Exercicios Resolvidos de Limites e Derivadas

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Celton Ribeiro Barbosa
Prof. Gislan Silveira Santos
Apostila de Exercícios Resolvidos de
Cálculo
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da
Bahia
Programa de Educação Tutorial - PET
Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
© 2014 Celton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira
Santos & Instituto Federal de Educação Ciência e
Tecnologia da Bahia.
Programa de Educação Tutorial - PET
Tutor: Dr. Felizardo Adenilson Rocha
Qualquer parte desta publicação pode ser
reproduzida, desde que citada a fonte.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação
(CIP) Câmara Brasileira do Livro, BA, Brasil
Barbosa, Celton Ribeiro; Santos, Gislan Silveira.
Apostila de Exercícios Resolvidos de Cálculo. / Cel-
ton Ribeiro Barbosa ;Prof. Gislan Silveira Santos. –
Vitória da Conquista-BA: Instituto Federal de Edu-
cação Ciência e Tecnologia da Bahia. Ltda., 2014.
Bibliografia.
ISBN XXXX-XXXX-XX.
1. Matemática. 2. Cálculo 1.
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 2
SUMÁRIO
1 Limites e Continuidade 2
2 Derivadas 22
1
CAPÍTULO 1
LIMITES E CONTINUIDADE
1. O ponto P (2, ln2) pertencente à curva y = lnx.
(a) Se Q é o ponto (x, lnx), use sua calculadora para determinar o coefi-
ciente angular da reta secante PQ, com precisão de seis casas decimais,
para os seguintes valores de x:
(i) 1,5
(ii) 1,9
(iii) 1,99
(iv) 1,999
(v) 2,5
(vi) 2,1
(vii) 2,01
(viii) 2,001
(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da inclinação da reta
tangente à curva no ponto P (2, ln2).
(c) Use a inclinação obtida na parte (b) para achar uma equação da reta
tangente à curva em P (2, ln2).
(d) Faça uma figura utilizando duas dessas retas secantes e a reta tan-
gente.
Resolução:
(a) A equação da reta é dada por:
(y − y0)=m(x−x0)
onde m - coeficiente angular da reta.
(x0, y0) - ponto onde se deseja encontrar a reta.
2
Limites e Continuidade
y0 = ln2 e x0 = 2
m = y − ln2
x−2 =
lnx− ln2
x−2 =
ln(x/2)
x−2
(i) x = 1,5
m = ln(1,5/2)
1,5−2 = 0,575364
(ii) x = 1,9
m = ln(1,9/2)
1,9−2 = 0,512933
Os demais itens ficam a cargo do leitor.
x m
1,5 0,575364
1,9 0,512933
1,99 0,501254
1,999 0,500125
2,5 0,446287
2,1 0,487902
2,01 0,498754
2,001 0,499875
(b) Os valores se aproximão de 0,5.
(c)
y − ln2= 0,5(x−2)
y = 0,5x+ ln2−1
2. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas
propriedades.
(a)lim
t→0
[√
1+ 1|t | −
√
1
|t |
]
Resolução:
|t | =
{
t , se t > 0
−t , se t < 0
Para t > 0:
lim
t→0
[√
1+ 1
t
−
√
1
t
]
·
√
1+ 1
t
+
√
1
t√
1+ 1
t
+
√
1
t
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 3
Limites e Continuidade
= lim
t→0
1+ 1
t
− 1
t√
1+ 1
t
+
√
1
t
= lim
t→0
1√
1+ 1
t
+
√
1
t
= 0
Para t < 0:
lim
t→0
[√
1+ 1−t −
√
1
−t
]
·
√
1+ 1−t +
√
1
−t√
1+ 1−t +
√
1
−t
= lim
t→0
1+ 1−t −
1
−t√
1+ 1−t +
√
1
−t
= lim
t→0
1√
1+ 1−t +
√
1
−t
= 0
Como os limites laterais são iguais a resposta é 0.
(b)
(1/
p
x)−1
1−x
Resolução:
lim
x→1
1−pxp
x
1−x = limx→1
(1−px)
(1−x)px ·
1+px
1+px
lim
x→1
(1−x)
(1−x)px(1+px) = limx→1
1p
x(1+px) =
1p
1(1+p1) =
1
2
3. Esboce os gráficos da função abaixo e , use-o para determinar os valores
de a para os quais lim
x→a f (x) exista:
(a) f (x)=

1+x , se x <−1
x2 , se −1≤ x < 1
2−x , se x ≥ 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 4
Limites e Continuidade
Resolução:
Figura 1.1: Gráfico de f(x)
4. Prove que o lim
x→0
|x|
x
não existe.
Dicas:
• Os limite só existe se os limites laterais forem iguais.
• |x| =
{
x , se x > 0
−x , se x < 0
5. Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade v é
m = m0p
1− v2/c2
, em que m0 é a massa da partícula em repouso e c, a
velocidade da luz. O que acontece se v→ c−?
Resolução
lim
x→c−
m0p
1− v2/c2
= m0p
1−1 =∞
6. Considere a função f definida por:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 5
Limites e Continuidade
f (x)=
{
0 , se x é racional
1 , se x é irracional
Para todo a ∈R, lim
x→a f (x) não existe. Por quê?
Resolução:
Suponha que a ∈Q, então f (a)= 0, logo lim
x→a f (x)= 0
Por outro lado, a 3Q, então f (a)= 0, logo lim
x→a f (x)= 1
Como a ∈ R , então 3 lim
x→a f (x), pois os limites laterais dessa função são
diferentes.
7. Calcule, se possível, os seguintes limites:
(g) lim
x→0
p
x+1−p1−x
3x
(l) lim
x→1
x3−1
x2−1
(o) lim
t→9
9− t
3−pt
(t) lim
x→2
x4−16
8−x3
(w) lim
x→7
2−px−3
x2−49
Resolução:
(a)
lim
x→0
p
x+1−p1−x
3x
·
p
x+1+p1−xp
x+1+p1−x
lim
x→0
(x+1)− (1−x)
3x(
p
x+1+p1−x)
lim
x→0
2x
3x(
p
x+1+p1−x) =
2
3(
p
x+1+p1−x)
lim
x→0
p
x+1−p1−x
3x
= 2
3 · (1+1) =
2
6
= 1
3
(b)
lim
x→1
x3−1
x2−1 = limx→1
(x−1)(x2+x+1)
(x−1)(x+1)
lim
x→1
x2+x+1
x+1 =
12+1+1
1+1 =
3
2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 6
Limites e Continuidade
(c)
lim
t→9
9− t
3−pt ·
3+pt
3+pt
lim
t→9
(9− t )(3+pt )
9− t = 3+
p
9= 6
(d)
lim
x→2
x4−16
8−x3 = limx→2
(x2+4)(x2−4)
(x−2)(−x2−2x−4)
lim
x→2
(x2+4)(x+2)(x−2)
(x−2)(−x2−2x−4)
lim
x→2
(x2+4)(x+2)
(−x2−2x−4) =−
8
3
(e)
lim
x→7
2−px−3
x2−49 ·
2+px−3
2+px−3
lim
x→7
4−x+3
(x+7)(x−7)(2+px−3) =
−(x−7)
(x+7)(x−7)(2+px−3)
lim
x→7=
−1
(x+7)(2+px−3) =−
1
56
8. Calcule, se existirem, os limites abaixo:
(a) lim
x→a
p
x−pap
x2−a2
com a > 0
(b) lim
x→a
p
x−pa+px−ap
x2−a2
com a > 0
(c) lim
x→0
(p
1+x2+x
)m − (p1+x2−x)m
x
Resolução
(a)
lim
x→a
p
x−pap
x2−a2
= lim
x→a
p
x−pap
(x−a)(x+a)
p
x−pap
x−apx+a ·
p
x+pap
x+pa
x−ap
x−a ·px+a · (px+pa)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 7
Limites e Continuidade
p
x−ap
x+a · (px+pa) =
0
2
p
a ·p2a = 0
(b)
lim
x→a
p
x−pa+px−ap
x2−a2
lim
x→a
p
x−pa+px−ap
x−apx+a
lim
x→a
p
x−pap
x−a ·px+a + limx→a
p
x−ap
x−a ·px+a
lim
x→a
1p
x+a =
1p
2a
(c)
lim
x→0
(p
1+x2+x
)m − (p1+x2−x)m
x
m = 1
lim
x→0
(p
1+x2+x
)
−
(p
1+x2−x
)
x
= 2
m = 2
lim
x→0
(p
1+x2+x
)2− (p1+x2−x)m
2
= lim
x→0
2 6 x(2
p
1+x2)
6 x = 4
.
.
.
Resolvendo mais limites para outros valores de m é possível observar o
seguinte padrão: 2m
9. Mostre que o lim
x→0x
2 ·cos(20pix)= 0.
−1≤ cos(2pix)≤ 1
−x2 ≤ x2 cos(2pix)≤ x2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 8
Limites e Continuidade
Pelo teorema do confronto:
lim
x→0−x
2 = 0, lim
x→0x
2 = 0
lim
x→0x
2 cos(2pix)= 0
10. Calcule, pelo Teorema do Confronto, lim
x→+∞(
p
x+1−px).
Resolução:
lim
x→+∞(
p
x+1−px) · (
p
x+1+pxp
x+1+px = limx→+∞
1p
x+1+px
p
x+1>px ⇒ px+1+px > 2px
lim
x→+∞
1p
x+1+px <
1
2
p
x
0< lim
x→+∞
1p
x+1+px <
1
2
p
x
lim
x→∞0= limx→∞
1
2
p
x
= 0
Logo
lim
x→+∞(
p
x+1−px)= 0
11. A função sinal, denotada por sgn, está definida por
sgn(x)=

−1 , se x < 0
0 , se x = 0
1 , se x > 0
Dica:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 9
Limites e Continuidade
Figura 1.2: Gráfico da função sinal
12. Considere a função f (x)= x
2−1
|x−1|
Dica:
Figura 1.3: Gráfico da função f (x).
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 10
Limites e Continuidade
13. Seja g (x)= x
2+x−6
|x−2| .
(a) Determine lim
x→2+
g (x) e lim
x→1− g (x).
(b) Existe lim
x→1g (x) ?
(c) Esboce o gráfico de g.
Dica:
Figura 1.4: Gráfico da função g (x).
14. Seja
h(x)=

x , se x < 0
x2 , se 0< x ≤ 2
8−x , se x > 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.i. lim
x→0+
h(x) ii. lim
x→0−h(x) iii. limx→0h(x) iv. limx→2−h(x)
v. lim
x→2+
h(x)
vi. lim
x→2h(x)
(b) Esboce o gráfico da função h.
Dica:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 11
Limites e Continuidade
Figura 1.5: Gráfico da função h(x).
15. Determine os limites.
(a) lim
x→4
x−5
(x−4)2
Resolução:
lim
x→4
x−5 (Esse termo tende a -1)
(x−4)2 (Esse termo tende a 0)
y = (x−4)2
lim
y→0
−1
y
=−∞
(b) lim
x→0
cos(x)
x · sen (x)
Resolução:
lim
x→0
cos(x) (Esse termo tende a 1)
x · sen (x) (Esse termo tende a 0 )
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 12
Limites e Continuidade
y = x · sen x
lim
y→0
1
y
=∞
16. Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞
1+2+3+ . . .+x
x2
(b) lim
x→+∞
12+22+ . . .+x2
x3
Sugestão: Para (a)
x∑
k=1
k = x(x+1)
2
e para (b)
x∑
k=1
k2 = x(x+1)(2x+1)
6
.
Resolução:
(a) lim
x→+∞
x∑
k=1
k
x2
lim
x→+∞
x(x+1)
2x2
lim
x→+∞
1+ 1x
2
(b) lim
x→+∞
x∑
k=1
k2
x3
lim
x→+∞
x(x+1)(2x+1)
6x3
lim
x→+∞
2x3+3x2+x
6x3
lim
x→+∞
2+ 3x + 3x2
6
= 1
3
17. Calcule os seguintes limites no infinito:
(a) lim
x→+∞
3p
x3+2x−1p
x2+x+1
Resolução:
lim
x→+∞
3
√
x3(1+ 1
x2
− 1
x2
)√
x2(1+ 1x + 1x2 )
lim
x→+∞
√
1+ 1
x2
− 1
x2√
(1+ 1x + 1x2 )
= 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 13
Limites e Continuidade
(b) lim
x→+∞
p
x4+2
x3
Resolução:
lim
x→+∞
√
x6( 1
x2
+ 2
x6
)
x3
lim
x→+∞
x3
√
( 1
x2
+ 2
x6
)
x3
= 0
(c) lim
x→−∞
x9+1
x9+x6+x4+1
lim
x→−∞
x9(1+ 1
x9
)
x9(1+ 1
x3
+ 1
x5
+ 1
x9
)
= 1
18. Numa cidade, uma determinada notícia foi propagada de tal maneira que
o número de pessoas que tomaram conhecimento é dado por:
N (t )
1768
1+33e−10t
em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-
se:
(a) Quantas pessoas souberam a notícia de imediato?
(b) Determine lim
t→∞N (t ) e explique o seu resultado.
Dicas: o tempo tende a 0 no quesito (a)
19. Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salgada contendo 30 g
de sal por litro de água é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
25l/min.
(a) Mostre que a concentração de sal depois de t minutos (gramas por
litro) é
C (t )= 30t
200+ t
(b) O que acontece com a concentração quando t→∞
Resolução:
(a)
30 g6l ·25t · 6 l
(5000+25t )l =
750t
5000+25t =
30t
200+ t
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 14
Limites e Continuidade
(b) lim
t→∞
30t
200
= 30 6 t
( 200t +1) 6 t
= lim
t→∞
30
( 200t +1)
= 30g/l
onde t é o tempo.
20. Encontre as assíntonas horizontal e vertical e esboce o gráfico da seguinte
função:
(a) f (x)= x
2
x2−1 =
x2
(x+1)(x−1)
Resolução:
Tire o limite da função f (x) tendendo as raízes para encontrar as assín-
tonas verticais :
lim
x→−1
x2
x2−1 =
x2
(x+1)(x−1) = limx→−1
1
1− 1
x2
=∞
lim
x→−1
x2
x2−1 = limx→−1
1
1− 1
x2
=∞
Tire o limite da função f (x) tendendo a infinito para encontrar as assín-
tonas horizontais:
lim
x→∞
x2
x2−1 = limx→∞
1
1− 1
x2
= 1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 15
Limites e Continuidade
Figura 1.6: Gráfico da função f (x).
21. Investigue a continuidade da função seguinte:
(a) f (x)=
{ x
|x| , x 6= 0
−1,x = 0
Resolução:
|x| =
{
x,x ≥ 0
−x,x < 0
lim
x→0
x
|x|
lim
x→0+
x
x
= 1
lim
x→0−
x
−x =−1
A função é descontínua, pois os limites laterais são diferentes.
22. O potencial φ de uma distribuição de carga num ponto do eixo dos x é
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 16
Limites e Continuidade
dado por:
φ(x)=

2piσ
(p
x2+a2−x
)
, se x ≥ 0
2piσ
(p
x2+a2+x
)
, se x < 0
com a > 0 e σ> 0. φ é contínua em 0? Justifique.
Resolução:
lim
x→0+
2piσ(
√
x2+a2−x)= 2piσa
lim
x→0+
2piσ(
√
x2+a2+x)= 2piσa
Como os limites laterais são iguais a função é contínua em 0;
23. Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se,
lim
h→0
f (a+h)= f (a)
Use esse fato para demonstrar que as funções sen (x) e cos(x) são contí-
nuas.
Resolução:
lim
x→0 sen (x+a)= sen a
24. Calcule:
(a) lim
x→0
sen 3x
x
Resolução:
lim
x→0
3 sen 3x
3x
u = 3x
lim
u→0
3 sen u
u
= 3
25. Calcular o valor de lim
x→0
tanx+x
x
lim
x→0
sen x
cosx
+x
x
= lim
x→0
sen x
x cosx
+1
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 17
Limites e Continuidade
lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
1
cosx
+1
lim
x→0
tanx+x
x
= 2
26. Determine: lim
x→0
1−cos2 x
1−cosx
Resolução:
lim
x→0
1−cos2 x
1−cosx ·
1+cosx
1+cosx
lim
x→0
(1−cos2 x)(1+cosx)
(1−cos2 x)
lim
x→0 1+cosx = 2
27. Sabendo que lim
x→0
sen x
x
= 1, calcule lim
x→pi4
cosx− sen x
cos2x
Resolução:
cos2x = cos(x+x)= cosx cosx− sen x sen x
cos2x = cos2 x− sen 2x
lim
x→pi4
cosx− sen x
cos2 x− sen 2x = limx→pi4
cosx− sen x
(cosx− sen x)(cosx+ sen x)
lim
x→pi4
1
cosx+ sen x =
p
2
2
28. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
sen 3x
2x
(b) lim
x→0
1−cosx
x
(c) lim
x→0
p
1+ sen x−p1− sen x
x
Resolução:
(a) lim
x→0
sen 3x
2x
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 18
Limites e Continuidade
u = 3x x = u
3
lim
u→0
sen u
2u
3
3
2
lim
u→0
sen u
u
= 3
2
(b) lim
x→0
1−cosx
x
lim
x→0
1−cosx
x
· 1+cosx
1+cosx = limx→0
1−cos2 x
x(1+cosx)
sen 2x+cos2 x = 1 ⇒ sen 2x = 1−cos2 x
lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0 sen x · limx→0
1
1+cosx = 1 ·0 ·
1
2
= 0
(c) lim
x→0
p
1+ sen x−p1− sen x
x
lim
x→0
p
1+ sen x−p1− sen x
x
·
p
1+ sen x+p1− sen xp
1+ sen x+p1− sen x
lim
x→0
1+ sen x− (1− sen x)
x(
p
1+ sen x+p1− sen x)
lim
x→0
2 sen x
x(
p
1+ sen x+p1− sen x)
2 · lim
x→0
sen x
x
· lim
x→0
1
x(
p
1+ sen x+p1− sen x) = 2 ·1 ·
1
2
= 1
29. Calcule os limites:
(a) lim
x→∞
(
1− 3
x
)x
(b) lim
x→∞
(
1− 4
x
)5x
(c) lim
x→∞
(
x+1
x−1
)x
(d) lim
x→∞
(
x+5
x
)2x+3
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 19
Limites e Continuidade
(a) lim
x→∞
(
1− 3
x
)x
Limite fundamental: lim
x→∞
(
1+ 1
x
)x
= e
1− 3
x
= 1+ 1
y
⇒ −3
x
= 1
y
x =−3y
lim
y→∞
(
1+ 1
y
)−3y
=
(
lim
y→∞
(
1+ 1
y
)y)−3
lim
x→∞
(
1− 3
x
)x
= 1
e3
(b) lim
x→∞
(
1− 4
x
)5x
1− 4
x
= 1+ 1
y
⇒ −4
x
= 1
y
x =−4y
lim
x→∞
(
1− 4−4y
)−20y
=
(
lim
y→∞
(
1+ 1
y
)y)−20
= e−20
(c) lim
x→∞
(
x+1
x−1
)x
x+1
x−1 = 1+
1
y
6 x+1=6 x−1+ x−1
y
2y = x−1
x = 2y +1( 6 2y+ 6 2
6 2y
)2y+1
=
(
y +1
y
)2y+1
=
(
1+ 1
y
)2y
·
(
1+ 1
y
)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 20
Limites e Continuidade
(
lim
y→∞
(
1+ 1
y
)y)2
· lim
y→∞
(
1+ 1
y
)y
= e2
(d) lim
x→∞
(
x+5
x
)2x+3
x+5
x
= 1+ 1
y
6 x+5=6 x+ x
y
5y = x( 6 5y+ 6 5
6 5y
)10y+3
=
(
1+ 1
y
)10y+3
lim
x→∞
(
1+ 1
y
)10y+3
=
(
lim
x→∞
(
1+ 1
y
)y)10
·
(
lim
x→∞
(
1+ 1
y
))3
= e10
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 21
CAPÍTULO 2
DERIVADAS
1. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 2x2+3 que é paralela à
reta 8x− y +3= 0.
Resolução:
8x− y +3= 0
y = 8x+3
y = 2x2+3
y ′ = 4x = 8
x = 2
y(2)= 11
y −11 = 8(x−2)
y −11 = 8x−16
y = 8x−5
2. Usando a definição, determine a função primeira derivada e as derivadas
nos pontos indicados:
f (x)= x2−1, f ′(0) e f ′(1)
22
Derivadas
Resolução:
lim
h→0
(h+x)2−1−x2+1
h
= lim
h→0
6 h2+26 hx+ 6 x2− 6 1− 6 x2+ 6 1
6 h
= lim
h→0
h+2x = 2x
f ′(0)= 0 ; f ′(1)= 2
3. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, a sua altura
(em metros) deposis de t segundos é dada por y = 10t −4,9t2. Encontre
a velocidade quando t = 2.
Resolução:
y(t )= 10t −4.9t2
v(t )= y ′(t )
v(t )= lim
h→0
10(h+ t )−4,9(h+ t )2−10t +4,9t2
h
v(t )= lim
h→0
10h+10t −4,9(h2+2ht + t2)−10t +4,9t2
h
v(t )= lim
h→0
6 h(10−4,9h−9,8t )
6 h = 10−9,8t
v(2)=−9,6m/s
4. Determine se existir ou não f ′(0).
f (x)=
 x2 sen
1
x
, se x 6= 0
0 , se x = 0
Resolução:
f ′(0)= lim
x→0
f (x)− f (0)
x−0 = limx→0x sen (1/x)= 0
Logo o limite existe.
5. Seja f (x)= 3px.
(a) Se a 6= 0, usando a definição de derivada no ponto, encontre f ′(a).
(b) Mostre que f ′(0) não existe.
(c) Mostre que y = 3px tem uma reta tangente vertical em (0,0).
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 23
Derivadas
Resolução:
(a)
f ′(a) = lim
h→0
f (a+h)− f (a)
h
= lim
h→0
3
p
(a+h)− 3pa
h
= lim
h→0
3
p
(a+h)− 3pa
h
·
3
√
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3
p
a2
3
√
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3
p
a2
= lim
h→0
3
√
(a+h)3− 3
p
a3
h( 3
√
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3
p
a2)
= lim
h→0
6 a+ 6 h− 6 a
6 h( 3
√
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3
p
a2)
= lim
h→0
1
3
√
(a+h)2+ 3p(a+h)a+ 3
p
a2
= lim
h→0
1
3p
a2+ 3
p
a2+ 3
p
a2
= 1
3
3p
a2
(b) f ′(0)= 1/0, que é indeterminação.
(c) A função é contínua em x = 0 e a f ′(0) = +∞. Por isso, existe a reta
tangente vertical nesse ponto.
6. Mostre que a função f (x)= |x−6|não é diferenciavel em 6. Encontre uma
fórmula para f ′ e esboce seu gráfico.
Resolução:
Lembre-se:
|x| =
{
x , x > 0
−x , x < 0
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 24
Derivadas
Para x > 6
f ′(a)= lim
h→0
h+ 6 a− 6 6− 6 a+ 6 6
h
= 1
Para x < 6
f ′(a)= lim
h→0
−h− 6 a+ 6 6+ 6 a− 6 6
h
=−1
Os limites laterais são diferentes, logo não existe derivada no ponto 6.
f (x)=
{ −1 , x < 6
1 , x > 6
Figura 2.1: Gráfico da função f (x).
7. Em que ponto da curva y = x2+8 a inclinação da tangente é 16? Escreva
a equação dessa reta tangente.
Resolução:
f ′(a)= 16 f (x)= x2+8
lim
h→0
(h+a)2+8−a2−8
h
= lim
h→0
6 h2+2 6 ha+ 6 a2+ 6 8− 6 a2− 6 8
6 h
= lim
h→0
h+2a = 2a
f ′(a)= 2a = 16, a = 8, y = 82+8= 72
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 25
Derivadas
Ponto (8,72)
Encontrando a reta tangente:
y −72= 16(x−8)
y = 16x−56
8. Se f (x)= 2x2−x3, encontre f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x) e f (4). Trace f , f ′, f ′′e f ′′′
em uma única tela. Os gráficos são consistentes com as interpretações
geométricas destas derivadas?
Resolução:
f ′(x) = 4x−3x2
f ′′(x) = 4−6x
f ′′′(x) = 6
f (4) = 0
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 26
Derivadas
Figura 2.2: Gráfico das funções f (x), f ′(x), f ′′(x), f ′′′(x).
9. Lembre-se de que uma função f [e chamada par se f (−x) = f (x) para
todo x em seu domínio e, ímpar se f (−x)=− f (x) para cada um destes x.
Demonstre cada uma das afirmativas a seguir:
(a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.
(b) A derivada de uma função ímpar é uma função par.
Resolução:
(a) Escolhendo a função cos(x) :
lim
h→0
cos(h+x)−cosx
h
lim
h→0
cosh cosx− sen x sen h−cosx
h
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 27
Derivadas
lim
h→0
cosx(cosh−1)
h
− lim
h→0
sen x sen h
h
− sen x Uma função ímpar
(b) Escolhendo a função sen (x) :
lim
h→0
sen (h+x)− sen x
h
lim
h→0
sen h cosx+ sen x cosh− sen x
h
lim
h→0
cosx
sen h
h
+ lim
h→0
sen x
(cosh−1)
h
cosx uma função par
10. Encontre a derivada de cada uma das funções.
(a) f (x) = 3
2x
+2x( 5
p
x3)− 2p
x
(b) f (x) = t
3−3t
t5−5t (t
2−2t )
(c) f (x) = x2 sen (x)− ln(x)cos(x)
Resolução:
(a) f (x)= 3
2x
+2x( 5
p
x3)− 2p
x
f (x)= 3
2
x−1+2x · x3/5−2x−1/2
f (x)= 3
2
x−1+2x8/5−2x−1/2
f ′(x)= −3
2
x−2+ 16
5
x · x3/5+x−3/2 = −3
2x2
+ 16
5
5p
x3+ 1
3p
x2
(b) f (x)= t
3−3t
t5−5t (t
2−2t )
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 28
Derivadas
Utilizando a regra do quociente:
f ′(t )= (t
5−5t )(5t4−8t3−9t2+12t )− (t5−2t4−3t3+6t2)(5t4−5)
(t5−5t )2
f ′(t )= 2t
8+6t7−18t6−20t5+30t4+30t3−30t2
(t5−5t )2
(c) f (x)= x2 sen (x)− ln(x)cos(x)
Utilizando a regra do produto:
f ′(x)= 2x sen x+x2 cosx−
(
1
x
cosx+ lnx ·− sen x
)
f ′(x)= sen x(2x+ lnx)+cosx(x2−1/x)
11. Suponha que a curva y = x4+ax3+bx2+cx+d tenha uma reta tangente
quando x = 0 com equação y = 2x+1 e, uma reta tangente quando x = 1
com equação y = 2−3x. Encontre os valores de a,b,c ed .
Resolução:
f ′(0)= 2; f ′(1)=−3
f ′(x)= 4x3+3ax2+2bx+ c
f ′(0)= c = 2
f ′(1)= 3a+2b =−9
f (0)= d = 1
f (1)= a+b =−5{
3a+2b = −9
a+b = −5
a = 1; b =−6
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 29
Derivadas
12. Se f (x)= ex · g (x), em que g (0)= 2 e g ′(0)= 5. É correto dizer que f ′(0) é:
(a)7 (b)2 (c)5 (d) 10
Resolução:
f ′(x)= exg (x)+exg ′(x); f ′(0)= e0g (0)+e0g ′(0)
f ′(0)= 2+5= 7
Resposta: letra (a)
13. Encontre um polinômio de segundo grau P tal que P (2) = 5,P ′(2) = 3 e
P ′′(2)= 2.
Resolução:
P (x) = ax2+bx+ c
P ′(x) = 2ax+b
P ′′(x) = 2a
P (2) = 4a+2b+ c = 5
P ′(2) = 4a+b = 3
P ′′(2) = 2a = 2
a = 1
4+b = 3 ⇒ b =−1
4−2+ c = 5 ⇒ c = 3
14. Encontre as derivadas das funções dadas.
(a) f (x) = (3x5−1)10(2−x4)
(b) f (s) = ln(e5s−3)
(c) f (θ) = 2cos2(θ) sen (θ)
(d) f (x) = ln( sen 2(x))
Resolução:
(a) f (x)= (3x5−1)10(2−x4)
Obs. Utiliza-se a regra da cadeia e a do produto.
10(3x5−1)9(15x4)(2−x4)+ (3x5−1)10 ·−4x3
(b) f (s)= ln(e5s−3)
5e5s−3
e5s−3
= 5
(c) f (θ)= 2cos2(θ) sen (θ)
f ′(θ) = −4cos(θ) sen (θ) sen (θ)+2cos2(θ)cos(θ)
= −4cos(θ) sen 2(θ)+2cos3(θ)
(d) f (x)= ln( sen 2(x))
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 30
Derivadas
1
sen 2(x)
·2 sen (x)cos(x)= 2cosx
sen x
= 2cotx
15. Usando a regra da cadeia, determine y ′, sendo:
(a) y = (3x+5)50
(b) y = 1
(x3+3x2−6x+4)
(c) y = sec2[(x3−6)3]
(d) y = 1
x(x+1)
Resolução:
(a) y = (3x+5)50
y ′ = 50(3x+5)49 ·3= 150(3x+5)49
(b) y = 1
x3+3x2−6x+4 = (x
3+3x2−6x+4)−1
y ′ = −(x3+3x2−6x+4)−2 · (3x2+6x−6)= −(3x
3+6x−6)
(x3+3x2−6x+4)2
(c) Derivada tabelada:
d secx
dx
= secx · tanx
y = sec2[(x3−6)3]
y ′ = 2sec[(x3−6)3] · sec[(x3−6)3] · tan[(x3−6)3] ·3(x3−6)2 ·3x2
y ′ = 18x2 sec2[(x3−6)3] tan[(x3−6)3](x3−6)2
(d) y = 1
x(x+1) = [x(x+1)]
−1
y ′ = −[x(x+1)]−2 · [(x+1)+x]
= −(2x+1)
[x(x+1)]2
16. Seja f uma função derivável e g (x)= ex f (3x+1). Cacule g ′(0) se f (1)= 2
e f ′(1)= 3.
g (x) = ex f (3x+1)
g ′(x) = ex f (3x+1)+ex f ′(3x+1) ·3
g ′(0) = e0 f (1)+e0 f ′(1) ·3= 2+9= 11
17. A curva y = 1/(1+x2) é chamada bruxa deMaria Agnesi.
(a) Encontre uma equação da reta tangente e uma equação da reta norma
para essa curva no ponto (−1, 12 ).
(b)Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e das retas tangentes e
normal no mesmo plano.
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 31
Derivadas
Resolução:
y = (1+x2)−1
y ′ = −(1+x2)−2 ·2x = −2x
(1+x2)2
Encontrando a reta tangente no ponto (−1, 12 )
f ′(−1)= −2 ·−1
(1+ (−1)2)2 =
1
2
y − 12 = 12 (x− (−1))
y − 12 = 12x+ 12
y = 12x+1
Encontrando a reta normal no ponto (−1, 12 )
y − 1
2
= −1
f ′(−1)(x+1)
y − 1
2
= −2(x+1)
y − 1
2
= −2x−2
y = −2x− 3
2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 32
Derivadas
Figura 2.3: Gráfico da curva bruxa Maria Agnesi e das retas tangente e normal
no ponto (−1, 12 ).
18. Calcule a derivada de:
(a) y = 3p3x−1
(b) z(x) = ln(x2−6)
Resolução:
(a) y = 3p3x−1= (3x−1)1/3
y ′ = 16 3(3x−1)
−2
3 · 6 3
y ′ = 1
3
√
(3x−1)2
(b) z(x)= ln(x2−6)
z ′(x)= 1
x2−6 ·2x =
2x
x2−6
19. Calcule as derivadas das funções:
(a) y = 5x−1
(b)y = log5(x2)
(c) y = ln
( x
x+1
)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 33
Derivadas
Resolução:
Dica:
d(loga x)
dx
= 1
x lna
(a) y = 5(x−1)
ln y = ln5(x−1)
ln y = (x−1)ln5
1
y
· y ′ = ln5
y ′ = y ln5
y ′ = 5(x−1) · ln5
(b) y = log5(x2)
y ′ = 1
x2 ln5
·2x = 2
x ln5
(c) y = ln
( x
x+1
)
= lnx− ln(x+1)
y ′ = 1
x
− 1
x+1 =
1
x2+x
20. Calcule y ′ se:
(a)y =
√
1− tan2(x)
(b)y = x cot(2x)
(c)y = tan(sec(x2))
Resolução:
Derivadas tabeladas:
d(tanx)
dx
= sec2 x; d(secx)
dx
= secx · tanx
(a)y =
√
1− tan2(x)= (1− tan2 x) 12
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 34
Derivadas
y ′ = − 16 2(1− tan
2 x)−
1
2 · [ 6 2tanx · sec2 x]
y ′ = − tanx · sec
2 xp
1− tan2 x
(b)y = x cot(2x)
y ′ = cot(2x)−2cossec2(2x)
(c)y = tan(sec(x2))
y ′ = sec2[sec(x2)] · sec(x2) · tan(x2) ·2x
21. Encontre:
d99
dx99
( sen x)
Resolução:
d
dx
sen x = cosx
d2
dx2
sen x = − sen x
d3
dx3
sen x = −cosx
d4
dx4
sen x = sen x
d5
dx5
sen x = cosx
99 4
3 24
d99
dx99
( sen x) = d
3
dx3
( sen x)
= −cosx
22. Encontre constantes A e B de forma que a função y = A sen x +B cosx
satisfaça a equação diferencial y ′′+ y ′−2y = sen x.
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 35
Derivadas
y ′ = A cosx−B sen x
y ′′ = −A sen x−B cosx
−A sen x−B cosx+ A cosx−B sen x−2A sen x−2B cosx = sen x
(−3A−B) sen x+ (A−3B)cosx = 1 sen x+0cosx
{ −3A−B = 1
A−3B = 0
A = −3
10
; B = −1
10
23. Ache
∂y
∂x
por derivação implicita de x2+ y2 = 16
Resolução:
2x+2y · y ′ = 0
2y · y ′ = −2x
y ′ = − 6 2x6 2y
y ′ = −x
y
24. Ache uma equação da reta tangente à curva 16x4+y4 = 32 no ponto (1,2).
Resolução:
Derivando a curva:
64x3+4y3 · y = 0
4y3y ′ = −64x3
y ′ = −64x
3
4y3
=−16x
3
y3
y ′(1,2)=−2
Equação da reta tangente:
y −2 = −2(x−1)
y −2 = −2x+2
y = −2x+4
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 36
Derivadas
25. Ache uma equação da reta normal à curva x2+xy+ y2−3y = 10 no ponto
(2,3).
Resolução:
2x+ y +xy ′+2y y ′−3y ′ = 0
(x+2y −3)y ′ = −2x− y
y ′ = −2x− y
x+2y −3
y ′(2,3)= −7
5
Equação da reta normal:
t − t0 =− 1
y ′
(x−x0)
t −3 = 5
7
(x−2)
t −3 = 5
7
x− 10
7
t = −5
7
x
−11
7
26. Use a derivação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintes
funções:
(a) y = (2x+1)5(x4−3)6
(b) y =
√
x−1
x4+1
(c) y = xx
(d) y = xcosx
Resolução:
(a)y = (2x+1)5(x4−3)6
ln y = ln[(2x+1)5(x4−3)6]
ln y = ln(2x+1)5+ ln(x4−3)6
ln y = 5ln(2x+1)+6ln(x4−3)
1
y
· y ′ = 10
2x+1 +
24x3
x4−3
y ′ = [(2x+1)5(x4−3)6] ·
[
10
2x+1 +
24x3
x4−3
]
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 37
Derivadas
(b)y =
√
x−1
x4+1
ln y = ln
[(
x−1
x4+1
)1/2]
= 1
2
ln
(
x−1
x4+1
)
= 1
2
[
ln(x−1)− ln(x4+1)]
1
y
· y ′ = 1
2(x−1) −
4x3
2(x4+1)
y ′ =
√
x−1
x4+1 ·
[
1
2(x−1) −
4x3
2(x4+1)
]
(c)y = xx
y = xx
ln y = lnxx
ln y = x lnx
1
y
· y ′ = lnx+x · 1
x
y ′ = y · [lnx+1]
y ′ = xx · [lnx+1]
(d)y = xcosx
ln y = ln(xcosx)
ln y = cosx · lnx
1
y
· y = − sen x · lnx+ cosx
x
y ′ = xcosx
[cosx
x
− sen x · lnx
]
27. Seja f (x)= a+b cos(2x)+ c cos(4x), onde a,b,c ∈ R. Sabendo que f ( pi2) =
1, f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = f (3)(0) = 0 e que f pode ser escrita na forma
f (x)= sen n(x),n ∈N, determine a,b,c en.
Resolução:
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 38
Derivadas
f (x) = a+b cos(2x)+ c cos(4x)
f ′(x) = −b2 sen (2x)−4c sen (4x)
f ′′(x) = −4b cos(2x)−16c cos(4x)
f (3)(x) = 8b sen (2x)+64c sen (4x)
f ′′(0) = −4b−16c = 0
f (0) = a+b = c = 0
f (pi/2) = a−b+ c = 1
Resolvendo o sistema acima:
a = 3
8
; b = −1
2
; c = 1
8
f (x) = 3
8
− 1
2
cos(2x)+ 1
8
cos(4x)
= 3
8
− 1
2
(cos2 x− sen 2x)+ 1
8
cos(4x)
= 3
8
− 4
8
(1−2 sen 2x)+ 1
8
cos(4x)
= −1
8
+ sen 2x+ 1
8
cos(4x)
1
8
cos4x = 1
8
[cos(2x)cos(2x)− sen (2x) sen (2x)]
= 1
8
[cos2(2x)− sen 2(2x)]
= 1
8
(1−2 sen 2(2x))
f (x) = −1
8
+ sen 2(x)+ 1
8
− 2
8
sen 2(2x)
= sen 2x− 2
8
sen 2(2x)
sen 2(2x) = ( sen x cosx+ sen x cosx)2
= (2 sen x cosx)2
= 4 sen 2x cos2 x
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 39
Derivadas
f (x) = sen 2x− 2
8
(4 sen 2x cos2 x)
= sen 2x− sen 2x cos2 x
= sen 2x(− 6 1+ 6 1+ sen 2x)
= sen 2x · sen 2x = sen 4x
n = 4
28. Determine a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = arcsin
(
x−1
2
)
no ponto onde a curva intersecta o eixo dos x.
Resolução:
Valor tabelado :
d
dx
arcsinx = 1p
1−x2
Encontrando o ponto onde a curva intersecta o eixo dos x:
arcsin
(
x−1
2
)
= 0
x−1
2
= 0 ⇒ x = 1
Ponto : (1,0)
y ′ = 1√
1−
(
x−1
2
)2 · 12
y ′ = 1
2
Reta tangente:
y −0= 1
2
(x−1)
y = 1
2
x− 1
2
Reta normal:
y −0=− 1
1/2
(x−1)
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 40
Derivadas
y =−2(x−1)
y =−2x+2
APOSTILA EXERCÍCIOS DE CÁLCULO 41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. 3 ed. São Paulo:
Harbra, 1994.
[2] STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 6 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
[3] GUIDORIZZI, H. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC,
2012.
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	Limites e Continuidade
	Derivadas