Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Universidade Federal da Bahia INSTITUTO DE HUMANIDADES, ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON SANTOS’ mlfn@ufba.br Marcio Luis Ferreira Nascimento HACA82: Arte & Matemática: Aula 19 – Funções – Sistema Cartesiano – Noção de Derivada Universidade Federal da Bahia Tópicos da Apresentação Fundador da Matemática Moderna Discours de la Methode – René Descartes Três Sonhos de Descartes Batalhas & Cartesianismo La Geometrie Estudo das Funções Geometria Analítica: Gráfico (Desenho) Ouvir e Falar: Significado de Função Noção de Otimização Uso da Tangente (ou Derivada) Aplicação: Galinheiro Universidade Federal da Bahia Fundador da Matemática Moderna Universidade Federal da Bahia René Descartes1 Descartes aos 15 Collège Royal Henry-Le-Grand, La Flèche, Caderneta de registro de graduação (1616) Visão do Colégio no Séc. XVIII Universidade Federal da Bahia pintura de Frans Hals (1648) René Descartes2 (1596-1650) Ilustrações de L‘Homme (obra póstuma, 1662) sobre o funcionamento do corpo humano Universidade Federal da Bahia Discours de la Methode (1637) ‘Je pense, donc je suis’ ‘Cogito, ergo sum’ pour bien conduire sa raison, et chercher la verité dans les sciences Disponível no site do curso, em Português: www.moodle.ufba.br Universidade Federal da Bahia Trechos do Livro ‘INEXISTE NO MUNDO coisa mais bem distribuída que o bom senso, visto que cada indivíduo acredita ser tão bem provido dele que mesmo os mais difíceis de satisfazer em qualquer outro aspecto não costumam desejar possuí-lo mais do que já tem.’ ‘FUI INSTRUÍDO nas letras desde a infância, e por me haver convencido de que, por intermédio delas, poder-se-ia adquirir um conhecimento claro e seguro de tudo o que é útil à vida, sentia extraordinário desejo de aprendê-las. Porém, assim que terminei esses estudos, ao cabo do qual costuma-se ser recebido na classe dos eruditos, mudei totalmente de opinião. Pois me encontrava embaraçado com tantas dúvidas e erros que me parecia não haver conseguido outro proveito, procurando instruir-me, senão o de ter descoberto cada vez mais a minha ignorância.’ ‘NAQUELA ÉPOCA, encontrava-me na Alemanha, para onde me sentira atraído pelas guerras, que ainda não terminaram, e, ao regressar da coroação do imperador para o exército, o começo do inverno me obrigou a permanecer num quartel onde, por não encontrar convívio social algum que me distraísse, e, também, felizmente, por não ter quaisquer desejos ou paixões que me perturbassem, ficava o dia inteiro fechado sozinho num quarto bem aquecido, onde dispunha de todo o tempo para me entreter com os meus pensamentos.’ Universidade Federal da Bahia ‘O PRIMEIRO era o de nunca aceitar algo como verdadeiro que eu não conhecesse claramente como tal; ou seja, de evitar cuidadosamente a pressa e a prevenção, e de nada fazer constar de meus juízos que não se apresentasse tão clara e distintamente a meu espírito que eu não tivesse motivo algum de duvidar dele.’ ‘O SEGUNDO, o de repartir cada uma das dificuldades que eu analisasse em tantas parcelas quantas fossem possíveis e necessárias a fim de melhor solucioná-las.’ ‘O TERCEIRO, o de conduzir por ordem meus pensamentos, iniciando pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer, para elevar-me, pouco a pouco, como galgando degraus, até o conhecimento dos mais compostos, e presumindo até mesmo uma ordem entre os que não se precedem naturalmente uns aos outros.’ ‘E O ÚLTIMO, o de efetuar em toda parte relações metódicas tão completas e revisões tão gerais nas quais eu tivesse a certeza de nada omitir.’ Parte Dois do Livro Cartesianismo: O Método Universidade Federal da Bahia Três Sonhos de Descartes Ao tentar andar sob forte ventania, ‘é jogado violentamente às portas da Igreja de seu colégio (La Flèche)’. No átrio, recebe ‘a noticia de que alguém lhe espera com um presente’ Acorda, e faz uma pequena oração a pedir a Deus que lhe afaste os pesadelos Noite de 10 de Novembro de 1619 ‘Cogito, ergo sum’ Dorme, ‘e pensa ouvir o estrondo de um trovão, e vê cintilando de seu quarto uma chuva de faíscas’ Acorda, e entende o estrondo do trovão, a claridade do raio, bem como as faíscas deste como um sinal da Verdade Dorme mais uma vez, e ‘vê sobre uma mesa dois livros – um Dicionário e um Corpus Poetarum. Neste, lê a frase: Quod vitae sectabor iter? (Que caminho devo seguir nesta vida?). Alguém lhe aponta vários versos em que se destacam palavras EST e NON‘ Acorda, e entende que o Dicionário significaria a reunião de todas as ciências; e o Corpus Poetarum, a união entre a filosofia e a sabedoria Universidade Federal da Bahia Discours de la Methode1 ‘Criar qualquer coisa implica necessariamente em transformar algo que já existe. Deus criou a tudo e todos, não se discute se este teria feito sua obra de forma otimizada?’ ‘Caso a resposta seja afirmativa, qualquer elemento da Natureza é provido de razão e inteligência, e não seria por mero capricho divino os alvéolos hexagonais das abelhas, muito menos os círculos dos planetas e as espirais dos caramujos...’ Universidade Federal da Bahia barreira Discours de la Methode2 La D iop tri qu e Reflexão Refração Difração Universidade Federal da Bahia Le s M et eo re s Discours de la Methode3 Universidade Federal da Bahia Discours de la Methode4 La G eo m et rie 1 Universidade Federal da Bahia Discours de la Methode5 La G eo m et rie 2 Universidade Federal da Bahia Discours de la Methode6 ‘Os pertences da natureza estão interligados, e um existe em função do outro.’ Universidade Federal da Bahia Maurits van Nassau (1567-1625) Maximilian I (1573-1651) Como soldado, participou de batalhas sob o comando do principe Maurits van Nassau (1618), do duque Maximilian I, da Bavária (Montanha Branca, 1620) e de Louis XIII (cerco de La Rochelle, 1627) Louis XIII (1601-1643) Universidade Federal da Bahia Batalha da ‘Montanha Branca’ 8 de Novembro de 1620 - Uma das batalhas da Guerra de Trinta Anos: 30.000×27.000 ‘Bílá hora’, em Tcheco – próximo de Praga Universidade Federal da Bahia Cardeal Richelieu no cerco de La Rochelle Cerco de La Rochelle Pintura sobre o grande cerco de La Rochelle Construção de um forte real (1627-1628) Universidade Federal da Bahia Cartesianismo1 15o 30o 60o 75o 45o d θ Ouvir Falar 125 15 216,51 30 250 45 216,51 60 125 75 Livro de artilharia medieval de Diego Ufano (1628) Universidade Federal da Bahia Cartesianismo2 Ilustrações de L‘Homme (obra póstuma, 1662) sobre o funcionamento do corpo humano É antes de tudo uma interpretação simplista do cérebro humano – alicerce do Cogito ergo Sum Universidade Federal da Bahia Exemplos de Funções Universidade Federal da Bahia Ouvir & Falar1 Linhas contínuas f = ( ) f = [( ) − 2] [( ) + 2] 0 0 −2 +2 ímpar par Universidade Federal da Bahia Ouvir & Falar2 f = [( ) − 2] [( ) − 5] [( ) −7 ] [( ) + 8] f = [( ) − 3] [( ) − 5] [( ) + 2] ímpar +5 −2 +3 par +7 −8 +5 +2 Linhas contínuas Universidade Federal da Bahia Ouvir & Falar3 f = [( ) − 2] [( ) − 2] par +2 f = [( ) − 3] [( ) − 3] [( ) − 1] ímpar +1 +3 Linhas contínuas com anomalias Universidade Federal da Bahia Ouvir & Falar4 f = ( ) 1 0 f = [( ) − 2] [( ) − 2] [( ) − 3] [( ) − 3] Linhas contínuas com anomalias par +3 +2 Universidade Federal da Bahia Noção de Otimização: Uso da Tangente, ou Derivada Universidade Federal da Bahia Dado quarenta metros de tela e uma parede, construir um terreno de área máxima René Descartes 10m 10m 20m 15m 15m 10m 5m 5m 30m 7,5m 7,5m 25m 150m2 Otimização (Cálculo) 187,5m2 200m2 150m2 Universidade Federal da Bahia Construindo o Galinheiro Primeiro, estabelecemos eixos cartesianos (largura e área). 5 10 15 200 100 largura (m) ár ea (m 2 ) 5 10 15 200 100 largura (m) ár ea (m 2 ) 200 100 5 10 15 largura (m) ár ea (m 2 ) largura (m) ár ea (m 2 ) largura (m) ár ea (m 2 ) René Descartes Primeiro, estabelecemos eixos cartesianos (largura e área). Depois estabelecemos os pontos coordenados. Notar que a medida que se colocam mais pontos, preenche-se uma curva (parábola). Perceber que existe um valor máximo nesta curva! Universidade Federal da Bahia Temos 2x + y = 40 Queremos A = x⋅y máximo x A = x⋅y y Do uso da ferramenta calculo diferencial: xmax = 10 ymax = 200 20 0 (raízes) Otimização (Cálculo) 10m 10m 20m 5m 5m 30m 150m2 200m2 Dado quarenta metros de tela e uma parede, construir um terreno de área máxima René Descartes A(x) = x(40 − 2x) A(x) = 40x − 2x2 = 40 − 4x = 0 dA dx Universidade Federal da Bahia Construção Passo a Passo Construir o gráfico da função A = 40x−2x² x A 0 0 2,5 87,5 5 150 10 200 15 150 20 0 20 2,5 5 0 10 15 50 100 150 200 1º) Para auxiliar, construa uma tabela de valores de x e A. 2º) Com dados de x e A, distribua os pares de pontos nas coordenadas carte- sianas. Perceba que, quanto mais pontos, melhor fica a definição do gráfico Construir o gráfico da função y = −x² + 9x − 14. Determine as raízes (ou zeros) a partir da fórmula de Bhaskara e seu máximo: −x² + 9x − 14 = 0. xmax = 10 ymax = 200 Universidade Federal da Bahia Lista de Exercícios Universidade Federal da Bahia Simples Aplicação em Engenharia Civil Universidade Federal da Bahia Construir um ranário retangular utilizando 500 metros (lineares) de tijolos. Tal ranário deverá ter área máxima para otimizar a incidência de insetos. Quais as dimensões ideais? 1 2 Queremos A = xy máximo Temos 2y + 2x = 500 metros de tijolo x y Isolando y = 250 − x em e substituindo em , tem-se: 1 2 A(x) = x(250 − x) 0 250 (raízes) A(x) = 250x − x2 Área do ranário em função do lado x Aplicação em Engenharia Civil Universidade Federal da Bahia O ponto de máximo é conhecido identificando a derivada (ou tangente a curva) no seu ponto de máximo (neste caso): A(x) x A(x) = 250x − x2 0 250 Aplicação em Engenharia Civil xmax = 125m ymax = 125m A(125) = 15625m2 ( ) ( ) ( ) 2 250250 12 014250250 0250 250 2 21 2 − ±− = = − ×−×−±− = =−⋅= −= ,x xx xxA 0 250 (raízes) Universidade Federal da Bahia Exemplo do Mathematica Alguns softwares, como o Mathematica podem auxiliar na compreensão de alguns problemas, com templates prontos. Outra opção é deixar o estudante livre para utilizá-lo enquanto ferramenta de trabalho e pesquisa. Universidade Federal da Bahia Rene Descartes, com um livro onde se lê “Mundus est Fabula", de Jan Baptist Weenix (1647) Universidade Federal da Bahia Manuscrito de Leibniz do Caderno Secreto de Descartes (‘De Solidorum Elements’) Universidade Federal da Bahia Amigos & Colegas Christiaan Huygens (1629-1695) Marin Mersenne (1588-1648) Blaise Pascal (1623-1662) Pierre de Fermat (1601-1665) Galileo Galilei (1564-1642) Universidade Federal da Bahia Rainha Cristina, da Suécia Universidade Federal da Bahia Abadia de Saint-Germain-des-Prés, Paris MEMORIAE RENATI DESCARTES RECONDITIORIS DOCTRINAS LAVDE ET INGENII SVBTILITAT PRAECELLENTISSIMI QVI PRIMVS A RENOVATIS IN EVROPA BONARVM LITTERARVM STVDIIS RATIONIS HVMANAE IVRA SALVA FIDEI CHRISTIANAE AVTORITATE VINDICAVIT ET ASSERVIT NVNC VERITATIS QVAM VNICE COLVIT CONSPECTV FRVITVR Universidade Federal da Bahia Referências Discours de la Methode – René Descartes (1637) La Geometrie – René Descartes (1637) O Caderno Secreto de Descartes – Amir Aczel (2007) Zahar Cálculo com Geometria Analítica 1 – George Simmons (1987) Uma Historia da Matematica – Florian Cajori (2010) A Source Book in Mathematics – David E. Smith History of Mathematics: An Introduction – David M. Burton Slide Number 1 Tópicos da Apresentação Slide Number 3 René Descartes1 Slide Number 5 Slide Number 6 Trechos do Livro Cartesianismo: O Método Três Sonhos de Descartes Discours de la Methode1 Discours de la Methode2 Discours de la Methode3 Discours de la Methode4 Discours de la Methode5 Discours de la Methode6 Slide Number 16 Batalha da ‘Montanha Branca’ Cerco de La Rochelle Cartesianismo1 Cartesianismo2 Slide Number 21 Ouvir & Falar1 Ouvir & Falar2 Ouvir & Falar3 Ouvir & Falar4 Slide Number 26 Slide Number 27 Construindo o Galinheiro Slide Number 29 Construção Passo a Passo Lista de Exercícios Slide Number 32 Slide Number 33 Slide Number 34 Slide Number 35 Slide Number 36 Slide Number 37 Amigos & Colegas Rainha Cristina, da Suécia Slide Number 40 Referências
Compartilhar