UNICAP - Estatística e Probabilidade - Prof Augusto Cezar Cerqueira - Exercícios - Curso Prob Est Aplicada 2010

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ESTATÍSTICA APLICADA 		Prof. Cezar Cerqueira
*PP
Prof. Cezar Augusto Cerqueira – UPE/UNICAP
 CURSO DE ESTATÍSTICA BÁSICA
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Incerteza e Probabilidade
Entendimento de fenômenos aleatórios; presença do acaso; raciocínio diferente do lógico matemático, dedutivo.
Probabilidade –sec. XVI Cardano; sec. XVII – Pascal e Fermat (1654); jogos de azar.
Huyghens (1657); Bernoulli (1713); DE Moivre (1733); Bayes (1763); Laplace (1812); Gauss (1823), entre outros
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Incerteza e Probabilidade
Escolhas entre diferentes possibilidades
A aleatoriedade está presente em diversos fenômenos
Demografia: nascimentos, óbitos
Saúde: ocorrências de doenças; epidemias...
Direito: criminalidade
Engenharia: resistências de peças, qualidade, tempo de vida de peças, problemas de trânsito, etc
O mundo é probabilístico
Vivemos rodeados por fenômenos casuais ou aleatórios.
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ESTATÍSTICA: UMA VISÃO GERAL
ESTATÍSTICA
Ciência de coletar, organizar, interpretar dados
Visando...tomada de decisões 
ESTATÍSTICAS
Somos bombardeados por elas a todo momento
Números, informações, indicadores... Sociais, econômicos, demográficos, gerenciais
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ESTATÍSTICA: UMA VISÃO GERAL
Compreensão a partir dos dados
Origens
“status”; Estado; estado das coisas.
Evolução
Contagens de habitantes; terras, tributação; guerras; religião.
Ciências físicas
Ciências agrárias, biológicas, comportamentais
Decisões econômicas, financeiras, empresariais 
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ESTATÍSTICA: POR QUE CONHECÊ-LA?
Gestores modernos lidam com grande quantidade de informação.
Tomada de decisões “bem informadas“
Apresentar e descrever de forma apropriada as informações
Tirar conclusões sobre grandes populações com base em amostras
Melhorar processos
Obter previsões confiáveis
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ESTATÍSTICA: FATORES IMPULSIONADORES
Necessidade de dados
Desenvolvimento da matemática
Desenvolvimento da informática
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A estatística reúne métodos para:
 Coleta
 Processamento
Análise e interpretação de dados
Informações numéricas analisadas servem de base para tomada de decisões;
As estatísticas nos auxiliam a entender melhor os fenômenos em geral;
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GRANDES ÁREAS EM ESTATÍSTICA:
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
PROBABILIDADES
INFERÊNCIA
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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Descrição
Organização
Resumo
Tabelas
Gráficos
Medidas
Técnicas Visuais
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PROBABILIDADE 
Teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza, oriunda de fenômenos de caráter aleatório.
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Trata da análise e interpretação de dados amostrais
O principio básico é tirar conclusões sobre a população a partir de uma amostra de dados obtida da mesma.
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População
Amostra
Descrição
Análise
Inferência
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PRODUÇÃO DE DADOS: UMA PALAVRA SOBRE FONTES DE DADOS
Obter dados já publicados por fontes governamentais, industriais ou individuais.
Planejar e executar um experimento para obter os dados necessários.
Planejar e executar uma pesquisa ou levantamento de campo (estudo observacional).
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Indivíduo e Variável
Indivíduos: objetos descritos por um conjunto de dados (pessoas, empresas, municípios, animais, ações, tempo, etc)
Variáveis: qualquer característica de um indivíduo, podendo assumir diferentes valores, de acordo com o indivíduo a que se refere. 
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OBSERVAÇÃO versus EXPERIMENTO
Estudo observacional
Investiga indivíduos e mede variáveis de interesse, sem influenciar as respostas ou sem modoficar os sujeitos objetos de estudo.
Experimento
Impõe-se algum tipo de tratamento sobre os indivíduos, a fim de observar suas respostas
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Levantamentos amostrais
População
Grupo inteiro de indivíduos sobre o qual se deseja informações
Amostra
Parte da população da qual se coletam de fato informações, utilizadas para se tirarem conclusões sobre o todo. 
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Amostragem
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Aleatorização e estrtégias amostrais
Amostra não-probabilística
Auto-seleção, conveniência, cotas, etc
Amostra probabilística
Cada membro tem uma chance conhecida (mas não necessariamente igual de ser selecionada)
Amostra Aleatória Simples
Toda amostra possível de tamanho n tem igual chance de ser selecionada.
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Aleatorização e estratégias amostrais
Amostragem Sistemática
Sorteamos um ponto inicial e, em seguida, cada kº elemento fica automaticamente selecionado (por exemplo o 10º)
Amostragem Estratificada 
Subdividimos a população em, pelo menos, dois subgrupos (estratos) de modo que os elementos do mesmo subgrupo compartilhem as mesmas características e, em seguida, extraímos uma amostra em cada subgrupo.
Amostragem por Conglomerado
Inicialmente dividimos a área da população em seções (conglomerados), depois selecionamos aleatoriamente alguns desses conglomerados e a seguir escolhemos todos (ou parte) dos membros desses conglomerados selecionados.
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APRESENTAÇÃO DE DADOS: Tipos de variáveis
QUALITATIVAS
Nominais (sexo, região...)
Ordinais (grau de instrução)
QUANTITATIVAS
Discretas (número de defeitos)
Contínuas (peso, altura...)
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O Banco de Dados
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GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUAS
Diagrama de Pontos
Considere os dados: 3 4 4,5 4,5 6 8
Exibem: Dispersão, conglomerados de pontos, lacunas, outliers, comparações
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GRÁFICOS SIMPLES: VARIÁVEIS CONTÍNUAS : Gráfico Ramo-e-Folhas
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Distribuições de frequência: Caso contínuo - Histograma
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Apresentação de Dados
Distribuições de frequências: caso nominal
 
 
 
Gráf1
		15
		25
		10
Empregados do Setor de Produção, segundo grau de instrução - 2000
Plan1
		
		DISTRITO		POPULAÇÃO				AMOSTRA
				Absoluto		%
		A		500		10.00		50
		B		750		15.00		113
		C		2500		50.00		1250
		D		850		17.00		145
		E		400		8.00		32
		TOTAL		5,000		100.00		5,000
		FONTE: IBGE
		
		
		GRAU DE INSTRUÇÃO		Frequencia (fi)
		Primeiro Grau		15
		Segundo Grau		25
		Superior		10
		
		TOTAL		50
		FONTE: Pesquisa direta
Plan2
				fi
		Primeiro Grau		15
		Segundo Grau		25
		Superior		10
		
		TOTAL		50
Plan2
		0
		0
		0
Empregados do Setor de Produção, segundo grau de instrução - 2000
Plan3
		
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Distribuições de frequência: Caso discreto
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Gráfico de Sequencias no tempo
Os dados representam a resistencia à compressão de uma amostra de 20 conectores plásticos:
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Distribuições de frequência: Gráfico de Pareto
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Gráfico de Pareto
Para causas: equipamentos, insumos,
informação do processo ou medidas, condições ambientais, pessoas, métodos ou procedimentos.
Para efeitos: qualidade, custo, entrega, segurança, etc.
Expresso em unidades monetárias
Gráfico de Pareto estratificado (por operador, etc)
Comparações tipo antes e depois
Desdobramento de gráficos de Pareto (causas e sub-causas)
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RESUMO NUMÉRICO DE DADOS QUANTITATIVOS: LOCALIZAÇÃO DO CENTRO DOS DADOS 
Média Aritmética
Mediana
Valor do meio em uma sequencia ordenada de dados 
Moda
Valor mais frequente de uma série de dados
Dados brutos
Dados agrupados
 “n” ímpar 
 “n” par 
Dados agrupados
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OUTRAS MEDIDAS DE LOCAÇÃO: Quartis
Primeiro Quartil
25% das observações são menores e 75% maiores
Segundo Quartil (Mediana)
Terceiro Quartil 
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VARIABILIDADE
Medidas de tendência central podem mascarar importantes aspectos em uma série de dados
Um processo de produção de bens e fornecimento de serviços sempre apresenta variabilidade
A variabilidade é resultado de uma série de alterações nas condições sob as quais as observações são tomadas.
matérias-primas, condições de equipamentos, métodos de trabalho, condições ambientais e operadores 
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VARIABILIDADE: Problematizando
Os dados abaixo referem-se a notas obtidas em 3 turmas de 5 alunos cada:
Turma A:	 3 4 5 6 7
Turma B:	 1 3 5 7 9	
Turma C:	 5 5 5 5 5	
Em termos de tendência central como podemos analisar os grupos ?
E em termos de dispersão? Qual deles parece mais disperso? E qual deles apresenta maior variabilidade?
Façamos uma investigação gráfica do fenômeno.
Como obter uma medida de variabilidade média para os grupos?
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MEDINDO A VARIABILIDADE
Variância Populacional
Variância Amostral
Desvio Padrão
Corresponde à raiz quadrada da variância
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MEDINDO A VARIABILIDADE: outras medidas
Amplitude Total
Xmax-Xmin
Amplitude Interquartil
J = Q3–Q1
Coeficiente de variação
Comparação de grupos muito diferentes
Comparação de dispersão com escalas diferentes
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ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA
Curva Simétrica
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ESTUDO DA FORMA: ASSIMETRIA
Assimetria Positiva
Assimetria Negativa
Média > Mediana
Média < Mediana
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Gráfico Box-Plot
Juntas: Q1,Q2,Q3
Extremos: E1 e E2 
Índice de Desenvolvimento Humano no Brasil, por Região - 2000
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EXPLORANDO A RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS
Mensurar o tipo e grau de associação entre duas ou mais variáveis. 
Foco inicial: duas variáveis quantitativas
Etapas:
Abordagem gráfica: diagrama de dispersão
Cálculo do coeficiente de correlação linear de Pearson, 
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CORRELAÇÃO: diagrama de dispersão
Gráfico que representa no plano cartesiano duas variáveis quantitativas
Ferramenta simples que permite aprofundar o estudo da associação entre 2 variáveis.
Como ilustração, considere a tabela abaixo, que representa o tempo de serviço e o volume de vendas semanais de uma amostra de 5 vendedores de determinado produto:
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Diagrama de Dispersão
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CORRELAÇÃO
Quando as variáveis crescem no mesmo sentido temos o caso de correlação positiva.
Quando as variáveis crescem em sentidos opostos temos uma correlação negativa.
Se os dados estão perfeitamente alinhados sobre uma reta temos uma correlação perfeita.
Quando o crescimento de uma variável é acompanhado de variações casuais da outra variável a correlação é nula.
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CORRELAÇÃO: diagrama de dispersão
Correlação Perfeita Negativa
 r = -1
Correlação Perfeita Positiva
 r = +1
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CORRELAÇÃO: diagrama de dispersão
Correlação Forte e Positiva
 r = 0,97
Correlação Forte e Negativa
 r = -0,94
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CORRELAÇÃO: diagrama de dispersão
Correlação Fraca
 r 	0
Correlação Não-Linear
 	
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: FÓRMULA DE CÁLCULO
onde:
Lembre que: -1£ rxy £ 1
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COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR: CÁLCULO PARA O EXEMPLO ANTERIOR
Indica uma associação forte e positiva !!
 CUIDADO!!! Correlação não implica em relação de causa efeito. !!
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REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
O diagrama de dispersão pode revelar importantes informações acerca da relação entre duas variáveis X e Y
Quando os pontos traçados no diagrama de dispersão se agrupam em torno de uma reta, podemos obter a equação dessa reta e assim determinar um modelo matemático para a relação entre as variáveis 
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O modelo de regressão linear simples
Yi = A + BXi + ei, onde:
Yi = variável dependente ou variável resposta.
Xi = variável explicativa
A = coeficiente linear da reta ou ponto de interseção de Y
B = coeficiente angular da reta ou inclinação.
 ei = variável residual 
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O coeficiente linear da reta corresponde ao ponto onde a mesma corta o eixo-Y, ou seja, o ponto onde o valor da variável explicativa X é zero. 
A inclinação indica o quanto varia a média da variável Y para o aumento de uma unidade na variável X. 
A reta de regressão pode ser estimada pelo método dos mínimos quadrados, resultando na expressão:
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Os valores dos coeficientes linear e angular resultantes desse processo de minimização podem ser escritos como:
A qualidade do ajuste pode ser avaliada pelo coeficiente de determinação (R2), que mede a proporção de variação na variável dependente que pode ser explicada pelo modelo linear ajustado.
R2 Î[0,1], quanto mais próximo de 1, melhor o poder explicativo do modelo.
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: QUANTITATIVAS X QUALITATIVAS
Comparação do Comportamento de uma Variável Contínua por Grupos
Captar diferenças: i)nos níveis médios, ii)em variabilidade, iii)na forma da distribuição, iv)detalhes individuais. Via:
Diagrama de Pontos
Gráficos tipo Box-Plot
Gráfico Ramo-e-Folhas
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVAS
Tabela de contingência a 2 fatores
Variável dependente e explicativa
Medir associações
Encontrar distribuições percentuais
Distribuições marginais
Distribuições condicionais
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVAS
Exemplo:
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVAS
Exemplo: percentuais de linha
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RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS: AMBAS QUALITATIVAS
Exemplo: representação gráfica
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE
Lançamento de uma moeda
2 resultados possíveis: cara e coroa
Equiprováveis
Moeda equilibrada (honesta)
Qual a probabilidade de dar cara?
Experimento de lançar “n” vezes e calcular a frequencia relativa de caras. (Kerrick, Bufon)
Abordagem empírica
Probabilidade tende para ½.
ESTATÍSTICA
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE
PROBABILIDADE:
Modelos probabilísticos (a priori)
Empirica (a partir de dados)
Subjetiva
Modelos Probabilísticos simples
Espaço Amostral (S): conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento: subconjunto do espaço amostral
Coleção de resultados com ao menos uma característica em comum
Lista de resultados e respectivas probabilidades
Operações com eventos
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PROBABILIDADE: algumas regras
1)Seja A um evento qualquer, então 0 £ P(A) £ 1.
2) Seja Ac o chamado evento complementar de A, então P(Ac) = 1 – P(A). 	
 3) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B), sendo A e B eventos quaisquer.
 4) P(F) = 0.
 5) Se A e B são excludentes (P(A Ç B)=F), então:
	 P(A Ç B) = 0. 
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NOÇÕES DE PROBABILIDADE: probabilidade condicional
A probabilidade de B, sendo A conhecido é dada por:
Dois eventos A e B são independentes se:
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Variáveis Aleatórias
São variáveis numéricas cujos resultados podem variar de uma realização para outra do experimento.
Tipos
Discretas - contagem
Contínuas - medição 
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Variáveis Aleatórias Discretas: distribuição de probabilidades
Valores de X e respectivas probabilidades:
Média Valor esperado):
Variância:
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Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas: Distribuição de Bernoulli
Experimentos com apenas 2 resultados possíveis: Sucesso e fracasso.
Lançamento de uma moeda
Uma peça é escolhida de um lote e classificada como defeituosa ou perfeita.
Um indivíduo é selecionado e pergunta-se se é ou não favorável ao desarmamento.
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Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas: Distribuição de Bernoulli
Seja p=Prob. de Sucesso
(1-p)=Prob. de fracasso
Definimos a VA X com valores:
1 se ocorre sucesso
0 se ocorre fracasso
Distribuição de Probabilidades de X:
E(X)=p e V(X)=p(1-p)
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Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas: Distribuição Binomial
Considera n repetições independentes de um experimento de Bernoulli. 
Exemplos:
Jogue uma moeda 10 vezes. Seja X=nº de caras obtido
Uma máquina produz 1% de peças defeituosas. Seja X=nº de peças defeituosas nas próximas 25 produzidas. 
Nos próximos 30 nascimentos em uma maternidade, seja X=nº de meninas observado.
Seja a VA X=nº de sucessos obtidos. Portanto: 
E(X)=np e V(X)=np(1-p)
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Modelos Probabilísticos para variáveis Discretas: Distribuição de Poisson
Largamente empregada quando se deseja contar o número de eventos de certo tio que ocorrem em um intervalo de tempo, superfície ou volume.
Exemplos:
Fórmula:
Número de chamadas telefônicas recebidas em uma central em um intervalo de tempo.
Número de falhas em um computador em um dia de operação.
Número de defeitos em uma chapa de metal de 1 m2 produzida.
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Modelos Probabilísticos para variáveis contínuas: Distribuição Normal
· O exame dos gráficos de freqüência sugere a curva representativa da distribuição da variável.
· As curvas de distribuição permitem o cálculo de probabilidades sobre a Variável estudada.
·    A curva normal é uma das mais importantes e utilizadas na Estatística.
·   Muitas variáveis, na prática, seguem o modelo normal.
· O Modelo Normal possui dois parâmetros: a média (m) e o desvio padrão (s).
·    Notação X~N( m,s )
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Modelos Probabilísticos para variáveis contínuas: Distribuição Normal
Representação Gráfica:
Propriedades:
1) A área sob a curva é igual a 1.
2) A curva é simétrica em relação à sua média.
3) f(x) tende para 0 quando X tende para +/- ¥
4) A curva possui um ponto máximo em x = m.
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Distribuição Normal: uso da tabela
P(0<Z<1)
P(Z>1)
0,3413
0,5-0,3413
P(Z<-1)
0,5+0,3413
Uso inverso da Tabela
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