EMAI_2_Teorias+de+falhas+estaticas

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2 
Teorias de Falhas Estáticas 
A. Materiais Dúcteis (critério de escoamento) 
 Tensão Máxima de Cisalhamento (MSS) 
 Energia de Distorção (DE) 
 Coulomb-Mohr Dúctil (DCM) 
B. Materias Frageis (Critérios de Fratura) 
 Tensão Normal Máxima (MNS) 
 Coulomb-Mohr Frágil (BCM) e suas Modificações. 
Os materiais dúcteis são normalmente classificados por terem f ≥ 0,05 e uma resistência ao 
escoamento identificável, que com frequência é a mesma sob tração e compressão 
(Syt = Syc = Sy). 
Os materiais frágeis têm f ≤ 0,05, não exibem uma resistência ao escoamento identificável e 
são tipicamente classificados segundo as resistências à tração e à compressão, Sut e Suc, 
respectivamente. 
A. Material Dúctil 
1. Teoria de Tensão Máxima de Cisalhamento (MSS) 
A teoria de tensão máxima de cisalhamento prevê que o escoamento começa sempre que a 
tensão máxima de cisalhamento em qualquer elemento iguala-se ou excede á tensão máxima 
de cisalhamento em um espécime de ensaio de tração do mesmo material quando aquele 
espécime começa a escoar. A teoria MSS também é conhecida com teoria de Tresca ou de 
Guest. 
Para um estado geral de tensão, três tensões principais podem ser determinadas e ordenadas 
de modo que: 1 ≥ 2 ≥ 3 
 
y
yy
ys
ys
S
SS
S
S






31max
3/1max
31minmax
maxmax
2
;
2
 ; 
22
;


 
Fator de segurança: 
 
31maxmax 2  

yyys SSS
n
 (1) 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
 
24 
 
Problemas de tensão plana são muito comuns onde uma das tensões principais é nula e as 
duas outras (A e B) são determinadas a partir do círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1: Teoria de tensão máxima de cisalhamento (MSS) para estado plano de tensão, sendo que A e 
B as duas tensões principais não-nulas. 
Assumindo que A ≥ B , há três casos a considerar: 
Caso 1: A ≥ B ≥ 0. Para esse caso, 1 = A ; 3 = 0  Eq. (1) para escoamento: A ≥ Sy 
Caso 2: A ≥ 0 ≥ B. Para esse caso, 1 = A ; 3 = B  Eq. (1) para escoamento: A - B ≥ Sy 
Caso 3: 0 ≥ A ≥ B. Para esse caso, 1 = 0 ; 3 = B  Eq. (1) para escoamento: B ≥ - Sy 
 
2. Teoria da Energia de Distorção (von Mises-Henky) 
A teoria da energia da distorção prevê que ocorre escoamento quando a energia de 
deformação por distorção em uma unidade de volume alcança ou excede á energia de 
deformação por distorção de volume correspondente ao escoamento sob tração ou 
compressão do mesmo material. 
Para um estado geral de tensões, a tensão equivalente de von Mises pode ser calculada em 
termos de tensões principais 1, 2 e 3: 
 (2) 
ou em termos de tensões aplicadas como: 
 
 
 
Para tensões planas em termos de tensões aplicadas: 
 (3) 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
Para torção pura: Sys = 0,5 Sy 
25 
 
Para tensões planas: 
Considere A e B as duas tensões principais não-nulas. 
Então a partir da Equação (2), obtemos: 
BABA  .´ 22 
 ‘(4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2: Teoria da energia de distorção (DE) para um estado plano de tensão. 
Ocorre escoamento quando a tensão equivalente de von Mises (´) aclança ou excede 
o limite de escoamento do material. Isso produz: 
´ ≥ Sy  ocorre escoamento 
Se n for o fator de segurança, então: 
´
yS
n 
 (5) 
Para um caso de cisalhamento puro xy, no qual, para tensão plana, x = y = 0; 
a Equação (3) para escoamento produz (3 2xy )1/2 = Sy ou xy = 0,577 Sy 
Logo, a resistência ao escoamento prevista sob cisalhamento pela teoria da energia de 
distorção é: Sys = 0,577 Sy (6) 
o que é aproximadamente 15% maior que o previsto pela teoria MSS (ver a linha de 
carregamento de cisalhamento puro na Figura (2). 
 
Ex.1: Uma peça é feita de aço com limite de escoamento Syt = 345 MPa. O estado de tensão 
em um ponto é x = 138 MPa, y = - 55,2 MPa e xy = 82,8 MPa. Determine o fator de segurança 
n segundo as teorias da tensão normal máxima, tensão de cisalhamento máxima e energia de 
distorção. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
A 
B 
: Sys = 0,577 Sy 
BABAyS  .22 
 
26 
 
Solução: 
Determinar as tensões normais principais e a tensão cisalhante máxima utilizando-se 
o círculo de Mohr. 
(a) Teoria de tensão normal máxima (MNS): 
 
1

ytS
n 
 
2
2
3,1
22
xy
yxyx  





 







 
 
 
2
2
3,1
)8,82(
2
)2,55(138
2
2,55(138





 





 
  ou 
max3,1
2


 





 

yx
 
MPaMPaMPa 2,127ou ;8,85ou ;6,168ou :então 3/1maxmin3max1   
ou 
MPa2,127
2
)8,85(6,168
2
31
max 





 ; 
05,2
6,168
345
1


ytS
n
 
(b) Teoria de tensão cisalhante máxima (MSS) 
 
 
36,1
2,127
3455,0
2
5,0
5,0
31
31
max
maxmax








n
S
nou
S
nSS
S
n
yt
yt
ytys
ys



 
(c) Teoria da energia de distorção de von Mises (DE):  A = 1 ; B = 3 
BABA   22
 
MPa17,224)8,85(6,168)8,85()6,168(
22
 
54,1
17,224
345




yt
S
n
 
Ex.2: 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
27 
 
Slução: 
DE a partir a Equação (4): ´= (2A - A B +2B)1/2 
 
 
: A = 70 kpsi ; B = 70 kpsi. 
 
 70, 
Fig. 1 
Fig. 1 
Fig. 1 
Fig. 1 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3: Linha de carregamento para o Exemplo 2. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
(2) 
 (1) 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
29 
 
 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
Ex. 3: 
30 
 
 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
31 
 
3. Coulomb-Mohr Dúctil (DCM) 
Esse teoria pode ser aplicada para prever a falha de materiais dúcteis cujas resistencia à 
tração e compressão não são iguais. 
A hipótese de Mohr foi utilizar os resultados de ensaios de tração, compressão e cisalhamento 
para construir os três círculos da Figura 4., a fim de definir um envoltório de falha, 
representado com a linha ABCDE na figura, acima do eixo . Tal envoltório não necessita ser 
reto. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4: Três círculos de Mohr, um para o ensaio de tração uniaxial, um para o ensaio de cisalhamento 
puro e um para o ensaio de compressão uniaxial. 
Uma variação da teoria de Mohr, conhecida como teoria de Coulomb-Mohr, ou teoria da fricção 
interna, assume que a linha BCD na Figura 4 é reta. Com tal hipótese, somente as resistências à 
compressão e tração são necessárias. 
Para tensão plana, em que as duas tensões principais não-nulas são A ≥ B, temos uma situação 
similar aos três casos apresentados para a teoria MSS. Isto é: 
Caso 1: A ≥ B ≥ 0. Para esse caso, 1 = A e 3 = 0 A ≥ St 
Caso 2: A ≥ 0 ≥ B. Para esse caso, 1 = A e 3 = B 
1
yc
B
yt
A
SS

 
Caso 3: 0 ≥ A ≥ B. Paraesse caso, 1 = 0, 3 = B B ≥ - Sc 
Para o projeto, utilize o fator de segurança n e por isso: 
1
yc
B
yt
A
SS

 
nSS yc
B
yt
A
1


 
 
 
 
 
Fig. 5: Traçado da teoria de falha de Coulomb-Mohr (CM) 
para estados de tensão planos. 
 
(7b) (7a) 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
Syt 
Syt 
-Syc 
-Syc 
32 
 
Uma vez que, para a teoria de Coulomb-Mohr, não necessitamos do círculo de resistência 
por cisalhamento torcional, podemos deduzi-la a partir da Equação (7a). Para cisalhamento 
puro , 1 = - 3 = . 
A resistência torcional de escoamento ocorre quando max = Sys, de modo que a Equação (7a) 
para o escoamento produz: 
 
 
 
 
 
Ex. 4: 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
max
31
;
1;1
)(
1


ys
ycyt
ycyt
ys
yc
ys
yt
ys
yc
ys
yt
ys
ycyt
S
n
SS
SS
S
S
S
S
S
S
S
S
S
SS







(7a) 
(8) 
7b 
8 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
33 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 5: A barra OABC é feita de aço 1035 forjado 
e tratado termicamente (Syt = 81 kpsi). 
Determine a força F utilizando a teoria da 
energia de distorção (DE) e de tensão máxima 
de cisalhamento (MSS). Utilize n =1. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
34 
 
B. Materiais Frágeis 
1. Teoria da Tensão Normal Máxima (MNS) 
A teoria da tensão normal máxima (MNS) afirma que a falha ocorre sempre que uma das 
três tensões principais iguala-se á resistência. Novamente, arranjamos as três tensões 
principais para qualquer estado de tensão na forma ordenada 1 ≥ 2 ≥ 3. 
Essa teoria então prevê a ocorrência da falha sempre que 
1 ≥ Sut ou 3 ≤ - Suc (9) 
Sut : a resistência últimas á tração , Sut : a resistência últimas á compressão. 
Para o estado plano de tensão, com A ≥ B, a Equação (9) pode ser escrita como: 
A ≥ Sut ou B ≤ - Suc (10) 
Podemos considerar dois conjuntos de equações para linhas de carregamento, em que 
A ≥ B, como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(11) 
(12) 
Fig. 6: Gráfico da teoria MNS para 
o estado plano de tensão. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
35 
 
2. Coulomb-Mohr Frágil (BCM) 
 
3. Teoria de Mohr Modificada I (M1M) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(13) 
 (14) 
 (15) 
 (16) 
(17) 
(18) 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
(18) 
36 
 
4. Teoria de Mohr Modificada II (M2M) 
 
Ex. 6 
Sut = 31 kpsi , Suc = 109 kpsi , considere Kt e Kts =1. 
 
 
 
 
(19) 
(20) 
(21) 
5 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
37 
 
 
Seleção de Critério de Falha 
 
 
 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
38 
 
Resumo para elementos redondos 
Material Ductíl 
A. Tresca 
33
2
2
max
max
1632
2
5,0
d
T
d
M
SS
S
n xyx
x
ytys
ys  
 
 
B. Von Mises 
33
22 1632
3
d
T
d
MS
n xyxxyx
yt  
 
 
C. DCM 
 
 
 
Material Frágil 
A. BCM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
3
2
2
1
31
2222
1
xy
xx
xy
xx
ycyt SSn
 












2
2
3
2
2
1
31
2222
1
xy
xx
xy
xx
ucut SSn
 












39 
 
Problemas 
 
 
Utilize Sy = 390 MPa. 
Utilize Sy = 220 MPa. 
 
Utilize Sut = 30 Kpsi, Suc = 100 kpsi. 
Utilize Sut = 30 Kpsi, Suc = 100 kpsi. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f = 0,045. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
41 
 
Concentração de Tensão 
max = kt nom 
max = kts nom 
kt: Fator geométrico (teórico) de concentração de tensão para tensão normal. 
kts: Fator geométrico (teórico) de concentração de tensão para tensão de cisalhamento. 
nom: Tensão nominal axial 
nom: Tensão nominal de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 7: Dados: 
ASTM 30 Ferro fundido com Sut = 31 kpsi e Suc = 109 kpsi. 
Determine o torque antes de falha sem e com efeito de 
concentração de tensão, considerando n =1. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
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Sem efeito de concentração de tensão: 
 
 
 
 = 5,1 T ; 1 = 5,1 T ; ; 3 = - 5,1 T 
Utilize a teoria de Coulomb-Mohr frágil (BCM) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
4
098,0
3232
5,0;
in
D
J
c
J
cT




  inlbTT
TT
SS uc
B
ut
A
.4730;11011,2
1
10109
1,5
1031
1,5
1
4
33









Com efeito da concentração de tensão 
d = D – 2r = 1 – 2(0,025) = 0,95 
D/d = 1/0,95 = 1,05 
r/d = 0,025/0,95 = 0,026 
kt = 1,8 
max = kts nom 
T
d
T
J
Tc
nom 94,5
16
3



 
max = kts nom = (1,8)(5,94 T) = 10,69 T 
Utilize a teoria de Coulomb-Mohr frágil 
  11043,4
1
10109
69,10
1031
69,10
1
4
33








T
TT
SS uc
B
ut
A 
 
T = 2258 lb.in. 
 
 
 
 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D. 
Kassim S. Al-Rubaie, Ph.D.