lista.Matrizes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CENTRO DE CIEˆNCIAS
1.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
(Matrizes)
Aluno(a):
Prof.: Marcelo Melo
1. Considere as matrizesA =
(
2 0
3 −1
)
, B =
(
1 2
0 4
)
, C =
 0 1 3−1 0 2
−3 −2 0
 ,
D =
 −1 3 23 7 5
2 5 4
 , E =

−1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 2 0
0 0 0 −1
 e F =

4 0 0 1
0 −2 0 0
0 0 0 3
1 0 3 5
 .
Determine:
a) O tipo das matrizes A,B,C,D,E e F ;
b) A+B, C +D, E + F, AB, CD e EF ;
c) A transposta das matrizes A,B,C,D,E e F ;
d) O trac¸o das matrizes A,B,C,D,E e F .
2. Deˆ exemplos de matrizes quadradas A e B, de mesmo tamanho, tais que:
a) A e B sa˜o na˜o nulas e AB = 0;
b) AB 6= BA.
3. Sendo A =
(
1 0
1 1
)
, calcule as poteˆncias A2, A3, A4 e A2013.
Matema´tica Industrial -1- UFC-Fortaleza
1.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
4. Para cada α ∈ R considere a matriz Tα =
(
cosα −senα
senα cosα
)
. Mostre que
Tα · Tβ = Tα+β.
5. Prove que se A, B e C sa˜o matrizes invert´ıveis de ordem n, enta˜o
(ABC)−1 = C−1B−1A−1.
6. Sejam A, B e C matrizes m×n e x ∈ R. Demonstre as propriedades a seguir.
a) A+ C = B + C ⇒ A = B;
b) A+ A = A⇒ A = 0;
c) x · A = 0⇒ x = 0 ou A = 0;
d) A+ A = 2A;
e) A = −A⇒ A = 0.
7. Sejam A uma matriz m× n e B uma matriz n× p. Demonstre que:
a) −A = (−1)A;
b) A(−B) = (−A)B;
c) (−A)(−B) = AB.
8. Sejam A e B matrizes quadradas n× n tais que AB = BA. Demonstre que:
a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2;
b) (A+B)(A−B) = A2 −B2.
9. Sejam A e B matrizes n× n e x ∈ R. Mostre que:
a) se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A+B e x·A sa˜o tambe´m matrizes sime´tricas;
b) se A e B sa˜o antissime´tricas, enta˜o A + B e x · A sa˜o tambe´m matrizes
antissime´tricas.
Matema´tica Industrial -2- UFC-Fortaleza
1.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
10. Para toda matriz A de ordem n× n, demonstre que:
a) 1
2
(A+ tA) e´ sempre sime´trica;
b) 1
2
(A− tA) e´ sempre antissime´trica;
c) Conclua que toda matriz quadrada se escreve, de modo u´nico, como soma
de uma matriz sime´trica com uma antissime´trica;
d) Escreva a matriz A =
(
3 5
7 11
)
como soma de uma matriz sime´trica
com uma antissime´trica.
11. Sejam M e B duas matrizes n × n tais que M − M−1 = B e tM = M−1.
Demonstre que B e´ antissime´trica.
12. Se A e´ antissime´trica, demonstre que A2 e´ sime´trica.
13. Sejam A e B matrizes sime´tricas n× n. Demonstre que
AB = BA⇔ AB e´ sime´trica.
14. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Dizemos que A e´ semelhante a B
e escrevemos A ∼ B se existe uma matriz invert´ıvel P tal que A = P−1BP.
Demonstre as propriedades abaixo (onde A, B e C sa˜o matrizes quadradas de
mesmo tamanho).
a) A ∼ A;
b) A ∼ B ⇒ B ∼ A;
c) A ∼ B e B ∼ C ⇒ A ∼ C.
15. Demonstre que duas matrizes semelhantes teˆm o mesmo trac¸o. Deˆ exemplo de
duas matrizes que teˆm o mesmo trac¸o mas que na˜o sa˜o semelhantes.
16. Deˆ exemplo de duas matrizes invert´ıveis n× n cuja soma na˜o e´ invert´ıvel.
Matema´tica Industrial -3- UFC-Fortaleza
1.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
17. Sejam A e B matrizes quadradas n × n. Dizemos que A e´ congruente a B
e escrevemos A ≡ B, se existe uma matriz invert´ıvel P tal que A = tPBP.
Demonstre as propriedades abaixo (onde A, B e C sa˜o matrizes quadradas de
mesmo tamanho).
a) A ≡ A;
b) A ≡ B ⇒ B ≡ A;
c) A ≡ B e B ≡ C ⇒ A ≡ C;
d) Matrizes congruentes na˜o necessariamente teˆm o mesmo trac¸o.
18. Sejam A e B matrizes n × n quaisquer. Mostre que se In − AB e´ invert´ıvel,
enta˜o In −BA tambe´m o e´ e que
(In −BA)−1 = In +B(In − AB)−1A.
19. Prove que para todo n ∈ N existe uma matriz A de ordem n × n tal que
A2 = A+ In.
20. Sejam A e B duas matrizes distintas n × n tais que A3 = B3 e A2B = B2A.
Mostre que A2 +B2 na˜o e´ invert´ıvel.
21. Seja A uma matriz 2× 2. Mostre que A comuta com qualquer matriz 2× 2⇔
existe a ∈ R tal que A = a · I2.
22. Seja A uma matriz n×n. Mostre que A comuta com qualquer matriz n×n⇔
existe a ∈ R tal que A = a · In.
23. Prove que na˜o existem matrizes A e B de ordem n×n tais que AB−BA = In.
Matema´tica Industrial -4- UFC-Fortaleza
1.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
Sugesto˜es e Respostas
4. Use as identidades:
sen(α + β) = senα cos β + senβ cosα, cos(α + β) = cosα cos β − senαsenβ.
5. Calcule o produto (ABC)(C−1B−1A−1).
6,7. Use as propriedades dos nu´meros reais.
9-13. Use as propriedades da transposic¸a˜o de matrizes.
15. Use a seguinte propriedade do trac¸o: tr(AB) = tr(BA), para quaisquer
matrizes A,B quadradas de mesma ordem.
17. Use as propriedades da transposic¸a˜o de matrizes.
18. Escreva X = (In−AB)−1 e use os fatos In = X(In−AB), In = (In−AB)X
para concluir que (In −BA)(In +BXA) = In.
19. Considere A = λIn, onde λ ∈ R.
20. Desenvolva o produto (A2 +B2)(A−B).
21-22. Considere as matrizes Eij = (ekl)n×n onde
ekl =
{
1, se k = i, l = j
0, se k 6= i ou l 6= j
23. Use as propriedades da func¸a˜o trac¸o.
Matema´tica Industrial -5- UFC-Fortaleza