01___Equa__o_Diferencial

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Aula 1 – Unidade I 
Teorema de Green e o Teorema de Stokes 
Prof.ª: M.Sc.: Cátia Regina 
Faculdade Maurício de Nassau 
Curso de Engenharias Elétrica / Mecânica / Química 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Teorema de Green e o Teorema de 
Stokes 
O teorema de Green e o teorema de Stokes, tem 
grande importância para a Matemática, são aplicados 
no estudo do cálculo vetorial e das equações 
diferenciais. 
Divergência ou Densidade de fluxo 
 Para compreender a divergência, imagine que 
F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j, e que esse seja o campo de 
velocidade de um fluido escoando no plano e que as 
derivadas parciais de primeira ordem de M e N sejam 
contínuas em cada ponto de uma região R. Podemos 
definir (x, y) como um ponto qualquer em R, e A como 
um pequeno retângulo com vértice em (x, y) que esteja 
contido inteiramente em R. 
Divergência ou Densidade de fluxo 
 
 
 
 Essa expressão também é chamada de divergente, 
denotada por (div F). 
 
Divergência 
O campo vetorial (b), representa a 
velocidade de um gás escoando no plano 
xy. A divergência desse campo vetorial 
com rotação uniforme 
 
 
 Nesse caso o gás não está em expansão ou 
compreensão. 
Divergência 
 
 Nesse outro caso, o campo vetorial (d), 
também representa a velocidade de um gás 
escoando no plano xy. A divergência desse 
campo vetorial 
 
 
com efeito redemoinho é: 
 
 
 Nesse caso o gás não está em expansão ou 
compreensão. 
Divergência 
 
 Diferentemente dos dois casos anteriores, o 
campo vetorial (a), F(x, y) = cxi + cyj em 
expansão ou compreensão uniforme não 
apresenta divergência igual a zero e seu 
líquido não é considerado incompreensível. 
 
 
 Sendo assim, se c > 0, o gás está submetido 
à expansão uniforme. Já se c < 0, o gás 
está submetido à compreensão uniforme. 
Divergência 
 
 Já no campo vetorial F(x, y) = yi, que está em 
escoamento ou cisalhamento 
 
 
 
 Nesse caso, o gás não está em expansão ou 
compreensão. 
Rotacional ou Densidade de 
circulação 
 A densidade de circulação de um campo vetorial F em 
um ponto, tente imaginar uma roda de pás flutuando, 
com eixo perpendicular ao plano, girando em um 
ponto com um fluido escoando em uma região plana. 
Isso dá uma ideia de como o fluido circula ao redor dos 
eixos localizados em diferentes pontos e 
perpendiculares à região. 
Rotacional 
 
 Uma rotação em sentido anti-horário 
de maneira que você esteja 
olhando para baixo sobre o 
plano xy a partir da ponta do vetor 
unitário k. Nesse caso, a densidade 
de circulação é positiva, conforme 
apresentado na figura ao lado. 
Rotacional ou Densidade de 
circulação 
 A densidade de circulação de um campo vetorial 
F = Mi + Nj no ponto (x, y) é a expressão escalar 
 
 
 
 Essa expressão também é chamada de 
componente k do rotacional, denotada por (rot F) · k.” 
Teorema de Green 
 Segundo o teorema de Green, o fluxo externo de um 
campo vetorial através de uma curva fechada simples 
no plano é igual à integral dupla da divergência do 
campo sobre a região delimitada pela curva. Porém, 
você deve prestar atenção, uma curva é chamada 
simples se ela não cruza a si mesma. 
Exemplo 
 Para calcular a integral de linha , onde C é 
o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas 
retas x = 1 e y = 1, usando o fluxo divergência e 
definindo e C e R como fronteira do quadrado 
e seu interior, obteremos: 
 
Teorema de Stokes 
Teorema de Stokes 
 Essa é a expressão que podemos utilizar para resolver as 
integrais através do Teorema de Stokes. 
Exercícios 
 Nos exercícios a seguir, verifique os Teoremas de Green 
e Stokes no plano para F e R dados.