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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CENTRO DE CIEˆNCIAS
2.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
(Sistemas Lineares)
Aluno(a):
Prof.: Marcelo Melo
1. Solucione os sistemas abaixo.
a)
{
2x + 3y = 4
−x + y = 5 b)
{ −x + z = 4
y + 5z = 0
c)

7x + 2y − 4 = 0
−x + 3y + 1 = 0
8y + 4z − √2 = 0
d)
{
x + y + z + 3t = 1
x + y − z + 2t = 0
2. Determine a ∈ R de modo que o sistema

x − 2y + 3z = −4
5x − 6y + 7z = −8
6x − 8y + az = −12
seja
indeterminado.
3. Determine a ∈ R para que o sistema

x + y + z = 0
x + 2y + az = 0
x + 4y + a2z = 0
so´ admita
a soluc¸a˜o trivial.
4. Discuta o conjunto soluc¸a˜o de cada sistema linear abaixo segundo os valores
do paraˆmetro a.
a)

ax + ay + az = 1
ax + y + 2z = −1
ax = a
b)

ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = −2
Matema´tica Industrial -1- UFC-Fortaleza
2.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
5. Calcule as inversas das matrizes
A =
( −1 3
0 4
)
, B =
(
2 3
1 4
)
, C =
 1 2 −10 4 1
0 2 0
 e D =

−3 0 −2 5
0 1 3 5
−4 0 1 0
−1 2 5 8
 .
6. Carlos e sua irma˜ Andreia foram com seu cachorro Bidu a` farma´cia de seu avoˆ.
La´ encontraram uma velha balanc¸a com defeito que so´ indicava corretamente
pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as
seguintes marcas:
Carlos e o ca˜o pesam juntos 87 kg
Carlos e Andreia pesam 123 kg e
Andreia e Bidu pesam 66 kg.
Determine o peso de cada um deles.
7. Joa˜o, que inicialmente tem uma certa quantia em reais, da´ a Pedro tantos reais
quantos Pedro possui e a Jose´ tantos reais quantos Jose´ possui. Depois, Pedro
da´ a Jose´ e a Joa˜o a respectiva quantia em reais que cada um passou a possuir.
Em seguida, Jose´ faz a mesma coisa com Joa˜o e Pedro. Se, no final, todos
terminam com 16 reais, com quantos reais Joa˜o comec¸ou?
8. Foram estudados treˆs tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g)
determinou-se que:
(i) O alimento I tem uma unidade de vitamina A, treˆs unidades de vitamina B
e quatro unidades de vitamina C.
(ii) O alimento II tem 2,3 e 5 unidades, respectivamente, das vitaminas A, B e
C.
(iii) O alimento III tem treˆs unidades de vitamina A, treˆs unidades de vitamina
C e na˜o conte´m vitamina B.
Sa˜o necessa´rias onze unidades de vitamina A, nove de vitamina B e vinte de
vitamina C.
a) Encontre todas as poss´ıveis quantidades dos alimentos I,II e III que fornecem
as quantidades de vitaminas desejadas.
b) Se o alimento I custa R$ 0, 60 por grama e os demais R$ 0, 10, existe uma
soluc¸a˜o custando exatamente R$1, 00?
Matema´tica Industrial -2- UFC-Fortaleza
2.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
9. Uma grande indu´stria de confecc¸o˜es de roupas destinou uma verba de R$
7.000.000,00 para publicidade no ano em curso. A diretoria da empresa de-
cidiu que o dinheiro seria distribu´ıdo da seguinte maneira:
(i) A publicidade deve ser dividida em quatro categorias: televisa˜o, ra´dio,
revista e mala-direta.
(ii) Ao ra´dio e televisa˜o deve-se destinar um total de R$ 4.000.000,00.
(iii) O total gasto em ra´dio e revista deve ser igual ao que for gasto na televisa˜o.
(iv) Toda publicidade deve ser distribu´ıda uniformemente ao longo do ano, com
excec¸a˜o da mala-direta, que deve ser distribu´ıda uniformemente pelos meses de
junho a setembro.
(v) O orc¸amento para os primeiros seis meses deve ser de R$ 3.000.000,00.
Dadas essas condic¸o˜es para a aplicac¸a˜o do capital, ache quanto sera´ gasto em
cada categoria.
10. (Balanceamento de Equac¸o˜es Qu´ımicas) Fac¸a o balanceamento da equac¸a˜o
qu´ımica para cada reac¸a˜o.
a) CO2 + H2O −→ C6H12O6 + O2 (Essa reac¸a˜o ocorre quando uma planta
verde converte dio´xido de carbono e a´gua em glicose e oxigeˆneo durante
a fotoss´ıntese.)
b) C4H10 +O2 −→ CO2 +H2O (Essa reac¸a˜o acontece quando o ga´s butano,
C4H10, queima na presenc¸a de oxigeˆneo para formar dio´xido de carbono
e a´gua.)
c) C5H11OH + O2 −→ CO2 + H2O (Essa equac¸a˜o representa a combusta˜o
do a´lcool pentanol.)
11. Em um show de mu´sica, os organizadores notaram que a raza˜o entre o nu´mero
de homens e o nu´mero de mulheres presentes no in´ıcio do evento era de 7
10
.
Durante o show nenhum homem e nenhuma mulher saiu ou entrou. Ao final
do show, os organizadores observaram um aumento de mais 255 homens e que
150 mulheres deixaram o local, de modo que a raza˜o entre o nu´mero de homens
e o nu´mero de mulheres presentes depois disto passor a ser 9
10
. Qual o nu´mero
total de pessoas que estiveram presentes no in´ıcio show?
12. Um nu´mero X, de cinco algarismos, e´ interessante: se escrevermos o algarismo
1 a` sua direita, ele fica treˆs vezes maior do que se escrevermos 1 a` sua esquerda.
Qual e´ a soma dos algarismos de X?
Matema´tica Industrial -3- UFC-Fortaleza
2.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
13. Seja A uma matriz n× n. Mostre que:
a) A na˜o e´ invert´ıvel⇔ existe uma matriz B, n×n, na˜o nula tal que A·B = 0;
b) A na˜o e´ invert´ıvel⇔ existe uma matriz C, n×n, na˜o nula tal que C ·A = 0.
14. Seja A uma matriz n× n. Mostre que:
a) se BA = In, para alguma matriz B, enta˜o A e´ invert´ıvel e B = A
−1;
b) se AC = In, para alguma matriz C, enta˜o A e´ invert´ıvel e C = A
−1.
15. Seja A uma matriz n × n. Prove que o sistema linear AX = B possui u´nica
soluc¸a˜o se, e somente se, A e´ invert´ıvel.
16. Sejam A e B, respectivamente, matrizes n×m e m× n. Mostre que se n > m,
enta˜o AB na˜o e´ invert´ıvel. O que se pode afirmar caso n < m?
17. Prove que toda matriz elementar e´ invert´ıvel.
18. Seja A uma matriz n × n. Mostre que A e´ invert´ıvel ⇔ existem matrizes ele-
mentares E1, · · · , Er tais que A = Er · · ·E1.
19. Sejam A e A′ matrizes n× n. Mostre que A e´ linha-equivalente a A′ ⇔ existe
uma matriz invert´ıvel P, m×m, tal que A′ = P · A.
Matema´tica Industrial -4- UFC-Fortaleza
2.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
Sugesto˜es e Respostas
1. Use escalonamento. 2. a = 10 3. a 6= 1 e a 6= 2
4. a) o sistema tem u´nica soluc¸a˜o ⇔ a 6= 0 e e´ imposs´ıvel se a = 0; b) o
sistema e´ poss´ıvel determinado ⇔ a 6= 1 e a 6= −2 e e´ imposs´ıvel para a = 1
ou a = −2.
5. Inverta as matrizes utilizando operac¸o˜es elementares.
6. Fazendo x, y e z igual ao peso de Carlos, Andreia e Bidu, respectivamente,
obte´m-se o resultado ao resolver o sistema linear

x + z = 87
x + y = 123
y + z = 66
.
7. 26 8, 9. Use a mesma ideia da resoluc¸a˜o do exerc´ıcio 6.
10. b) 2C4H10 + 13O2 −→ 8CO2 + 10H2O 11. 3315 12. 26
13. a) (⇒) Se A na˜o e´ invert´ıvel, enta˜o o sistema homogeˆneo AX = 0 possui
soluc¸a˜o na˜o trivial; b) Considere tA e use o item anterior.
14. a) Mostre que o sistema homogeˆneo AX = 0 possui apenas a soluc¸a˜o trivial
X = 0; b) Use o item (a). 15. Estude o sistema AX = 0.
16. Considere o sistema homogeˆneo BX = 0, em que 0 e´ a matriz coluna m×1
nula, tome uma soluc¸a˜o na˜o trivial do mesmo e note que esta e´ tambe´m soluc¸a˜o
do sistema homogeˆneo (AB)X = 0, em que 0 e´ a matriz coluna n× 1 nula.
17. Lembre-se de que fazer uma operac¸a˜o elementar equivale a fazer uma mul-
tiplicac¸a˜o por uma matriz elementar.
18. Lembre-se de que uma matriz e´ invert´ıvel se, e somente se, e´ linha-
equivalente a identidade. 19. Use a mesma sugesta˜o do exerc´ıcio 17.
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