Wa1 - Ciências Contábeis - Noções de Atuária

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CIÊNCIAS CONTÁBEIS 
 
Unidade 1 – Probabilidade Aplicada à Atuária 
WEBAULA 1 
 
APRESENTAÇÃO 
Olá, caros alunos, vamos ver a seguir alguns conceitos básicos sobre a utilização do 
conceito de probabilidade no contexto da atuária. 
Nós precisamos compreender que na maior parte dos cálculos envolvendo riscos 
torna-se necessária a mensuração ou quantificação das incertezas inerentes às 
nossas provisões que servirão para o cálculo desse risco. 
Podemos, de forma geral, dizer que o risco é a incerteza medida, mensurada, 
quantificada de forma a possibilitar sua adequada mensuração. 
Sabemos que os conhecimentos de matemática e estatística são fundamentais para o 
atuário desenvolver sua atividade, portanto vamos estudar alguns importantes 
conceitos e formas de cálculo matemáticos e estatísticos úteis ao profissional atuário. 
Fundamentos de Probabilidade 
 
Fonte: Clip-art 
Segundo Cordeiro (2009), a matemáticas contribui para os cálculos atuariais. A 
probabilidade tem muitas aplicações no contexto empresarial e também é utilizada 
para mensurar ou quantificar a influência de fatos que envolvam o acaso em sua 
ocorrência. Conforme podemos encontrar em vários materiais sobre o assunto, de 
forma geral e não por uma regra, classificamos as ocorrências segundo o seu nível de 
probabilidade a partir de equivalências matemáticas, conforme tabela a seguir: 
Ocorrência impossível - probabilidade = 0 (zero) 
Ocorrência pouco provável - probabilidade < ½ (menor que meio) 
Ocorrência bem provável - probabilidade > ½ (maior que meio) 
Ocorrência apenas provável - probabilidade = ½ (igual a meio) 
Ocorrência certa - probabilidade = 1 (um) 
A probabilidade é calculada com base na frequência, sendo obtida a partir da divisão 
dos casos em análise e com probabilidade de realização por todos os casos 
igualmente possíveis. 
Fonte: Clip-art 
QUESTÃO PARA REFLEXÃO 
 
Como podemos estabelecer em termos subjetivos a probabilidade de termos sucesso 
em nossa vida profissional? De quais variáveis dependemos para tornar esse sucesso 
mais provável? 
Na sequência você poderá ver a representação do cálculo de probabilidade: 
q = número de casos em análise / número de casos totais. 
No link a seguir você tem acesso a um conteúdo que poderá lhe auxiliar na 
compreensão desse conceito. 
LINK 
 
. Acesso em: 8 set. 2014. 
Analisando esse conceito de probabilidade, podemos chegar à conclusão de que a 
medida de probabilidade pode ser representada pela medida de frequência relativa 
dos acontecimentos/fenômenos que estamos analisando. 
A medida de probabilidade = a medida da frequência relativa. 
 
Fonte: Clip-art 
Portanto é obtida pela razão: 
Número de casos favoráveis / número de todos os casos possíveis. 
SAIBA MAIS 
 
Para saber mais sobre o cálculo envolvendo a probabilidade de ocorrência de eventos, 
acesse: . Acesso em: 8 set. 2014. 
Exemplo: sorteio de cara e coroa com uma moeda. 
 
Fonte: Clip-art 
Se jogarmos uma moeda para cima, qual a probabilidade de termos o lado da cara 
virado para cima? 
Quais seriam os resultados possíveis nesse jogo? 
Neste caso, as ocorrências possíveis são de [cara; coroa]. 
p(cara) = 0,5 (equivalente a 1 : 2) 
onde: 
1 = número que representa a quantidade de eventos possíveis na análise. 
2 = número total de casos que podem ocorrer. 
QUESTÕES PARA REFLEXÃO 
 
E se quiséssemos saber a probabilidade de sortearmos o número 6 ao jogarmos um 
dado? 
 
Fonte: Clip-art 
Algumas propriedades atribuíveis à probabilidade 
0 £ p(K) £ 1 = a probabilidade de ocorrência do evento K que ocorre entre 0 e 1. 
p(Z) = 0 = evento impossível de ocorrer. 
p(Z) = 1 = probabilidade de ocorrência de todos os eventos em análise. 
Algumas propriedades: 
Se X e Y são eventos do tipo exclusivos, ou seja, (XÇY) = 0 e X È Y = 1 
então P(X) + P(Y) = 1 
Assim sendo: P(X) = 1 - P(Y) e P(Y) = 1 - P(X) 
 
No link a seguir você poderá ver mais detalhadamente as propriedades básicas da 
probabilidade. 
LINK 
 
. Acesso em: 8 set. 2014. 
Um evento exclusivo é aquele que não ocorre concomitantemente com outro evento 
de referência, por exemplo, CHOVER. Quando ocorre o evento CHOVER, 
automaticamente exclui-se a probabilidade de NÃO CHOVER. 
 
Fonte: Clip-art 
Nesse sentido, como será o cálculo se quisermos conhecer a probabilidade de uma 
pessoa com idade de 22 anos alcançar viva a idade seguinte? 
Suponhamos que em um determinado grupo de 10.000 indivíduos com certa idade, 
faleceram no decorrer de um determinado ano 150 indivíduos. 
Qual seria a probabilidade de sobrevivência dos indivíduos desse grupo, partindo do 
pressuposto de que todos possuem as mesmas condições de vida? 
Lembrem-se de que probabilidade equivale à frequência. 
 
Fonte: Clip-art 
Nesse sentido, basta calcularmos a frequência de pessoas que sobreviveram no 
decorrer do ano, ou seja: 
Pessoas vivas = 10.000 – 150 = 9.850 
Como podemos ver, sobreviveram no ano 9.850 pessoas, ou seja, nossa 
probabilidade de vida será calculada da seguinte forma: 
9.850 / 10.000 = 98,5% 
Por outro lado, qual seria a probabilidade de morte para os indivíduos desse mesmo 
grupo, partindo do mesmo pressuposto? 
100% - 98,5% = 1,5% 
Como podemos ver, a probabilidade de morte é o inverso da probabilidade de vida e 
a recíproca nesse caso é verdadeira, ou seja, a probabilidade de vida é o inverso da 
probabilidade de morte. 
 
Fonte: Clip-art 
Vamos ver mais alguns exemplos de exercícios resolvidos. 
Vamos determinar a probabilidade de sobrevivência e de morte segundo dados a 
seguir: 
 
onde: x = idade; lx = número de indivíduos vivos com idade x; dx = número de 
falecidos na idade x; qx = probabilidadede morte; px = probabilidade de sobrevivência 
Como podemos ver pela tábua biométrica acima, temos para cada idade a 
probabilidade de vida e de morte da população. 
QUESTÕES PARA REFLEXÃO 
 
Podemos considerar que a probabilidade de sobrevivência varia de forma exatamente 
inversa à probabilidade de falecimento? São esses exemplos de eventos exclusivos? 
 
Fonte: Clip-art 
VÍDEO 
 
Para saber mais sobre a taxa de mortalidade e de natalidade de uma população, 
assista ao vídeo disponível em: . Acesso em: 8 set. 2014. 
Consideremos para um segundo exemplo que temos uma população de 200.000 
pessoas em um determinado ano. Neste mesmo ano morreram 1.000 pessoas. 
Perguntamos qual a probabilidade de mortes ocorridas naquele ano? 
Consideremos que: q = probabilidade de morte 
Neste caso nossa probabilidade é de 0,5%, que deriva da divisão de 1.000 
(falecidos) por 200.000 pessoas no ano. 
 
Fonte: Clip-art 
Qual seria, a partir dos mesmos dados, a probabilidade de pessoas vivas no 
ano? 
Primeiramente determinamos o número de sobreviventes = ? 
Neste caso sobreviveram 199.000 que derivam da seguinte equação: 
200.000 – 1000. 
Consideremos agora que p = probabilidade dos sobreviventes. 
Nossa probabilidade é de 99,50% que derivam da equação: 199.000 / 
200.000. 
SAIBA MAIS 
 
Para saber mais sobre o conteúdo tábua biométrica, acesse o material disponível 
em: . Acesso em: 8 set. 2014. 
Como já discutido, o evento morte se comporta exatamente de forma invertida ao 
evento sobrevivência, portanto, poderíamos ter encontrado a probabilidade de 
sobrevivência a partir dos seguintes cálculos. 
 
Fonte: Clip-art 
Dessa forma: 
P (probabilidade de sobrevivência) = 1- q (probabilidade de morte) 
Nossa resposta seria, portanto: P = 1 - 0,50 = 0,9950 x 100 = 99,50%. 
 
Noções de Matemática AtuarialFonte: Clip-art 
Vale destacarmos aqui algumas notações importantes: 
“x” significa idade, em anos, de uma pessoa de um grupo populacional; 
“lx” significa o número de pessoas da população que têm determinada idade x. 
É importante destacar que quando consideramos uma determinada 
população, um grupo de pessoas vivas em determinada idade, não há a 
especificação quanto a essas pessoas estarem ativas economicamente ou de 
outra forma inválidas. 
“dx” significa o número de indivíduos de um grupo populacional que morreram com 
certa idade x. 
No link a seguir você pode acessar uma relação de tábuas biométricas utilizadas no 
Brasil em planos de previdência complementar. 
LINK 
 
. Acesso em: 8 set. 2014. 
Vale destacar que as letras l e d constantes das notações apresentadas derivam das 
palavras inglesas “life” e “death”, que significam, respectivamente, vida e morte. 
 
Fonte: Clip-art 
Vamos ver a seguir algumas probabilidades que são calculadas e utilizadas em atuária 
no sentido de estabelecimento dos riscos de fundos de pensão e outros planos que 
dependem de fatores de sobrevivência populacional. 
QUESTÕES PARA REFLEXÃO 
 
Você concorda que a tábua biométrica contribui para a agilização dos cálculos 
atuariais? 
Primeira: px = lx+1 / lx = que representa a probabilidade de um indivíduo com idade 
x chegar com vida à idade seguinte representada por x + 1. 
 
Fonte: Clip-art 
Segunda: npx = lx+n / lx que representa a probabilidade de um indivíduo com idade x 
chegar com vida à idade representada por x + n. 
SAIBA MAIS 
 
Para saber mais sobre o cálculo atuarial utilizando-se da tábua biométrica, acesse o 
material disponível em: . Acesso em: 8 set. 2014. 
Terceira: qx = dx / lx = representa a probabilidade de que uma pessoa na idade x 
morra nessa mesma idade. 
Quarta: nqx = (lx - lx+n) / lx = representa a probabilidade de uma pessoa na idade x 
sobreviver por mais n anos morrendo na idade x + n. 
É importante que tenhamos uma visão de como esses cálculos contribuem para a 
prática atuarial, ou seja, conhecermos o conceito e sabermos como eles são aplicados 
na prática cotidiana do atuário. 
 
Fonte: Clip-art 
Quando falamos de número de sobreviventes e número de falecidos de uma 
determinada população, no sentido de determinarmos as respectivas probabilidades 
de sobrevivência ou de mortalidade, devemos pressupor a existência de uma 
população sobre a qual tenhamos informações durante algum tempo, para que dessa 
forma possamos dispor de elementos mais concretos que subsidiem nossos cálculos. 
Conforme Pinheiro (2007), os cálculos atuariais envolvem variáveis que servem para 
a mensuração do risco. Isso se reflete no cálculo das taxas de natalidade e de 
mortalidade, além de outros cálculos que envolvem população. 
VÍDEO 
 
No vídeo disponível no link a seguir você terá a oportunidade de conhecer algumas 
informações importantes sobre a atividade atuarial e os fundos de 
pensão: . Acesso em: 8 set. 2014. 
A análise da população durante determinado tempo é imprescindível, sendo que 
análises e experiências são realizadas de forma permanente nas mais variadas partes 
do mundo. É dessa forma que se permite que os atuários tenham alguma boa base 
para as suas projeções acerca das populações. O resultado dessas análises é, então, 
apresentado em tabelas ajustadas, chamadas “tábuas de mortalidade" ou "tábuas 
biométricas”, conforme comentamos em outras oportunidades dessa unidade. 
Vamos ver como calcular a expectativa de vida tendo disponível uma Tábua 
Biométrica? 
Aplicando a fórmula: eox = 1/2 + () / lx 
ou 
eox = 0,5 + ( lx+1 + lx+2 + lx+3 + ... +) / lx 
Vamos ver um exemplo da utilização dessa forma. 
Utilizando-se da tábua biométrica a seguir, determine a expectativa completa de vida 
para um indivíduo com idade de 85 anos. 
x lx 
84 1.000 
85 950 
86 500 
87 300 
88 250 
89 100 
 
eo85 = 0,5 + ( l85+1 + l85+2 + l85+3 + l85+4) / l85 
eo85 = 0,5 + (500+300+250+100)/950 = 1,72 
 
Esse indivíduo de 85 anos tem, de acordo com os cálculos, uma expectativa de 
sobrevivência de mais 1,72 anos, ou seja, sua expectativa de vida é de 
aproximadamente 86 ou 87 anos. 
Agora vamos calcular outra situação, vamos ver a expectativa de vida de um 
indivíduo com 84 anos com base na mesma tabela acima. 
 
eo84 = 0,5 + ( l84+1 + l84+2 + l84+3) / l84 
eo84 = 0,5 + (900+500+300+250+100)/1000 = 2,66 
Dessa forma, nossa estimativa é de que essa pessoa provavelmente irá 
falecer com a idade em torno de 86 ou 87 anos. 
 
É amplo o conjunto de fontes que nos ajudam a compreender melhor a atividade 
atuarial, principalmente no tocante aos aspectos normativos e às questões 
envolvendo os cálculos necessários para garantir uma gestão eficaz das empresas. 
LINK 
 
Podemos destacar algumas fontes importantes: 
 
Site da Fenacor: . Acesso em: 8 set. 2014. 
 
Site da Fenaseg: . Acesso em: 8 set. 2014. 
 
Site da Susep: . Acesso em: 8 set. 2014. 
 
Site da Legislação: . Acesso em: 8 set. 2014. 
 
Site da Previdência Social: . Acesso em: 8 set. 2014. 
 
Site da ABRAPP: . Acesso em: 8 set. 2014. 
 
Site da Society of Actuaries: . Acesso em: 8 set. 2014. 
Esta unidade procurou destacar alguns conceitos importantes envolvendo a aplicação 
da probabilidade nos cálculos atuariais. Trouxe conceitos e informações da 
matemática e estatística que viabilizam os cálculos de riscos e as previsões 
necessárias para a busca do equilíbrio financeiro e atuarial das entidades. 
 
Fonte: Clip-art 
PARA DISCUTIR 
 
Agora que você concluiu essa unidade, vá até ao Fórum da disciplina e comente a 
importância da probabilidade para a determinação dos riscos atuariais envolvendo os 
eventos que influenciam no equilíbrio financeiro e atuarial das empresas. Por que a 
mensuração do risco é tão importante? 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS 
 
 
CORDEIRO FILHO, Antonio. Cálculo atuarial aplicado: teoria e aplicações: 
exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas, 2009. 
PINHEIRO, Ricardo Pena. A demografia dos fundos de pensão. Brasília: Ministério 
da Previdência Social, 2007. (Previdenciária social. Série estudos, v. 24). Disponível 
em:< http://www.previdenciasocial.gov.br/arquivos/office/3_081014-111404-315.pdf 
> . Acesso em: 10 fev. 2010. 
 
TÁBUAS de mortalidade usadas em previdência complementar. IEPREV. Disponível 
em:. Acesso em: 8 set. 2014. 
OLIVEIRA, Mario de Oliveira et al. Tábuas Biométricas de mortalidade e 
sobrevivência: experiência do mercado segurador brasileiro – 2010. Rio de Janeiro: 
FUNENSEG, 2012. Disponível em: < 
http://www.ieprev.com.br/conteudo/id/415/t/tabuas-de-mortalidade-usadas-em-
previdencia-complementar >. Acesso em: 8 set. 2014.