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Para: 
" 
" 
e^iy = cos(y) + isen(y) 
" 
" 
sen(z) = e^iz - e^-iz 
" 2i 
" 
E: 
" 
" 
e^-iy = cos(y) - isen(y) 
" 
" 
cos(z) = e^iz + e^-iz 
" 2 
" 
Temos: 
" 
" 
sen(z1+z2) = e^i(z1+z2) - e^-i(z1+z2) = e^iz1+iz2 - e^-iz1-iz2 = e^iz1e^iz2 - e^-iz1e^-iz2 = 
 2i 2i 2i 
" 
" 
[cos(z1) + isen(z1)][cos(z2) + isen(z2)] - [cos(z1) - isen(z1)][cos(z2) - isen(z2)] = 
 2i 
" 
" 
cos(z1)cos(z2) + isen(z2)cos(z1) + isen(z1)cos(z2) + i^2sen(z1)sen(z2) 
 2i 
" 
" 
- cos(z1)cos(z2) + isen(z2)cos(z1) + isen(z1)cos(z2) - i^2sen(z1)sen(z2) = 
 2i 
" 
" 
2isen(z2)cos(z1) + 2isen(z1)cos(z2) = 
 2i 
" 
" 
2i[sen(z2)cos(z1) + sen(z1)cos(z2)] = 
 2i 
" 
" 
sen(z2)cos(z1) + sen(z1)cos(z2) = 
" 
" 
sen(z1)cos(z2) + cos(z1)sen(z2) 
" 
" 
E Para: 
" 
" 
sen(z1-z2) = e^i(z1-z2) - e^-i(z1-z2) = e^iz1-iz2 - e^-iz1+iz2 = e^iz1e^-iz2 - e^-iz1e^iz2 = 
 2i 2i 2i 
" 
" 
[cos(z1) + isen(z1)][cos(z2) - isen(z2)] - [cos(z1) - isen(z1)][cos(z2) + isen(z2)] = 
 2i 2i 
" 
" 
cos(z1)cos(z2) - isen(z2)cos(z1) + isen(z1)cos(z2) - i^2sen(z1)sen(z2) 
 2i 
" 
" 
- cos(z1)cos(z2) - isen(z2)cos(z1) + isen(z1)cos(z2) + i^2sen(z1)sen(z2) = 
 2i 
" 
" 
-2isen(z2)cos(z1) + 2isen(z1)cos(z2) = 
 2i 
" 
" 
2i[sen(z2)cos(z1) + sen(z1)cos(z2)] = 
 2i 
" 
" 
sen(z1)cos(z2) - sen(z2)cos(z1) 
" 
"