Questões de Cálculo IV

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1 Primeira Prova de Calculo IV - 2013 - II
Questão 1 Considere cada uma das sequências abaixo. Diga se convergem ou di-
vergem. Em caso de convergirem calcular o limite. Justifique sua resposta. Escolha 2
entre as 3:
a) an =
(3n2 + 3)3( 4
√
n16 + 1000)10
2(n3 + 2)(3n+ 7)3(
√
4n2 + 78)
b) an =
ln(n2)sen(2n)
ln(n)n
c) an = ntan(2/n) +
sen(1/n)
n
+ cos(1/n)
Questão 2 a)− Joãozinho ficou sabendo que a dívida do Flamengo era de 1 bil-
hão de reais e que crescia, em média, 5 por cento ao ano. Descreva a sequência que
represente a dívida do Flamengo e mostre que a divida é uma sequência crescente.
Argumente porque a mesma não pode ser limitada. A dívida converge? para quanto?
b) Considere a sequência an =
ln(n)
n+ 1
. Tal sequência é crescente ou decrescente?
Limitada? Diga um limitante superior e inferior. Justifique.
c Considere a série
∞
∑
i=1
an. A série converge ou diverge? Justifique.
Questão 3 Considere as séries abaixo, as séries convergem ou divergem? Escolha
3 das 5 para resolver. Justifique cada uma das suas respostas.
a)
∞
∑
i=1
(−1)n
ln(n) + n
n2 + 1
b)
∞
∑
i=1
(n2 + 1)1/3(2n+ 3)2( 4
√
n5 + n3 + 3)
(n+ 3)
c) an = ntan(2/n) +
sen(1/n)
n
+ cos(1/n)
d) an = ntan(2/n) +
sen(1/n)
n
+ cos(1/n)
e) an = ntan(2/n) +
sen(1/n)
n
+ cos(1/n)
Questão 4
a− Considere a seguinte série de potência
sum
in f ty
i=1
(−1)n(2x− 3)n
ln(n)n
.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
b Considere a seguinte função
f (x) =
x2
5− 2x
represente-a em séries de potência e encontre o raio de convergência.