primeira2013-1

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1 Primeira Prova de Ca´lculo IV - 2013
Questa˜o 1 [2 pontos] Diga se as sequeˆncias convergem ou divergem. No caso de convergirem encontre o
limite. Escolha 2 das 3 poss´ıveis.
a) an =
(−1)n(cos(n) + sen(n))
(ln(2n) + n)
.
b) an =
en
n!
.
c) an =
(n+ 2n3)2(n3 + 3)2
n3
3
√
n16 + 3n2
.
Questa˜o 2 [2 pontos] Seja a sequeˆncia an =
2
n2 − 1
. Verifique que e´ decrescente e limitada, calcule seu
limite. Posteriormente, escreva, usando frac¸?es parciais encontre A e B satisfazendo:
2
n2 − 1
=
A
n− 1
−
B
n+ 1
.
Verifique que a se´rie
∞∑
i=1
2
n2 − 1
=
∞∑
i=1
A
n− 1
−
B
n+ 1
e´ uma se´rie telesco´pica. Calcule a soma neste caso.
Questa˜o 3[3 pontos] Determine se as se´ries convergem ou divergem. Em caso de convergirem diga se
convergem absolutamente. Escolha 3 das 5 poss´ıveis.
a)
∞∑
2
(−1)n
ln(ln(n))
n+ 1
.
b)
∞∑
1
en
2
nn
.
c)
∞∑
1
1
ln(n)2n
.
d)
∞∑
1
(n+ 2)4(n+ 3)2
( 5
√
n17 + n4)n7
.
e)
∞∑
1
ncos(n) + sen(n)
n3 + cos(n)
.
Questa˜o 4 Para a se´rie de potencias abaixo encontre o raio de convergencia e o intervalo de convergencia.
∞∑
n=1
1
2nn
(x− 3)n
Questa˜o 5
a) Represente a func¸a˜o f(x) =
3x
2 + x2
como uma se´rie de poteˆncia e fornec¸a o raio de convergeˆncia (na˜o
e´ necessa´rio encontrar o intervalo de convergeˆncia).
b) Represente a func¸a˜o f(x) =
3x2
(2 + x2)2
.
BOA PROVA!!
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