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Equações Diferenciais Ordinárias - Estudo

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Equações Diferenciais Ordinárias
Equação Diferencial de 2ª ordem simples
- A EDO só possui y’’.
- Resolução pelo método de separação de variáveis.
- Gera duas constantes C1 e C2.
Equação diferencial ordinárias de 2ª ordem HOMOGÊNEAS com coeficientes constantes
Forma Padrão: 
Resolução: 
Método da Equação Característica
 Onde r1 e r2 são as raízes.
De acordo com as raízes, podemos obter as seguintes resoluções para as equações:
a) Raízes reais e diferentes:
Solução:
 
b) Raízes reais e iguais:
Solução: 
c) Raízes complexas:
Solução:
Equações diferenciais ordinárias de 2ª ordem NÃO HOMOGÊNEAS com coeficientes constantes
Forma Padrão: 
Resolução: 
y(x) = yh(x) + yp(x)
 
 Homogênea Particular
yh(x) = Solução da equação homogênea
 Resolução pelo método da equação característica
yp(x) = Solução da equação particular
 Resolução pelo método dos coeficientes (casos)
Etapas para resolução:
 Cálculo do yh(x).
- Igualar a equação homogênea a zero.
- Determinar os coeficientes a, b e c.
- Estabelecer a equação característica e resolvê-la.
- Com base nas raízes encontradas, obter a solução da parte homogênea.
 Cálculo do yp(x).
- Usar a solução padrão de cada caso.
- Derivar essa solução padrão duas vezes.
- Substituir os valores encontrados para y, y’ e y’’ na equação do exercício.
- Descobrir os valores dos coeficientes A, B, C...
- Substituir esses valores na solução padrão do caso, essa será a solução da parte particular.
 Solução geral da equação: y(x) = yh(x) + yp(x). 
Soluções Particulares
1° Caso Q(x) é um Polinômio
2° Caso Q(x) é um Exponencial
Se as raízes da parte homogênea são diferentes
* Sendo que K é igual ao número que acompanha o x na equação do exercício.
3° Caso Q(x) é uma Trigonométrica do tipo seno ou cosseno
* Sendo que K é igual ao número que acompanha o x na equação do exercício. Se cos(2x), temos k=2
4° Caso Q(x) é um Produto de Funções
ou 
EDO de 2ª ordem NÃO HOMOGÊNEA com coeficientes constantes e a = 1
Forma Padrão: 
Resolução: 
Método de Variação dos Parâmetros Para resolver a solução particular
y(x) = yh(x) + yp(x)
 
 yp(x) = u1 y1 + u2 y2
* Sendo que y1 e y2 são os valores que acompanham C1 e C2 na solução da parte homogênea.
Onde: 
Equação de Euler
Forma Padrão: 
Transformação: 
“Nova equação” em relação a t:
Etapas da resolução:
Método da Equação Característica
- Determinar os coeficientes a, b e c na nova equação.
- Estabelecer a equação característica e resolvê-la.
- Com base nas raízes encontradas, obter a solução da parte homogênea.
- Substituir

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