Materiais Magnéticos - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 13
Materiais Magne´ticos
13.1 Propriedades Magne´ticas da Mate´ria
Apresentaremos neste to´pico uma discussa˜o qualitativa tentando na˜o usar a
mecaˆnica quaˆntica. No entanto, devemos ter em mente que:
Na˜o e´ poss´ıvel compreender os efeitos magne´ticos da mate´ria
do ponto de vista da f´ısica cla´ssica! As propriedades magne´ticas dos
materiais sa˜o fenoˆmenos completamente quaˆnticos.
Apesar disso, faremos uso de descric¸o˜es cla´ssicas, embora erradas, para
termos uma visa˜o, ainda que muito limitada, do que esta´ acontecendo.
Inicialmente, vamos pressupor ja´ conhecidos alguns conceitos:
1. A´tomo: nu´cleo no centro e ele´trons orbitando ao seu redor;
2. Ele´tron e´ negativamente carregado
3. O ele´tron possui um momento angular intr´ınseco que e´ denominado
spin.
Vejamos enta˜o inicialmente:
241
242 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.1: Produc¸a˜o de campo magne´tico pelo ele´tron.
Efeitos devido a`s o´rbitas dos ele´trons
- Ele´trons nos a´tomos produzem campos magne´ticos.
Os ele´trons giram ao redor do nu´cleo em o´rbitas, o que e´ o mesmo se
tive´ssemos espiras de corrente. Por outro lado, correntes produzem campo
magne´tico.
Normalmente, no entanto, este e´ um efeito pequeno, pois no total ha´ um
cancelamento, visto que as o´rbitas esta˜o aleatoriamente orientadas.
- O que acontece enta˜o se colocarmos o material na presenc¸a de um campo
externo �B? Pelo que ja´ estudamos sabemos que, pela lei de Lenz, teremos
correntes induzidas, de sentido tal a se opor ao aumento do campo. Desta
forma, os momentos magne´ticos induzidos nos a´tomos sa˜o opostos ao campo
magne´tico.
Desta forma o efeito resultante e´: o campo magne´tico total resultante e´
menor.
13.2. MOMENTOS MAGNE´TICOS E MOMENTO ANGULAR 243
13.2 Momentos magne´ticos e Momento an-
gular
Consideremos uma carga q se movendo numa o´rbita circular.
Figura 13.2: Carga em o´rbita circular.
O momento angular cla´ssico orbital e´:
�L = �r × �p
|�L| = mvr
Por outro lado, sabemos que a corrente e´:
I =
carga
tempo
=
q
2πr
v
=
qv
2πr
Sabemos tambe´m que o momento magne´tico e´:
µ = IA = Iπr2 =
qv
2πr
πr2 =
qvr
2
Das equac¸o˜es acima, temos:
�µ =
q
2
�L
m
(13.1)
No caso do ele´tron, temos:
244 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.3: Momento magne´tico da o´rbita do ele´tron.
�µ = −
e�L
2me
(13.2)
Isto e´ o que se espera classicamente e como milagre tambe´m vale quanti-
camente.
Ale´m do momento angular orbital, ele´trons possuem ummomento angular
intr´ınseco (spin), que associado a este ha´ um momento magne´tico:
�µs = −
e
me
�S (13.3)
Algumas propriedades:
• Lei de Lenz na˜o se aplica, pois este campo esta´ associado ao ele´tron
por si mesmo.
• O pro´prio �S na˜o pode ser medido. Entretanto, sua componente ao
longo de qualquer eixo pode ser medida.
• Uma componente medida de �S e´ quantizada.
Quantizac¸a˜o de Sz:
13.2. MOMENTOS MAGNE´TICOS E MOMENTO ANGULAR 245
Sz = ms�
ms = ±
1
2
� =
h
2π
Sendo h a constante de Plank, cujo valor e´ de 6, 63× 10−34J.s.
Portanto, o momento magne´tico de spin sera´ dado por:
µs,z = −
ems�
me
= ±
e�
2me
= ±µB
µB =
e�
2me
=
eh
4πme
= 9, 27× 10−24
J
T
A constante µB e´ chamada magne´ton de Bohr. Momentos magne´ticos de
spins de ele´trons e de outras part´ıculas sa˜o enta˜o expressos em termos de µB.
Da mesma forma que o spin, o momento angular orbital �L na˜o pode ser
medido, apenas a sua componente ao longo de qualquer eixo.
L = ml�
ml = 0,±1,±2, · · ·
Onde ml e´ o nu´mero quaˆntico magne´tico orbital.
µ = −
eL
2me
= −
eml�
2me
= −mlµB
Vimos durante o nosso curso que se coloca´ssemos uma espira passando
corrente num campo magne´tico, esta sentia uma forc¸a, e observamos a tendeˆncia
do alinhamento do momento magne´tico �µ com �B.
246 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.4: Torque causado por um campo magne´tico em uma espira.
�τ = �µ× �B
Desta forma, se colocarmos um material composto por a´tomos que pos-
suem ummomento magne´tico permanente, inicialmente orientado em direc¸o˜es
distribu´ıdas ao acaso, na presenc¸a de um campo magne´tico, esses momentos
magne´ticos se orientara˜o na direc¸a˜o do campo, resultando em uma mag-
netizac¸a˜o diferente de zero. Enta˜o como resultado teremos que o campo
magne´tico resultante sera´ maior que o original.
A grandeza magnetizac¸a˜o e´ definida como o dipolo magne´tico por uni-
dade de volume:
�M = lim
∆v→0
1
∆v
�
i
�µi =
d�µ
dv
(13.4)
O que implica em:
�µtotal =
�
v
�Mdv
Ana´lise dimensional:
13.3. MATERIAIS DIAMAGNE´TICOS 247
�
�M
�
=
momento magne´ tico
volume
=
corrente x a´ rea
comprimento
=
A
m
=
�
�B
�
µ0
(13.5)
Perceba que esta grandeza e´ ana´loga a` polarizac¸a˜o de materiais diele´tricos.
Resumo ate´ enta˜o
• Lei de Lenz nas o´rbitas dos ele´trons se opo˜e ao aumento do campo no
material. Isto pode ser pensado como se o ele´tron fosse acelerado ou
retardado em sua o´rbita.
• Torque magne´tico agindo em ele´trons individualmente aumentando o
campo magne´tico no material.
Ou seja, temos dois comportamentos opostos. Qual deles e´ mais impor-
tante? Isto dependera´ das propriedades do material (estrutura qu´ımica, se
ha´ ele´trons livres, etc). Podemos, no entanto notar que e´ muito mais custoso
mudar as o´rbitas dos ele´trons que seus spins.
A este respeito, podemos separar os materiais em treˆs categoriais:
1. Materiais diamagne´ticos;
2. Materiais paramagne´ticos;
3. Materiais ferromagne´ticos.
13.3 Materiais Diamagne´ticos
Sa˜o materiais que apresentam uma magnetizac¸a˜o oposta ao campo magne´tico.
• O campo magne´tico no interior do material e´ menos intenso que o
externo.
248 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.5: Substaˆncias diamagne´ticas sa˜o repelidas do campo magne´tico,
deslocando-se para a regia˜o de campo magne´tico menos intenso.
• Lei de Lenz ganha do efeito do spin.
O diamagnetismo e´ muito fraco e dif´ıcil de se ver.
A Lei de Lenz sempre esta´ presente em todos os materiais. O efeito do
spin, se estiver presente, sera´ sempre mais forte. Logo, os materiais dia-
magne´ticos sa˜o aqueles onde na˜o ha´ o efeito do spin.
Exemplos de materiais diamagne´ticos:
• Orbitais que possuem os ele´trons emparelhados ⇒ na˜o ha´ momento
magne´tico resultante.
13.4 Materiais Paramagne´ticos
Sa˜o materiais nos quais a magnetizac¸a˜o aumenta na presenc¸a de um campo
externo.
• O campo magne´tico no interior do material e´ mais intenso que o ex-
terno.
• Efeito de spin ganha da Lei de Lenz.
Os a´tomos possuem um momento magne´tico resultante e permanente
�µ. Na auseˆncia de campo externo estes momentos esta˜o orientados de forma
13.5. MAGNETIZAC¸A˜O E O CAMPO �H 249
Figura 13.6: Substaˆncias paramagne´ticas sa˜o atra´ıdas para regia˜o de campo
magne´tico mais intenso.
aleato´ria, e o momento de dipolo magne´tico resultante do material e´ nulo. En-
tretanto, se uma amostra do material for colocada em um campo magne´tico
externo, os momentos tendem a se alinhar com o campo, o que da´ um mo-
mento magne´tico total �µtotal na˜o nulo na direc¸a˜o do campo externo �Bext.
13.5 Magnetizac¸a˜o e o campo �H
Relembrando a definic¸a˜o de magnetizac¸a˜o (Equac¸a˜o 13.4):
�M =
d�µ
dv
=
momento de dipolo magne´ tico
unidade de volume
Definimos um novo campo magne´tico �H , tal que:
�B = µ0
�
�H + �M
�
(13.6)
�H ≡
�B
µ0
− �M (13.7)
• �B: campo magne´tico total = induc¸a˜o magne´tica
• �H: campo magne´tico devido a`s correntes externas
250 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
•�M : magnetizac¸a˜o, componente de �B devido a`s propriedades do mate-
rial.
Voceˆ pode estar se perguntando, mas esta formula de �H caiu do ce´u?
Podemos chegar nela da seguinte forma:
Como um dos exerc´ıcios da lista, voceˆ deve ter obtido que o potencial
vetor de um u´nico dipolo e´ dado por:
�A (�r) =
µ0
4π
�µ× Rˆ
Rˆ
Se pensarmos num material, enta˜o cada elemento de volume possui um
momento de dipolo magne´tico �M dv, logo:
�A (�r) =
µ0
4π
� �M (�r�)× Rˆ
R2
dv�
Utilizando a identidade:
�∇�
�
1
R
�
=
Rˆ
R2
Temos:
�A (�r) =
µo
4π
� �
�M (�r�)× �∇�
�
1
R
��
dv�
Utilizando a identidade:
�∇×
�
f �M
�
= f
�
�∇× �M
�
− �M ×
�
�∇f
�
⇒ �M ×
�
�∇f
�
= f
�
�∇× �M
�
− �∇×
�
f �M
�
Ficamos com:
13.5. MAGNETIZAC¸A˜O E O CAMPO �H 251
�A (�r) =
µ0
4π


�
1
R
�
�∇� × �M (�r�)
�
dv� −
�
�∇� ×
�
�M (�r�)
R
�
dv�


�A (�r) =
µ0
4π
� �∇� × �M (�r�)
R
dv� +
µ0
4π
� �M (�r�)× nˆ�
R
ds�
Relembrando, t´ınhamos escrito:
�A (�r) =
µ0
4π
� �J (�r�)
R
ds�
Desta forma, podemos identificar dois termos:
�A (�r) =
µ0
4π
� �JM (�r�)
R
dv� +
µ0
4π
�
�κM (�r
�)
R
dv�
• �JM (�r
�) = �∇� × �M (�r�): Densidade de corrente de magnetizac¸a˜o;
• �κM (�r
�) = �M (�r�) × nˆ�: Densidade superficial de corrente de magne-
tizac¸a˜o.
Similar a:
ρp = −�∇ · �P
σp = �p · nˆ
Havendo corrente de magnetizac¸a˜o e, simultaneamente, correntes livres
(que na˜o podemos controlar), o campo de induc¸a˜o magne´tica tem a sua
origem em ambas:
252 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
�∇× �B = µ0
�
�Jlivre + �JM
�
� �� �
densidade de corrente total
�∇× �B = µ0
�
�Jlivre + �∇× �M
�
�∇× �B − �∇× µ0 �M = µ0 �Jlivre
�∇×
�
�B − µ0 �M
�
� �� �
µ0 �H
= µ0 �Jlivre
�∇× µ0 �H = µ0 �Jlivre
�∇× �H = �Jlivre (13.8)
Enta˜o agora a nomenclatura ficou:
• �B: campo de induc¸a˜o magne´tica;
• �H: campo magne´tico proveniente da contribuic¸a˜o devida a`s correntes
livres;
• �M : magnetizac¸a˜o devido a`s corrente de magnetizac¸a˜o.
Podemos determinar um campo a partir de seu gradiente e de seu rotaci-
onal. Ja´ obtemos o rotacional, e podemos determinar seu gradiente a partir
de sua definic¸a˜o (Equac¸a˜o 13.7):
�H =
�B
µ0
− �M
÷ �H =
÷ �B
µ0
−÷ �M
÷ �H = −÷ �M
13.6. MATERIAIS MAGNE´TICOS LINEARES 253
Observac¸a˜o 13.1. Deve-se tomar cuidado com a analogia entre os campos �H
e �B. Apesar da similaridade entre as expresso˜es de seus rotacionais, deve-
mos lembrar que um campo na˜o e´ determinado somente pelo seu rotacional.
Em especial, mesmo que na˜o haja nenhuma corrente livre, na presenc¸a de
materiais magne´ticos, o campo �H pode ser na˜o nulo.
13.6 Materiais Magne´ticos Homogeˆneos, Li-
neares e Isotro´picos
Neste caso, a magnetizac¸a˜o �M do material varia linearmente com o campo
magne´tico �H:
�M = χM �H
Onde χM e´ a susceptibilidade magne´tica do meio, que e´ uma grandeza
adimensional.
Assim:
�B = µo
�
�H + �M
�
= µo
�
�H + χM �H
�
= µo (1 + χM) �H
= µoµr �H
�B = µ �H
Cuidado com a notac¸a˜o: Aqui, µ e´ a permeabilidade magne´tica do meio
(na˜o confundir com o momento magne´tico).
O sinal de χM depende do tipo de material:
�B = µo (1 + χM) �H
254 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
• Em materiais diamagne´ticos, B < H, e portanto:
χM < 0
• Em materiais paramagne´ticos, B > H, e portanto:
χM > 0
13.7 Materiais Ferromagne´ticos
A na˜o linearidade entre �M e �H o distingue do paramagnetismo. Em materiais
ferromagne´ticos, �M e �H na˜o possuem uma relac¸a˜o simples. A magnetizac¸a˜o
permanece mesmo apo´s o campo magne´tico ser desligado.
Raza˜o: Mecaˆnica Quaˆntica ⇒ termo de troca ⇒ interac¸a˜o dos spins de
a´tomos.
A interac¸a˜o de troca produz um forte alinhamento de dipolo atoˆmico ad-
jacente em um material ferromagne´tico. Os momentos magne´ticos de muitos
a´tomos tendem a se alinhar em pequenas regio˜es iguais a domı´nios ( 0.1mm),
no entanto estes domı´nios, se nenhum campo magne´tico externo for aplicado,
esta˜o alinhados aleatoriamente orientados, resultando numa magnetizac¸a˜o do
material nula. Por isso que o ferro na˜o atrai nenhum metal a princ´ıpio.
Fe: so´lido policristalino
Se magnetizarmos uma amostra de Fe colocando-a em um campo magne´tico
externo de intimidade gradualmente crescente, havera´ um crescimento em ta-
manho dos domı´nios que esta˜o orientados ao longo do campo externos.
A curva que descreve a relac¸a˜o entre H e B para um material ferro-
magne´tico e´ chamada de histerese ou ciclo de histerese.
De a ate´ b mostra o comportamento da amostra se magnetizando. Apo´s
H1 diminui-se H ate´ H = 0 (ponto c): valor de B diminui conforme b → c
muito mais lentamente do que inicialmente tinha aumentado. Em c, ha´ uma
13.7. MATERIAIS FERROMAGNE´TICOS 255
(a) Antes: �M = 0 (b) Apo´s: �M �= 0
Figura 13.7: Orientac¸a˜o dos domı´nios de um material ferromagne´tico na
presenc¸a de campo magne´tico.
Figura 13.8: Alinhamento dos domı´nios do material na presenc¸a de campo
magne´tico externo.
magnetizac¸a˜o remanescente B �= 0. Para se conseguir B = 0 aplica-se um
campo �H com sentido inverso. Se aumentar �H em mo´dulo atinge-se o ponto
d. Se zerar �H novamente, B diminui em mo´dulo de acordo com d → e, e
mesmo em e, B �= 0.
Temperatura de Curie
A temperatura de Curie TC e´ a temperatura acima da qual o material ferro-
magne´tico perde a sua magnetizac¸a˜o.
• T > TC : fase desordenada paramagne´tica
256 CAPI´TULO 13. MATERIAIS MAGNE´TICOS
Figura 13.9: Ciclo de histerese de materiais ferromagne´ticos.
• T < TC : fase ordenada ferromagne´tico
A transic¸a˜o de fase e´ abrupta.
Para T > TC , o movimento aleato´rio dos momentos magne´ticos se torna
ta˜o forte que eles na˜o conseguem mais se alinhar para formar os domı´nios.
Para o Fe, TC = 770
oC. A Tabela 13.1 mostra a temperatura de Curie para
outros materiais ferromagne´ticos.
Material Temperatura de Curie (K)
Co 1388
Fe 1043
MnBi 630
Ni 627
MnSb 587
CrO2 386
MnAs 318
Gd 292
Tabela 13.1: Temperatura de Curie de materiais ferromagne´ticos
13.8. ENERGIA EM MEIOS MAGNE´TICOS 257
13.8 Energia armazenada no campo magne´tico
na presenc¸a de meios magne´ticos
Vimos que:
Um =
1
2
�
V
�Jlivre · �Adv
Mas �Jl = �∇× �H, enta˜o:
Um =
1
2
�
V
�
�∇× �H
�
· �Adv
Aplicando a identidade:
�∇ ·
�
�A× �H
�
=
�
�∇× �A
�
· �H −
�
�∇× �H
�
· �A
Chegamos em:
Um =
1
2
�
V
�
�∇× �A
�
· �Hdv −
1
2
�
V
�∇ ·
�
�A× �H
�
dv
Um =
1
2
�
V
�B · �Hdv −
1
2
�
V
�∇ ·
�
�A× �H
�
dv
Fazendo V → todo espac¸o, o segundo termo tende a zero, portanto:
UB =
1
2
�
R3
�B · �Hdv (13.9)