GABARITO DA LISTA DE L'HOSPITAL

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1 LISTA 1 DE L´HOSPITAL.pdf
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ASSINATURA DO ALUNO:
UNIVERSIDADE SAO JUDAS TADEU I DATA: I
CURSO: ENGENHARIA TURMA: N° DE ORDEM:
DISCIPLINA: CÁLCULO I PROFESSOR: MARIA L. MANCINI
ALUNO:.................................................................................... R.A.: .
(EM LETRA DE FORMA)
....
Z>SEMESTRE
(GUILLAUME FRANÇOIS ANTOINE, MARQUÊS DE L'HOSPITAL)
Usando a regra de L'Hospítal, calcule o valor dos limites:
1)-
• x2-x-12 Resposta: ~hm--x...•4 x2-3x-4
2) Iim_x_ Resposta: -1x...•o 1-eX
3) r x2 Resposta: OIm-
x-eco é~
4) lim(x2.lnx) Resposta: O
X"'O
5) • eX_e-x_x2 Resposta: -2hm
X"'O 2:t-senx
6) r' x-senx Resposta: OIm--
X"'O 3x2
7) Um (x. ei) Resposta: 00
• X"'O
8) Ii~(sed-- tgx) Resposta: O
X"""2
RESOLUÇÃO
\.
2 LISTA 1 DE L´HOSPITAL gabarito.pdf
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UNIVERSIDADE SAO JUDAS TADEU I DATA: I
CURSO:- ENGENHARIA TURMA: N° DE ORDEM:
DISCIPLINA: CÁLCULO I PROFESSOR: MARIA L. MANCINI
ALUNO:.................................................................................... R.A.: .
(EM LETRA DE FORMA)
ASSINATURA DO ALUNO:
. ~ ..
2° SEMESTRE,
, GABARITO
1) Resolução: Aqui f(x) = x
2
- x -12 e g(x) = x2 - 3x - 4. Apli-. -
cando o Teorema 4.3, da seção 4.2.2 letras (d) e (a), vem
limf(x) = lim(x2 - x -12) = 42 - 4 -12 = O
X""" 4 x--4
e
lim g(x) = lim( x'2 - 3x - 4) = 42 - 3 .4 - 4 = O.
x-4 x-4
Como limf (x) = O e limg(x) = O, temos uma indeterminação
x-4 x-4. Odo tipo-o
O
Calculando f'(x) vem f'(x) = 2x -1 e calculando g'(x) vem
g'(x) = 2x - 3.
Aplicando a regra de L'Hospital, temos
. x2 - x -12 . 2x -1 2·4 -1 7
lim =lim--
x ....•4 x2 _ 3x - 4 x~4 2x - 3 2 .4 - 3 5
Portanto,
x2 - x -12 7
lim =-
x ....•4 x2 3x 4 5
2) Resolução: Aqui f(x) = x e g(x) = 1- e", Aplicando o Teorema
4.3 da seção 4.2.2, letras (d) e (a), vem
limx = Oe lim(1- eX) = 1- eO = 1-1 = O.
X"'" o X"'" o
Como limx = Oe lim(1- eX) = O, temos uma indeterminação do
X-;O x ....•O. Otipo-o
O
Calculando f'(x) e g'(x) vem f'(x) = 1 eg'(x) = _ex•
Aplicando a regra de L'Hospital, temos
lim_x_ = lim_l_ = ~ = -1.
x ....•o 1- e" x ....•O _ex -1
Portanto, UpgS ~ gp opeunxorda lOIuAUIn 'OIdUIgxglOd
1. xInl--= -1.
x ....•o 1- e"
-
3) Resolução: Como lim x2 = 00 e lim eX = 00 , temos uma indeter-
x-ao x-oo
00
minação do tipo - .
00
Logo,
( )'2 x2 2-'
1im~ = lim---- = lim~
X~OO eX X~OC ( eX )' X~OO eX '
A indetermínação continua. Aplicando novamente a regra, vem
, - ..
, 2x , (2x )' . 2
lim - = limn- = lim -- = Ox •
x-oo e x-oo eX' x-oo eX
Portanto,
2
I' xnn--=O.________________ ~~~x~=:oo~e-x-------------------------------------------------ç
4) Resolução:
1imf(x) = lim x" = Oe limg(x) = l~(logx) = log(~~X) = 00.
x~o x~o x~o x o
Temos uma indeterminação do tipo Ox 00 , pois ~i!:!(f (x) .g(x) ) ,
no caso, f(x) - Oe g(x) - 00, quando x - O.
Vamos escrever
( )
, g(x)
~~ f(x)' g(x) =~--""1
f(x)
obtendo assim as indetermínações do tipo
O 00
-ou-oO 00
Assim,
( )
, log x . log x
lim x2 -Iog x = lnn-- = hm-_2-,
x~o x~o 1 x-e-Ü X
x2
I' ( 2 1 ) I' logxnn x . ogx = nn--:::2'
x~o x~o x
Como ~~(logx) = logÜi~X) = 00 e~~x-2 = 00, temos uma in-
00
determinação do tipo - .
00
Aplicando a regra de L'Hospital, vem
1
lim(x 'logx) = 1im(logx }' = lim x
x~o x-+O (X-2) x~o -2·x-3
-I -1-(-3) 2
1· x I' x I' x= nn = Hfl = nn- = O
X~O -2 .x-3 X~O 2 x--+O 2
Portanto,
1ím(x2 .logx) = O.
X~O
----------------------------------------------------- ...
5) j(x) e' _e-
X _X2 j(O) O
fazendo -- = e -- = - o derivando og(x) 2x-senx g(O) O'
f'(x) eX +e-x -2x 1'(0)
numerador e denominador, separadamente, temos: -( ) = e ----
g' X -cosx g'(O)
o e" +e-x -2x "
lim =-2
x-->o cosx
x -x 2
lime -e -x
X-->O 2x - sen x
?
2
1
logo
x -x 2lim _e__-_e __ -__x_
x-->o 2x sen x
o ~ •
~
\ 6)
-, f"{x) _ senx
<p"{x) --6-
I" X - sen X _ ? f{x) x - sen x 1(0) __Olffi -7 - e ~ derivando o
x-->O 3x2 " lp(x) - 3x2 'q>(0) - O
- f'(x) l-cosx 1'(0) O
numerador e o denominador, separadamente, temos: ~ = e -( ) = - ;
qJ\xJ 6x q>' O O
1"(0) 0_e -- = --O ~ lim x-senx - lim senx =0
q>"(O) 6 x-->o 3x2 x-s-O 6
7)
lim[xoe;J= 0000x-->o
1
~ Fazeno f{x) eX e
<p{x) == -1
•
X
derivando o numerador e o denominador, separadamente, temos:
8)
Fazendo f{x)_
qJ{x) -
lim{secx-tgx)=? ~ lim{secx-tgx)= 00-00 ;
1C 1C
X~- X~-2 2
1 sen x 1- sen X I( ~) O
sec X - tgx = -- - -- = e m( '7r
2
) = -O ; derivando o numerador e o
cosx cosx cosx 'f"~
denominador, separadamente, temos: f'{x) - cosx cosx--=--=-- e
qJ'{x) -senx senx
10 ( ) 10 cosxlIll sec x - tgx = lIll -- :=O
X-->~ X-->~ senx
2 2