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Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill. Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education. Resistência dos Materiais Deformação de Vigas em flexão - Equação da Linha Elástica 9 - 2 Deformação de uma viga sujeita a forças transversais • A relação entre o momento flector e a curvatura, para flexão pura, mantém-se válida para o caso de uma viga em flexão sujeita a forças transversais: EI xM )(1 = ρ • Para a viga encastrada sujeita a uma força concentrada na extremidade, temos: EI Px −=ρ 1 • A curvatura varia linearmente com x : • Na extremidade A, ∞== A A ρ ρ ,01 • No apoio B, PL EI B B =≠ ρ ρ ,01 x 9 - 3 • A curvatura é zero nos pontos em que o momento flector é zero, i.e., nas extremidades e no ponto E. EI xM )(1 =ρ • A deformação da viga é côncava para cima ∪∪∪∪ onde o momento flector é positivo e côncava para baixo ∩∩∩∩ onde o momento flector é negativo. • A curvatura máxima ocorre onde o valor do momento flector é máximo. • A equação da deformação da viga – equação da linha da elástica – é necessária para determinar a deformação máxima (flecha máxima) e a rotação. Deformação de uma viga sujeita a forças transversais 9 - 4 Equação da Linha elástica • A seguinte relação é válida (demonstrável através da Análise Matemática): EI M dx yd dx dy dx yd =≈ + = 2 2 232 2 2 1 1 ρ • Substituíndo e integrando: ( ) ( ) ( ) 21 00 1 0 2 2 CxCdxxMdxyEI CdxxM dx dyEIEI xM dx ydEI xx x ++= +=≈ = ∫∫ ∫θ Equação da curvatura: Equação das rotações: Equação da linha elástica: 9 - 5 Equação da linha elástica ( ) 21 00 CxCdxxMdxyEI xx ++= ∫∫ • As constantes são determinadas a partir das condições de fronteira. • Três casos para vigas estaticamente determinadas: – Viga simplesmente apoiada 0,0 == BA yy – Viga em balanço 0,0 == BA yy – Viga encastrada 0,0 == AAy θ 9 - 6 Determinação da equação da linha elástica a partir da força distribuída • Para uma viga sujeita a uma força distribuída, ( ) ( )xw dx dV dx Md xV dx dM −=== 2 2 • A equação para a deformação será ( )xw dx ydEI dx Md dx ydEIxM −==⇒= 4 4 2 2 2 2 )( ( ) ( ) 43 2 22 13 16 1 CxCxCxC dxdxdxdxxwxyEI ++++ −= ∫∫∫∫ • Integrando 4 vezes, obtém-se, • As constantes são calculadas a partir das condições de fronteira. 9 - 7 Vigas estaticamente indeterminadas • Considere-se a viga encastrada em A e com um apoio móvel em B. • Condições de equilibrio estático: 000 =∑=∑=∑ Ayx MFF A viga é estaticamente indeterminada. ( ) 21 00 CxCdxxMdxyEI xx ++= ∫∫ • Temos também a equação da deformada, que introduz duas incógnitas adicionais, mas que fornece três equações adicionais a partir das condições de fronteira: 0:00:0 ====θ= yLxyx 9 - 8 Exemplo 9.1 Para a parcela AB da viga, calcular (a) A equação da linha elástica, (b) Deformada máxima. Resolução: • Escrever uma expressão para M(x) e para a equação diferencial da linha elástica. • Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada. • Localizar o ponto com tangente nula ou ponto da deformada máxima. Calcular a deformada máxima. 9 - 9 Exemplo 9.1 • Expressão para M(x) e equação diferencial da linha elástica. - Reacções: ↑ +=↓= L aPR L PaR BA 1 - Diagrama de corpo livre para secção AD, ( )Lxx L aPM <<−= 0 x L aP dx ydEIxM dx ydEI −=⇒= 2 2 2 2 )( - Equação diferencial da linha elástica, 9 - 10 Exemplo 9.1 PaLCLCL L aPyLx Cyx 6 1 6 10:0, em 0:0,0 em 11 3 2 =+−=== === • Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada: 21 3 1 2 6 1 2 1 CxCx L aPyEI Cx L aP dx dyEI ++−= +−= x L aP dx ydEI −=2 2 −= 32 6 L x L x EI PaLy ⇒+−= −=⇒+−= PaLxx L aPyEI L x EI PaL dx dyPaLx L aP dx dyEI 6 1 6 1 31 66 1 2 1 3 2 2 Substituíndo, 9 - 11 Exemplo 9.1 • Localizar o ponto de deformada máxima. −= 32 6 L x L x EI PaLy LLx L x EI PaL dx dy m m 577.0 3 31 6 0 2 ==⇒ −== • Deformada máxima. ( )[ ]32max 577.0577.06 −= EIPaLy EI PaLy 6 0642.0 2 max = 9 - 12 Exemplo 9.3 Para a viga representada na figura, determinar a reacção emA, obter a equação da linha elástica e determinar a rotação em A. (Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau) 9 - 13 Exemplo 9.3 • Análise de momentos numa secção D: L xw xRM Mx L xw xR M A A D 6 0 32 1 0 3 0 2 0 −= =− − =∑ L xw xRM dx ydEI A 6 3 0 2 2 −== • Equação da linha elástica: 9 - 14 Exemplo 9.3 L xw xRM dx ydEI A 6 3 0 2 2 −== • Integrando duas vezes: 21 5 03 1 4 02 1206 1 242 1 CxC L xw xRyEI C L xw xREI dx dyEI A A ++−= +−== θ • Aplicar as condições de fronteira: 0 1206 1 :0, em 0 242 1 :0, em 0:0,0 em 21 4 03 1 3 02 2 =++−== =+−== === CLCLwLRyLx CLwLRLx Cyx A Aθ • Resolver em ordem à reacção em A 0 30 1 3 1 4 0 3 =− LwLRA ↑= LwRA 010 1 9 - 15 Exemplo 9.3 xLw L xw xLwyEI −− = 3 0 5 03 0 120 1 12010 1 6 1 ( )xLxLx EIL wy 43250 2 120 −+−= • Substituir C1, C2, e RA na equação da linha elástica: ( )42240 65 120 LxLx EIL w dx dy −+−==θ EI Lw A 120 3 0 =θ • Diferenciar para calculo das rotações: em x = 0, Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: 9 - 16 Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: cont. 9 - 17 Deformadas e rotações de vigas encastradas: 9 - 18 Deformadas e rotações de vigas encastradas: cont. 9 - 19 9 - 20 Método da Sobreposição Principio da Sobreposição: • As deformações de vigas sujeitas a combinações de forças, podem ser obtidas como a combinação linear das deformações causadas pelas forças individuais. 9 - 21 Exemplo 9.7 Para a viga sujeita aos carregamentos representados, determine a rotação e a deformada no ponto B. Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II” como ilustrado, temos:. 9 - 22 Exemplo 9.7 Loading I ( ) EI wL IB 6 3 −=θ ( ) EI wLy IB 8 4 −= Loading II ( ) EI wL IIC 48 3 =θ ( ) EI wLy IIC 128 4 = No segmento de viga CB, o momento flector é zero e a linha elástica é uma recta: ( ) ( ) EI wL IICIIB 48 3 == θθ ( ) EI wLL EI wL EI wLy IIB 384 7 248128 434 = += 9 - 23 Exemplo 9.7 ( ) ( ) EI wL EI wL IIBIBB 486 33 +−=+= θθθ ( ) ( ) EI wL EI wLyyy IIBIBB 384 7 8 44 +−=+= EI wL B 48 7 3 =θ EI wLyB 384 41 4 = Combinando as duas soluções: 9 - 24 9 - 25 9 - 26 9 - 27 9 - 28 9 - 29 9 - 30 Aplicação do método daSobreposição a vigas estaticamente indeterminadas O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas: 1. Escolher uma das reacções como redundante e eliminar (ou modificar) o apoio correspondente. 2. Determinar a deformada da viga sem o apoio redundante. 3. Tratar a força de reacção redundante como uma incógnita que, em conjunto com as outras forças deve originar deformações compatíveis com o apoio original. 9 - 31 Exemplo 9.8 Para a viga e carregamento representado na figura, determinar a reacção em cada apoio e a rotação na extremidade A. • Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações. • Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada zero no ponto B. 9 - 32 Exemplo 9.8 • Deformada em B devido à força distribuida: ( ) EI wL LLLLL EI wy wB 4 3 34 01132.0 3 2 3 22 3 2 24 −= + − −= • Deformada em B devida à força redundante: ( ) EI LRLL EIL Ry BBRB 322 01646.0 33 2 3 = = • Para compatibilidade com o apoio B, yB = 0 ( ) ( ) EI LR EI wLyy BRBwB 34 01646.001132.00 +−=+= ↑= wLRB 688.0 • Para equilibrio estático, ↑=↑= wLRwLR CA 0413.0271.0 9 - 33 Exemplo 9.8 ( ) EI wL EI wL wA 33 04167.0 24 −=−=θ ( ) EI wLLLL EIL wL RA 32 2 03398.0 336 0688.0 = − =θ ( ) ( ) EI wL EI wL RAwAA 33 03398.004167.0 +−=+= θθθ EI wL A 3 00769.0−=θ Rotação na extremidade A:
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