IHAC-UFBa-AM-Aula16-ContinuacaoSimetriasFinal

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Universidade 
Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 16 – Continuação: 
Simetrias 
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Tópicos da Apresentação 
 Evariste Galois 
 Busca da solução geral da equação de quinto grau 
 Um Matemático Romântico 
 Simetria 
 Teoria dos Grupos – Exemplo de Álgebra Galoana 
 Morte Prematura aos 20 anos... 
 Tabuada Grupal 
 Exercícios para Casa, Claro! 
 Simetria e Quebra de Simetria na Musica 
 Ritmo Nordestino: Baião 
 Schoenberg 
 Réquiem 
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Galois aos 15 anos, desenho de um colega do 
‘Lycée Louis-le-Grand’ 
 Évariste 
Galois (1811–
1832) 
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Dois dos últimos escritos antes do duelo. Em destaque, ‘Une femme’ (‘uma mulher’) e ‘Je 
n’ai pas le temps’ (‘Eu não tenho mais tempo’) 
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Simetria em Matematica: 
Teoria dos Grupos 
 Enquanto o Brasil estava tornando-se um país 
independente, um jovem franzino e impetuoso, 
chamado Évariste Galois, provocou uma revolução na 
matemática. Veio a se chamar Teoria dos Grupos. 
 Galois nasceu no dia 25 de outubro de 
1811, numa pequena localidade 
próxima de Paris, Bourg la Reine. 
Temperamental, com apenas 17 anos 
escreve seu primeiro trabalho em 
matemática, que o levou à formulação 
da Teoria dos Grupos. Viria a falecer 
aos 20 anos num duelo, segundo suas 
próprias palavras (deixadas num 
testamento), estúpido. 
Evariste Galois, desenhado por seu irmão Alfred anos depois (1848) 
“Sobre as Condições de Resolução de Equações por Radicais” 
J. Math. Pure Appl. 11 (1846) 381 
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Breve Curriculum 
Galoano 
 25 Out 1811 – nasce em Bourg-la-Reine (próximo a Paris) 
 Out 1823 – é matriculado no Colégio Louis-le-Grand (por seis anos) 
 25 Mai 1829 – submete primeiras descobertas matemáticas à Academia Francesa 
 2 Jul 1829 – suicídio pai 
 Jul 1829 – segunda e ultima rejeição de admissão na École Polytechnique 
 Out 1829 – matricula-se na École Normal Superieure 
 12 Fev 1830 – submete novamente manuscrito a Academia – que se perde 
 Dec 1830 – expulso do colégio 
 17 Jan 1831 – submete a primeira memória à Academia 
 Mai 1831 – preso por comportamento agressivo/ofensivo ao rei – absolvido 15 
Jun 
 4 Jul 1831 – primeira memória rejeitada pela Academia 
 14 Jul 1831 – preso por 9 meses – liberto 29 Abr 1832 
 30 Mai 1832 – atingido por tiro misterioso num duelo na aurora deste dia 
 31 Mai 1832 - falecimento 
 
Leon Coignet (1830) 
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A Busca de Soluções por 
Radicais 
 Uma equação simples, como ax+b = 0 é chamada de primeiro 
grau, e apresenta apenas uma solução. Outra, da forma 
ax2+bx+c=0 é chamada de segundo grau, e possui duas 
soluções. Estas equações são relativamente fáceis de se 
resolver e geralmente são bastante ensinadas nas escolas: 
 Ao estudar soluções para resolver equações de grau cinco (i.e., 
ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f = 0), Galois percebeu que isto não seria 
possível: ou seja, não se consegue obter uma solução geral por 
uma fórmula (que envolve os coeficientes a, b, c, d, e... e as 
operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e 
extração de raízes (‘radicais’) – quadradas, cúbicas, quárticas...). 
 
− b ± √b2 − 4a⋅c 
2a x1,2 = 
− b 
a x = 
ax + b = 0 ax2 + bx + c = 0 
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Cardano 
 Soluções de equações de 3º 
e 4º graus eram conhecidas 
desde a época de Cardano no 
seu famoso livro “Artis 
Magnae” de 1545, como por 
exemplo a expressão: 
 x4 + 6x2 + 36 = 60x 
Girolamo (ou Gerolamo 
ou Gerônimo) Cardano 
(1501-1576) 
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 A Teoria de Grupos trata do estudo tanto das simetrias 
simples, como a da estrela do mar, bem como de problemas 
mais complicados, e ainda das simetrias e assimetrias nas 
Leis da Física 
 Em particular, observe o desenho da estrela do mar. Imagine que 
um dos seus braços encontre-se na vertical. Se girarmos a estrela 
do mar de 0°, 72°, 144°, 216° ou 288°, aparentemente nada muda 
– a estrela continuará com um braço na vertical. Esta propriedade 
de ficar aparentemente na mesma posição é chamada de 
invariância. Bem, se numerarmos de 1 a 5 os braços da estrela e 
girarmos segundo um dos seus ângulos de invariância (por 
exemplo, o 144°), o braço no. 1 é substituído pelo no. 3, o no. 2 
pelo no. 4, o no. 3 pelo no. 5, o no. 4 pelo no. 1 e o no. 5 pelo no. 2. 
1 
2 
3 4 
5 
3 
4 
5 1 
2 Giro de 144º 
anti-horário 
estrela-do-mar 
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 Noção de 
Álgebra 
Galoana & 
Tabuada 
Grupal 
Manuscritos de Galois 
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Álgebra Galoana1 
 Ao estudar as equações de quinto 
grau Galois descobriu relações 
importantes, como as encontradas 
para a simetria da estrela do mar. 
Inventou uma nova álgebra, e abriu 
novos horizontes para ciência, 
matemática e arte 
Posição inicial Posição final 
x 
y z 
x 
y z 
rótulo 
M1 
y 
z x M2 
z 
x y M3 
x 
z y M4 
z 
y x M5 
y 
x z M6 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
 Na tabela ao lado encontram-se 
todas as operações de reflexão num 
dado eixo (‘espelhamento’) e de 
rotação possíveis para um dado 
triangulo eqüilátero. 
x 
y z 
reflexão em relação ao eixo x 
x 
y z 
rotação a partir do eixo x 
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Álgebra Galoana2 
 O grupo consiste de seis transformações, 
rotuladas de M1 a M6. 
 Se Mi e Mj referem-se a dois movimentos quaisquer, o 
objeto Mi ∗ Mj representa um movimento que 
necessariamente deve estar contido no grupo 
 Mi ∗ Mj lê-se Mi opera Mj 
reflexão em relação a cada um dos eixos (x, y, z): 
rotações possíveis 
x 
y z x 
y z 
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Primeiro Exemplo 
x 
y z 
z 
x y 
z 
y x 
M4 ∗ M3 = M5 
M3 
M4 
Posição inicial Posição final 
x 
y z 
x 
y z 
rótulo 
M1 
y 
z x M2 
z 
x y M3 
x 
z y M4 
z 
y x M5 
y 
x z M6 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
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Segundo Exemplo 
x 
y z 
z 
y x 
y 
x z 
M2 ∗ M5 = M6 
M5 
M2 
Posição inicial Posição final 
x 
y z 
x 
y z 
rótulo 
M1 
y 
z x M2 
z 
x y M3 
x 
z y M4 
z 
y x M5 
y 
x z M6 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
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Terceiro Exemplo 
x 
y z 
y 
z x 
x 
z y 
M5 ∗ M2 = M4 
M2 
M5 
Posição inicial Posição final 
x 
y z 
x 
y z 
rótulo 
M1 
y 
z x M2 
z 
x y M3 
x 
z y M4 
z 
y x M5 
y 
x z M6 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
x 
y z 
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Nota Importante em Grupos! 
 Dos dois últimos exemplos nota-se: 
Mi ∗ Mj ≠ Mj ∗ Mi 
 ou seja, os operadores não comutam! 
 Dito de outra forma, no caso da tabuada grupal anterior: 
Uma reflexão 
seguida de 
rotação é 
diferente de 
uma rotação 
seguida de 
reflexão 
x 
y z 
M4 
(reflexão) 
x 
z y 
M2 
(rotação) 
z 
y x 
y 
x z 
y 
z x 
M4 
(reflexão) 
x 
y z 
M2 
(rotação) 
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M1 ∗ M1 = M1 
M2 ∗ M1 = M2 
M3 ∗ M1 = M3 
M4 ∗ M1 = M4 
M5 ∗ M1 = M5 
M6 ∗ M1 = M6 
M1 ∗ M4 = M4 
M2 ∗ M4 = M5 
M3 ∗ M4 = M6 
M4 ∗ M4 = M1 
M5 ∗ M4 = M2 
M6 ∗ M4 = M3 
M1 ∗ M2 = M2 
M2 ∗ M2 = M3 
M3 ∗ M2 = M1 
M4 ∗ M2 = M6 
M5 ∗ M2 = M4 
M6 ∗ M2 = M5 
M1 ∗ M3 = M3 
M2 ∗ M3 = M1 
M3 ∗ M3 = M2 
M4 ∗ M3 = M5 
M5 ∗ M3 = M6 
M6 ∗ M3 = M4 
M1 ∗ M5 = M5 
M2 ∗ M5 = M6 
M3 ∗ M5 = M4 
M4 ∗ M5 = M3 
M5 ∗ M5 = M1 
M6 ∗ M5 = M2 
M1 ∗ M6 = M6 
M2 ∗ M6 = M4 
M3 ∗ M6 = M5 
M4 ∗ M6 = M2 
M5 ∗ M6 = M3 
M6 ∗ M6 = M1 
Tabuada 
Grupal 
A Ultima Carta... 
« Tu prieras publiquement 
Jacobi ou Gauss de donner 
leur avis non sur la verite, 
mais sur l’importance des 
theoremes. 
Apres cela il se trouvera, 
j’espere, des gens qui 
trouvent leur profis a 
dechiffrer tout ce gachis. 
Je t’embrasse avec effusion. 
E. Galois, le 29 Mai 1832 » 
”Faça um pedido publico a 
Jacobi ou Gauss que dêem sua 
opinião não quanto
a verdade, 
mas sobre a importância desses 
teoremas. Afinal, espero que 
alguns homens considerem 
vantajoso decifrar estes 
garranchos. Abraço-o 
fervorosamente” 
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 Algumas Aplicações 
na Matéria: 
Espectroscopia Infra-
Vermelho (IR) 
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Aplicações 
 
Carbonato: CO3−2 
Óxido Sulfúrico, Anidrido Sulfúrico 
ou Trióxido de Enxofre: SO3 
Nitrato: NO3− 
Trifluoreto de Boro: BF3 
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Modos de Vibração Moléculas 
Triangulares XY3 Planares 
 As duas primeiras 
configurações de vibração 
correspondem a situações de 
equilíbrio não-degeneradas: 
os sinais + e − indicam 
modos de vibração acima e 
abaixo do plano dos átomos 
XY3. As demais vibrações 
correspondem a modos 
degenerados 
+ 
− 
+ 
+ 
Silver & Shaffer. Vibration-Rotation Energies of 
the Planar XY3 Molecular Model. J. Chem. Phys. 
9 (1941) 599 - 606 
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 Parte do espectro do gás amoníaco mostrando vibrações tipo curvatura (bending) da 
molécula simulado com Spectralcalc: http://www.spectralcalc.com 
Exemplo de 
inversão da 
molécula amônia, 
que consiste 
numa disposição 
piramidal (i.e., 
não planar), 
ocorrendo entre 
930 cm−1 e 965 
cm−1. 
Gás Amônia = Amoníaco 
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 Badger e Cartwright. Espectro de Rotação Puro da Amônia – 
Phys. Rev. 33 (1929) 692 - 700 
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 Exercícios 
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x 
y 
z 
x 
y 
z 
Exercício1: Ilha de Man 
R1 R2 R3 
R1 R1 
R2 R3 
R3 R2 
Posição inicial Posição final 
x 
y 
z 
rótulo 
R1 
R2 
R3 
z 
x 
y 
x 
y 
z 
y 
z 
x 
 Da figura, três transformações de 
simetria são possíveis: i) rotação R2 
por 120º em torno do centro; ii) 
rotação R3 de 240º. iii) a identidade 
(ou rotação por 360º, R1). 
 O que acontece quando combinamos 
duas rotações simultâneas? Por 
exemplo, se girarmos em 120º e 
novamente em 120º obteremos uma 
rotação de 240º. 
 Isto é, numa forma matematica: R2* R2 = R3. Da mesma 
forma, se girarmos duas vezes em 240º, o resultado será 
igual aquele que teríamos se girássemos em 120º, 
porque 480º consiste numa revolução completa (360º) 
mais 120º. Logo, R3* R3 = R2. 
 Exercício: completar a tabela de multiplicação ao lado! 
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Exercicio2: Placa de 
Transito 
 Elaborar uma tabela de multiplicação 
da figura ao lado, identificando e 
explicando todas as transformações 
simétricas possíveis. 
P2 
Posição inicial Posição final rótulo 
P1 
P3 
a 
b c 
a 
b c 
a 
b c 
b 
c a 
a 
b c 
c 
a b 
 A teoria de 
grupos já foi 
definida por 
James Newman 
como a 
“suprema arte da 
abstração 
matematica” 
James Roy Newman (1907–1966), 
matemático, historiador e advogado 
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 E por falar em 
Tabuada... 
verso reverso 
Tablete matemático cuneiforme babilônico referente a uma tabela de 
multiplicação efetuada por um escriba chamado Gan-Gal (entre 1900 
e 1700 a.C. - Museu da Universidade da Pensilvania / EUA – B6063) 
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Tabuada Comum: Regrinhas 
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 
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Tabuada Comum: Regrinhas 
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 
 Para se multiplicar 9 por 7 basta localizar 
por exemplo a coluna do 9 e a linha do 7 - 
a intersecção de linhas e colunas resultará 
no valor 63 (verifique) 
 A propriedade da comutação (mudança na 
ordem dos fatores não altera o produto) 
estabelece por exemplo que multiplicar 9 
por 7 é o mesmo que 7 por 9 (verifique). 
Desta forma, a tabela é simétrica com 
relação a diagonal 
 O produto de dois fatores iguais resulta no 
quadrado do mesmo numero (verifique os 
valores na diagonal da tabela) 
 Observando apenas uma das linhas (ou 
colunas) de um fator (por exemplo 8) o 
resultado equivale ao dobro de outro (por 
exemplo 4) – no sentido da esquerda para 
a direita 
 Observando apenas linhas (ou colunas) de 
fatores impares (ou seja, 1, 3 e 5) os 
resultados se alternam entre números 
ímpares e pares 
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 Simetria & Quebra de 
Simetria na Música 
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Simetria e Quebra de 
Simetria: Música 
 Nem sempre a audição de sons revela facilmente a simetria. 
Pode-se entender por exemplo o ritmo como uma espécie 
de simetria na música, seja este um baião ou samba-reggae. 
Hermelino Neder, musico 
brasileiro, autor do 
Bachião – mistura de 
música clássica (Bach) e 
o Baião 
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 Uma série de doze sons tocada por espelhamento: 
 E por inversão: 
 As composições de Arnold Schoenberg tem como 
base séries de doze sons (dodecafonismo). Toca-se 
as doze notas numa ordem. As músicas consistem na 
repetição das séries de notas, não só linearmente, 
mas também de trás para frente. Por exemplo: 
 A ultima possibilidade é tocar notas espelhadas da seqüência 
invertida: 
Arnold Franz Walter Schoenberg (1874-1951), compositor austriaco 
Sh
oe
nb
er
g u
til
izo
u 
op
er
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e s
im
et
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 p
ar
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om
po
r u
m
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ov
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or
m
a d
e m
us
ica
 
Universidade 
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 Réquiem a um Jovem 
Matemático 
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 “Rogo aos meus amigos patrióticos que 
não me censurem por morrer de uma 
outra forma que não pelo meu país. 
 Morro vítima de uma infame coquete e 
seus dois iludidos. É em uma mísera 
obra de perfídia que minha vida se 
extingue. Ah! Por que morrer por algo 
tão pequeno, por algo tão desprezível! 
 O céu é testemunha de que somente 
constrangido e forçado é que cedi a 
uma provocação que tentei evitar por 
todos os meios. Arrependo-me de ter 
contado uma perniciosa verdade a 
homens com tão pequena capacidade 
de ouví-la calmamente. No entanto, 
contei a verdade. Levo comigo para o 
túmulo uma consciência sem mentiras, 
imaculada de sangue patriótico. 
 Adieu! O que me manteve vivo foi o bem 
público. Perdoem aqueles que me 
matam, agem de boa-fé.” 
 
Carta de Galois a seu 
amigo Auguste 
Chevalier antes do 
duelo 
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Cartas a Lebon, 
Delaunay e 
Chevalier 
 “Meus bons amigos, 
 Fui provocado [a um duelo] por dois 
patriotas... Minha recusa é impossível. 
Rogo seu perdão por não ter informado 
nenhum de vocês. Mas meus adversários 
exigiram por minha honra que não 
informasse nenhum patriota. Sua tarefa é 
simples: provar que lutei contra minha 
vontade, isto é, depois de ter exaurido 
todos os meios de uma solução 
conciliatória, e dizer se sou capaz de 
mentir, mesmo em um assunto tão trivial 
quanto esse em questão. 
 Lembrem-se de mim, já que o destino não 
me concedeu uma vida longa o bastante 
para que meu país se lembre de mim. 
 Morro seu amigo.” 
 “Meu caro amigo, 
 Fiz algumas novas descobertas em 
análise. A primeira diz respeito a teoria 
das equações; as outras, as funções 
integrais. 
 Na teoria das equações, investiguei sob 
quais condições as equações são 
solúveis por radicais [por uma fórmula]: 
isso me deu a oportunidade de 
aprofundar a teoria e descrever todas as 
transformações possíveis em uma 
equação, mesmo quando não solúvel 
por radicais. 
 Tudo isto vale por três monografias...” 
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Noticia de 
Jornal 
Jornal Le Précurseur, 4 a 5 de junho de 1832 
 Paris, 1º de Junho – Um duelo deplorável ontem privou as ciências exatas de um jovem que 
inspirou as mais elevadas expectativas, mas
cuja fama precoce, contudo, se deve as suas 
atividades políticas. O jovem Évariste Galois, condenado há um ano por causa de um brinde 
proposto nas Vendanges de Bourgogne, lutou com um de seus velhos amigos, um jovem como ele 
mesmo, como ele um membro da Sociedade dos Amigos do Povo e que se sabe que figurou 
igualmente num julgamento político. Dizem que o amor foi a causa do combate. A pistola foi a 
arma escolhida pelos dois adversários, eles consideraram muito difícil por causa da velha 
amizade, ter de mirar um no outro, e deixaram a decisão ao destino cego. Cada um deles estava 
armado com uma pistola e a queima-roupa atiraram. Somente uma dessas armas estava carregada. 
Galois foi perfurado de um lado a outro pela bala de seu adversário; foi transportado ao Hospital 
Cochin, onde morreu em cerca de duas horas. Estava com 22 anos. L. D., seu adversário, é um 
pouco mais jovem. 
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Ilustração de um duelo de pistolas entre antimonarquistas por volta de 1832 (mas feito em 1857) 
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Réquiem 
 Em seu leito de morte disse ao seu irmão: 
 “Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout 
mon courage pour mourir à vingt ans” 
 “Não chore,, Alfred! Preciso de toda a 
minha coragem para morrer aos 20 anos” 
cenotáfio de Evariste Galois em Bourg-la-Reine 
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Exercício para Casa3: Álgebra 
Galoana 
 Ao estudar as equações de quinto 
grau Galois descobriu relações 
importantes, como as encontradas 
para a simetria da estrela do mar. 
Inventou uma nova álgebra, e abriu 
novos horizontes para ciência, 
matemática e arte 
Posição inicial Posição final rótulo 
M1 
M2 
M3 
M4 
M5 
M6 
 Na tabela ao lado encontram-se 
todas as operações de reflexão num 
dado eixo (‘espelhamento’) e de 
rotação possíveis para um dado 
triangulo eqüilátero. 
reflexão em relação ao eixo x 
x 
y z 
rotação a partir do eixo x 
x 
y z 
x 
y z 
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Referências 
 James Pierpoint – Early History of Galois‘ Theory of 
Equations – Bull. Am. Math. Soc. 4 (1898) 
 Manuscripts of Evariste Galois – Jules Tannery. 
Gauthier-Villars (1908) 
 Galois‘ Theory – Ian Stewart. Chapman & Hall 
(2004) 
 www.galois-group.net 
 Uma Historia da Matematica – Florian Cajori (2010) 
 Why Beauty is True: The History of Symmetry – Ian 
Stewart (2007) 
 Deus é Matemático? – Mario Livio, Record (2011) 
 A Equação que Ninguém Conseguia Resolver – 
Mario Livio, Record (2009) 
 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Simetria em Matematica: Teoria dos Grupos
	Breve Curriculum Galoano
	A Busca de Soluções por Radicais
	Cardano
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Álgebra Galoana1
	Álgebra Galoana2
	Primeiro Exemplo
	Segundo Exemplo
	Terceiro Exemplo
	Nota Importante em Grupos!
	Tabuada Grupal
	Slide Number 18
	Aplicações
	Modos de Vibração Moléculas Triangulares XY3 Planares
	Gás Amônia  Amoníaco
	Slide Number 22
	Slide Number 23
	Exercício1: Ilha de Man
	Exercicio2: Placa de Transito
	Slide Number 26
	Slide Number 27
	Tabuada Comum: Regrinhas
	Slide Number 29
	Simetria e Quebra de Simetria: Música
	Slide Number 31
	Slide Number 32
	Slide Number 33
	Cartas a Lebon, Delaunay e Chevalier
	Noticia de Jornal
	Slide Number 36
	Réquiem
	Exercício para Casa3: Álgebra Galoana
	Referências