se lim
x→a
f(x) = 0 e g e´ limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
(sem precisar estar definida em a), enta˜o lim
x→a
f(x) · g(x) = 0 .
(Exemplo)
Teorema 1.5. (Troca de varia´veis) Se lim
u→b
f(u) = L , lim
x→a
u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
x 6= a⇒ u 6= b , enta˜o
lim
x→a
f(u(x)) = lim
u→b
f(u) = L
Exemplos:
(A) lim
x→0
sen 4x
4x
(B) lim
x→0
sen 3x
x
(C) Seja f uma func¸a˜o definida num intervalo contendo um ponto a. Vamos observar o que
ocorre com o limite lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a quando fazemos a mudanc¸a de varia´veis h = x− a :
(D) lim
x→0
5x − 1
x
32 CAPI´TULO 1
Exerc´ıcios:
1) Prove que se lim
x→a
f(x) = L 6= 0 e lim
x→a
g(x) = 0 enta˜o @ (na˜o existe) lim
x→a
f(x)
g(x)
.
Sugesta˜o: Suponha que exista lim
x→a
f(x)
g(x)
= M e considere lim
x→a
f(x) = lim
x→a
[
f(x)
g(x)
· g(x)
]
.
2) Calcule os limites abaixo, justificando:
a) lim
x→3
x2 − 9
x− 3 b) limx→1/2
3 + 2x
5− x c) limx→0
√
x+ 2−√2
x
Sugesta˜o: racionalize o numerador
d) lim
x→2
x− 2
x4 − 16 Sugesta˜o: use que (a
n − bn) = (a− b).(an−1 + an−2b+ . . .+ abn−2 + bn−1)
e) lim
x→−3
x+ 3
(1/x) + (1/3)
f) lim
x→0
|x|√
x4 + 7
g) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12 h) limu→1
1√
5− u
i) lim
x→0
x3 sen
(
1
3
√
x
)
j) lim
h→0
4−√16 + h
h
k) lim
x→3
3
√
2 + 5x− 3x3
x2 − 1 l) limy→−2
y3 + 8
y + 2
m) lim
t→0
1− cos t
sen t
n) lim
x→2
x2 − x− 2
(x− 2)2 o) limx→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36 p) limw→0
sen 3w
sen 5w
q) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
r) lim
x→0
1 + tg x
sen x
s) lim
t→0
sen 22t
t2
t) lim
x→pi
sen x
x− pi u) limx→0
x
cosx
v) lim
x→0
1− cosx
x2
w) lim
x→0
3x − 1
x
x) lim
x→0
3x2
1− cos2(x/2)
Teoremas adicionais sobre limites
Teorema 1.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
O lim
x→a
f(x) , quando existe, e´ u´nico.
Teorema 1.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Se existe L = lim
x→a
f(x) enta˜o a func¸a˜o f e´
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
Exemplo: Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
x
∀ x 6= 0 .
0 e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio IR− {0} .
Podemos afirmar que NA˜O EXISTE o lim
x→0
1
x
, pois f na˜o e´ limitada em nenhum
intervalo aberto contendo 0 .
A Derivada 33
Teorema 1.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X ′ e L = lim
x→a
f(x) .
Se L > M enta˜o f(x) > M para todo x 6= a do domı´nio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim
x→a
f(x) > 0 enta˜o f(x) > 0 para todo x 6= a do domı´nio em um
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim
x→a
f(x) = L < M .
Teorema 1.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f :
lim
x→a+
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto e´, por valores x ∈ X, com x > a)
lim
x→a−
f(x)
(limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto e´, por valores x < a em X)
Temos, neste caso, que existe L = lim
x→a
f(x) se, e somente se, existem e sa˜o iguais a L
ambos os limites laterais, ou seja: lim
x→a+
f(x) = lim
x→a−
f(x) .
Exemplo: Seja f : IR− {0} → IR dada por f(x) = |x|
x
.
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBE´M PARA LIMITES LATERAIS,
COM AS DEVIDAS ADAPTAC¸O˜ES !
34 CAPI´TULO 1
Exerc´ıcios:
1) Sejam f, g : IR→ IR dadas por:
f(x) =
{
x3 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
Fac¸a um estudo sobre os limites: lim
x→1
f(x) lim
x→1
g(x) lim
x→1
(f.g)(x)
2) Mostre que lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(se existirem)
3) Para cada func¸a˜o f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩X ′ (a e´ ponto do domı´nio e
ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio), tambe´m fornecido, obtenha
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)).
(a) f1 : IR→ IR dada por f1(x) = 3x− 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR→ IR dada por f2(x) = −x2 e a = 3 .
(c) f3 : IR→ IR dada por f3(x) = senx e a = pi/6 .
(d) f4 : IR→ IR dada por f4(x) = cosx e a = pi/6 .
(e) f5 : IR→ IR dada por f5(x) = ex e a = 2 .
(f) f6 : (0,+∞)→ IR dada por f6(x) = 1/x e a =
√
2 .
Fac¸a ainda um esboc¸o e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboc¸o.
Sugesto˜es:
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),
fazendo x→ a.
Para as letras (c),(d) e (e), use tambe´m o exerc´ıcio anterior.
Pode tentar tambe´m fazer antes o Exerc´ıcio 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-
xerc´ıcio se torna um caso particular.
4) Para cada func¸a˜o f : X → IR do exerc´ıcio anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
mta para um a ∈ X qualquer !
A Derivada 35
1.4 Continuidade
Definic¸a˜o 1.3. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR tal que X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o).
Dado um ponto a , dizemos que f E´ CONTI´NUA NO PONTO a quando as seguintes
condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
1) Existe f(a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim
x→a
f(x) ;
3) lim
x→a
f(x) = f(a) .
Se f na˜o e´ cont´ınua em um ponto a, dizemos que f E´ DESCONTI´NUA EM a, ou que f
TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
Dizemos que f : X → IR e´ uma FUNC¸A˜O CONTI´NUA EM X quando ela e´ cont´ınua em
todos os pontos de seu domı´nio.
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVI´VEL:
36 CAPI´TULO 1
(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:
Continuidade e operac¸o˜es entre func¸o˜es
Teorema 1.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X ′ e a ∈ X .
Se f e g sa˜o cont´ınuas no ponto a ∈ X , enta˜o:
(f ± g) sa˜o cont´ınuas em a ;
(f · g) e´ uma func¸a˜o cont´ınua em a ;
(f/g) e´ cont´ınua em a se g(a) 6= 0 .
Teorema 1.11. (Composic¸a˜o) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ′) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ′) de
forma que a composta g ◦ f : X → IR esta´ bem definida
Se f e´ cont´ınua em a ∈ X e g e´ cont´ınua em b = f(a) ∈ Y enta˜o a composta
g ◦ f : X → IR e´ cont´ınua no ponto a ∈ X .
Exerc´ıcios:
1) Seja f : [0,+∞)→ IR dada por f(x) = √x .
(i) Mostre que lim
x→0
√
x = 0 (Sugesta˜o: Considere apenas o limite lateral lim
x→0+
√
x - pois 0
A Derivada 37
so´ pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare
√
x com 3
√
x para 0 < x < 1 )
(ii) Conclua que f e´ cont´ınua (em todos os pontos de seu domı´nio).
(iii) Mostre que @ lim
x→0
√
x
x
(racionalize).
(iv) Generalize para g : [0,∞)→ IR dada por g(x) = n√x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f e´ cont´ınua ou na˜o),
justificando:
(a) f : (−∞, 16]→ IR dada por f(x) = √16− x .
(b) f : [0,+∞)→ IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1
x2
se x 6= 0 .
(c) f : IR→ IR dada por f(x) =

x+ 1
x3 + 1
se x 6= −1
3 se x = −1
.
Func¸o˜es cont´ınuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre ma´ximos e mı´nimos, podemos ter func¸o˜es que na˜o
assumem valores ma´ximos e/ou mı´nimos.
Por exemplo:
f : IR→ IR dada por f(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
g : (−1, 2)→ IR dada por g(x) = x NA˜O ASSUME MA´XIMO NEM MI´NIMO !
38 CAPI´TULO 1
Existe uma situac¸a˜o(envolvendo continuidade) na qual estes problemas na˜o ocorrem:
Teorema 1.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b]→ IR e´ uma func¸a˜o cont´ınua (em todos os pontos do
intervalo limitado e fechado [a, b]), enta˜o f assume valores ma´ximo e mı´nimo neste intervalo
[a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f(cM) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]
f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das func¸o˜es cont´ınuas e´ a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-
TERMEDIA´RIO”:
Teorema 1.13. (Teorema do valor intermedia´rio) Se f : X → IR e´ cont´ınua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f(a) 6= f(b) , enta˜o f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,
dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .
(Ilustrac¸a˜o)
(Exemplo)
1.5 A definic¸a˜o da Derivada
Definic¸a˜o 1.4. Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR , com X ⊂ X ′ (todo ponto do
domı´nio e´ ponto de acumulac¸a˜o do domı´nio).
Dizemos que f e´ DERIVA´VEL em a ∈ X quando existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
O nu´mero f ′(a) ∈ IR e´ chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.
A Derivada 39
Observac¸o˜es:
• Em nossas aplicac¸o˜es, o domı´nio X sera´ sempre um intervalo (e ja´ teremos X ⊂ X ′ );
• Outras notac¸o˜es para f ′(a) :
f ′(a) = Dxf(a) =
df
dx
(a) =
df
dx
∣∣∣∣
x=a
ou ainda f ′(a) = y′(a) =
dy
dx
(a) , se y = f(x)
• Podemos considerar a func¸a˜o f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
existir f ′(x) . f ′ e´ chamada a FUNC¸A˜O DERIVADA DE f .
Interpretac¸a˜o geome´trica
Ja´ vimos, como motivac¸a˜o para o estudo de limites, que se f : X → IR e´ deriva´vel em
a ∈ X , enta˜o f ′(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gra´fico
de f no ponto (a, f(a)) :
Vimos tambe´m que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
trazer uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento da func¸a˜o f .
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR→ IR dada por f(x) = c ∀ x ∈ IR .
40 CAPI´TULO 1
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g′(2) , por exemplo:
Exerc´ıcio:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 enta˜o g′(x) = 3x2 ∀ x ∈ IR .
(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) enta˜o f ′(x) = nxn−1 .
(C) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = senx .
Exerc´ıcio: Obtenha a derivada de g : IR→ IR dada por g(x) = cosx .
(D) Seja u : IR→ IR dada por u(t) = et (func¸a˜o exponencial na base e).
A Derivada 41
(E) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = |x| .
(F) Seja g : IR− {0} → IR dada por g(x) = 1
x4
= x−4 .
Exerc´ıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)
enta˜o g′(x) = −nx−n−1 ∀x 6= 0 .
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR→ IR dada por u(t) = at (func¸a˜o exponencial na base a).
42 CAPI´TULO 1
1.6 Derivadas e continuidade
Teorema 1.14. Se f : X → IR e´ DERIVA´VEL em a ∈ X , enta˜o f e´ CONTI´NUA em a.
De fato:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ X , enta˜o existe o limite lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) .
Existe f(a) (pois a ∈ X).
Se x 6= a , temos: f(x)− f(a) =
[
f(x)− f(a)
x− a
]
· (x− a) .
Como lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = f
′(a) e lim
x→a
(x− a) = 0 , segue que
lim
x→a
f(x)− f(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a · limx→a (x− a) = f
′(a) · 0 = 0
Logo lim
x→a
f(x) = f(a) e portanto f e´ cont´ınua no ponto a .
Algumas consequ¨eˆncias:
• Sa˜o cont´ınuas em todos os pontos de seus domı´nios as func¸o˜es:
f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
(n = 1, 2, 3. . . .) ,
g1 : IR→ IR dada por g1(x) = senx , g2 : IR→ IR dada por g2(x) = cosx ,
u : IR→ IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois sa˜o todas deriva´veis em todos os pontos de
seus domı´nios.
• Se uma determinada func¸a˜o e´ descont´ınua
em algum ponto de seu domı´nio, enta˜o ela na˜o e´
deriva´vel neste ponto de descontinuidade.
• CUIDADO! Na˜o podemos garantir a rec´ıproca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma func¸a˜o que e´ cont´ınua mas na˜o e´ deriva´vel em determinados pontos.
Exemplo: f(x) = |x| e´ cont´ınua no ponto 0 ( lim
x→0
|x| = 0 = f(0) ), mas ja´ vimos que @ f ′(0) .
A Derivada 43
1.7 Regras de derivac¸a˜o
Teorema 1.15. Se f , g : X → IR sa˜o deriva´veis em a ∈ X , enta˜o:
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf) : X → IR e´ deriva´vel em a e (cf)′(a) = c · f ′(a) ;
(b) f ± g sa˜o deriva´veis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a) ;
(c) (f · g) e´ deriva´vel em a e (f · g)′(a) = f ′(a).g(a) + f(a).g′(a) ;
(d) (f/g) e´ deriva´vel em a se g(a) 6= 0 e (f/g)′(a) = f
′(a).g(a)− f(a).g′(a)
[g(a)]2
.
Exemplos:
(A) Para cada func¸a˜o f dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada)
1) f : IR→ IR dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x+ 7 .
2) f : IR→ IR dada por f(t) = 6t− 10
t2 + 5
.
3) f : IR− Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f(x) = tg x .
Exerc´ıcio: Obtenha
d
dx
ctg x ,
d
dx
sec x ,
d
dx
csc x
4) f : IR→ IR dada por f(u) = eu(u3 + 3 cosu) .
44 CAPI´TULO 1
5) f : IR→ IR dada por f(t) = sen 2t .
6) f : IR− {0} → IR dada por f(x) = 1
xn
= x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
(B) Seja g : IR→ IR dada por g(x) = 4− x2 .
1) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico de g e que passam pelos pontos:
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g e que e´ paralela a` reta y = 2x .
A Derivada 45
3) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de g no ponto A(1, 3) .
4) Em que ponto a tangente ao gra´fico e´ “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
5) Onde o coeficiente angular da tangente e´ positivo ?
6) Onde o coeficiente angular da tangente e´ negativo ?
A Regra da Cadeia - Derivadas de func¸o˜es compostas
Teorema 1.16. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e
a composta (g ◦ u) : X → IR esta´ bem definida:
Dado a ∈ X , se u e´ deriva´vel em a (existe u′(a)) e g e´ deriva´vel em b = u(a) (existe
g′(b) = g′(u(a)) ), enta˜o a composta (g ◦u) : X → IR e´ deriva´vel em a ∈ X em temos ainda:
(g ◦ u)′(a) = g′(b) · u′(a) = g′(u(a)) · u′(a)
Quanto a` func¸a˜o derivada (g◦u)′ : x 7→ (g◦u)′(x) , escrevemos (g◦u)′(x) = g′(u(x))·u′(x)
para todo x onde existirem as derivadas.
46 CAPI´TULO 1
Exemplos:
Para cada func¸a˜o f : IR→ IR dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada):
(A) f dada por f(x) = cos(x3 + 1) .
(B) f dada por f(t) = (4t3 − t2 + 3t− 2)2 .
(C) f dada por f(x) = (5x2 − 2x+ 1)−3 .
(D) f dada por f(w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .
(E) f dada por f(t) = ekt , k 6= 0 (constante).
A Derivada 47
(F) f dada por f(t) = sen 2t .
(G) f dada por f(t) = cos5 t .
(H) f dada por f(x) = e(x
2) .
(I) f dada por f(w) = (ew − senw)2 .
(J) f dada por f(t) = epi cos(2t
3) .
48 CAPI´TULO 1
Derivadas de func¸o˜es inversas
Teorema 1.17. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma func¸a˜o INVERTI´VEL (bijetora
= injetora e sobrejetora) e CONTI´NUA (em todos os pontos de seu domı´nio I).
Sua inversa g : J → I e´ cont´ınua em todos os pontos de J .
Mais ainda:
Se f e´ deriva´vel em a ∈ I e f ′(a) 6= 0 , enta˜o g e´ deriva´vel em b = f(a) e podemos
obter g′(b) atrave´s da Regra da Cadeia.
Exemplos:
(A) Derivada da func¸a˜o logar´ıtmica na base e:
Exerc´ıcio: Fixado a > 0 , a 6= 1 , obtenha g′(x) se g : (0,+∞)→ IR e´ dada por
g(x) = loga x
Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0,+∞) ⇒ g′(x) =
1
x ln a
∀ x > 0 .
A Derivada 49
(B) Ra´ızes:
(C) Func¸o˜es trigonome´tricas e suas inversas:
Exerc´ıcio:
(a) Se g : [−1, 1]→ [0, pi] e´ dada por g(x) = arc cos x , mostre que
g′(x) = − 1√
1− x2 ∀ x ∈ (−1, 1)
50 CAPI´TULO 1
(b) Se h : IR→ (−pi/2, pi/2) e´ dada por h(x) = arc tg x , mostre que
h′(x) =
1
1 + x2
∀ x ∈ IR
1.8 Derivac¸a˜o impl´ıcita
Sejaf : [−1, 1]→ IR a func¸a˜o dada por f(x) = √1− x2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f(x) , temos:
y =
√
1− x2
⇓
y2 = 1− x2 , y ≥ 0
⇓
(∗) x2 + y2 = 1 (y ≥ 0)
A equac¸a˜o (*) acima estabelece uma relac¸a˜o entre x e y = f(x) . Juntamente com a
restric¸a˜o y ≥ 0 ela define bem a func¸a˜o f . Por isso dizemos que f ESTA´ IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y e´ func¸a˜o de x , e´ fa´cil ver que a equac¸a˜o (*)
estabelece a igualdade entre x2 + f(x)2 e a func¸a˜o constante e igual a 1. Podemos pensar
portanto em DERIVAR EM RELAC¸A˜O A` VARIA´VEL x.
Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) e´ deriva´vel e tomando o cuidado de lembrar
que y = f(x) , ou seja, y2 e´ uma composic¸a˜o de func¸o˜es e DEVEMOS USAR A REGRA
DA CADEIA:
x2 + y2 = 1
⇓
2x+ 2yy′ = 0
⇓
(∗∗) y′ = − x
y
(y 6= 0)
Lembrando que y = f(x) =
√
1− x2 , temos:
f ′(x) = y′ = − x√
1− x2 , x ∈ (−1, 1)
A Derivada 51
Poss´ıveis vantagens da derivac¸a˜o impl´ıcita:
• Derivar a equac¸a˜o (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar
obter a derivada atrave´s da expressa˜o expl´ıcita de f .
• Uma equac¸a˜o em x e y pode definir implicitamente va´rias func¸o˜es e, caso isto ocorra,
a derivac¸a˜o impl´ıcita serviria para todas elas.
Exemplos:
(A) Admitindo que f : (0,+∞)→ IR dada por f(x) = lnx e´ deriva´vel, obtenha f ′(x) por
derivac¸a˜o impl´ıcita.
(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0,+∞) → IR dada por f(x) = xα seja
deriva´vel, use logar´ıtmos para obter f ′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(C) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
x2
4
+ y2 = 1 no ponto (1, −√3 /2) .
(D) Seja g : (0,+∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a 6= 1) . Admitindo que g e´
deriva´vel, obtenha g′(x) via derivac¸a˜o impl´ıcita.
52 CAPI´TULO 1
(E) Se y = 3
√
x
x3 + 1
, obtenha y′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
Exerc´ıcios:
1) O objetivo deste exerc´ıcio e´ observar a naturalidade da medida de aˆngulos em radianos,
no seguinte sentido: alguns ca´lculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao
inve´s de graus como unidades de medida.
Quando lidamos com as func¸o˜es trigonome´tricas, por exemplo, quase todos os resultados
decorrem do seguinte limite:
lim
x→0
sen x
x
= 1 (Limite Trigonome´trico Fundamental)
Ajuste a demonstrac¸a˜o que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a
medida dos aˆngulos em GRAUS.
Calcule tambe´m
d sen x
dx
quando x e´ medido em graus.
2) Para cada func¸a˜o dada abaixo (por questo˜es de economia de espac¸o, estamos cometendo
um abuso ao omitir os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada (onde existir):
a) f(x) = 10x2 + 9x− 4 b) h(x) = (2x2 − 4x+ 1)(6x− 5) c) f(w) = 2w
w3 − 7
d) f(x) =
1
1 + x+ x2 + x3
e) g(x) = (8x−7)−5 f) s(t) =
(
3t+ 4
6t− 7
)3
g) h(z) =
9z3 + 2z
6z + 1
h) H(x) =
2x+ 3√
4x2 + 9
i) f(x) = 5
√
1/x j) f(x) = 6x2 − 5
x
+
2
3
√
x2
k) f(w) =
3
√
3w2
A Derivada 53
l) f(t) = (t6 − t−6)6 m) f(x) = xm/n m,n 6= 0 ∈ Z n) h(s) = ln(5s2+1)3 o) f(x) = x lnx
p) g(x) =
x2
lnx
q) f(u) = ue−u r) h(s) = s2e−2s s) f(x) = ex lnx t) g(w) = ln
(
ew + 1
ew − 1
)
u) f(x) = ecos 2x v) g(x) = x senx w) h(x) = ln tg x x) f(w) = ln cos2 3w
y) f(x) =
arc tg x
x2 + 1
z) f(x) =
e2x
arc sen 5x
3) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto
P (−1, 4).
4) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 3x2 + 4x− 6 e tal que:
(a) Essa tangente seja paralela a` reta 5x− 2y − 1 = 0 ;
(b) Seja tangente ao gra´fico no ponto P (1, 1) .
5) Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa por P (3, 1) e e´ tangente ao gra´fico de
y =
4
x
6) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de f(x) = (x− 1)4 no ponto P (2, 1) .
7) Determine as equac¸o˜es da tangente e da normal ao gra´fico de y = 8 sen 3x no ponto
P (pi/6, 1) .
54 CAPI´TULO 1
Coletaˆnea de provas anteriores (1):
Questa˜o 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-
CANDO:
(a) lim
x→1/√2
x5 − (1/√2)5
x− (1/√2) (b) limx→−2
(x− 1)(x+ 2)
x2 + 4x+ 4
(c) lim
x→3
√
x2 − 9
x− 3
(d) lim
y→0
e7y − 1
sen y
(e) lim
x→0
(1− sec x). ctg x. cosx
x
Questa˜o 2: (10 pts) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0
−x+ 2 se x ≥ 0
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equac¸a˜o f(x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
(c) Responda se f e´ deriva´vel em x = 0. Se for, obtenha a derivada f ′(0). Se na˜o for,
justifique.
Questa˜o 3: (10 pts) Fac¸a UM dos ı´tens abaixo:
(a) Se f(x) = cosx ∀x ∈ IR , mostre (via definic¸a˜o) que f ′(x) = − sen x ∀x ∈ IR .
(b) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via definic¸a˜o) que g′(x) = 5x. ln 5 ∀x ∈ IR .
Questa˜o 4: (40 pts) Para cada func¸a˜o dada abaixo (por questo˜es de economia de espac¸o,
estamos cometendo um abuso ao omitir os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada
(onde existir a derivada), indique onde existe e fornec¸a ainda, quando solicitado, a derivada
nos pontos solicitados:
(a) f(x) = (3x− 1).(2x+ 1)5 .
(b) g(w) = 3
√
3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g′(3).
(c) h(s) = pi. sec s =
pi
cos s
. Obtenha ainda, em particular, h′(0).
(d) f(t) = e(3t
2−t) . Obtenha ainda, em particular, f ′(1/3).
(e) f(x) = ln( sen 42x) .
Questa˜o 5: (10 pts) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f : IR→ (−2pi, 2pi)
dada por f(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, pi) .
A Derivada 55
Coletaˆnea de provas anteriores (2):
Questa˜o 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-
CANDO:
(a) lim
x→3
x2 − 6x+ 9
(x+ 1)(x− 3) (b) limx→√3
pi
√
3− pix
x3 − 3√3 (c) limx→pi/2
x− pi/2
cosx
(d) lim
x→0
sen 3x
5x(1− cosx) (e) limy→0
3
√
1− e2y
y
Questa˜o 2: (10 pts) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x3 − x− 3 se x < 2
5− x se x ≥ 2
(a) Onde f e´ cont´ınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
(c) Responda se f e´ deriva´vel em a = 2. Se for, obtenha a derivada f ′(2). Se na˜o for,
justifique.
Questa˜o 3: (8 pts) Fac¸a UM dos ı´tens abaixo:
(a) Seja f(x) = senx ∀x ∈ IR . Obtenha (via definic¸a˜o) f ′(2pi/3) .
(b) Se g(x) = arc tg x ∀x ∈ IR , prove que g′(x) = 1
1 + x2
∀x ∈ IR .
Questa˜o 4: (12 pts) Considere f : IR→ IR dada por f(x) = e−2x .
(a) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?
(b) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?
Questa˜o 5: (40 pts) Para cada func¸a˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indique onde existe e fornec¸a
ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados:
(a) f(x) =
2x2
(x− 4)2 . Obtenha ainda, em particular, f
′(2).
(b) h(s) =
ctg s√
2
=
cos s√
2 · sen s . Obtenha ainda, em particular, h
′(pi/4).
(c) g(t) = (2t− 1)3 · e(t2+2t) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).
(d) f(w) = ln (5w2 + 2 + cosw) . Obtenha ainda, em particular, f ′(0).
(e) g(y) = arc tg (
√
y − 1 ) .
56 CAPI´TULO 1
Coletaˆnea de provas anteriores (3):
Questa˜o 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
(a) lim
x→√2
3x− 3√2
x6 − 8 (b) limy→0
√
sen piy
y
(c) lim
x→1
x2 − 1
(1− x)3
(d) lim
x→−pi
1 + cos x
x+ pi
(e) lim
x→0
ex + sen 2x− 1
x
Questa˜o 2: (10 pts) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
2x+ 1 se x ≤ 3
−x2 + 8x− 8 se x > 3
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
(b) f e´ deriva´vel em a = 3 ? Se for, PROVEe obtenha f ′(2). Se na˜o for, justifique.
(c) Sabendo que f e´ crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10,+∞) , podemos
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f(xM) ≥ f(x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
Questa˜o 3: (8 pts) Fac¸a UM dos ı´tens abaixo:
(a) Seja f(x) =
1
x3
∀x 6= 0 . Obtenha, via definic¸a˜o, f ′(1) .
(b) Se g(x) = arc cos x ∀x ∈ [−1, 1] , prove que g′(x) = − 1√
1− x2 ∀x ∈ (−1, 1) .
Questa˜o 4: (12 pts) Considere f : IR→ IR dada por f(x) = arc tg x
pi
.
(a) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?
(b) Qual a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de f no ponto B(
√
3 , 1/3) ?
Questa˜o 5: (40 pts) Para cada func¸a˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indique onde existe e fornec¸a
ainda, quando solicitado, o que se pede:
(a) f(x) =
x3
e2x
. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = 0 ?
(b) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s2+3s) . Obtenha ainda, em particular, h′(0).
(c) g(w) = tgw · ln(3− w2) . Obtenha ainda, em particular, g′(0).
(d) v(t) =
s(t)2
3t
(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s′(1) = 2, obtenha v′(1) .
(e) u(y) = 4
√
2y2 + 5 + 4 cos y = (2y2 + 5 + 4 cos y)1/4 .
A Derivada 57
Coletaˆnea de provas anteriores (4):
Questa˜o 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
(a) lim
x→3
3
√
x− 3
27− x3 (b) limx→−1
x3 + 2x2 + x
x+ 1
(c) lim
x→0
e senx − 1
2x
(d) lim
y→0
sen 7y + cospiy − 1
y
(e) lim
x→0
1− cosx√
5 · x · sen x
Questa˜o 2: (10 pts) Seja f : IR→ IR dada por f(x) =
{
x+ 1 se x < −1
1 + sen (x+ 1) se x ≥ −1
(a) Responda se f e´ cont´ınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
(b) f e´ deriva´vel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′(−1). Se na˜o, justifique.
(c) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , e´ poss´ıvel afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre
a e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
Questa˜o 3: (8 pts) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 5√x ∀ x ∈ IR .
Mostre, via definic¸a˜o, que @ (na˜o existe) f ′(0) .
Prove (podendo usar que existe f ′(x) para todo x 6= 0 ) que f ′(x) = 1
5
5
√
x4
∀ x 6= 0 .
Questa˜o 4: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se
existir, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)
Questa˜o 5: (40 pts) Para cada func¸a˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indique onde existe e fornec¸a
ainda, quando solicitado, o que se pede:
(a) h(s) =
3
√
s2
1 + s2
. Obtenha ainda, em particular, h′(1).
(b) v(t) = ln 2 · log 1
2
(3t2 + 1) . v′(1) e´ positivo, negativo ou zero ? Obtenha v′(1) para
justificar.
(c) f(x) = x2 · lnx− x
2
2
. Responda: Para quais valores de x temos f ′(x) = x ?
(d) g(w) = csc2w =
1
sen 2w
. Obtenha ainda, em particular, g′(pi/4).
(e) u(y) = tg
[
arc tg
(
1
y
)]
. Obtenha ainda, em particular, u′(
√
3 ) .
58 CAPI´TULO 1
Coletaˆnea de provas anteriores (5):
Questa˜o 1: (24 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
(a) lim
x→√3
x3 − 3√3
4x− 4√3 (b) limy→0
e2y − 1
sen (3y)
(c) lim
x→−1
x3 + x2 − x− 1
x3 − x (d) limx→pi/2
1− sen x
x− (pi/2)
Questa˜o 2: (12 pts)
(a) Seja f : IR → IR uma func¸a˜o tal que f(x) = sen [pi(x− 1)]
x− 1 ∀ x 6= 1 . f pode ser
cont´ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
na˜o, JUSTIFIQUE.
(b) Seja g : IR → IR uma func¸a˜o tal que g(x) = |x− 1|
x− 1 ∀ x 6= 1 . g pode ser cont´ınua
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se na˜o,
JUSTIFIQUE.
Questa˜o 3: (12 pts) Seja f : IR→ IR dada por f(x) = 3 · 3√x ∀ x ∈ IR
Mostre, VIA DEFINIC¸A˜O, que @ (na˜o existe) f ′(0) e que f ′(a) =
1
3
√
a2
∀ a 6= 0 .
Questa˜o 4: (12 pts) (a) A reta 3y+8x+1 = 0 e´ NORMAL ao gra´fico de uma certa func¸a˜o
f : IR → IR no ponto A(1,−3) (pertencente ao gra´fico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO)
f ′(1) .
(b) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gra´fico de
g(x) = e(x
2+6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gra´fico de g) ? (JUSTIFIQUE)
Questa˜o 5: (40 pts) Para cada func¸a˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir
os domı´nios e contra-domı´nios), calcule sua derivada, indique onde existe e fornec¸a ainda
o que se pede:
(a) f(x) = x · (ln 5− 1 + lnx) . Obtenha ainda, em particular, f ′(2) .
(b) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h′(pi/3).
(c) g(w) = ln(w2 − w) + 3
(3w2−w3)
ln 3
. Obtenha ainda, em particular, g′(2).
(d) v(t) =
sen [s(t)]
t
(existe s′(t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = pi/2 e s′(2) = e, obtenha v′(2) .
(e) u(y) = 3 · 3√ arc tg y . Obtenha ainda u′(1) e responda se u′(1) e´ maior ou menor
que 1 (mostre as contas).
A Derivada 59
Respostas de exerc´ıcios
• Pa´gina 32:
Exerc´ıcio 2)
a) 6 b)
8
9
c)
√
2
4
d)
1
32
e) −9 f) 0 g) 1
7
h)
1
2
i) 0 j) − 1
8
k) −2 l) 12 m) 0 n) @ (na˜o existe) o) 1 p) 3
5
q)
1
3
r) @
s) 4 t) −1 u) 0 v) 1
2
w) ln 3 x) 12
• Pa´gina 34:
Exerc´ıcio 1) @ lim
x→1
f(x) , @ lim
x→1
g(x) , lim
x→1
(f.g)(x) = 4
Exerc´ıcio 2) Fac¸a a mudanc¸a de varia´veis x− a = h e aplique o Teorema sobre limites
de func¸o˜es compostas !
Exerc´ıcio 3)
(a) f ′1(−5) = mt−5 = 3
(b) f ′2(3) = mt3 = −6
(c) f ′3(pi/6) = mtpi/6 =
√
3
2
(d) f ′4(pi/6) = mtpi/6 = −
1
2
(e) f ′5(2) = mt2 = e
2
(f) f ′6(
√
2) = mt√2 = −
1
2
Exerc´ıcio 4)
(a) f ′1(a) = 3
(b) f ′2(a) = −2a
(c) f ′3(a) = cos a
(d) f ′4(a) = − sen a
(e) f ′5(a) = e
a
(f) f ′6(a) = −
1
a2
60 CAPI´TULO 1
• Pa´ginas 36-37:
Exerc´ıcio 2) Cont´ınua em...
a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: lim
x→16−
√
16− x = 0 = f(16)
b) ... (0,+∞) . Em a = 0 temos: @ lim
x→0+
f(x)
c) ... IR− {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim
x→−1
f(x) = 1/3 6= f(−1)
• Pa´ginas 52-53:
Exerc´ıcio 1) lim
x→0
sen x
x
=
pi
180
e
d sen x
dx
=
pi cosx
180
(se x e´ dado em GRAUS).
Exerc´ıcio 2) a) f ′(x) = 20x+ 9 ∀ x ∈ IR b) h′(x) = 36x2 − 68x+ 26 ∀ x ∈ IR
c) f ′(w) =
−4w3 − 14
(w3 − 7)2 ∀ w 6=
3
√
7 d) f ′(x) = − (3x
2 + 2x+ 1)
(1 + x+ x2 + x3)2
∀ x 6= −1
e) g′(x) = −40(8x− 7)−6 ∀ x 6= 7
8
f) s′(t) = −135(3t+ 4)
2
(6t− 7)4 ∀ t 6=
7
6
g) h′(z) =
108z3 + 27z2 + 2
(6z + 1)2
∀ z 6= − 1
6
h) H ′(x) =
18− 12x√
(4x2 + 9)3
∀ x ∈ IR
i) f ′(x) = − 1
5x 5
√
x
∀ x 6= 0 j) f ′(x) = 12x+ 5
x2
− 4
3x
3
√
x2
∀ x 6= 0
k) f ′(w) =
2
3
√
9w
∀ w 6= 0 l) f ′(t) = 6(t6 − t−6)5.(6t5 + 6t−7) ∀ t 6= 0
m) f ′(x) =
m
n
· x
m
n
− 1
{
∀ x > 0 se n e´ par
∀ x 6= 0 se n e´ ı´mpar n) h
′(s) =
30s
5s2 + 1
∀ s ∈ IR
o) f ′(x) = lnx+ 1 ∀ x > 0 p) g′(x) = 2x lnx− x
(lnx)2
∀ x > 0
q) f ′(u) = (1− u) · e−u ∀ u ∈ IR r) h′(s) = (s− s2) · 2e−2s ∀ s ∈ IR
s) f ′(x) = xx(lnx+ 1) ∀ x > 0 t) g′(w) = −2e
w
e2w − 1 ∀ w 6= 0
u) f ′(x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR v) g′(x) = x senx
(
cosx lnx+
sen x
x
)
∀ x > 0
w) h′(x) =
1
sen x cosx
se tg x > 0 x) f ′(w) = −6 tg 3w se cos 3w 6= 0
y) f ′(x) =
1− 2x arc tg x
(x2 + 1)2
∀ x ∈ IR
A Derivada 61
z) f ′(x) =
2e2x · arc sen 5x · √1− 25x2 − 5e2x√
1− 25x2 · ( arc sen 5x)2 ∀ x ∈
(
− 1
5
,
1
5
)
Exerc´ıcio 3) y = −7x− 3
Exerc´ıcio 4) a) y =
5
2
x− 99
16
b) y = 10x− 9
Exerc´ıcio 5) y = −x+ 4 ou y = −1
9
x+
4
3
Exerc´ıcio 6) y = − x
4
+
3
2
Exerc´ıcio 7) tangente: y = 3
√
3 x+
(
1− pi
√
3
2
)
normal: y = −
√
3
9
x+
(
1 +
pi
√
3
54
)
• Pa´gina 54: Coletaˆnea 1
Questa˜o 1) (a) 5/4 (b) @ (c)
√
6 (d) 7 (e) −1/2Questa˜o 2) (a) f e´ cont´ınua em todo a 6= 0 e na˜o e´ cont´ınua em a = 0 .
(b) Como a func¸a˜o f e´ cont´ınua no intervalo [−2,−1] e f(−2) < 0 < f(−1) , temos
enta˜o pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO que existe x entre −2 e −1 tal que
f(x) = 0 .
(c) f na˜o pode ser deriva´vel em x = 0 pois f na˜o e´ cont´ınua neste ponto.
Questa˜o 4) (a) f ′(x) = (2x+ 1)4(36x− 7) ∀ x ∈ IR
(b) g′(w) =
1
3
√
(3w − 1)2 ∀ w 6= 1/3 e g
′(3) = 1/4
(c) h′(s) = pi. tg s. sec s se cos s 6= 0 e h′(0) = 0
(d) f ′(t) = e3t
2−t · (6t− 1) ∀ t ∈ IR e f ′(1/3) = 1
(e) f ′(x) = 8 ctg 2x se sen 2x 6= 0
Questa˜o 5) y = 2x+ (pi − 2)
62 CAPI´TULO 1
• Pa´gina 55: Coletaˆnea 2
Questa˜o 1) (a) 0 (b) − pi
9
(c) −1 (d) 2
5
(e) − 3√2
Questa˜o 2) (a) f e´ cont´ınua em todo a ∈ IR .
(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a func¸a˜o e´ cont´ınua e “muda de sinal”.
O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIA´RIO nos garante que sob estas condic¸o˜es a func¸a˜o
assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.
(c) f na˜o e´ deriva´vel em a = 2 (apesar de ser cont´ınua neste ponto).
Questa˜o 4) (a) y = −2x+ 1 (b) y = − 1
2
x+
(
1 + ln 4
4
)
Questa˜o 5) (a) f ′(x) =
−16x
(x− 4)3 ∀ x 6= 4 e f
′(2) = 4
(b) h′(s) = −csc
2 s√
2
se sen s 6= 0 e h′(pi/4) = −
√
2
(c) g′(t) = (2t− 1)2 · et2+2t · [6 + (2t− 1)(2t+ 2)] ∀ t ∈ IR e g′(0) = 4
(d) f ′(w) =
10w − senw
5w2 + 2 + cosw
∀ w ∈ IR e f ′(0) = 0
(e) g′(y) =
1
2y
√
y − 1 se y > 1
• Pa´gina 56: Coletaˆnea 3
Questa˜o 1) (a)
√
2
16
(b)
√
pi (c) @ (d) 0 (e) 1
Questa˜o 2) (a) f e´ cont´ınua em a = 3 (verificados tambe´m os limites laterais).
(b) ∃ f ′(3) = lim
x→3
f(x)− f(3)
x− 3 = 2 ( f e´ deriva´vel em a = 3 ).
(c) SIM! f e´ cont´ınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume a´ı
ma´ximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se enta˜o (com as outras hipo´teses)
que f(xM) ≥ f(x) ∀ x ∈ IR .
Questa˜o 4) (a) y =
1
pi
x (b) y = −4pi x+
(
12pi
√
3 + 1
3
)
Questa˜o 5) (a) f ′(x) =
x2(3− 2x)
e2x
∀ x ∈ IR . f ′(x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .
A Derivada 63
(b) h′(s) = cos(3s2 − s).(6s− 1) + 2(s2+3s). ln 2.(2s+ 3) ∀ s ∈ IR . h′(0) = 3 ln 2− 1 .
(c) g′(w) =
ln(3− w2)
cos2w
− 2w tgw
3− w2 ∀ cosw 6= 0 e −
√
3 < w <
√
3 . g′(0) = ln 3 .
(d) v′(t) =
2t · s(t) · s′(t)− s(t)2
3t2
∀ t 6= 0 . v′(1) = 1 .
(e) u′(y) =
y − sen y
4
√
(2y2 + 5 + 4 cos y)3
∀ y ∈ IR .
• Pa´gina 57: Coletaˆnea 4
Questa˜o 1) (a) − 1
3
(b) 0 (c)
1
2
(d) 7 (e)
1
2
√
5
Questa˜o 2) (a) f na˜o e´ cont´ınua em a = −1 (@ lim
x→−1
f(x) ).
(b) f na˜o e´ deriva´vel em a = −1 (pois na˜o e´ cont´ınua neste ponto).
(c) NA˜O PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2,−1] . Temos:
−1 = f(−2) < 1/2 < f(−1) = 1 mas na˜o existe nenhum c ∈ [−2,−1] tal que f(c) = 1/2 .
Questa˜o 4) y = 2e2 x− 2e2 .
Questa˜o 5) (a) h′(s) =
2 3
√
(1 + s2)2
3(1 + s2)2. 3
√
s
∀ s 6= 0 . h′(1) =
3
√
4
6
.
(b) v′(t) =
−6t
3t2 + 1
∀ t ∈ IR . v′(1) = − 3
2
< 0 .
(c) f ′(x) = 2x lnx ∀ x > 0 . x = f ′(x) quando x = √e .
(d) g′(w) =
−2 cosw
sen 3w
∀ senw 6= 0 . g′(pi/4) = −4 .
(e) u′(y) = − 1
y2
∀ y 6= 0 . u′(√3 ) = − 1
3
.
• Pa´gina 58: Coletaˆnea 5
Questa˜o 1) (a)
9
4
(b)
2
3
(c) 0 (d) 0
Questa˜o 2) (a) SIM! f(1) = pi para que f seja cont´ınua em x = 1 .
(b) NA˜O ! g na˜o pode ser cont´ınua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .
64 CAPI´TULO 1
Questa˜o 4) (a) f ′(1) =
3
8
(b) b = 3e .
Questa˜o 5) (a) f ′(x) = lnx+ ln 5 ∀ x > 0 . f ′(2) = ln 10 .
(b) h′(θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ 6= 0 . h′(pi/3) = 8(√3 + 1) .
(c) g′(w) =
2w − 1
w2 − w + (6w − 3w
2) · 3(3w2−w3) ∀ w < 0 ou w > 1 . g′(2) = 3
2
.
(d) v′(t) =
cos[s(t)] · s′(t) · t− sen [s(t)]
t2
∀ t 6= 0 . v′(2) = − 1
4
.
(e) u′(y) =
1
3
√
( arc tg y)2
· 1
1 + y2
∀ y 6= 0 . u′(1) = 3
√
2
pi2
< 1 .
Cap´ıtulo 2
Aplicac¸o˜es da Derivada
2.1 Acre´scimos e diferenciais
Consideremos uma func¸a˜o f : X → IR deriva´vel em pontos x ∈ X . Podemos escrever:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
(para cada x onde f for deriva´vel)
∆x e´ chamado ACRE´SCIMO DE x e representa a variac¸a˜o na varia´vel independente x.
Pondo y = f(x) como varia´vel dependente, temos que ∆y = f(x+∆x)−f(x) representa
a VARIAC¸A˜O DA FUNC¸A˜O f (devida ao acre´scimo ∆x ) e
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores
diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f ′(x) .
Enta˜o podemos dizer que ∆y/∆x e´ uma boa aproximac¸a˜o para f ′(x) quando ∆x e´
pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever
∆y
∆x
≈ f ′(x) quando ∆x e´ pequeno
ou enta˜o, de modo equivalente,
(∗) f(x+∆x)− f(x) = ∆y ≈ f ′(x) ·∆x quando ∆x e´ pequeno
A relac¸a˜o (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximac¸o˜es para a variac¸a˜o da
func¸a˜o, ∆y = f(x+∆x)− f(x) , atrave´s de f ′(x) ·∆x , com ∆x pequeno !!!
65
66 CAPI´TULO 2
Por exemplo, vamos obter uma aproximac¸a˜o para (0, 98)4
Portanto, f ′(x) ·∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse
importante papel de ser uma boa aproximac¸a˜o para a variac¸a˜o da func¸a˜o f quando ∆x e´
pequeno.
f ′(x) · ∆x sera´ denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo
com x e ∆x).
Escrevemos tambe´m dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
dy = f ′(x) ·∆x
dx = ∆x
Geometricamente, temos:
Aplicac¸o˜es da Derivada 67
Exemplos:
(A) Use diferenciais para obter aproximac¸o˜es para:
(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3 (b) 4√82
(B) A medida de um lado de um cubo e´ encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade
de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro ma´ximo no ca´lculo do volume do
cubo.
68 CAPI´TULO 2
(C) A Lei da Gravitac¸a˜o de Newton afirma que a forc¸a F de atrac¸a˜o entre duas part´ıculas de
massas m1 e m2 e´ dada por F =
g ·m1 ·m2
s2
onde g e´ uma constante e s e´ a distaˆncia entre
as part´ıculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variac¸a˜o de
s que aumente F em 10% .
(D) A` medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha coˆnica cuja
altura e´ sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio e´ de 10 cm, use diferenciais para
aproximar a variac¸a˜o do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
Aplicac¸o˜es da Derivada 69
Exerc´ıcios:
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4−3(2, 01)3+4(2, 01)2−5 ,
3
√
65 ,
√
37 , 3
√
0, 00098 ,
√
0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 , 1
4
√
15
.
2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .
3) Use diferenciais para obter uma aproximac¸a˜o para ctg 46◦ .
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da a´rea de uma esfera, quando o raio
varia de 2 a 2, 02 pe´s.
5) Os lados oposto e adjacente a um aˆngulo θ de um triaˆngulo retaˆngulo acusam medidas
de 10 pe´s e 8 pe´s, respectivamente, com erro poss´ıvel de 1,5 polegada na medida de 10 pe´s.
Use a diferencial de uma func¸a˜o trigonome´trica inversa para obter uma aproximac¸a˜o do erro
no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pe´ = 12 polegadas)
6) A altura de um cone circular reto e´ duas vezes o raio da base. A medida encontrada da
altura e´ de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado
no ca´lculo do volume do cone.
7) Se l (em metros) e´ o comprimento de um fio de ferro quando esta´ a t graus de tem-
peratura, enta˜o l = 60e0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l
quando t cresce, de 0 a 10 graus.
8) Em um ponto situado a 20’ (pe´s) da base de um mastro, o aˆngulode elevac¸a˜o do topo
do mastro e´ de 60◦, com erro poss´ıvel de 0, 25◦ . Obtenha, com aux´ılio de diferenciais, uma
aproximac¸a˜o do erro no ca´lculo da altura do mastro.
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3. Os seis
lados da caixa va˜o ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o prec¸o do metal que vai
ser usado na fabricac¸a˜o da caixa e´ de R$ 0,80 por cm3, use diferenciais para encontrar o prec¸o
aproximado de todo o metal necessa´rio.
10) A resisteˆncia ele´trica R de um fio e´ proporcional ao seu comprimento l e inversamente
proporcional ao quadrado de seu diaˆmetro d. Suponha que a resisteˆncia de um fio, de compri-
mento dado (fixo), seja calculada a partir do diaˆmetro com uma possibilidade de erro de 2%
na medida do diaˆmetro
(
∆d
d
· 100 = 2
)
. Encontre a poss´ıvel porcentagem de erro no ca´lculo
do valor da resisteˆncia.
70 CAPI´TULO 2
2.2 A Derivada como raza˜o de variac¸a˜o
Variac¸a˜o me´dia:
Sejam f : X → IR e y = f(x) .
A varia´vel y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distaˆncia, volume, a´rea,
etc.) que depende da varia´vel independente x, a qual por sua vez representa tambe´m uma
quantidade de alguma grandeza.
Ja´ vimos que ∆y = f(x1 + ∆x) − f(x1) e´ a variac¸a˜o da func¸a˜o, correspondente a uma
variac¸a˜o de x1 a x1 +∆x (∆x e´ o chamado acre´scimo em x).
Enta˜o
∆y
∆x
=
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
e´ a chamada VARIAC¸A˜O ME´DIA de y por unidade
de variac¸a˜o de x, quando x varia de x1 a x1 +∆x.
Exemplo: Seja S (em cent´ımetros quadrados) a a´rea de um cubo de aresta x (cent´ımetros).
Encontre a raza˜o de variac¸a˜o me´dia da a´rea por unidade de variac¸a˜o no comprimento da aresta
quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm
Variac¸a˜o instantaˆnea:
Quando fazemos ∆x→ 0 no quociente ∆y/∆x
(
lim
∆x→0
∆y
∆x
)
, o limite (quando existir)
sera´ a RAZA˜O (TAXA) DE VARIAC¸A˜O INSTANTAˆNEA de y por unidade de variac¸a˜o de x
em (no INSTANTE em que) x = x1 .
Mas lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x1 +∆x)− f(x1)
∆x
= f ′(x1) (se existir o limite).
Portanto a derivada f ′(x1) representa a raza˜o (taxa) de variac¸a˜o instantaˆnea de y = f(x)
por unidade de variac¸a˜o de x no instante em que x = x1 .
Aplicac¸o˜es da Derivada 71
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a raza˜o de variac¸a˜o da a´rea do cubo por
variac¸a˜o de cent´ımetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?
Definimos ainda a taxa (raza˜o) de VARIAC¸A˜O RELATIVA de y por unidade de variac¸a˜o
de x em x1 como sendo
f ′(x1)
f(x1)
(proporc¸a˜o da variac¸a˜o instantaˆnea em relac¸a˜o a` quantidade
f(x1) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIAC¸A˜O PERCENTUAL,
dada por
f ′(x1)
f(x1)
· 100 .
Exemplos:
(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 e´ o
volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:
(a) A raza˜o de variac¸a˜o me´dia do volume por unidade de variac¸a˜o do raio, quando r varia
de 5 a 5, 1 cm.
(b) A raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea do volume , por unidade de variac¸a˜o do raio, quando
r = 5 e quando r = 5, 1 cm.
(c) As taxas de variac¸a˜o relativas do volume, por unidade de variac¸a˜o do raio, quando r = 5
e quando r = 5, 1.
72 CAPI´TULO 2
(B) O lucro de um depo´sito de retalhos e´ de 100y reais quando x reais sa˜o gastos diariamente
em propaganda e y = 2500+ 36x− 0, 2x2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso
que o orc¸amento dia´rio de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:
(a) O orc¸amento atual e´ de 60 reais dia´rios;
(b) O orc¸amento atual e´ de 100 reais dia´rios.
(C) Em um circuito ele´trico, se E e´ a forc¸a eletromotriz, R ohms e´ a resisteˆncia e I amperes
e´ a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .
Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma raza˜o que e´ proporcional
ao inverso do quadrado de I.
Se E = 100 volts, qual a taxa de variac¸a˜o de I por unidade de variac¸a˜o de R quando
R = 20 ohms ?
(D) A temperatura T (em graus Celsius) de uma soluc¸a˜o no instante t (minutos) e´ dada por
T (t) = 10 + 4t− 3
t+ 1
, com 1 ≤ t ≤ 10 .
Qual a taxa de variac¸a˜o de T por unidade de variac¸a˜o de t quando t = 2 , t = 5 , ou t = 9 ?
Aplicac¸o˜es da Derivada 73
(E) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p e´ a pressa˜o, V e´ o volume e
c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressa˜o seja dada por 20 + 2t
u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume e´ de 60 cm3, determine a taxa de variac¸a˜o do
volume por unidade de variac¸a˜o do tempo quando t = 5.
Um caso particular: interpretac¸a˜o cinema´tica da Derivada
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posic¸a˜o de um objeto ao longo de uma linha
reta, como func¸a˜o do tempo t:
Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1 +∆t estava em s(t1 +∆t) , a variac¸a˜o total da
posic¸a˜o do objeto entre os instantes t1 e t1 +∆t e´ dada por
∆s = s(t1 +∆t)− s(t1)
A taxa de variac¸a˜o me´dia de s por unidade de variac¸a˜o de tempo, entre o t1 e t1 +∆t e´
s(t1 +∆t)− s(t1)
∆t
Essa e´ a VELOCIDADE ME´DIA com que o objeto se movimentou de s(t1) ate´ s(t1+∆t)
entre os instantes t1 e t1 +∆t.
A raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea da posic¸a˜o s do objeto por unidade de variac¸a˜o do tempo,
no instante t1 e´ dada por
s′(t1) = lim
∆t→0
s(t1 +∆t)− s(t1)
∆t
Essa e´ a VELOCIDADE INSTANTAˆNEA do objeto no instante t = t1 .
74 CAPI´TULO 2
Se s′(t1) > 0 enta˜o a taxa de variac¸a˜o em t1 e´ positiva, ou seja, s esta´ aumentando em t1,
ou melhor, o objeto esta´ se movimentando no sentido adotado como positivo.
Se s′(t1) < 0 , o movimento em t1 e´ contra´rio ao sentido positivo.
Se s′(t1) = 0 enta˜o o objeto esta´ parado no instante t1.
Exemplos:
(A) Um foguete e´ lanc¸ado verticalmente para cima e esta´ a s m do solo t s apo´s ter sido lanc¸ado
(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t− 5t2 (o sentido positivo e´ para cima). Determine:
(a) A velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e t = 4 s.
(b) A velocidade instantaˆnea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.
(c) Em t = 20 s, o foguete esta´ subindo ou caindo ?
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcanc¸ar a sua altura ma´xima ?
(e) Qual a altura ma´xima atingida pelo foguete ?
(B) Uma pedra e´ solta de um edif´ıcio de 80 m de altura e a equac¸a˜o do movimento e´ dada por
s(t) = −5t2 (t em segundos, t ≥ 0, orientac¸a˜o positiva para cima).
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo apo´s ser lanc¸ada ?
(b) Quanto tempo leva a pedra para alcanc¸ar o solo ?
(c) Qual a velocidade (instantaˆnea) da pedra ao atingir o solo ?
(d) Qual a velocidade me´dia entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?
Aplicac¸o˜es da Derivada 75
Obs.: Assim como definimos a velocidade como variac¸a˜o da posic¸a˜o por unidade de variac¸a˜o
do tempo, definimos a ACELERAC¸A˜O como sendo a variac¸a˜o da velocidade (olhando v = v(t))
por unidade de variac¸a˜o do tempo.
(C) A posic¸a˜o s de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada por s(t) = 2t3−15t2+48t−10 ,
com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a acelerac¸a˜o quando a velocidade e´
de 12 m/s. Determine a velocidade quando a acelerac¸a˜o e´ de 10 m/s2.
(D) Um bombardeiro esta´ voando paralelo ao cha˜o a uma altitude de 2 km e a uma veloci-
dade constante de 4, 5 km/min. A que raza˜o varia a distaˆncia entre o bombardeiro e o alvo
exatamente 20 segundos apo´s o bombardeiro passar sobre o alvo ?
76 CAPI´TULO 2
Exerc´ıcios:
1) O volume de um bala˜o esfe´rico (em pe´s cu´bicos) t horas apo´s 13:00 e´ dado pela equac¸a˜o
V (t) =
4
3
pi(9−2t)3 , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a variac¸a˜o me´dia do volume por unidade de variac¸a˜o
de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variac¸a˜o do