ATPS - Matemática Financeira

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UNIVERSIDADE ANHANGUERA-UNIDERP
ADMINISTRAÇÃO
4º SEMESTRE
 NOME: Cristiany Albuquerque RA: 6317128270
 NOME: Jaqueline Vieira RA: 4311801571
 NOME: Nayara Rodrigues	 RA: 1299199798
 NOME: Rayssa Pereira 	 RA: 4300076738
ATPS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFESSOR EAD: Ivonete Melo de Carvalho
TUTOR PRESENCIAL: Kelly Alves
TUTORA A DISTÂNCIA: Andreliza Mila Rosa de Oliveira
Brasília/DF
2013
INTRODUÇÃO
Esta ATPS tem como objetivo reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, introduzir modificações no processo produtivo, atuar preventivamente, transferir e generalizar conhecimentos, e exercer, em diferentes graus de complexidade, o processo da tomada de decisão. Matemática financeira, de modo geral, é o ramo da matemática que estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. A forma como os recursos estão sendo ou serão empregados, de maneira a maximizar o resultado, é uma das aplicações fundamentais da Matemática Financeira. Com as ferramentas adequadas pode-se também comparar alternativas, optando por aquela que mais benefícios nos trarão, ou menos prejuízo acarretará. 
DESENVOLVIMENTO
Capitalização Simples e Composta
Capitalização Composta
No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização.
Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções significativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo. (KUHNEN, 2008).
Capitalização Simples
Já no regime de capitalização simples, os juros são calculados sempre sobre o valor inicial, não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros. Na modalidade de juros simples, a base de cálculo é sempre o Valor Atual ou Valor Presente (PV), enquanto na modalidade de desconto bancário a base de cálculo é sempre o valor nominal do título (FV). O regime de capitalização simples representa, portanto, uma equação aritmética, sendo que o capital cresce de forma linear, seguindo uma reta; logo, é indiferente se os juros são pagos periodicamente ou no final do período total. O regime de capitalização simples é muito utilizado em países com baixo índice de inflação e custo real do dinheiro baixo; no entanto, em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado, a exemplo do Brasil, a utilização de capitalização simples só é recomendada para aplicações de curto prazo. A capitalização simples, porém, representa o início do estudo da matemática financeira, pois todos os estudos de matemática financeira são oriundos de capitalização simples. (KUHNEN, 2008).
Caso A: 
Associar Certo ou Errado para os Casos:
 
I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$19.968,17? 
Roupas do casamento: R$ 256,25 * 12 = R$ 3.075,00 
Valor do Buffet: R$ 10.586,00 sendo 25% pago no ato e o restante pago no mês seguinte; ou seja, R$ 2.646,50 pago a vista e R$ 7.939,50 pago no mês seguinte. 
Empréstimo Amigo: Valor emprestado R$7.939,50 
Valor Pago no final do empréstimo R$ 10.000,00 
Prazo do pagamento 10 meses 
Taxa de Juros? 
7.939,50 PV 
10.000,00 CHS FV 
10 N 
i = 1,33 % a.m. 
Valor dos juros: R$2.060,50 
Outros serviços contratados: R$ 6.893,17 no cheque especial com taxa de 7,81% a.m. em 10 dias. Como o chefe é especial o juros é simples, portanto em 10 dias a taxa de juros fica em 0,26 % a.d. totalizando um valor de R$ 179,22. 
Para verificar o valor gasto no casamento é só efetuar a soma dos valores porem na hora de considerar o pagamento do valor do Buffet pegar o valor q foi pago a vista e o valor pago no final do empréstimo para o amigo, e não hora de somar o valor dos outros serviços contratados considerarem que houve juros de 10 dias no valor. 
Soma: 3.075,00 + 2.646,50 + 10.000,00 + 6.893,17 + 179,22 = R$ 22.793,89 
3.075 ENTER 2.646,50 + 10.000 + 6.893,17 + 179,22 + (na HP 12 C) 
Foram gastos no casamento a quantia de R$ 22.793,89, então a afirmação I esta errada porque o valor gasto foi maior do que R$19.968,17. 
II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês? 
Período = 10 meses 
Montante = R$ 10.000,00 
Montante = Capital . (1+ 0,0233)n 
10.000,00 = Capital . (1,0233)10 
10.000,00 = Capital . 1,259 
10.000,00 / 1,259 = Capital 
7.942,81 = Capital 
Juros = 10.000,00 – 7.942,81 = 2.057,19 
Esta afirmação esta correta. 
III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, foi de R$ 358,91? 
Como a taxa é de juros simples, dividindo o percentual do mês (7,81%) pela quantidade de dias do mês (30) teremos o percentual ao dia:
7,81 / 30 = 0,2603% a.d. 
7,81 ENTER 30 / (na HP 12 C) 
J= 10 dias * (0,2603% / 100) * R$ 6.893,17 
0,2603 ENTER 100 / 10 * 6.893,17 * (na HP 12 C) 
J= R$ 179,43 
Ou seja, o valor dos juros do empréstimo não foi de R$ 358,91 e então esta afirmação esta errada. 
Caso B:
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$6.893,17, o casal tivesse optado emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização. 
Como este caso os juros são compostos deve se aplicar uma formula para transformar o juros a.m. para a.d. R$ 6.893,17 empréstimo 7,81 % A.M. ( taxa ) = 0,0781 
10 dias ( N) I = [(1+i)quero/tenho-1]*100 
Portanto a resposta fica assim 
0,0781 ENTER 1 + ENTER 10 ENTER 30 / Yx 1 – 100 * = 2,5384 % a cada 10 dias 
6.893,17 ENTER 2,5384 % = R$ 174,97 
Como o valor dos juros compostos no primeiro período é inferior ao do juros simples esta afirmação esta errada. 
A associação de números ficou a seguinte:
- Associar o número 2, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e errada. 
Como o caso B está errado o numero associado é o 1. 
Pagamentos Uniformes
  Entende-se seqüência uniforme de capitais como sendo o conjunto de pagamentos (ou recebimentos) de valor nominal igual, que se encontram dispostos em períodos de tempo constantes, ao longo de um fluxo de caixa. Se a série tiver como objetivo a constituição do capital, este será o montante da série; ao contrário, ou seja, se o objetivo for a amortização de um capital, este será o valor atual da série. (TEIXEIRA, 1998).
Sequência Uniforme de Termos Postecipados
 
    As séries uniformes de pagamento postecipados são aqueles em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é também chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada. Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestação,representada pela sigla “PMT” que vem do Inglês “Payment” e significa pagamento ou recebimento. (BRANCO, 2002).
Sequência Uniforme de Termos Antecipados
 
    As séries uniformes de pagamentos antecipadas são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema de pagamento com entrada. (BRANCO, 2002).
Caso A :
Preço da TV: R$ 4.800,00 
Dinheiro aplicado: R$ 350,00 durante 12 meses ( R$ 4.200,00 ) 
Dinheiro resgatado após o investimento: R$ 4.320,00 
Preço pago pela TV: R$ 4.320,00 
Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray 
Dadas às informações segue duas afirmações. 
I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$600,00? 
Preço original da TV: R$ 4.800,00 
Preço pago pela TV: R$ 4.320,00 
Preço do DVD/Blu-ray é a diferença do preço original e do preço pago. 
4.800 – 4.320 = 480,00 
4800 ENTER 4320 – (na HP 12 C) 
Ou seja, esta informação esta errada o preço do DVD/Blu-ray foi de R$ 480,00. 
II – A taxa média da poupança nestes doze meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês? 
PV = 0 
N = 12 
PMT= 350,00 
FV = 4.320,00 
(Caminho na HP 12 C) 
I = 0,5107 
Esta afirmação esta correta. 
Caso B: 
A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana, a sua irmã Clara, para ser liquidada em doze parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês. A respeito deste empréstimo, tem-se: 
I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99?
PV = 30.000 
N= 13 
I = 2,8 % a.m. 
PV = 48.355,44 
48.355,44 / 12 = R$ 4.029,62 por mês. 
Como juros são compostos e ela demorou 13 meses para pagar o total da divida e as parcelas são iguais o valor por parcela ficou de R$ 4.029,62. 
Ou seja, esta afirmação esta errada.
TAXA Á JUROS COMPOSTOS
A taxa de juros é um índice utilizado em economia e finanças para registrar a rentabilidade de uma poupança ou o custo de um crédito. Chama-se taxa de juros aos diferentes tipos de índice que se empregam na medida de rentabilidade das poupanças ou que se incorporam ao valor de um crédito. A taxa de juros é uma relação entre dinheiro e o tempo dado que podem beneficiar a um poupador que decide investir seu dinheiro em um fundo bancário, ou seja, que se soma ao custo final de uma pessoa ou entidade que decide obter um empréstimo ou crédito. Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes.
Taxa de Juro Que Faz Parte da Economia do Brasil
Ao decidir a taxa básica de juros (Selic), o Banco Central é capaz de aquecer (queda da taxa) ou desaquecer (alta dos juros) a economia e influenciar os principais indicadores de crescimento econômico do País. O juro é o preço do dinheiro aplicado ou emprestado. Por isso, você pagará uma taxa se tomar dinheiro emprestado de um banco, por exemplo. Essa taxa, de juros, é o valor que o dono do dinheiro cobra pelo tempo que não poderá usá-lo, uma vez que estava empresado. Num exemplo oposto, você pode receber juros ao deixar seu dinheiro render em uma aplicação financeira durante algum tempo.
As taxas de juros variam de acordo com o contrato, com a aplicação, o risco, dentre outros fatores. Mas há uma taxa específica que serve de referência para todos os contratos: é a Taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia). Ela é considerada a taxa básica de juros no Brasil porque é usada em operações e empréstimos de curto prazo entre os bancos, balizando todas as demais, como os juros do parcelamento da compra de um eletrodoméstico, por exemplo.
O Banco Central criou a Taxa Selic em 1979 para facilitar a negociação de títulos públicos federais negociados com os bancos. A definição da Selic passou a ser um dos principais instrumentos de controle da inflação, na década de 1990, com a estabilização da economia.
Além disso, ao alterar a taxa, o BC é capaz de aquecer (queda da taxa) ou desaquecer (alta) a economia e influenciar os principais indicadores de crescimento econômico do País.
Caso A:
Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo
em um fundo de investimento. A aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias. 
A respeito desta aplicação tem-se: 
I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%. 
Aplicação = 4280,87 
Rendimento = 2200,89 
Tempo = 1389 dias
8
6481,76 = 4280,87 * (1+ i) ^ 1389
(1,51)^1389 = 1+ i
1.0002987 – 1= i
0,0002987 = i
i = 0,02987%
II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%. 
6481,76 =
4280,87 (1+i) 30
(1,51)^30 = 1+i
1,01383 – 1 = i
i = 1,3831%
     
III – A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada
mensalmente, é de 11,3509%. 
Pv
= 4.280,87
Fv
= 6.481,76
N = 1389
dI = 0,02987%
Resposta:
Número 3: As afirmações I, II e III estão respectivamente
Certa, Errada e Errada.
Resolução na HP12C da resposta certa: 4280,47 CHS PV 0  PMT 1389  n 6481,76  FV   i 0,02987% 
Caso B:
Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse
mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário
de Ana foi de –43,0937%. 
Taxa real = 1 + ir / 1 + i inf - 1 x 100 = 
1 + 0,2578 / 1 + 1,2103
=  1,2578 / 2,2103 =
0,5690  - 1 x 100 = 43,093 %     
Reposta: 
Número 0: a afirmação esta Correta.
	
Amortização de Empréstimos
Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do principal. (HAZZAN, 2007).
Caso A:
Se Ana tivesse acertado com a irmã, que o sistema de amortização das parcelas sedaria pelo SAC, o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00 e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$5.000,00. Ana pegou emprestado o valor de 30.000,00 em 12 parcelas iguais com a taxa de juros de 2,8% ao mês.
CALCULO DOS JUROS |Jn | SDn - 1 X i | 
|J1 | 30.000,00 x 0,0280 = | R$ 840,00 
|J2 | 27.500,00 x 0,0280 = | R$ 770,00 
|J3 | 25.000,00 x 0,0280 = | R$ 700,00 
|J4 | 22.500,00 x 0,0280 = | R$ 630,00 
|J5 | 20.000,00 x 0,0280 = | R$ 560,00 
|J6 | 17.500,00 x 0,0280 = | R$ 490,00 
|J7 | 15.000,00 x 0,0280 = | R$ 420,00 
|J8 | 12.500,00 x 0,0280 = | R$ 350,00 
|J9 | 10.000,00 x 0,0280 = | R$ 280,00 
|J10 | 7.500,00 x 0,0280 = | R$ 210,00 
|J11 | 5.000,00 x 0,0280 = | R$ 140,00 
|J12 | 2.500,00 x 0,0280 = | R$ 70,00 
CALCULO DO VALOR DAS PARCELAS |PMTn | An + Jn | 
|PMT1 | 2.500,00 + 840,00 = | R$ 3.340,00 
|PMT2 | 2500,00 + 770,00 = | R$ 3.270,00 
|PMT3 | 2500,00 + 700,00 = | R$ 3.200,00 
|PMT4 | 2500,00 + 630,00 = | R$ 3.130,00 
|PMT5 | 2500,00 + 560,00 = | R$ 3.060,00 
|PMT6 | 2500,00 + 490,00 = | R$ 2.990,00 
|PMT7 | 2500,00 + 420,00 = | R$ 2.920,00 
|PMT8 | 2500,00 + 350,00 = | R$ 2.850,00 
|PMT9 | 2500,00 + 280,00 = | R$ 2.780,00 
|PMT10 | 2500,00 + 210,00 = | R$ 2.710,00 
| PMT11 | 2500,00 + 140,00 = | R$ 2.640,00 
|PMT12 | 2500,00 + 70,00 = | R$ 2.570,00 
| N | SD | An | Jn | PMT 
|0 | R$ 30.000,00 | R$ - | R$ - | R$ - 
|1 | R$ 27.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 840,00 | R$ 3.340,00 
|2 | R$ 25.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 770,00 | R$ 3.270,00 
|3 | R$ 22.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 700,00 | R$ 3.200,00 
|4 | R$ 20.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 630,00 | R$ 3.130,00 
|5 | R$ 17.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 560,00 | R$ 3.060,00 
|6 | R$ 15.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 490,00 | R$ 2.990,00 
|7 | R$ 12.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 420,00 | R$ 2.920,00 
|8 | R$ 10.000,00| R$ 2.500,00 | R$ 350,00 | R$ 2.850,00 
|9 | R$ 7.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 280,00 | R$ 2.780,00 
|10 | R$ 5.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 210,00 | R$ 2.710,00 
|11 | R$ 2.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 140,00 | R$ 2.640,00 
|12 | R$ - | R$ 2.500,00 | R$ 70,00 | R$ 2.570,00 
|TOTAL | | R$ 30.000,00 | R$ 5.460,00 | R$ 35.460,00 |
Caso B:
Ana tivesse acertado com a irmã, que o sistema de amortização das parcelas sedaria pelo sistema PRICE, o valor da amortização para o 7º período seria de R$2.780,00 e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$2.322,66 e o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$718,60.
Resolver os desafios apresentados no Caso A e Caso B, julgando as afirmações apresentadas como certa ou errada. 
Para o desafio do Caso A: Associa - se o número 3, pois a afirmação esta errada. 
Para o desafio do Caso B: Associa - se o número 4, pois a afirmação esta certa.
CONCLUSÃO
Portanto podemos concluir que a Matemática Financeira possui diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão bastantes presentes no cotidiano das pessoas, como os financiamentos de casa e carros, realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação prévia de taxas de juros. A realização desta ATPS nos ajudou a compreender melhor os conceitos dentro da matemática financeira e contribuiu na aprimoração dos nossos conhecimentos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
KUHNEN, OSMAR LEONARDO. Finanças Empresariais. 2. Ed. São Paulo: Atlas, 2008.
BRANCO, ANÍSIO COSTA CASTELO. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002.
 
TEIXEIRA, JAMES. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.
HAZZAN, SAMUEL. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
Matemática Financeira, Regime de Capitalização Composta. Disponível em:
http://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20composta/ Acesso em: 28 de Outubro de 2013;
Matemática Financeira, Regime de Capitalização Simples. Disponível em:
http://matematicafinanceira.webnode.com.br/capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20simples/ Acesso em: 28 de Outubro de 2013;
Matemática Financeira, Regime de Capitalização Simples. Disponível em: http://matematicafinanceira.webnode.com.br/sequ%C3%AAncia%20uniforme%20de%20capitais/ Acesso em: 01 de Novembro de 2013;
Que Conceito, Taxa de Juros. Disponível em: http://queconceito.com.br/taxa-de-juros#ixzz2lVRahbnH Acesso em: 05 de Novembro de 2013;
Matemática Financeira, Amortização de Empréstimos. Disponível em: http://matematicafinanceira.webnode.com.br/amortiza%C3%A7%C3%A3o%20de%20emprestimos/ Acesso em: 10 de Novembro de 2013.
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