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Física Matemática

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Universidade de Sa˜o Paulo
Instituto de F´ısica
Departamento de F´ısica Matema´tica
2005
Curso de F´ısica-Matema´tica
Joa˜o Carlos Alves Barata
Versa˜o de 29 de setembro de 2005
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Prefa´cio 15
Notac¸a˜o e Adverteˆncias 17
I´ndice
I Cap´ıtulos Introduto´rios 20
1 Noc¸o˜es Ba´sicas 21
1.1 Conjuntos, Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.1 Relac¸o˜es e Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.2 Relac¸o˜es de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1.3 Cardinalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.1.4 I´nfimos e Supremos de Famı´lias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2 Estruturas Alge´bricas Ba´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.1 Semi-grupos, Mono´ides e Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.2.2 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.3 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.4 Ane´is, A´lgebras e Mo´dulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.2.5 Mais sobre Ane´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.2.6 Ac¸o˜es e Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.2.7 Morfismos, Homomorfismos, Epimorfismos, Isomorfismos, Monomorfismos, En-
domorfismos e Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.3 Cosets, Sub-Grupos Normais e o Grupo Quociente. O Centro de um Grupo . . . . . . . 67
1.3.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.3.2 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.3.3 O Centro de um Grupo. Centralizadores e Normalizadores . . . . . . . . . . . . 71
1.4 O Produto Direto e o Produto Semi-Direto de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5 Somas Diretas e Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.1 Discussa˜o Informal Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.2 Grupos Gerados por Conjuntos. Grupos Gerados por Relac¸o˜es . . . . . . . . . . 79
1.5.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.5.4 Produtos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.5.5 Produtos Diretos e Somas Diretas Arbitra´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.5.6 Mo´dulos e Derivac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2
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1.6 To´picos Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.6.1 O Grupo de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.6.2 Grupo´ides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.3 Quate´rnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2 Espac¸os Vetoriais 94
2.1 Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.1 Sub-Espac¸os e Espac¸os Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.2 Bases Alge´bricas de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.1.3 O Dual Alge´brico de um Espac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2 Formas Lineares, Sesquilineares e Produtos Escalares em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . 108
2.2.1 Formas Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.2 Formas Sesquilineares e as Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski . . . 113
2.2.3 Produtos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.3 Normas em Espac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.4 Formas Bilineares e Sesquilineares em Espac¸os de Dimensa˜o Finita . . . . . . . . . . . 128
2.5 Estruturas Complexas sobre Espac¸os Vetoriais Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
II To´picos de A´lgebra Linear 141
3 To´picos de A´lgebra Linear I 142
3.1 Rudimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.2 Noc¸o˜es Ba´sicas sobre o Espectro de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2.1 O Trac¸o de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3 Polinoˆmios de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.3.1 O Teorema de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.4 Matrizes Diagonaliza´veis e o Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.4.1 Diagonalizac¸a˜o Simultaˆnea de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.5 Matrizes Auto-adjuntas, Normais e Unita´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.5.1 Matrizes Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.6 Matrizes Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.7 O Teorema de Decomposic¸a˜o de Jordan e a Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . 191
3.7.1 Resultados Preparato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
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3.7.2 O Teorema da Decomposic¸a˜o de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3.7.3 Matrizes Nilpotentes e sua Representac¸a˜o Canoˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.7.4 A Forma Canoˆnica de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.8 Algumas Representac¸o˜es Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.8.1 A Decomposic¸a˜o Polar de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.8.2 O Teorema da Triangularizac¸a˜o de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
3.8.3 A Decomposic¸a˜o QR e a Decomposic¸a˜o de Iwasawa (“KAN”) . . . . . . . . . . 212
3.9 Propriedades Especiais de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.9.1 Expansa˜o do Polinoˆmio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
3.9.2 A Desigualdade de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3.10 Exerc´ıcios Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4 To´picos de A´lgebra Linear II 222
4.1 Uma Topologia Me´trica em Mat (
�
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.2 Exponenciais, Logaritmos e Func¸o˜es Anal´ıticas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.2.1 A Exponenciac¸a˜o de Matrizes e os Grupos GL(
�
, n) e GL( � , n) . . . . . . . . 236
4.3 A Fo´rmula de Lie-Trotter e a Fo´rmula do Comutador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4 Aplicac¸o˜es Lineares em Mat (
�
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.5 A Fo´rmula de Baker, Campbell e Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.6 A Fo´rmula de Duhamel e Algumas de suas Consequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . 254
III Equac¸o˜es Diferenciais 259
5 Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias. Uma Introduc¸a˜o 260
5.1 Definic¸a˜o e Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.1.1 Equac¸o˜es