2000_Problemas_de_Matemáticas_Propuestos_y_Resueltos_para_Secundaria-130-132

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RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS
1. RESOLUCION
c _ a„r - a, . $ = 12 288 ■ 4 - 3
i - 1
49149 „ „ „ „ „S = -----=------= 16 383
4 - 1
CALCULOS AUXILIARES
an = ai r" ~ 1 ;
12 288 = 3 r6 
r6 ~ 4 096
r6 = 4 6 : r = 4
SOLUCIÓN: S = 16 383
2. RESOLUCION
S = r - 1
A ■ A
3 ' 2
CALCULOS AUXILIARES
= JA ■ A = AL ■ JA
9 3 27 9
2_
3
1280 2
S = -
19 683 3 — a r n í
SOLUCION: s = 570 375 
78 098
_5
2
( A ) 9 = A
\3 / Jí
280
19 683
3. RESOLUCION
a„ = a, r”
5 --> = 15 625 
n — 1 = 6
CALCULOS AUXILIARES
a„r - a,
5" S =■ r - 1
SOLUCIÓN: n = 7
78 124 = 62 500 5 ~ a- 
4
a, = 4
4. RESOLUCION
a„ = a, r” “ 1 ; 4 = 2 9 1 6 - Q J '
¿ - s r " - - © ‘ - g r
n - 1 = 6 ; n = 7
S = r - 1
S = -
4 — - 2916
- - 1
4 372
SOLUCION: n = 7 ; S = 4 372
CALCULOS AUXILIARES5. RESOLUCION
2 \Í5 r¿- 10 10 JE fp â , = a, i n l
an = 2 -5 4 
a„ = 1 250
2
10\/5
10 = V ?
La sucesión propuesta e s una -h- cuya razón es r = \Í5 
_ _ a„r - a, . ^ _ 1 250 \Í5 - 2
r - 1
SOLUCION:
s =
\Í5 - 1
= 1562 - 312 V 5
S = 1562 - 312 V 5
6. RESOLUCION
Se trata de la suma de los términos de una -h- de la que deducimos 
los siguientes datos:
a, — 1; a = 2*; r = 2; ; S = 4 095 ; S = 31,1 J a>1 n T _ ^
4 095 = ~ ~2 2-~1 1 ’ 4 0 9 6 = Z* + 1 ’ 2 '2 = 2* + ' 
x + 1 = 12 : x = 11
SOLUCION: X = 11
7. RESOLUCION
a- = a, r = 15r a, - a,r2 = 15r2
a3 + a4 = 180 
15r + 15rz = 180
r, = 3
Vamos a resolver el problema para r, = 3. Para e s te valor de r el 
valor de a, es 5.
Cálculo de a6: c á l c u l o s a u x i l i a r e s
an = a, r" - 1 ; a6 = 5 • 35 = 1 215 = ai ' :
Cálculo de la suma de los 10 primeros.
S = a,,T ~ a’ ; S = 98415 3 ~ 5 = 147 620 r - 1 2
SOLUCIÓN:
a,„ = 5 - 3 9 = 98 415
ae = 1 215 ; S = 147 620
Análogam ente s e resolvería para r2 = —4.
8. RESOLUCION
148
a ,2 = * 1 0 1
4
9 - S,° ' 9
a,„ — 37
SOLUCIÓN:
9. RESOLUCIÓN
37
1,60 r2
1 ,6 0 + 1,60 r + 1,60 r2 + l,60r3 = 64 
1,6 r3 + 1,6 r2 + 1,6 r - 62,4 = 0
,3 r2 -L. r — _1Q = n
1 1 1 - 39
r = 3 3 12 39
1 4 13 0
1,60; 4,80; 14 40; 43,20
SOLUCIÓN: +r 1,60 4,80 14,40 43,20
10. RESOLUCION
a, + a, r + a, r2 = 49
a, + a, r + a, r2 + a¡ r3 = 105
AA + A^+Al = 49
r3 r2 r
49 r3 - 56 r2 - 56 r - 56 = 0 
r = 2 ; a, = 7
a, r3 = 56 56
49 - 56 - 56 - 56
2 98 84 56
49 42 28 0
SOLUCION: 7 ; 14 ; 28 ; 56
11. RESOLUCION
a¡ + a2 = 12 I a, + a, r = 12
a3 + a4 = 300 j a, r2 + a¡ r3 = 300
a, r2 (1 + r) _ 300
a, (1 + r) = 12 
a, r2 (1 + r) = 300
a, (1 + r) 12
; r2 = 25 ; r, = 5 ; r2 = — 5
D escartam os el valor dado para r2 = —5 porque no daría para 
todos ¡os núm eros valores naturales.
Para r = 5 e s a, = 2 , p or tanto la progresión será:
-H- 2 ; 10 ; 50 ; 250
SOLUCION:
12. RESOLUCIÓN
a, + a2 + a3 = 26 
a5 + aB + a7= 2 106
a, (1 + r + r 2) = 26 
a, r4 (1 + r + r2) = 2 106
2 ; 10 ; 50 ; 250
a, + a, r + a, r2 = 26 I 
a, r4 + a, r5 + a, r6 = 2 106 |
a ,r 4 ( l + r + r2) 2 106
a1 (1 + r + r2) 26
r4 = 81 ; r = 3 ; a, (1 + 3 + 9) = 26 ; a, = 2 
-hr 2; 6; 18; 54; 162; 486; 1 458
SOLUCIÓN: 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; 486 ; 1458
128
13. RESOLUCION
a, + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 189 
a2 i- a3 -h a4 -h a5 -h a6 -h a¿ = 378
a, + a}r + a¡r2 + a¡r3 + a / + a¡r5 = 1 8 9 I
a,r + atr2 + a / + â r4 + a}r5 + a3r6 = 378 I
a, (1 + r + r2 + r3 + r4 + r5) = 189 
a,r (1 + r + r2 + r3 + r4 + r6) = 378
i = 2 ; a, = 3
a,rn 1 = 3 - 2e = 192
SOLUCION:
anr — a, _ 1 9 2 - 2 - 3
r - 1 2 - 1 S = 381
S = 381
14. RESOLUCION
Se trata de una 44 de razón 4.
P = V(a, an)n ; P = \'(3 ■ 16 384) 8 
P = (3- 16 384)4 = 49 1524
SOLUCIÓN:
CALCULOS AUXILIARES
a„ = a ,r ” 1 
a = 3 - 4 7 = 16 384
P = 49 152“
15. RESOLUCION
;a 2 ; a2r
— ■ a, ■ a,r = 1 000 (l)
-y + a2 + V = 62
a, = 10
r = 5 ó r = — b
44 2 ; 10 ; 50 : ó 44 50 ; 10 ; 2
s o l u c i ó n : 44 2 ; 10 ; 50 ó 44 50 ; 10 ; 2
NOTA. Siempre que nos den el producto de tres términos de una — se ponen en fun­
ción del central. Se obtiene inmediatamente éste. En nuestro ejercicio de la ecuación 
(1) obtenemos directamente a2 = 10, con lo que el resto del problema es sencillísi­
mo.
16. RESOLUCION
Como el volumen de un paralelepípedo es el producto de sus tres 
aristas, tendrem os:
a2■+* - i ; a2 a2r
-r ■ a, • a,r = 216
- f + a2 + a2r = 26
a2 = 6 ; r = 3 
44 2 cm ; 6 cm ; 18 cm
SOLUCIÓN: 44 2 cm ; 6 cm ; 18 cm
17. RESOLUCION
an = a, r" ~1 ; a ” = a2r6 ; r6 = a9 ; r = v'a9 ; r = \/a3 
P = v/(a, a j " ; P = \J(a2 ■ a u) 7 = \J(a t3) 7 = \'a34; P = a " V a
/a3 ; P = a45 V a
18. RESOLUCION
El problema equivale a formar una 44, tal que: 
a, = 2; an = 486; n = 6 
an = a, r " - ’ ; 486 = 2 ■ r5 ; r5 = 243 ; r = 3 
44 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; 486
SOLUCIÓN: ' 44 2 ; 6 ; 18 ; 54 ¡ 162 ; 486
O bservem os qu e esta sucesión es una 44 de razón r = 1/3. Como 
es decrecien te e ilimitada:
5
19. RESOLUCION
1 ~ I 1 ~ •
SOLUCION:
15
20. RESOLUCION
2 - v / 2 . 1 _ 2 (2 — y/2) _ 2 — \¡2 
4 2 4 2
3 - 2s¡2 _ 2 - y/2 _ 3 - 2 y /2 _ (3 - 2^2) (2 + s¿2) _ 2 -\ / I 
4 ' 4 2 - / 2 (2 - y/2) (2 + ^¡2) 2
2 - V 2Se trata de una 44 de r = decreciente, por tanto, eilimitada:
S = V 2
SOLUCION:
21. RESOLUCION
V2
1/2 * 1/4 + 1/8 -i\¡2 V2 V2...= 2 172 \ \!2\/~2... = 2 172 ■ 2 174 ■ 2 ,/8... = 2
Hallamos la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 +..., que e s la suma de ¡os tér­
minos de una 44 decrecien te (r = 1/2) e ilimitada.
1/2
S = 1 - r 1 - 1/2
= 1
\J2 V T vi... = 2 1/2 -h 1/4 + 1/8 + ... — o í _= 2 1 = 2
SOLUCION: S = \ 2 \ /2 \ /2 V = 2
22. RESOLUCION
1 1 1 1 Cálculo de la suma: — -f — + — + —— + ...
2 4 8 16
1/2
1 - r 1 - 1 / 2 = 1
2 2 2 2Cálculo d éla suma: — + — =■ + —— + . + ...
5 15 45 135
S = 2/5
1 - r
± + ± + ± + J ^ +
2 4 8 16
— i —— I —— { — 4 ...
5 15 45 135
1/3 5
33/5
SOLUCION:
23. RESOLUCION
a) 0,47 = 0,47 + 0,0047 + 0,000047 + ... 
a, 0,47 _ 47q — m — .
1 - r 1 - 0,01 99
b) 0,3 = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... 
a, 0,3 1
3
SOLUCION: 0,47 47
99
S = 1 - r 1 - 0,1
— — 1 1 3
4,3 = 4 + 0,3 = 4 + - j- = - ~ SOLUCION: 4,3 13
c) 0,273 = 0,273 + 0,000273 +
S =- °i - 0,273 0,273 273
1 — r 1 - 0,001 0,999 999
1 29
1,273 = 1 + 273 1 272
999 999 SOLUCION: 1,273 1 272
999
d) 0,415 = 0,415 + 0,000415
S = 0,415 415
1 - r 1 - 0,001 999
SOLUCION: 0,415 415
999
e) 0,21 = 0,21 + 0,0021 + 0,000021 + . 
a, 0,21 21
S = T ^ ~
0,421 =
1 - 1 1 - 0,01 99
4,21 4 + 0,21 4 + 21/99 417
10
í) 0,3 = . . . = - j
10 10 990
SOLUCIÓN: 0,421 417
990
2 4?j _ 247,3 _ 247 + 0,3 _ 247 + 1/3 742
100 100 100 300
SOLUCIÓN: 2,473 742
300
24. RESOLUCION
S = Y ^ 7 = 3 --------a> ? â — 21 - r 3
ó
8
a> 1 1 = ~3
li
co|
 w
a, = 4
SOLUCION:
2 2 4 4
. J , g , ... , 3 ’ 9 '
25. RESOLUCION
25
ai a2 _ 7
a„ i — a. S = 1
7 ^ 7 = 7
a, — a, r = -25
i - 1
40 2
S = 343 7 - 5
í - ‘
2 385 
343
CALCULOS AUXILIARES
an = ai r" ~ ’
- C I 2 \3 40
a" \ 7> 343
SOLUCION:
2 385
343
1, = 2 m
26. RESOLUCIÓN
lt = 2 m ; S¡ = 4 m 2 ; P, = 8 m
4 = \¡2 m ; S2 = 2 m 2 ; P2 = 4
4 = 1 m ; S3 = 1 m 2 ; P3 = 4 m 
21 = -4 = ; S4 = ~ m 2 ; P4 = 2 ^ 2 r.1
V-2
I. La suma de las infinitas áreas e s la suma de los infinitos térmi­
nos de una -— tal que a, = 4m2 y r = 1/2, por tanto: 
a, 4S = S = 8 m 21 - r 1 - 1 / 2 '
II. La suma de los infinitos perím etros e s la suma de los infinitos 
términos de una -h- tal que a, = 8 m y r = \¡2/2, por tanto:
8c = ______ = .
3 " '
„• S = 8 (2 +\¡2) m
SOLUCION: ® á r e a s 8 m 2 ; S ]PERIMETROS = 8 (2 + / 2 ) m
I. La suma de los infinitos perím etros e s la suma de los infinitos 
términos de una -h- tal que a¡ = 12 m y r = 1/2, por tanto:
a 12
S = , , /0 ; S = 24 m1 - r 1 - 1/2
II. La suma de todas ¡as áreas es la suma de los infinitos térmi­
nos de una -r+ tal que a, = 4 \Í3 m 2y r = 1/4, por tanto:
S = t ^ - =1 - r
V ? : S , i e + 3 m :
I - i
SOLUCION: PERIMETROS24 m 2 ;S Á 16 v/3
28. RESOLUCION
q - 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 2 +
1
1 1 1
s, =■
\_2 2 2
I 72 74 76 = s, +s,
1 - r
S2 = -
_2_
49
- L ' S - a » 
48 ' 2 1 - r'
1 49
2
48
s = s + S ~ ^ + ^ - = ^ - 
1 2 48 48 48
SOLUCION: 48
29. RESOLUCION
s = i - ± + ± - ± + ^
b 1 2 4 8 + 16
I 1 1
H 3 + T + 7 íT + -
1 1 1
- 2 + H + - W + -
1 - r S, =
‘ - i
s,= 1 - r ’ S, =
3 “ T
4 2 2
S ~ St ~ S2 = ~ ~3
SOLUCION:
30. RESOLUCION
+ a, + a, r = 525
a, = 100
r = 4 : r ’ = —4
SOLUCION: 25 ; 100 ; 400 ; ó -h- 400 ; 100 ; 25
31. RESOLUCION
S = 1 - r = 6
3 : a Y ^ 1
ai + a,r =
SOLUCION:
32. RESOLUCION
—- ■ a? ■ aP r = 216r 2 2
+ a0 + a, r — — 14
a, = 3
a2 = 6
r = — 3 ; r' =
solución : -H- — 2; 6; - 18; ó -h- — 18¡ 6; - 2
130