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IHAC-UFBa-AM-Aula19-FuncoesDerivadasFinal

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Universidade 
Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 19 – Funções – Sistema 
Cartesiano – Noção de 
Derivada 
Universidade 
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Tópicos da Apresentação 
 Fundador da Matemática Moderna 
 Discours de la Methode – René Descartes 
 Três Sonhos de Descartes 
 Batalhas & Cartesianismo 
 La Geometrie 
 Estudo das Funções 
 Geometria Analítica: Gráfico (Desenho) 
 Ouvir e Falar: Significado de Função 
 Noção de Otimização 
 Uso da Tangente (ou Derivada) 
 Aplicação: Galinheiro 
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 Fundador da 
Matemática Moderna 
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René Descartes1 
 Descartes aos 15 
Collège Royal Henry-Le-Grand, La Flèche, 
Caderneta de 
registro de 
graduação 
(1616) 
Visão do 
Colégio no 
Séc. XVIII 
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pintura de Frans Hals (1648) 
René Descartes2 
(1596-1650) 
Ilustrações de L‘Homme (obra póstuma, 
1662) sobre o funcionamento do corpo 
humano 
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 Discours de la 
Methode (1637) 
‘Je pense, 
donc je suis’ 
‘Cogito, ergo sum’ 
pour bien conduire sa raison, et chercher 
la verité dans les sciences 
Disponível no site do curso, em Português: www.moodle.ufba.br 
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Trechos do Livro 
 ‘INEXISTE NO MUNDO coisa mais bem distribuída que o bom senso, visto que 
cada indivíduo acredita ser tão bem provido dele que mesmo os mais difíceis de 
satisfazer em qualquer outro aspecto não costumam desejar possuí-lo mais do 
que já tem.’ 
 ‘FUI INSTRUÍDO nas letras desde a infância, e por me haver convencido de que, 
por intermédio delas, poder-se-ia adquirir um conhecimento claro e seguro de 
tudo o que é útil à vida, sentia extraordinário desejo de aprendê-las. Porém, 
assim que terminei esses estudos, ao cabo do qual costuma-se ser recebido na 
classe dos eruditos, mudei totalmente de opinião. Pois me encontrava 
embaraçado com tantas dúvidas e erros que me parecia não haver conseguido 
outro proveito, procurando instruir-me, senão o de ter descoberto cada vez mais 
a minha ignorância.’ 
  ‘NAQUELA ÉPOCA, encontrava-me na Alemanha, para onde me sentira atraído 
pelas guerras, que ainda não terminaram, e, ao regressar da coroação do 
imperador para o exército, o começo do inverno me obrigou a permanecer num 
quartel onde, por não encontrar convívio social algum que me distraísse, e, 
também, felizmente, por não ter quaisquer desejos ou paixões que me 
perturbassem, ficava o dia inteiro fechado sozinho num quarto bem aquecido, 
onde dispunha de todo o tempo para me entreter com os meus pensamentos.’ 
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 ‘O PRIMEIRO era o de nunca aceitar algo como verdadeiro que eu 
não conhecesse claramente como tal; ou seja, de evitar 
cuidadosamente a pressa e a prevenção, e de nada fazer constar 
de meus juízos que não se apresentasse tão clara e distintamente 
a meu espírito que eu não tivesse motivo algum de duvidar dele.’ 
 
 ‘O SEGUNDO, o de repartir cada uma das dificuldades que eu 
analisasse em tantas parcelas quantas fossem possíveis e 
necessárias a fim de melhor solucioná-las.’ 
 
 ‘O TERCEIRO, o de conduzir por ordem meus pensamentos, 
iniciando pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer, 
para elevar-me, pouco a pouco, como galgando degraus, até o 
conhecimento dos mais compostos, e presumindo até mesmo 
uma ordem entre os que não se precedem naturalmente uns aos 
outros.’ 
 
 ‘E O ÚLTIMO, o de efetuar em toda parte relações metódicas tão 
completas e revisões tão gerais nas quais eu tivesse a certeza de 
nada omitir.’ 
Parte Dois do Livro 
Cartesianismo: 
O Método 
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Três Sonhos de Descartes 
 Ao tentar andar sob forte ventania, ‘é jogado 
violentamente às portas da Igreja de seu 
colégio (La Flèche)’. No átrio, recebe ‘a noticia 
de que alguém lhe espera com um presente’ 
 Acorda, e faz uma pequena oração a pedir a Deus 
que lhe afaste os pesadelos 
Noite de 10 de Novembro de 1619 
‘Cogito, ergo sum’ 
 Dorme, ‘e pensa ouvir o estrondo de um 
trovão, e vê cintilando de seu quarto uma 
chuva de faíscas’ 
 Acorda, e entende o estrondo do trovão, a 
claridade do raio, bem como as faíscas deste 
como um sinal da Verdade 
 Dorme mais uma vez, e ‘vê sobre uma mesa 
dois livros – um Dicionário e um Corpus 
Poetarum. Neste, lê a frase: Quod vitae 
sectabor iter? (Que caminho devo seguir nesta 
vida?). Alguém lhe aponta vários versos em 
que se destacam palavras EST e NON‘ 
 Acorda, e entende que o Dicionário significaria a 
reunião de todas as ciências; e o Corpus 
Poetarum, a união entre a filosofia e a sabedoria 
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Discours de la Methode1 
 ‘Criar qualquer coisa implica necessariamente em 
transformar algo que já existe. Deus criou a tudo e 
todos, não se discute se este teria feito sua obra 
de forma otimizada?’ 
 ‘Caso a resposta seja afirmativa, qualquer elemento da Natureza 
é provido de razão e inteligência, e não seria por mero capricho 
divino os alvéolos hexagonais das abelhas, muito menos os 
círculos dos planetas e as espirais dos caramujos...’ 
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barreira 
Discours de la Methode2 

La
 D
iop
tri
qu
e 
Reflexão Refração Difração 
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
Le
s M
et
eo
re
s 
Discours de la Methode3 
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Discours de la Methode4 

La
 G
eo
m
et
rie
1 
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Discours de la Methode5 

La
 G
eo
m
et
rie
2 
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Discours de la Methode6 
 ‘Os pertences da natureza estão interligados, e um existe em função do outro.’ 
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Maurits van Nassau (1567-1625) Maximilian I (1573-1651) 
 Como soldado, participou de batalhas sob o comando do 
principe Maurits van Nassau (1618), do duque Maximilian 
I, da Bavária (Montanha Branca, 1620) e de Louis XIII 
(cerco de La Rochelle, 1627) 
Louis XIII (1601-1643) 
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Batalha da ‘Montanha Branca’ 
 
8 de Novembro de 1620 - Uma das batalhas da Guerra de Trinta Anos: 30.000×27.000 
‘Bílá hora’, em Tcheco – próximo de Praga 
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Cardeal Richelieu no cerco 
de La Rochelle 
Cerco de La Rochelle 
Pintura sobre o grande 
cerco de La Rochelle 
Construção de um forte real 
(1627-1628) 
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Cartesianismo1 
15o 
30o 
60o 
75o 
45o 
d θ 
Ouvir Falar 
125 15 
216,51 30 
250 45 
216,51 60 
125 75 
Livro de artilharia medieval de Diego Ufano (1628) 
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Cartesianismo2 
Ilustrações de L‘Homme (obra 
póstuma, 1662) sobre o 
funcionamento do corpo humano 
 É antes de tudo uma interpretação simplista do 
cérebro humano – alicerce do Cogito ergo Sum 
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 Exemplos de Funções 
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Ouvir & Falar1 
 Linhas contínuas 
f = ( ) 
f = [( ) − 2] [( ) + 2] 0 
0 −2 +2 
ímpar 
par 
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Ouvir & Falar2 
f = [( ) − 2] [( ) − 5] [( ) −7 ] [( ) + 8] 
f = [( ) − 3] [( ) − 5] [( ) + 2] 
ímpar 
+5 −2 +3 
par 
+7 −8 +5 +2 
 Linhas contínuas 
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Ouvir & Falar3 
f = [( ) − 2] [( ) − 2] 
par 
+2 
f = [( ) − 3] [( ) − 3] [( ) − 1] 
ímpar 
+1 
+3 
 Linhas contínuas com anomalias 
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Ouvir & Falar4 
f = ( ) 
1 
0 
f = [( ) − 2] [( ) − 2] [( ) − 3] [( ) − 3] 
 Linhas contínuas com anomalias 
par 
+3 +2 
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 Noção de Otimização: 
Uso da Tangente, ou 
Derivada 
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 Dado quarenta metros de tela e uma parede, 
construir um terreno de área máxima René Descartes 
10m 10m 
20m 
15m 15m 
10m 
5m 5m 
30m 7,5m 
7,5m 
25m 
150m2 
Otimização (Cálculo) 
187,5m2 
200m2
150m2 
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Construindo o Galinheiro 
 Primeiro, estabelecemos 
eixos cartesianos (largura e 
área). 
5 10 15 
200 
100 
largura (m) 
ár
ea
 (m
2 )
 
5 10 15 
200 
100 
largura (m) 
ár
ea
 (m
2 )
 
200 
100 
5 10 15 largura (m) 
ár
ea
 (m
2 )
 
largura (m) 
ár
ea
 (m
2 )
 
largura (m) 
ár
ea
 (m
2 )
 
René Descartes 
 Primeiro, estabelecemos 
eixos cartesianos (largura e 
área). Depois estabelecemos 
os pontos coordenados. 
 Notar que a medida que se 
colocam mais pontos, 
preenche-se uma curva 
(parábola). Perceber que 
existe um valor máximo 
nesta curva! 
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Temos 2x + y = 40 
Queremos A = x⋅y máximo 
x A = x⋅y 
y 
Do uso da ferramenta calculo diferencial: 
xmax = 10 ymax = 200 
20 
0 (raízes) 
Otimização (Cálculo) 
10m 10m 
20m 
5m 5m 
30m 
150m2 
200m2 
 Dado quarenta metros de tela e uma parede, 
construir um terreno de área máxima René Descartes 
A(x) = x(40 − 2x) 
A(x) = 40x − 2x2 
= 40 − 4x = 0 
dA 
dx 
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Construção Passo a Passo 
 Construir o gráfico da função A = 40x−2x² 
x A 
0 0 
2,5 87,5 
5 150 
10 200 
15 150 
20 0 
20 2,5 5 0 10 15 
50 
100 
150 
200 
1º) Para auxiliar, 
construa uma 
tabela de valores 
de x e A. 
2º) Com dados de x 
e A, distribua os 
pares de pontos nas 
coordenadas carte-
sianas. Perceba que, 
quanto mais pontos, 
melhor fica a 
definição do gráfico 
 Construir o gráfico da função y = −x² + 9x − 14. 
Determine as raízes (ou zeros) a partir da fórmula 
de Bhaskara e seu máximo: −x² + 9x − 14 = 0. 
xmax = 10 ymax = 200 
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Lista de Exercícios 
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 Simples Aplicação em 
Engenharia Civil 
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 Construir um ranário retangular utilizando 500 
metros (lineares) de tijolos. Tal ranário deverá ter 
área máxima para otimizar a incidência de 
insetos. Quais as dimensões ideais? 
1 
2 
Queremos A = xy máximo 
Temos 2y + 2x = 500 metros de tijolo 
x 
y 
 Isolando y = 250 − x em e substituindo em , 
tem-se: 
1 2 
A(x) = x(250 − x) 
0 
250 
(raízes) 
A(x) = 250x − x2 Área do ranário em função do lado x 
Aplicação em Engenharia 
Civil 
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 O ponto de máximo é conhecido identificando a derivada 
(ou tangente a curva) no seu ponto de máximo (neste 
caso): 
A(x) 
x 
A(x) = 250x − x2 
0 250 
Aplicação em Engenharia 
Civil 
xmax = 125m ymax = 125m A(125) = 15625m2 
( )
( )
( )
2
250250 
12
014250250
0250 
250
2
21
2
−
±−
=
=
−
×−×−±−
=
=−⋅=
−=
,x
xx
xxA
0 
250 
(raízes) 
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Exemplo do Mathematica 
 Alguns softwares, 
como o Mathematica 
podem auxiliar na 
compreensão de 
alguns problemas, 
com templates 
prontos. Outra opção 
é deixar o estudante 
livre para utilizá-lo 
enquanto ferramenta 
de trabalho e 
pesquisa. 
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Rene Descartes, com um livro onde se lê 
“Mundus est Fabula", de Jan Baptist Weenix 
(1647) 
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 Manuscrito de Leibniz do Caderno 
Secreto de Descartes (‘De Solidorum 
Elements’) 
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Amigos & Colegas 
Christiaan Huygens (1629-1695) 
Marin Mersenne (1588-1648) 
Blaise Pascal (1623-1662) Pierre de Fermat (1601-1665) 
Galileo Galilei (1564-1642) 
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Rainha Cristina, da Suécia 
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 Abadia de Saint-Germain-des-Prés, Paris 
MEMORIAE 
RENATI DESCARTES 
RECONDITIORIS 
DOCTRINAS 
LAVDE 
ET INGENII 
SVBTILITAT 
PRAECELLENTISSIMI 
QVI PRIMVS 
A RENOVATIS IN 
EVROPA 
BONARVM 
LITTERARVM STVDIIS 
RATIONIS HVMANAE 
IVRA 
SALVA FIDEI 
CHRISTIANAE 
AVTORITATE 
VINDICAVIT ET 
ASSERVIT 
NVNC 
VERITATIS 
QVAM VNICE COLVIT 
CONSPECTV 
FRVITVR 
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da Bahia 
Referências 
 Discours de la Methode – René Descartes 
(1637) 
 La Geometrie – René Descartes (1637) 
 O Caderno Secreto de Descartes – Amir Aczel 
(2007) Zahar 
 Cálculo com Geometria Analítica 1 – George 
Simmons (1987) 
 Uma Historia da Matematica – Florian Cajori 
(2010) 
 A Source Book in Mathematics – David E. Smith 
 History of Mathematics: An Introduction – David 
M. Burton 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Slide Number 3
	René Descartes1
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Trechos do Livro
	Cartesianismo: O Método
	Três Sonhos de Descartes
	Discours de la Methode1
	Discours de la Methode2
	Discours de la Methode3
	Discours de la Methode4
	Discours de la Methode5
	Discours de la Methode6
	Slide Number 16
	Batalha da ‘Montanha Branca’
	Cerco de La Rochelle
	Cartesianismo1
	Cartesianismo2
	Slide Number 21
	Ouvir & Falar1
	Ouvir & Falar2
	Ouvir & Falar3
	Ouvir & Falar4
	Slide Number 26
	Slide Number 27
	Construindo o Galinheiro
	Slide Number 29
	Construção Passo a Passo
	Lista de Exercícios
	Slide Number 32
	Slide Number 33
	Slide Number 34
	Slide Number 35
	Slide Number 36
	Slide Number 37
	Amigos & Colegas
	Rainha Cristina, da Suécia
	Slide Number 40
	Referências

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