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NH 4297 Mecânica Geral 3º quadrimestre - 2015 
 
Lista 1 – Data de entrega: 27 de outubro 
 
Onde for necessário denote a constante de gravitação universal por G. 
 
1) A Lei da Gravitação Universal foi publicada em 1678 por Isaac Newton. Através dessa lei, é possível 
determinar, por exemplo, as intensidades das forças de interação gravitacional entre a Terra e a Lua, 
F(TL), e entre o Sol e a Lua, F(SL). Considerando a massa do Sol 3,2.10
5
 vezes maior que a massa da 
Terra e a distância média do Sol à Lua 400 vezes maior que a distância média da Terra à Lua, calcule a 
relação entre as intensidades destas duas forças. 
 
 
2) Três partículas são mantidas fixas no plano xy, conforme a figura seguinte. A partícula A tem massa 
“m”, a partícula B tem massa “2m” e C tem massa “3m”. Uma quarta partícula D, de massa “4m”, pode 
ser colocada nas proximidades das outras. Calcule as coordenadas do ponto em que D deve ser colocada 
para que a força gravitacional resultante sobre a partícula A seja nula. 
 
 
3) Duas cascas esférica concêntricas de massas M1 e M2 estão situadas conforme a figura. As massas 
específicas são iguais e constantes em todos os pontos das cascas. Escreva expressões para a força 
gravitacional que atua sobre uma partícula de massa “m” quando ela estiver nas posições r = a, r = b, r = 
c, onde a distância “r” é medida a partir do centro das cascas. 
 
 
4) Na figura abaixo, uma partícula de massa “m” está a uma distância “d” de uma das extremidades de 
uma barra uniforme de comprimento “L” e massa “M”. Obtenha uma expressão para o módulo da força 
gravitacional que a barra exerce sobre a partícula. 
 
 
 
 
5) Considere um anel fino e homogêneo de massa M e raio externo R. Qual é a força gravitacional que o 
anel exerce sobre uma partícula de massa m localizada no eixo central do anel a uma distância x de seu 
centro? 
 
 
6) Considere um fino disco uniforme de massa “M” e raio “a”. Calcule a força gravitacional que ele 
exerce sobre uma partícula de massa “m” colocada sobre seu eixo, a uma distância “z” do centro. 
 
 
7) Faz-se uma cavidade esférica em uma esfera de chumbo de raio R e massa M, tal que a sua superfície 
tangencie a superfície externa da esfera de chumbo e passe pelo centro desta, conforme ilustra a figura a 
seguir. Mostre que a força com que a esfera com a cavidade atrairá uma pequena esfera de massa m 
localizada à distância d ao longo da reta que passa pelo centro das esferas e da cavidade é dada por: 
 
 
 
 
  








22
2/18
1
1
dRd
GmM
F
8) Suponha que a Terra seja uma esfera homogênea de raio RT com massa específica uniforme. Seja g0 o 
valor da aceleração da gravidade na superfície terrestre. Mostre que a intensidade do campo gravitacional 
a uma profundidade z abaixo da superfície terrestre é dada por: 
 







TR
z
gg 10
 
 
 
9) A figura a seguir representa exageradamente a trajetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do 
percurso é indicado pela seta. O ponto V marca o início do verão no hemisfério sul e o ponto I marca o 
início do inverno. O ponto P indica a maior aproximação do planeta ao Sol e o ponto A marca o maior 
afastamento. Os pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o Sol. 
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto essa velocidade é 
mínima? Justifique sua resposta. 
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais. Coloque em 
ordem crescente os tempos necessários para o planeta realizar os seguintes percursos: VPI, PIA, IAV, 
AVP. 
 
 
10) A terceira lei de Kepler diz que "o quadrado do período de revolução de um planeta (tempo para dar 
uma volta em torno do Sol) dividido pelo cubo da distância do planeta ao Sol é uma constante". A 
distância da Terra ao Sol é equivalente a 1 UA (unidade astronômica). 
a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de asteróides (vide figura). Os asteróides são corpos sólidos 
que teriam sido originados do resíduo de matéria existente por ocasião da formação do sistema solar. Se 
no lugar do cinturão de asteróides essa matéria tivesse se aglutinado formando um planeta, quanto duraria 
o ano deste planeta? 
b) De acordo com a terceira lei de Kepler, o ano de Mercúrio é mais longo ou mais curto que o ano 
terrestre? 
 
11) Em 1610 Galileu usou seu telescópio e descobriu quatro satélites de Júpiter, cujos raios orbitais 
médios e os períodos estão listados na tabela a seguir. 
 
Satélite R(10
8 
m) T(dias) 
Io 4,22 1,77 
Europa 6,71 3,55 
Ganimedes 10,7 7,16 
Calisto 18,8 16,7 
 
a) Construa o gráfico de logR em função de logT e determine a inclinação da reta obtida, comparando-a 
com o valor previsto pela terceira lei de Kepler. 
b) A partir do gráfico, determine a massa de Júpiter. 
 
 
12) Um astrônomo, ao estudar uma estrela dupla E1-E2, observou que ambas executavam um movimento 
em torno de um mesmo ponto P, como se estivessem ligadas por uma barra imaginária. Ele mediu a 
distância D entre elas e o período T de rotação das estrelas, obtendo T = 12 dias. Observou ainda que o 
raio R1 da trajetória circular de E1 era três vezes menor do que o raio R2 da trajetória circular de E2. 
Observando essas trajetórias, ele concluiu que as massas das estrelas eram tais que M1 = 3M2. Além 
disso, supôs que E1 e E2 estivessem sujeitas apenas à força gravitacional entre elas. A partir das medidas e 
das considerações do astrônomo: 
a) Indique as posições em que E1 e E2 estariam, quinze dias após uma observação em que as estrelas 
foram vistas como está representado no esquema ao lado da figura. Marque e identifique claramente as 
novas posições de E1 e E2 no esquema quadriculado. 
b) Determine a razão V1/V2 entre os módulos das velocidades lineares das estrelas E1 e E2. 
c) Escreva a expressão da massa M1 da estrela E1 em função de T, D e da constante universal da 
gravitação G. 
13) Três estrelas iguais de massa “M” formam um triângulo equilátero de lado “L”, que gira em torno do 
seu centro enquanto as estrelas se movem ao longo de uma mesma circunferência. Qual é a velocidade 
escalar das estrelas? 
 
14) Uma partícula de massa “4m” está situada a uma distância “a” de outra partícula de massa “m”. 
Determine: 
a) o ponto sobre a reta que une as partículas onde o campo gravitacional resultante se anula. 
b) a energia potencial gravitacional do sistema. 
 
15) Determine se a seguinte força, com “a”, “b” e “c” constantes, é conservativa. Em caso afirmativo, 
encontre a energia potencial associada. 
 
Fx = ayz + bx + c Fy = axz + bz Fz = axy + by 
 
16) Mostre que: 
a) uma força central qualquer 
rrFF ˆ)(

 é conservativa. 
b) a energia potencial associada a uma força central é função apenas da distância da partícula ao centro 
fixo O, ou seja, U = U(r). Dica: utilize coordenadas esféricas e escolha um caminho de integração 
adequado. 
 
17) Uma partícula de massa “m” e momento angular orbital de módulo “L” se move sob ação de uma 
força central em uma órbita dada por 
ker 
, onde e k são constantes. Determine: 
a) a expressão para o módulo da força que atua sobre a partícula. 
b) as equações r(t) e (t), onde t é o tempo. 
c) a energia potencial e a energia total da órbita admitindo que no infinito U = 0. 
 
18) Um satélite artificial está em movimento em uma órbita elíptica ao redor da Terra. As distâncias 
mínima (perigeu) e máxima (apogeu) entre o satélite e a superfície da Terra são 400 km e 3000 km, 
respectivamente. Considere G = 6,67.10 
- 11
 Nm
2
/kg
2
 e a massa da Terra 5,98.10 
24
 kg. Calcule asvelocidades escalares do satélite no perigeu e no apogeu. 
 
19) Considere uma partícula de massa m1 descrevendo uma trajetória elíptica sob ação de uma força 
central inversamente proporcional ao quadrado da distância entre ela e a partícula central de massa m2. A 
partir da segunda lei de Kepler e sabendo que a área da elipse é “ab”, onde “a” é seu semieixo maior e 
“b” seu semieixo menor, obtenha uma expressão para o período do movimento elíptico, demonstrando 
assim a terceira lei de Kepler. 
 
20) Calcule a deflexão em relação ao ponto O da figura abaixo, causada pela força de Coriolis atuando 
sobre uma partícula que cai livremente a partir do repouso de uma altura “h” acima da superfície terrestre 
no campo gravitacional “g” da Terra, em um local a uma latitude “”. Denote o módulo da velocidade 
angular da Terra por “” e utilize o sistema de eixos coordenados da figura.