Dielétricos - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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Cap´ıtulo 8
Diele´tricos
8.1 Introduc¸a˜o
Ate´ agora, so´ discutimos campos ele´tricos no va´cuo ou na presenc¸a de con-
dutores, dentro dos quais �E = 0. Pore´m, o que acontece se trabalharmos
com isolantes?
Cavendish, em 1773, e Faraday, independentemente, em 1837 1 desco-
briram que a capacitaˆncia de um capacitor aumenta caso seja colocado um
isolante entre as placas, a capacitaˆncia aumenta por um fator que depende
ta˜o somente do tipo de material colocado. Mas por qual motivo isso ocorre?
Nesse cap´ıtulo estudaremos mais profundamente as propriedades desses
materiais diele´tricos, e a sua aplicac¸a˜o na construc¸a˜o de capacitores, ale´m de
estudar alguns dos fenomenos relacionados, como a polarizac¸a˜o.
8.2 Campo no interior de um diele´trico
Nessa sec¸a˜o veremos mais a fundo o motivo que leva a esse aumento da
capacitancia, dessa forma, devemos considerar dois tipos de materiais, os
compostos por mole´culas polares e os apolares:
1Nussenzveig, Herch Moyse´s, Curso de F´ısica ba´sica - Volume 3, 1a Edic¸a˜o, pa´g 86
109
110 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
8.2.1 mole´culas polares
As mole´culas polares sa˜o aquelas que apresentam um momento de dipolo
permanente �p. Esse dipolo, quando colocado na presenc¸a de um campo
ele´trico tende a se alinhar com este devido a um torque resultante, que pode
ser observado na figura abaixo:
Figura 8.1: Dipolo molecular imerso em um campo
O alinhamento das mole´culas do material na direc¸a˜o do campo ele´trico
externo e´ chamado de polarizac¸a˜o ele´trica.
8.2.2 mole´culas apolares
Essas mole´culas na˜o apresentam momento dipolo permanente, pore´m, tambe´m
esta˜o sujeitas a` uma polarizac¸a˜o, devido ao surgimento de um dipolo indu-
zido:
8.3. POLARIZAC¸A˜O 111
Figura 8.2: Ao ser imersa em um campo, surge um dipolo induzido na
mole´cula
8.3 Polarizac¸a˜o
Com o que vimos na Sec¸a˜o 8.2 existem dois tipos de dipolo, um induzido (no
caso das mole´culas apolares), ou um permanente (caso das mole´culas polares,
como a a´gua). Esses dipolos podem ser enta˜o polarizados pela presenc¸a de
um campo ele´trico, como percebe-se na figura abaixo:
Figura 8.3: Material polarizado
Assumimos aqui que todos os dipolos esta˜o alinhados com o eixo do ci-
lindro, o que nem sempre e´ verdade. Dessa forma, precisamos descobrir a
influeˆncia desses dipolos no campo ele´trico resultante.
8.3.1 Definic¸a˜o do vetor Polarizac¸a˜o
Definimos o vetor polarizac¸a˜o como sendo:
112 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
−→
P =
1
V
N�
i=1
�pi (8.1)
Na qual �pi sa˜o os dipolos, induzidos ou permanentes, presentes nos ma-
teriais. Perceba que �P possui sentido que aponta das cargas negativas para
as positivas.
No caso do cilindro apresentado, considerando N dipolos orientados �p
podemos dizer que:
−→
P =
1
V
N�
i=1
�pi
Dessa forma, no total, ter´ıamos que as cargas de cada dipolo iriam se anu-
lar dentro do cilindro, restando somente as cargas externas. Assim ter´ıamos:
Figura 8.4: Esquema
Mas como podemos calcular Qp, ou seja, a carga polarizada?
Considerando um grande momento dipolo igual a` soma de todos os vetors
dipolo menores Np. Assim, pela definic¸a˜o de vetor dipolo: Qph = Np. Mas
Qp = σpA. Dessa forma, podemos dizer que, no caso das placas paralelas:
σp = �P (8.2)
Caso as placas na˜o sejam paralelas, sendo A� a nova a´rea e A a a´rea do
8.3. POLARIZAC¸A˜O 113
caso paralelo, considerando o vetor nˆ perpendicular a` superf´ıcie e o aˆngulo θ
que este faz com o vetor hatk, temos:
A�cosθ = A⇒ σp =
Qpcosθ
A
= �Pcosθ = �P · nˆ (8.3)
Ale´m disso, pela lei de Gauss, como �E = −�P/ε0 podemos dizer que:
Qp = −
�
�P · d�s (8.4)
Que, pelo teorema da divergeˆncia:
∇ · �P = −ρp (8.5)
Dessa forma, precebe-se a importaˆncia do vetor polarizac¸a`o, visto que
ele permite o ca´lculo da densidade superficial de carga polarizada, sem a
necessidade do conhecimento dos dipolos moleculares. Ale´m disso, podemos
dizer que:
�Ep = −
�P
εo
(8.6)
Dessa forma, o campo total �E e´ dado por:
�E = �Eexterno −
�P
εo
→ �E < �Eexterno (8.7)
O que mostra que a polarizac¸a˜o diminui o campo ele´trico final, causando
assim, o efeito observado por Cavendish (vide Sec¸a˜o 8.1).
8.3.2 Susceptibilidade Ele´trica e constante diele´trica
Agora, sabemos que o vetor polarizac¸a˜o pode nos ajudar a descobrir alguns
dos efeitos macrosco´picos causados pelo uso de diele´tricos. Como ja´ dito,
foi observado que a capacitaˆncia variava por um valor que dependia basica-
mente da natureza do material estudado. Assim, pode-se montar a seguinte
114 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
equac¸a˜o:
�P = χ�E (8.8)
Ale´m disso, foi observado que χ e´ normalmente linear, sendo denominado
susceptibilidade ele´trica. Com isso, pela equac¸a˜o 8.7, chamando Eexterno de
E0 temos:
�Eo = �E +
�P
εo
= �E
�
1 +
χ
εo
�
� �� �
K
(8.9)
Dessa forma, temos a relac¸a˜o entre a susceptibilidade ele´trica e a cons-
tante diele´trica, definida a partir da raza˜o entre as diferentes capacitaˆncias
observadas com e sem diele´tricos nos capacitores, ou seja:
k =
�
�0
→ � = �0 + χ (8.10)
Onde � e´ chamada a permissividade ele´trica do meio.
Observac¸a˜o: Ha´ va´rios livros que definem:
�P = εoχe �E
Logo, temos que: χ = χeεo
e, nesse caso:
ε = εo (1 + χe)� �� �
K
(8.11)
8.4 Lei de Gauss e vetor deslocamento ele´trico
Como o campo na˜o se mante´m o mesmo na presenc¸a de um diele´trico, como
e´ poss´ıvel equaciona´-la?
Primeiramente relembremos a lei de Gauss:
8.4. LEI DE GAUSS E VETOR DESLOCAMENTO ELE´TRICO 115
�
�E·d�s =
Qint
εo
(8.12)
Mas a carga ele´trica e´ composta pela carga livre inicial mais a carga
polarizada, assim:
�
�E·d�s =
Q+Qp
εo
(8.13)
Aplicando no caso espec´ıfico de um capacitor temos:
EA =
�
Q+Qp
εo
�
⇒ E =
�
σ + σp
εo
�
Mas, ja´ vimos que:
E =
Eo
K
=
σ
εoK
=
σ
ε
Logo, como :σ+σp
εo
= σ
ε
, enta˜o:
�
ε �E · d�s = Qlivre (8.14)
Difinindo o vetor deslocamento ele´trico como sendo �D = ε �E obtemos:
�
�D · d�s = Qlivre (8.15)
Ale´m disso, sabemos que:
�D = ε �E = εoK �E = εo (1 + χe) �E = εo �E + �P
Logo:
�D = εo �E + �P (8.16)
Ale´m disso, pelo teorema da divergeˆncia, podemos obter que:
�∇ · �D = ρlivre (8.17)
116 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
Outra forma de chegarmos a` mesma resposta seria, partindo da equac¸a˜o
8.13, e sabendo da equac¸a˜o 8.4 obtemos que:
� �
εo �E + �P
�
· d�s = Qlivre (8.18)
Assim, definindo �D = �Eε+ �P obteremos a equac¸a˜o 8.15
Vale notar tambe´m que o vetor deslocamento ele´trico e´ igual ao vetor
ε0 �E0, ou seja, o campo externo vezes a permissividade do va´cuo. Logo, �D
depende ta˜o somente das cargas externas e na˜o da natureza do material, for-
necendo assim, uma excelente ferramenta de ca´lculo para os casos envolvendo
diele´tricos. Ale´m disso, a relac¸a˜o existente entre �D e �E, nos da´ condic¸o˜es,
conhecida a permissividade ele´trica do meio ε, de descobrir tanto o pro´prio
campo �E quanto o vetor polarizac¸a˜o, podendo assim, obter as cargas polari-
zadas e as finais. Um outro fator interessante e´ que as equac¸o˜es que utilizam o
vetor deslocamento podem ser utilizadas mesmo que na˜o haja meio diele´trico,
mas elas caira˜o nas equac¸o˜es ja´ vistas em cap´ıtulos anteriores.
8.5 Energia eletrosta´tica em diele´tricos
Analisaremos agora qual o comportamento da energia ele´trosta´tica armaze-
nada no campo caso exista um diele´trico no meio. Assim, sabemos que:
U =
1
2
�
v
ρeV dv
Mas ρe =
−→
∇ .
−→
D
Assim, temos que:
U =
1
2
�
(
−→
∇ .
−→
D)V dv (8.19)
Mas
−→
∇ .(
−→
DV ) = (
−→
∇ .
−→
D)V +
−→
D.
−→
∇V Logo:8.6. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 117
U =
1
2
�
(
−→
∇ .
−→
D)V dv =
1
2
�
−→
∇ .(
−→
DV )dv −
1
2
�
−→
D.
−→
∇V dv
Pore´m
−→
E = −
−→
∇V . Assim, como fizemos no caso da energia eletrosta´tica
sem diele´tricos, podemos fazer v →∞. Assim:
U =
1
2
�
R3
−→
D.
−→
Edv (8.20)
8.6 Condic¸o˜es de Contorno
Da mesma forma que definimos algumas condic¸o˜es de contorno para pro-
blemas de eletrosta´tica, devemos agora rever essas condic¸o˜es para o caso da
presenc¸a de um diele´trico. Assim, recordando:
Figura 8.5: Esquema
Vimos que:
E⊥acima − E
⊥
abaixo =
σ
ε0
Era obtido a partir da Lei de Gauss. Assim, com a Lei reescrita, podemos
obter:
118 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS
Figura 8.6: Esquema 2
D⊥acimaA−D
⊥
abaixoA = σlA
Logo:
D⊥acima −D
⊥
abaixo = σl (8.21)
Pore´m, pela circulac¸a˜o, obtemos:
E
//
acima = E
//
abaixo
Mas, como:
−→
E =
−→
D
ε0
−
−→
P
ε0
Enta˜o, obtem-se:
D⊥acimaA−D
⊥
abaixoA = P
//
acima − P
//
abaixo (8.22)
Dessa forma, temos agora todas as ferramentas necessa´rias para realizar
o estudo de muitos dos problemas de eletrosta´tica, inclusive os que envol-
vem diele´tricos, principalmente, aqueles que envolvem o ca´lculo de capa-
8.6. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 119
citaˆncias de diversos capacitores, totalmente ou parcialmente preenchidos
com diele´tricos.
120 CAPI´TULO 8. DIELE´TRICOS