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AI6 - Administração e CC (NC) - Matemática Básica

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1
Matemática Básica
Aula Interativa 6
Prof. Dr. Nelson Pereira Castanheira
Contextualização
Onde e como esses 
conhecimentos o ajudam 
no dia a dia?
� Razão e Proporção
� Regras de Três
� Porcentagem
� Exponenciais
� Logaritmos
� Razão é o quociente entre dois 
números
� Representa-se por		
�
�
		ou por 
x : y
� Onde:
• x = antecedente
• y = consequente
� Proporção é a igualdade de 
duas razões
• De um modo geral:
	
�
�
=
�
�
• Lê-se: a está para b, assim 
como c está para d
2
Valor de uma razão
� É o resultado da divisão do 
antecedente pelo consequente
Razão entre duas grandezas
� Razão entre duas grandezas de 
mesma espécie é o quociente 
dos números que medem essas 
grandezas
Regra de Três Simples
� Em uma proporção na qual um 
único termo seja desconhecido, 
podemos calcular esse termo 
aplicando a propriedade 
fundamental das proporções
� Para tal, utilizamos uma regra 
a qual denominamos Regra de 
Três Simples
� Observe que a regra se diz 
simples, porque envolve 
somente duas grandezas
� Envolvendo mais de duas 
grandezas, ela se denomina 
regra de três composta
Porcentagem
� Um por cento indica que 
dividimos o inteiro em 100 
partes iguais e consideramos 
apenas uma dessas partes
� Representamos por 
	
	
e lemos 
um por cento
� Utiliza-se o símbolo % para 
representar porcentagem
• No exemplo anterior: 1%
� Note que:
• 100% = 
	
	
= 1
• Assim, chama-se 100% 
de unidade
Equações Exponenciais
� Toda equação em que o 
expoente é uma incógnita 
� São equações da forma y = ax
3
� São utilizadas para o cálculo 
da meia vida de elementos 
radioativos, população de 
bactérias etc.
Logaritmos
� Logaritmo de um número N, 
real e positivo, numa base b, 
positiva e diferente da 
unidade, é o expoente x ao 
qual se eleva a base para se 
obter uma potência igual 
ao número N
logbN = x b
x = N Instrumentalização
Quais ferramentas e 
habilidades devo 
desenvolver?
Termos de uma proporção
extremos
Meios
a : b = c : d
4
Propriedade fundamental 
das proporções
� Em qualquer proporção, 
o produto dos meios é igual 
ao produto dos extremos
Regra de Três
� Para encontramos o valor 
de uma incógnita utilizando 
a regra de três precisamos:
• identificar as grandezas 
envolvidas
• depois verificar se são diretas 
ou inversamente proporcionais
• utilizar os macetes das 
flechas e calcular o valor 
da incógnita desconhecida
Equações Exponenciais
� Para a solução de uma equação 
exponencial, deve-se 
transformar os dois membros 
de tal forma que tenhamos (...)
(...) potências de mesma 
base dos dois lados do sinal 
de igualdade
� Feito isso, iguala-se os 
expoentes
Logaritmos
� logb 1 = 0 porque b0 = 1
� logb b = 1 porque b1 = b
� logb bx = x porque bx = bx
� logb a = logb c a = c
5
�
�
�
� Mudança de Base:
•
��
� �	 · � = 	 ��
� 	�	 +	 ��
� 	�
��
� 	�
� = �	 · 	 ��
�	�
��
� 	� = 	
�����
�����
��
� 	
�
�
=	 ��
� 	�	 −	 ��
� 	�
Aplicação
Onde você aplica esses 
conhecimentos?
Razão e Proporção
� Cálculo do termo desconhecido
�
�
�
6
�
=
3
10
� = 	
60
3
= 20
3	 · � = 6	 · 10
Regra de Três Simples
� Cinco cadernos custam 
R$ 180,00. Quanto custam 
oito desses cadernos?
Preço (R$) Cadernos
180 5
x 8
�
�
�
�
180
�
= 	
5
8
5	 · � = 180	 · 	8
� = 	
1.440
5
� = 288
6
Regra de Três Composta
� A Empresa ABC Ltda. tem um 
relatório de 2.160 páginas a 
ser digitado. Uma secretária 
executiva digita, em média, 
18 páginas por dia trabalhando 
4 horas diárias somente na 
digitação
� Quantas secretárias executivas, 
que se dediquem a esse trabalho 
8 horas por dia, são necessárias 
para que o relatório esteja 
totalmente digitado em 30 dias?
� Verifique que, se o relatório tem 
2.160 páginas e uma secretária 
digita 18 páginas por dia de 
trabalho, então serão 
necessários 120 dias para que 
essa secretária termine o serviço
2.160 : 18 = 120
� Representando em colunas
� Observação: o tempo é em dias 
e a jornada é em horas por dia
Secretárias Tempo Jornada
1 120 4
x 30 8
Secretárias Tempo Jornada
1 120 4
x 30 8
� Analisando Secretárias
e Tempo
Secretárias Tempo Jornada
1 120 4
x 30 8
� Analisando Secretárias
e Jornada de Trabalho
7
� Estabelecer a proporção entre 
as grandezas do problema
• As razões são:
�
1
,
120
30
,
4
8
� Preste atenção: para a 
formação das razões segue-se 
os sentidos das flechas, por isso 
invertemos os valores da 
primeira razão
�
1
=
120
30
·
4
8
�
1
=
480
240
∴ 240	 · � = 1 · 480
� = 2	()�*)+á*-�(	
�
�
�
Equações Exponenciais
� Resolva a equação exponencial 
5x–3 + 6252
� Decompondo 625 em fatores 
primos, 625 = 54
� 5x–3 = (54)2
� 5x–3 = 58
� x – 3 = 8
� x = 11
Logaritmos
� Considere 3 = 100,477 e 
7 = 100,845 e calcule log2,1
� De acordo com a definição 
de logaritmos, temos:
• log2,1 = x
• 10x = 2,1 
8
� O número 21 pode ser escrito 
como:
•
� Substituindo os dados do 
enunciado, obteremos:
•
10. =	
3	 · 7
100
10. =	
101,233 	 · 	101,425
100
� Realizando as operações com 
potências de mesma base, 
obtemos:
� 10x = 100,477 + 0,845 – 1
� 10x = 100,322
� Assim, log2,1 = x = 0,322
Síntese
Vamos Rever o que Você 
Aprendeu
� Razão é o quociente entre 
dois números
� Proporção é a igualdade 
de duas razões
Regra de Três Simples 
� É uma regra prática utilizada 
para resolver certos problemas 
que envolvem duas grandezas 
direta ou inversamente (...)
9
(...) proporcionais, cujos valores 
podem formar uma proporção, 
sendo desconhecido apenas um 
dos termos da proporção
Regra de Três Composta
� É uma regra prática utilizada 
para resolver certos problemas 
que envolvem mais de duas 
grandezas direta ou (...)
(...) inversamente proporcionais, 
cujos valores podem formar uma 
proporção, sendo desconhecido 
apenas um dos termos da 
proporção
Porcentagem
� Porcentagem é uma parte do 
principal, ou seja, uma parte 
do todo
Equações Exponenciais
� Toda equação em que o 
expoente é uma incógnita
� São equações da forma y = ax
� São utilizadas para o cálculo 
da meia vida de elementos 
radioativos, população de 
bactérias etc.
10
Logaritmos
� Logaritmo de um número N, 
real e positivo, numa base b, 
positiva e diferente da 
unidade, é o expoente x ao 
qual se eleva a base para se 
obter uma potência igual 
ao número N
logbN = x b
x = N
Referências de Apoio
� CASTANHEIRA, N. P. Noções 
básicas de matemática 
comercial e financeira. 
Curitiba: Intersaberes, 2008.
� MACEDO, L. R. D. de; 
CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. 
Tópicos de matemática 
aplicada. Curitiba: Intersaberes, 
2008.
� MEDEIROS, V. Z.; CALDEIRA, A. 
M.; SILVA, L. M. O. da; MACHADO, 
M. A. S. Pré-cálculo. 2a. ed. São 
Paulo: Cengage Learning, 2010.

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