Lei da Indução - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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Cap´ıtulo 11
Lei da Induc¸a˜o
Com as experieˆncias de Oersted, viu-se que correntes ele´tricas geram campos
magne´ticos. Ficou enta˜o a seguinte du´vida: Pode o campo magne´tico gerar
corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores f´ısicos experimen-
tais, interessou-se em descobrir e estudar essa relac¸a˜o.
Em 1831, Faraday montou dois soleno´ides, com 70 metros de fio de co-
bre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado a` um gerador,
enquanto o outro foi conectado a um galvanoˆmetro, como mostrado na Fi-
gura 11.1 .
Figura 11.1: Soleno´ides concatenados
195
196 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Notou-se quando uma corrente cont´ınua passava pelo soleno´ide 1, o gal-
vanoˆmetro na˜o acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a
chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso le-
vou Faraday a supor que a forc¸a eletromotriz no circuito 2 resultava de uma
variac¸a˜o do campo magne´tico no interior dos soleno´ides. Continuando seus
experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .
Figura 11.2: Experimento de Faraday
Quando um ı´ma˜ era aproximado ou afastado do soleno´ide, observava-se
uma deflexa˜o do galvanoˆmetro. Se o ı´ma˜ permanecesse imo´vel em relac¸a˜o ao
circuito, a deflexa˜o era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a
a´rea dos soleno´ides tambe´m influenciava na forc¸a eletromotriz induzida.
Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matema´ticos da se-
guinte maneira:
�ind ∝
dB
dt
�ind ∝ A
Para melhor compreender esse fenoˆmeno, precisamos definir o que e´ fluxo
magne´tico.
11.1 O Fluxo Magne´tico
Vimos que a forc¸a eletromotriz depende tanto da variac¸a˜o do campo magne´tico
quanto da a´rea dos soleno´ides. A grandeza que relaciona o vetor �B e a a´rea
11.2. A LEI DE LENZ 197
S permeada por esse campo e´ denominada de fluxo magne´tico , e e´ definida
como:
φB = �B · �S = BS cos θ (11.1)
Ate´ agora, tendo em vista as constatac¸o˜es de Faraday, podemos dizer que:
|�ind| =
dφB
dt
(11.2)
Substitu´ındo 11.1 em 11.2 :
|�ind| =
dB
dt
A cos θ +B
dA
dt
− BA sen θ
dθ
dt
(11.3)
Percebe-se enta˜o que e´ poss´ıvel induzir corrente em uma espira imersa em
um campo magne´tico por meio dos seguintes me´todos:
• variando a intensidade do campo.
• variando a a´rea como tempo
• variando o aˆngulo entre os vetores �A e �B com o tempo
Ainda podemos analisar o fenoˆmeno da induc¸a˜o levando em conta a cor-
rente induzida. Sabe-se que �ind = RIind, logo:
Iind =
1
R
���� dφBdt
����
11.2 A Lei de Lenz
Vimos que a variac¸a˜o do fluxo magne´tico gera corrente ele´trica em conduto-
res. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso e´ explicado
pela Lei de Lenz:
A corrente induzida produz um campo magne´tico que tende
se opoˆr a` variac¸a˜o do fluxo magne´tico que a gerou
198 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ı´ma˜ aproxima-se da espira, o
fluxo magne´tico no interior desta aumentara´, enta˜o deve surgir uma corrente
no sentido anti-hora´rio para reduzir o fluxo. Caso o ı´ma afaste-se da espira, o
fluxo no interior desta diminuira´, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente
no sentido hora´rio.
Figura 11.3: Deflexa˜o do galvanoˆmetro
Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:
�ind = −
dφB
dt
(11.4)
O sinal negativo representa a resisteˆncia que o circuito apresenta a` va-
riac¸a˜o do fluxo magne´tico
E´ interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo ele´trico
na espira, teremos:
�
Γ
�E · d�l = �ind (11.5)
Ora, vimos na eletrosta´tica que essa integral de linha deveria ser nula
sempre! Qual sera´ a inconsisteˆncia?
Na verdade, na˜o ha´ inconsisteˆncia. Ocorre que o campo ele´trico estudado
na eletrosta´tica tem natureza diferente do campo ele´trico induzido.
O campo ele´trico oriundo de cargas ele´tricas sempre e´ conservativo, por
isso a integral de linha em um circuito fachado e´ nula. Mas, devido a` equac¸a˜o
11.5, nota-se que o campo ele´trico induzido pela variac¸a˜o de fluxo magne´tico
11.2. A LEI DE LENZ 199
na˜o e´ conservativo. Por isso, e´ importante distinguir os dois tipos campos
ele´tricos.
Seguem alguns exemplos da aplicac¸a˜o da Lei de Lenz:
Exerc´ıcio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre
um trilho condutor, em meio a um campo magne´tico perpendicular ao plano
dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a forc¸a eletromotriz
induzida, a corrente induzida a forc¸a magne´tica e a velocidade da barra em
func¸a˜o do tempo.
Figura 11.4: Trilho magne´tico
• Forc¸a eletromotriz
Temos que o fluxo magne´tico na barra e´ dado por:
φB = BA = Blx
portanto a forc¸a eletromotriz e´:
|�ind| =
dφB
dt
= Bl
dx
dt
= Blv
• Corrente induzida:
Iind =
�ind
R
=
Blv
R
• Forc¸a magne´tica:
Temos que a forc¸a em fios e´ dada por:
200 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
�F = I�l × �B = IindBl =
B2l2v
R
− iˆ (11.6)
• Velocidade do fio:
Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equac¸a˜o 11.6 :
m
dv
dt
=
B2l2v
R
Resolvendo essa equac¸a˜o diferencial separa´vel:
� v(t)
v0
dv
v
= −
� t
0
B2l2
Rm
dt→ ln
�
v(t)
v0
�
= −
B2l2
Rm
t
v(t) = v0e
−
B2l2t/Rm
Vemos enta˜o que a forc¸a tende a` frear a` barra.
Exerc´ıcio 11.2. Considere um campo magne´tico uniforme que aponta pra
dentro da folha e esta´ confinado numa regia˜o circular de raio R. Suponha que
a magnitude de �B aumenta com o tempo. Calcule o campo ele´trico induzido
em todo o espac¸o:
Figura 11.5: Campo magne´tico
Vimos que o campo ele´trico induzido pode ser calculado por:
�
Γ
�Eind · d�l = �ind = −
dφB
dt
11.2. A LEI DE LENZ 201
Enta˜o precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo ele´trico
induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunfereˆncias de raio r.
• Para r < R :
Figura 11.6: Curva para ca´lculo do campo induzido
Como a circunfereˆncia aborda apenas uma porc¸a˜o do campo, a variac¸a˜o
fluxo no seu interior sera´:
φB = Bπr
2 →
dφB
dt
=
dB
dt
πr2
Logo:
�
Γ
�Eind · d�l =
dB
dt
πr2
Eind2πr =
dB
dt
πr2 → Eind =
dB
dt
r
2
• Para r > R :
Como a circunfereˆncia aborda todo o campo, a variac¸a˜o fluxo no seu
interior sera´:
φB = BπR
2 →
dφB
dt
=
dB
dt
πR2
Logo:
202 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.7: Curva para ca´lculo do campo induzido
�
Γ
�Eind · d�l =
dB
dt
πR2
Eind2πr =
dB
dt
πR2 → Eind =
dB
dt
R2
2r
Sintetizando os resultados na forma de um gra´fico;
Figura 11.8: Campo induzido vs distaˆncia
11.3 Geradores
As experieˆncias de Faraday lanc¸aram os princ´ıpios de funcionamento de mo-
tores ele´tricos e geradores de eletricidade.
Considere uma espira imersa em um campo magne´tico �B rotacionando
com uma velocidade angular constante ω =
θ
t
. Substiu´ındo θ na equac¸a˜o
11.3 , temos que:
11.4. EFEITOS MECAˆNICOS 203
|�ind| = ωBA senωt
Em termos de corrente induzida:
Iind =
ωBA
R
senωt
Calculando a poteˆncia gerada para N espiras:
P = I|εind| =
(NBAω sin(ωt))2
R
Observa-se que a bobina gerara´ corrente alternada. Para evitar isso,
empregam-se comutadores no circuito.
Isso que foi visto e´ o princ´ıpio de funcionamento de va´rios tipos de usinas
de gerac¸a˜o de energia, como as hidrele´tricas, termoele´tricas, eo´licas e nucle-
ares. Todas elas envolvem a transfereˆncia de energia mecaˆnica de um fluido
(a´gua, vento) para a bobina, fazendo-a girar.
11.4 Efeitos Mecaˆnicos
A induc¸a˜o magne´tica, quando aliada a outros fenoˆmenos f´ısicos, pode resultar
em efeitosinteressantes. Vejamos alguns exemplos
11.4.1 As correntes de Foucault
Considere uma chapa meta´lica e um pente meta´lico, inicialmente em movi-
mento uniforme, entrando em cum campo magne´tico, conforme esquemati-
zado na Figura 11.9 .
Experimentalmente, observa-se que o chapa meta´lica sobre uma reduc¸a˜o
de velocidade mais acentuada que o pente. Por queˆ?
Isso ocorre pois, durante a imersa˜o no campo magne´tico, a variac¸a˜o do
fluxo magne´tico no interior da chapa e´ maior do que no pente. Logo a corrente
204 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magne´tico
induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa e´ superior. Mas a ac¸a˜o
do campo magne´tico sobre a corrente induzida gera uma forc¸a que tende a
frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior reduc¸a˜o de velocidade.
Figura 11.10: Correntes de Foucault
Pode-se dizer tambe´m que as correntes de Foucault resultam em uma
maior dissipac¸a˜o por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um
campo magne´tico.
11.4.2 Atrito Magne´tico
Se uma espira condutora e´ solta em queda livre sobre um ima˜ permanente, a
corrente induzida criara´ um dipolo magne´tico que tende a ser repelido pelo
ima˜, produzindo uma forc¸a de freamento da espira ana´loga a uma forc¸a de
atrito viscoso (ver Figura 11.11) .
11.5. INDUTAˆNCIA MU´TUA 205
Figura 11.11: Comportamento da espira em queda
11.4.3 Canha˜o Magne´tico
Considere um soleno´ide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse
mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo
do campo magne´tico no interior da espira sera´ alterado. A corrente induzida
fara´ com que a espira seja lanc¸ada no sentido oposto ao do soleno´ide.
Figura 11.12: Canha`o Magne´tico
11.5 Indutaˆncia Mu´tua
Induntaˆncia mu´tua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um
circuito em func¸a˜o da passagem de corrente ele´trica em um outro circuito.
Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na
espira 1, ocorrera´ uma variac¸a˜o do fluxo de campo magne´tico
dφ21
dt
na espira
2, surgindo enta˜o uma forc¸a eletromotriz induzida �2 dada por:
206 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.13: Exemplo de indutaˆncia mu´tua
�2 = −
dφ21
dt
Mas a variac¸a˜o do fluxo do campo magne´tico depende de uma variac¸a˜o
de corrente na espira 1:
dφ21
dt
∝
dI1
dt
Enta˜o podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por
meio da definic¸a˜o da constante de induc¸a˜o mu´tua M21
1:
dφ21
dt
= M21
dI1
dt
(11.7)
M21 =
dφ21
dI1
(11.8)
Experimentalmente, observa-se que a constante de induc¸a˜o mu´tua de-
pende apenas da geometria das espiras e tambe´m da distaˆncia entre elas.
Neumann deduziu uma fo´rmula que permite determinar essa constante.
Temos que o fluxo do campo magne´tico pode ser calculado por:
1[M21] = H(henry) =
Tm2
A
11.5. INDUTAˆNCIA MU´TUA 207
φ21 =
�
S2
�
�B · d�S2 =
�
S2
� �
�∇× �A1
�
· d�S2
Aplicando o Teorema de Stokes:
φ21 =
�
S2
� �
�∇× �A1
�
· d�S2 =
�
Γ2
�A1 · d�l2
Pela equac¸a˜o 10.45 :
φ21 =
µ0
4π
I1
� �
d�l1 · d�l2
r
φ21
dt
=
µ0
4π
� �
d�l1 · d�l2
r
dI1
dt
(11.9)
Comparando as equac¸o˜es 11.9 e 11.7 encontramos a Fo´rmula de Neumann:
M21 =
µ0
4π
� �
d�l1 · d�l2
r
(11.10)
Como podemos comutar os fatores da fo´rmula, conclui-se que:
M12 = M21 = M
Isso indica que, independentemente das formas e posic¸o˜es das espiras, o
fluxo atrave´s de 2 quando uma corrente I passa em 1 e´ ideˆntico ao fluxo
atrave´s de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.
No entanto, ainda e´ mais interessante calcular M por meio da equac¸a˜o
11.8 do que pela Fo´rmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.
Exerc´ıcio 11.3. Calcule a indutaˆncia mu´tua entre duas espirar coplanares
e conceˆntricas de raios R1 e R2, com R1 >> R2.
Para calcular a indutaˆncia mu´tua, precisamos calcular uma relac¸a˜o entre
a variac¸a˜o de corrente em uma espira e a variac¸a˜o do fluxo magne´tico na
208 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.14: Espiras coplanares e conceˆntricas
outra espira.
Sabemos que a campo magne´tico no centro de uma espira circular e´ B =
µ0I
2R1
. Como R1 >> R2, pode-se considerar que o campo no interior da espira
2 e´ constante, logo o fluxo no seu interior sera´:
φ21 = BA =
µ0I
2R1
πR22
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
=
µ0
2R1
πR22
Logo a indutaˆncia mu´tua e´:
M =
µ0
2R1
πR22
Exerc´ıcio 11.4. Calcule a indutaˆncia mu´tua entre dois soleno´ides conceˆntricos
de desnsidades de espiras n1 e n2.
Para calcular a indutaˆncia mu´tua, precisamos calcular uma relac¸a˜o entre
a variac¸a˜o de corrente em um soleno´ide e a variac¸a˜o do fluxo magne´tico no
outro.
Sabemos que a campo magne´tico no interior do soleno´ide 1 e´ B = µ0In1.
Como o campo no interior do soleno´ide 2 e´ constante, o fluxo no seu interior
sera´:
11.5. INDUTAˆNCIA MU´TUA 209
Figura 11.15: Soleno´ides conceˆntricos
φ21 = BAn2l = µ0In1n2lπR
2
2
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
= µ0n1n2lπR
2
2
Logo a indutaˆncia mu´tua e´:
M = µ0n1n2lπR
2
2
Exerc´ıcio 11.5. Calcule a indutaˆncia mu´tua entre dois toro´ides concatena-
dos com N1 e N2 enrolamentos.
Figura 11.16: Toro´ides concatenados
Para calcular a indutaˆncia mu´tua, precisamos calcular uma relac¸a˜o entre
a variac¸a˜o de corrente em um toro´ide e a variac¸a˜o do fluxo magne´tico no
outro.
210 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Sabemos que a campo magne´tico no interior do toro´ide 1 e´ B =
µ0N1I
2πr
.
Considerando que o campo no interior do toro´ide apresenta simetria cil´ındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
Figura 11.17: Elemento de a´rea na sec¸a˜o do toro´ide
φ21 = N2
�
�B1 · d�s2 = N2
b�
a
µ0N1I1
2πr
hdr
φ21 =
µ0N1N2I1
2π
h ln(
b
a
)I
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
=
µ0N1N2
2π
h ln(
b
a
)
Logo a indutaˆncia mu´tua e´:
M =
µ0N1N2
2π
h ln(
b
a
)
11.6 Auto-Indutaˆncia
Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente
I. Se ocorre alguma alterac¸a˜o na corrente, o fluxo atrave´s da espira varia
11.6. AUTO-INDUTAˆNCIA 211
com o tempo, enta˜o, de acordo com a lei de Faraday, uma forc¸a eletromotriz
induzida surgira´ para gerar um campo no sentido oposto a` variac¸a˜o do fluxo
de �B inicial. Enta˜o podemos dizer que o pro´prio campo opo˜e-se a qualquer
mudanc¸a da corrente, e assim temos o fenoˆmeno da auto-indutaˆncia.
Figura 11.18: Efeitos da auto-indutaˆncia
Definimos matematicamente a auto-indutaˆncia L2 da seguinte maneira:
dφB
dt
=
dφB
dI
dI
dt
= L
dI
dt
L =
dφB
dI
(11.11)
Do mesmo modo que a indutaˆncia mu´tua, a auto indutaˆncia depende
apenas de fatores geome´tricos da espira em questa˜o.
Exerc´ıcio 11.6. Calcule a auto-indutaˆncia de um soleno´ide.
Figura 11.19: Soleno´ide
Para calcular a auto-indutaˆncia, precisamos calcular como uma variac¸a˜o
2[L] = H(henry)
212 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
de corrente no soleno´ide varia o fluxo magne´tico no interior do pro´prio so-
leno´ide.
Sabemos que a campo magne´tico no interior desse objeto e´ B = µ0In.
Como o campo no interior do soleno´ide e´ constante, o fluxo no seu interior
sera´:
φB = BAnl = µ0In
2lπR2
Enta˜o temos que:
dφB
dI
= µ0n
2lπR2
Logo a auto-indutaˆncia e´:
L = µ0n
2lπR2
Exerc´ıcio 11.7. Calcule a auto-indutaˆncia de um toro´ide de sec¸a˜o retangu-
lar.
Figura 11.20: Toro´ide
Para calcular a auto-indutaˆncia, precisamos calcular como uma variac¸a˜o
de corrente no toro´ide varia o fluxo magne´tico no interior do pro´priotoro´ide.
Sabemos que a campo magne´tico no interior desse objeto e´ B =
µ0NI
2πr
.
Considerando que o campo no interior do toro´ide apresenta simetria cil´ındrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
11.7. ASSOCIAC¸A˜O DE INDUTORES 213
Figura 11.21: Elemento de a´rea na sec¸a˜o do toro´ide
φB = N
�
�B · d�s =
b�
a
µ0N
2I
2πr
hdr =
µ0N
2I
2π
h ln(
b
a
)
Enta˜o temos que:
dφ21
dI
=
µ0N
2
2π
h ln(
b
a
)
Logo a auto-indutaˆncia e´:
L =
µ0N
2
2π
h ln(
b
a
)
11.7 Associac¸a˜o de Indutores
Indutores sa˜o componentes eletroˆnicos que apresentam elevada indutaˆncia.
Devido a` Lei de Lenz, tais elementos evitam variac¸o˜es bruscas de corrente,
sendo essa uma das principais func¸o˜es desempenhadas pelos indutores em
circuitos eletroˆnicos. Sabe-se que a diferenc¸a de potencial nos terminais de
um indutor tem a mesma magnitude da forc¸a eletromotriz induzida nele, ou
214 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
seja:
V = L
dI
dt
(11.12)
Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, e´ poss´ıvel
substitu´ı-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros
ca´lculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutaˆncia equivalente, de-
vemos levar em conta tanto os efeitos de auto-induc¸a˜o quanto de indutaˆncia
mu´tua entre os componentes da associac¸a˜o.
Faremos, como exemplo, a associac¸a˜o de dois indutores em se´rie e dois
indutores em paralelo.
11.7.1 Dois indutores em se´rie
Figura 11.22: Exemplo de indutaˆncia mu´tua
Em uma associac¸a˜o em se´rie, a corrente e´ a mesma em todos os indutores.
L
dI
dt
= L1
dI
dt
+M
dI
dt
+ L2
dI
dt
+M
dI
dt
= (L1 + L2 + 2M)
dI
dt
11.7. ASSOCIAC¸A˜O DE INDUTORES 215
Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se a`s auto-indutaˆncias
de 1 e 2, respectivamente, ja´ o segundo e o quarto termo referem-se a`s in-
dutaˆncias mu´tuas. Segue enta˜o que:
L = L1 + L2 + 2M (11.13)
11.7.2 Dois indutores em paralelo
Figura 11.23: Exemplo de indutaˆncia mu´tua
Em uma associac¸a˜o em paralelo, a diferenc¸a de potencial e´ a mesma para
todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:
V1 = L1
dI1
dt
+M
dI2
dt
(11.14)
V2 = L2
dI2
dt
+M
dI1
dt
(11.15)
Multiplicando as duas equac¸o˜es pela constante de indutaˆncia mu´tua:
V1M = L1M
dI1
dt
+M2
dI2
dt
(11.16)
V2M = L2M
dI2
dt
+M2
dI1
dt
(11.17)
Multiplicando agora a equac¸a˜o 11.14 por L2 e a 11.15 por L1:
216 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
V1L2 = L1L2
dI1
dt
+ML2
dI2
dt
(11.18)
V2L1 = L2L1
dI2
dt
+ML1
dI1
dt
(11.19)
Mas, da associac¸a˜o em paralelo, temos que:
V = V1 = V2
I = I1 + I2
Logo, subtra´ındo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:
V (L1 −M) = L1L2
dI2
dt
−M2
dI2
dt
(11.20)
V (L2 −M) = L1L2
dI1
dt
−M2
dI1
dt
(11.21)
Somando as equac¸o˜es 11.20 e 11.21:
V (L1 + L2 − 2M) =
�
L1L2 −M
2
� dI
dt
L =
L1L2 −M
2
L1 + L2 − 2M
(11.22)
Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutaˆncia mu´tua, a asso-
ciac¸a˜o de indutores e´ ideˆntica a` associac¸a˜o de resistores.
11.8 Circuito R-L
Considere o circuito da Figura 11.24, com as condic¸o˜es iniciais:
11.8. CIRCUITO R-L 217
Figura 11.24: Circuito R-L
t = 0 , I(t) = 0
t =∞ , I(t) =
V
R
A equac¸a˜o do circuito e´:
V −RI − L
dI
dt
= 0 (11.23)
V
R
− I =
L
R
dI
dt
t�
0
−
R
L
dt =
I(t)�
0
dI
I − V
R
ln
�
I −
V
R
�I(t)
0
= −
R
L
t
I(t)−
V
R
= −
V
R
−
R
L
t
218 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
I(t) =
V
R
�
1− e−
R
L
t
�
(11.24)
Quanto maior for a indutaˆncia L do indutor no circuito, maior sera´ o
tempo para a corrente se aproximar da ma´xima Imax = V/R.
Figura 11.25: Gra´fico de corrente de um circuito R-L
11.9 Circuito L-C
Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado
com uma carga Q0, ou seja, as condic¸o˜es iniciais:
t = 0 , Q(t = 0) = Q0
t = 0 , I(t = 0) = 0
A equac¸a˜o do circuito e´:
Q
C
− L
dI
dt
= 0 (11.25)
Como o capacitor esta´ descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:
11.9. CIRCUITO L-C 219
Figura 11.26: Circuito L-C
d2Q
dt2
+
1
LC
Q = 0 (11.26)
Que e´ a equac¸a˜o de um oscilador harmoˆnico, cuja soluc¸a˜o e´:
Q(t) = Q0 cos(ωt) (11.27)
Onde:
ω2 =
1
LC
I(t) = −
dQ
dt
= ωQ0 sen(ωt)
I0 = Q0ω
Ana´lise de energia:
220 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.27: Gra´fico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C
UE = Ucapacitor =
1
2
CV 2 =
Q2
2C
UE =
Q2
2C
cos2(ωt)
UB = Uindutor =
1
2
LI2 =
L
2
I20 sin
2(ωt) =
LQ20ω
2
2
sen2(ωt) =
Q20
2C
sen2(ωt)
U = UE + UC =
Q2
2C
Figura 11.28: Energia em um circuito L-C
11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECAˆNICO 221
11.10 Analogia com sistema mecaˆnico
Analogia com sistema mecaˆnico massa-mola:
d2x
dt2
+
K
M
x = 0
d2Q
dt2
+
1
LC
Q = 0
U =
1
2
mv2 +
K
2
x2 U =
1
2
LI2 +
1
2C
Q2
Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecaˆnico.
m L
1/k C
x Q
v = x˙ I = Q˙
mv2/2 LI2/2
kx2
2
Q2
2C
222 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
m
d2x
dt2
= −kx+mg L
dI
dt
+
Q
C
= V
x(t) = h+ A cos(ω0t) q(t) = q1 + (q0 − q1) cos(ω0t)
x(0) = h+ A q(0) = q0
x˙(0) = 0 q˙(0) = 0
Molas em se´rie Capacitores em paralelo
x = x1 + x2 = F
�
1
K1
+ 1
K2
�
q = ε(C1 + C2)
Molas em paralelo Capacitores em se´rie
11.11 Circuito R-L-C
Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga
Q0. A equac¸a˜o do circuito e´:
Q
C
−RI − L
dI
dt
= 0
11.11. CIRCUITO R-L-C 223
Figura 11.30: Circuito R-L-C
Fazendo I = −dQ
dt
:
d2Q
dt2
+
R
L
dQ
dt
+
Q
LC
= 0 (11.28)
Com a condic¸a˜o inicial: Q(0) = Q0
O ana´logo mecaˆnico a` este circuito e´ o oscilador amortecido:
d2x
dt2
+ 2β
dx
dt
+ ω20x = 0 (11.29)
Cuja soluc¸a˜o e´ dada por:
x(t) = e−βt
�
A1 exp(
�
β2 − ω20t) + A2 exp(−
�
β2 − ω20t)
�
(11.30)
A ana´lise deve ser dividida em treˆs casos:
• ω20 > β: subcr´ıtico
• ω20 = β: cr´ıtico
• ω20 < β: supercr´ıtico
224 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.
11.11.1 Subcr´ıtico
ω21 = ω
2
0 − β
2, ω21 > 0
Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1t) + A2 exp(−iω1t)]
A soluc¸a˜o pode ser reescrita como:
Q(t) = Ae−βt cos(ω1t− δ)
Que corresponde a uma oscilac¸a˜o de frequ¨eˆncia angular ω1, com uma
amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt.
11.11.2 Cr´ıtico
Q(t) = (A+Bt)e−βt
11.11.3 Supercr´ıtico
Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2t) + A2 exp(−ω2t)]
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNE´TICOS 225
Figura 11.32: Oscilador amortecido subcr´ıtico.
11.12 Energia em Campos Magne´ticos
Vimos anteriormente que a energia ele´trica podia ser escrita em termos do
campo ele´trico, o que nos fornecia a interpretac¸a˜o da energia armazenada no
campo. Agora vejamos como seria a energia magne´tica em termos do campo.
Sabemos que:
φB = LI
Por outro lado:
φB =
�
S
�B · d�s =
�
S
(�∇× �A) · d�s
Aplicando o Teorema de Stokes:
226 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
�
S
(�∇× �A) · d�s =
�
Γ
�A · d�l
φB =
�
Γ
�A · d�l = LI
A energia magne´tica e´ dada por:
U =
1
2
LI2 =
I
2
�
Γ
�A · d�l
Sabendo que Id�l = �Jdv:
U =
I
2
�
V
( �A · �J)dv
Mas �∇× �B = µ0 �J , enta˜o:
U =
1
2µ0
�
V
�A · (�∇× �B)dv
Utilizando a identidade:
�∇ · ( �A×�B) = �B · (�∇× �A)− �A · (�∇× �B)
�A · (�∇× �B) = �B · (�∇× �A)− �∇ · ( �A× �B) = �B · �B − �∇ · ( �A× �B)
Temos:
U =
1
2µ0

�
V
�B · �B −
�
V
�∇ · ( �A× �B)dv


11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNE´TICOS 227
Aplicando o teorema da divergeˆncia:
U =
1
2µ0
�
V
�B · �B −
1
2µ0
�
S
( �A× �B)d�s
Fazendo V → todo espac¸o, o segundo termo tende a zero, portanto:
UB =
1
2µ0
�
R3
B2dv (11.31)
A densidade de energia do campo magne´tico e´ dado por:
uB =
B2
2µ0
(11.32)
Note a similaridade das energias dos campos ele´trico e magne´tico:
UE =
1
2
�
V
ρV dv =
ε
2
�
3
E2dv
UB =
1
2
�
V
�
�A · �J
�
dv =
1
2µ0
�
3
B2dv
Exemplo 11.1. Cabo coaxial.
Calcular a energia armazenada em uma sec¸a˜o de comprimento l.
Resoluc¸a˜o. Pela lei de Ampe`re, o campo magne´tico no cabo e´ dado por:
228 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O
�
�B · d�l = µ0I
B2πr = µ0I
B =
µ0I
2πr
B =


µ0I
2πr
θˆ , a < r < b
0 , r < a ou r > b
A densidade de energia e´ dada por:
u =
B2
2µ0
=
µ20I
2
2µ04π2r2
=
µ0I
2
8π2r2
A energia armazenada em um trecho sera´:
U =
���
µ0I
2
8µ0π2r2
rdθdrdz,


0 ≤ θ ≤ 2π
a ≤ r ≤ b
0 ≤ z ≤ l
U =
µ0I
2
8π2
2πl
b�
a
1
r
dr =
µ0I
2
4π
l ln
�
b
a
�
Pelo me´todo anterior, ter´ıamos que, primeiro, calcular a auto-indutaˆncia:
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNE´TICOS 229
φ =
�
�B · d�s =
��
µ0I
2πr
drdz,
�
a ≤ r ≤ b
o ≤ z ≤ l
φ =
µ0I
2π
l ln
�
b
a
�
L =
dφ
dI
=
µ0l
2π
ln
�
b
a
�
A energia armazenada sera´ enta˜o:
U =
LI2
2
U =
µ0I
2
4π
l ln
�
b
a
�
230 CAPI´TULO 11. LEI DA INDUC¸A˜O