A1_CVGA- 2

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FOLHA DE QUESTÕES
CURSO: DISCIPLINA:
ASS.: NOME:
Professor :
DATA: Nº de ordem GRAU: PROVA: TURMA MATRÍCULA:
___/____/____
Todas as questo˜es devem conter os ca´lculos ou justificativas.
1a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Determinar o vetor −→u tal que |−→u | = 2, sendo o aˆngulo entre −→u
e −→v = (1,−1, 0) igual a 45o e −→u seja ortogonal a −→w = (1, 1, 0).
2a Questa˜o (valor: 2,0 ponto): No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, esta´ representado
o triaˆngulo ABC.
1 73
5
3
A
B
C
x
y
Em relac¸a˜o a esse triaˆngulo,
(a) demonstre que ele e´ retaˆngulo;
(b) calcule a sua a´rea.
1
3a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Uma forc¸a dada pelo vetor
−→
F = 10
−→
i + 18
−→
j − 6−→k move, em
linha reta, uma part´ıcula do ponto P (2, 3, 0) para o ponto Q(4, 9, 15). Determinar:
(a) O trabalho realizado, sendo a unidade de comprimento o metro e a forc¸a e´ medida em
newtons.
(b) −→v o vetor projec¸a˜o de −→F sobre o vetor −→PQ.
4a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Dados os vetores −→u = (1,−1, 1) e −→v = (2,−3, 4) , calcular:
(a) um vetor de mo´dulo 4 simultaneamente ortogonal a −→u e −→v ;
(b) a a´rea do paralelogramo determinado por −→u e −→v ;
(c) a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor −→u .
5a Questa˜o (valor: 2,0 pontos): Na figura temos um avia˜o voando a 600 km/h. Num determi-
nado instante comec¸a a soprar um vento com velocidade de 100Km/h, conforme indica a
figura. Determinar a velocidade resultante do avia˜o.
Gabarito
1a Questa˜o: Seja u = (x, y, z), temos:
(i) |u| = 2 =⇒ x2 + y2 + z2 = 4
(ii) −→u · −→v = |−→u | · |−→v | · cos 45o ⇒ x− y = 2 · √2 ·
√
2
2
⇒ x− y = 2.
(iii) −→u ⊥ ~w ⇒ −→u · −→w = 0⇒ x+ y = 0.
Temos assim, o sistema:

x2 + y2 + z2 = 4
x − y = 2
x + y = 0
⇒
{
x = 1
y = −1 ⇒ 1
2 + (−1)2 + z2 = 4⇒ z = ±√2.
Resposta: −→u = (1,−1,√2) ou −→u = (1,−1,−√2).
2
2a Questa˜o:
(a)
−→
AC = C − A = (3, 5)− (1, 3) = (2, 2) e −−→CB = B − C = (7, 1)− (3, 5) = (4,−4).
Portanto:
−→
AC · −−→CB = (2, 2) · (4,−4) = 2 · 4 + 2 · (−4) = 0⇒ −→AC ⊥ −−→CB ⇒ aˆngulo reto no ve´rtice C.
(b) A´rea do triaˆngulo e´ (base× altura)/2 = (|−→AC| · |−−→CB|)/2 = (√8 · √32)/2 = 8u.m.a.
3a Questa˜o:
(a) W =
−→
F · −→PQ = (10, 18,−6) · (2, 6, 15) = 20 + 108− 90 = 38 Joules.
(b) −→v = proj−−→
PQ
−→
F =
( −→
F · −→PQ
|−→PQ| · |−→PQ|
)
· −→PQ = 38
265
(2, 6, 15) = (
76
265
,
228
265
,
114
53
).
4a Questa˜o: −→u = (1,−1, 1) e −→v = (2,−3, 4) . Portanto
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 −1 1
2 −3 4
∣∣∣∣∣∣ = −4~i+ 2~j − 3~k + 2~k + 3~i− 4~j = (−1,−2,−1)
(a) −→w = ± 4|−→u ×−→v |(
−→u ×−→v ) = ±( 4√
6
,
8√
6
,
4√
6
).
(b) A´rea A = |−→u ×−→v | =√(−1)2 + (−2)2 + (−1)2 = √6 u.m.a..
(c) A = |−→u | · h =⇒ h = A|−→u | =
√
6√
3
=
√
2 u.m.c.
5a Questa˜o:
1a soluc¸a˜o: Temos na figura abaixo que o vetor velocidade resultante e´ dado por:
−→
V R = (a, b)+(c, 0).
60o
a
b
600
100 c
(a,b)
(c,0)
x
y
(a,b)+(c,0)
3
Mas, cos 60o =
a
600
⇒ 1
2
=
a
600
⇒ a = 300, sen 60o = b
600
⇒
√
3
2
=
b
600
⇒ b = 300√3 e
c = 100. Assim sendo, temos que
−→
V R = (a, b) + (c, 0) = (300, 300
√
3) + (100, 0) = (400, 300
√
3).
Portanto |−→V R| =
√
(400)2 + (300
√
3)2 =
√
160000 + 270000 =
√
430000 ≈ 655, 7 m/s
2a soluc¸a˜o: Aplicando a Lei dos Cossenos no triaˆngulo abaixo temos
|−→V R|2 = (600)2 + (100)2 − 2 · 600 · 100 · cos 120o = 360000 + 10000− 120000(−1
2
) = 430.000⇒
|−→V R| ≈ 655, 7 m/s.
60o
600
100 x
y
120o
100
|−→V R|
4