MATEMÁTICA APLICADA

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Educação Profissional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Técnico em Automação e 
Controle de Processos 
 
Módulo I – Básico 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Educação Profissional 1
SUMÁRIO 
 
1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 03 
1.1 – CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS 04 
1.2 – FRAÇÕES 07 
1.3 – NÚMEROS DECIMAIS 11 
1.4 – RAZÃO 13 
1.5 – PROPORÇÃO 14 
1.6 – REGRA DE TRÊS 16 
1.7 – PORCENTAGEM 18 
 
2 – EQUAÇÕES 20 
2.1 – EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL 20 
2.2 – EQUAÇÕES DO 2º GRAU 25 
2.3 – EQUAÇÕES BIQUADRADAS 32 
2.4 – SISTEMAS DO 1º GRAU 33 
2.5 – SISTEMAS DO 2º GRAU 34 
 
3 – GEOMATRIA 36 
3.1 – PONTO, RETA E PLANO 36 
3.2 – SEGMENTO DE RETA 37 
3.3 – SEMI-RETA 37 
3.4 – TRIÂNGULOS 38 
3.5 – TEOREMA DE TALES 39 
3.6 – TIPOS DE RETAS 41 
3.7 – FIGURAS GEOMÉTRICAS 42 
3.8 – POLÍGONOS 42 
 
4 – MEDIDAS 44 
4.1 – MEDINDO COMPRIMENTO 44 
4.2 – MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO 44 
4.3 – TRANSFORMANDO UNIDADES 44 
 
5 – PERÍMETRO 45 
5.1 – MEDINDO SUPERFÍCIES 46 
5.2 – UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE 46 
5.3 – QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES 47 
5.4 – LENDO UNIDADES DE ÁREA 47 
5.5 – TRANSFORMANDO UNIDADES 47 
5.6 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 47 
5.7 – CALCULANDO ÁREAS 50 
 
6 – CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 51 
6.1 – REGIÃO INTERIOR E EXTERIOR DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 51 
6.2 – CORDA, DIÂMETRO E RAIO 51 
6.3 – ARCO DA CIRCUNFERÊNCIA 51 
6.4 – SEMICIRCUNFERÊNCIA 51 
6.5 – CÍRCULO 51 
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6.6 – POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 53 
6.7 – COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 53 
6.8 – CALCULANDO P 54 
6.9 – CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 54 
6.10 – CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO 55 
6.11 – VOLUME 55 
6.12 – MEDINDO VOLUME 55 
6.13 – MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO 55 
6.14 – LENDO UNIDADES DE VOLUME 56 
6.15 – TRANSFORMANDO UNIDADES 56 
6.16 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 56 
6.17 – CALCULANDO VOLUMES 59 
 
7 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 59 
7.1 – TEOREMA DE PITÁGORAS 61 
7.2 – TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 62 
 
BIBLIOGRAFIA 64 
 
 
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1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Números Naturais 
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } 
Números Inteiros 
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } 
Obs.: Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z. 
Números Racionais 
São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são números inteiros quaisquer, 
com b diferente de 0. 
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 } 
Assim, como exemplo, podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 , etc... 
Números decimais exatos são racionais, pois: 
0,1 = 1/10 
2,3 = 23/10 
Números decimais periódicos são racionais. 
0,1111... = 1/9 
0,3232 ...= 32/99 
2,3333 ...= 21/9 
0,2111 ...= 19/90 
Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1. 
Números Irracionais 
São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b sendo números inteiros e b 
diferente de 0. 






 0,, qZqZp
q
pxI 
Alguns números irracionais: 
7182818,2
7320508,13
4142135,12
1415926,3




e

 
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São compostos por dízimas infinitas não periódicas. 
Números Reais 
É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. 
 
1.1 - CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Você viu anteriormente, o Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N. Observou 
ainda que o conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z. 
O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto é infinito, ou seja, 
não tem fim. 
Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos: 
a) 9 - 12 = ? 
b) 8 - 100 = ? 
Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as 
respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros. 
Vamos conhecer este conjunto: 
O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}. 
Observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos. Vale 
lembrar, que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. 
No seu dia a dia, você já dever ter deparado com números inteiros. Quando se tem um crédito, 
tem um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são 
positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão 
acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você 
prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos. 
 
1.1.1 - Reta Numérica Inteira 
 
 
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão 
crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante. 
Compare alguns números inteiros. 
a) -5 > -10 
b) +8 > -1000 
c) -1 > -200.000 
-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 
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d) -200 < 0 
e) -234 < -1 
f) +2 > -1 
Lembrete: 
1º: Zero é maior que qualquer número negativo. 
2º: Um é o maior número negativo. 
3º: Zero é menor que qualquer número positivo. 
4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo. 
 
1.1.2 - Adição e Subtração de Números Inteiros 
Exemplos: 
a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) 
b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) 
c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tire os parentes e conserve os sinais dos números) 
d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = - 10 (tire os parentes e troque o sinal do número que estava depois 
da subtração) 
e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava 
depois da subtração) 
 
Lembrete: 
Para facilitar o entendimento, efetue estas operações pensando em débito (número negativo) e 
crédito (número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 
reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma dívida 
de 5 reais faço mais uma dívida de 8, eu fico devendo treze ou seja -13. 
 
1.1.3 - Multiplicação e Divisão de Números Inteiros 
Exemplos: 
a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) 
b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) 
c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -) 
d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -) 
e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +) 
f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -) 
g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +) 
h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +) 
 
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1.1.4 - Potenciação de Números Inteiros 
Exemplos: 
a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 
b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32 
c) (-8)0 = 1 
d) (18)1 = 18 
 
1.1.5 - Radiciação de Números Inteiros 
Exemplos: 
a) 25 = 5 (lembre-se que 5x5 = 25) 
b) 49 = 7 (lembre-se que 7x7 = 49) 
c) 9 = (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo) 
d) - 16 = - 4 (observe que neste caso o menos está da raiz, sendo assim existe raiz real) 
e) 3 8 = -2 (lembre-se (-2)x(-2) x(-2)= -8 – neste caso é raiz cúbica e não real) 
f) 3 8 = 2 (lembre-se (2)x(2) x(2)= 8) 
 
1.1.6 - Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros 
a) - [ - 3 +2 - ( 4 - 5 - 6)] 
= - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6] 
= 3 - 2 + 4 - 5 – 6 
= 7 – 13 
= - 6 
Primeiro elimine os parênteses, como antes 
dele tinha um sinal de menos todos os 
números saíram com sinais trocados, logo 
depois elimine os colchetes, como também 
tinha um sinal de menos todos os números 
saíram com os sinais trocados, some os 
positivo e o negativos 
 
b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} 
= { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} 
= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} 
= {- 5 - 8 + 15 - 3} 
= - 5 - 8 + 15 - 3 
= - 16 + 15 
= - 1 
Primeiro resolva dentro do parênteses, depois 
multiplique o resultado por 3, logo após 
elimine os colchetes, como antes deste tinha 
um sinal de mais, todo os números saíram sem 
trocar sinal, elimine também as chaves, 
observe que também não teve troca de sinais 
pelo mesmo motivo anterior, junte positivo e 
negativos. 
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1.2 - FRAÇÕES 
O símbolo 
b
a
, significa a : b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. 
Chamamos: 
b
a
 de fração - a de numerador e b de denominador. 
Se a é múltiplo de b, então a fração 
b
a
 representa um número natural. 
Veja o exemplo: 
A fração 
3
12
 é igual a 12 : 3. Neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. 
Efetuando a divisão de 12 por 3, obtem-se o quociente 4. Assim, 
3
12
 é um número natural e 12 é 
múltiplo de 3. 
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. 
Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. 
Então, surgiu o conceito de número fracionário. 
 
1.2.1 - O significado de uma fração 
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, 
considere uma ou algumas, conforme nosso interesse. 
Exemplo: 
Aline comeu 
7
4
de um bolo. Isso significa que o bolo foi dividido em 7 partes iguais, Aline teria 
comido 4 partes: 
xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx 
 
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Aline, e a parte branca é a 
parte que sobrou do bolo. 
 
1.2.2 - Como se lê uma fração 
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também 
quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... 
 
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½ Um meio 2/5 Dois quintos 
1/3 Um terço 4/7 Quatro sétimos 
¼ Um quarto 7/8 Sete oitavos 
1/5 Um quinto 12/9 Doze nonos 
1/6 Um sexto 1/10 Um décimo 
1/7 Um sétimo 1/100 Um centésimo 
1/8 Um oitavo 1/1000 Um milésimo 
1/9 Um nono 5/1000 Cinco milésimos 
 
1.2.3 - Como podem ser as frações 
Frações Próprias 
5
1
, 
8
5
, 
90
50
 
Frações Impróprias 
3
5
, 
10
7
,
4
10
, 
Frações Mistas 
1 5/3 , 5 2/3 , 1 1/2 
 
1.2.4 - Implificando Frações 
Quando multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número, 
esta não se altera. São encontradas as frações equivalentes a fração dada. 
Exemplos: 
3/4 = 6/8 - observe que numerador e denominador foram multiplicados por 2. 
12/18 = 4/6 - observe que numerador e denominador foram divididos por 3. 
 
1.2.5 - Reduzindo Frações ao Mesmo Denominador 
Exemplo: 
2/3, 5/4 e 7/2 - Basta determinar o m.m.c entre os denominadores, que neste caso é 12. 
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8/12, 15/12 e 42/12 - para obter, pega-se o m.m.c, dividi-se pelo denominador, pega-se o 
resultado e multiplica-se pelo numerador. 
 
1.2.6 - Adição e Subtração de Frações 
1.2.6.1 - Denominadores iguais 
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o 
denominador. 
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o 
denominador. 
Exemplos: 
4/5 + 3/5 = 7/5 8/15 - 7/15 = 1/15 
 
1.2.6.2 - Denominadores diferentes 
Para somar frações com denominadores diferentes, deve-se reduzir as frações ao menor 
denominador comum (achar o mmc) e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações equivalentes 
às frações dadas. Para obter as frações equivalentes, deve-se determinar o m.m.c entre os 
denominadores destas frações. 
Exemplo: 
5/4 + 1/6 = 15/12 + 2/12 = 17/12 
Obtendo o m.m.c dos denominadores tem-se m.m.c (4,6) = 12. 
 
1.2.7 - Multiplicação e Divisão de Frações 
1.2.7.1 - Multiplicação 
Na multiplicação de números fracionários, deve-se multiplicar numerador por numerador, e 
denominador por denominador. 
Exemplo: 
3/5 x 3/6 = 9/30 
1.2.7.2 - Divisão 
Na divisão de números fracionários, deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da 
segunda. 
Exemplo: 
2/5 : 3/7 = 2/5 x 7/3 = 14/15 
 
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1.2.8 - Potenciação e radiciação de números fracionários 
1.2.8.1 - Potenciação 
Na potenciação, quando se eleva um número fracionário a um determinado expoente, está 
elevando o numerador e o denominador a esse expoente: 
Exemplos: 
9
4
3
2
3
2
3
2 2





 x 
64
27
4
3
4
3
4
3
4
3 3





 xx 1
9
5 0





 
 
1.2.8.2 - Radiciação 
Na radiciação, quando aplica-se a raiz a um número fracionário, está aplicando essa raiz ao 
numerador e ao denominador: 
Exemplos: 
4
3
16
9
 
9
5
81
25
 
3
2
27
8
3  
 
1.2.9 - Fração Geratriz 
Conforme estudado, todo número racional (Conjunto Q), resulta da divisão de dois número 
inteiros, a divisão pode resultar em um número inteiro ou decimal. 
Convém lembrar que se tem decimais exato. 
 
Exemplos: 2,45; 0,256; 12,5689; 12,5689 
E também decimais não exato (dízima periódica) 
Exemplo: 2,555555.... ; 45,252525....; 0,123123123...; 456,12454545; 7,4689999.... 
Você deve saber, que em uma dízima periódica a parte decimal que repete, recebe o nome de 
período, a parte que não repete é chamada de ante-período, a parte não decimal é a parte inteira. 
 
1.2.10 - Encontrando a Fração Geratriz de uma Dízima Periódica 
1.2.10.1 - Dízima periódica simples 
Deve-se adicionar a parte decimal à parte inteira. Deve-se lembrar que a parte decimal será 
transformada em uma fração, cujo numerador é o período da dízima e o denominador é um número 
formado por tantos noves quantos sãos os algarismos do período. 
Exemplos: 
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0,2222.... = 0+
9
2
9
20
9
2


 0,252525.... = 0+ 0
99
250
99
25


 1,444.... = 1+
9
13
9
49
9
4


 
 
1.2.10.2 - Dízima periódica composta 
Deve-se adicionar à parte inteira uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período, 
seguindo de um período, menos o ante-período, e cujo denominador é formado de tantos noves 
quantos são os algarismos do período seguidos de tantos zeros quanto são os algarismos do ante-
período. 
Exemplos: 
Período = 47 ( implica em dois noves) ante-período = 1 ( implica em um 0) 
2,1474747.... = 
495
1063
495
73990
495
732
2990
21462
990
11472 




 
 
1.3 - NÚMEROS DECIMAIS 
1.3.1 - Fração Decimal 
São frações em que o denominador é uma potência de 10. 
Exemplos: 
3/10, 3/1000, 3/10000 
 
1.3.2 - Lendo número decimais 
0,25 = Vinte e cinco centésimos 
2,24 = Dois inteiros e vinte e quatro centésimos 
12,002 = Doze inteiros e dois milésimos 
0,0002 = Dois décimos de milésimos 
 
1.3.3 - Transformando uma fração decimal em número decimal:25/100 = 0,25 13/10 = 1,3 121/10 = 12,1 
325/100 = 3,25 45/1000 = 0,045 4225/10 = 422,5 
Observe: Denominador 10 um número depois da vírgula, denominador 100 dois números depois da 
vírgula, denominador 1000 três números depois da vírgula e assim por diante. 
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O contrário seria um número depois da vírgula denominador 10, dois números depois da vírgula 
denominador 100, três números depois da vírgula denominador 1000 e assim por diante. 
 
1.3.4 – Propriedade 
Um número decimal não se altera ao acrescentarmos zeros a direita do seu último número. 
Exemplos: 
0,4 = 0,400 = 0,4000 = 0,40000 
0,23 = 0,230 = 0,2300 = 0,23000 = 0,230000 
1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000, 1,20000 
 
1.3.5 - Operações com números Decimais 
1.3.5.1 – Adição 
Na adição de números decimais devemos somar os números de mesma ordem de unidades, décimo 
com décimo, centésimo com centésimo. Antes de iniciar a adição, deve-se colocar vírgula debaixo 
de vírgula. 
Exemplos: 
0,3 + 0,81 = 1,42 + 2,03= 7,4 + 1,23 + 3,122 
 7,400 
0,30 1,42 1,230 
 +0,81 +2,43 +3,1 1 2 
1,11 3,45 11,742 
 
1.3.5.2 – Subtração 
A subtração de números decimais é efetuada da mesma forma que a adição. 
Exemplos: 
4,4 - 1,21= 2,21 - 1,211= 9,1 - 4,32 
4,40 2,210 9,100 
 -1,21 -1,2 1 1 -4,323 
 3,19 0,999 4,777 
 
1.3.5.3 – Multiplicação 
Efetua-se a multiplicação normalmente. Em seguida, contam-se as casas decimais de cada número 
e o produto fica com o número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. 
 
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Exemplos: 
4,21 x 2,1= 0,23 x 1,42= 0,42 x 1,2= 
4,21 0,23 0,42 
 x 2,1 x 1,42 x 1,2 
 421 046 084 
 + 842= +096= + 042= 
 8,841 023== 0,504 
 0,3266 
 
1.3.5.4 - Divisão 
Na divisão de números decimais, o dividendo e o divisor devem ter o mesmo número de casas 
decimais. Deve-se igualá-las antes de começar a divisão. Igualadas as casas decimais, elimine a 
vírgula e afetue a divisão normalmente. 
Exemplos: 
11,7 2,34 11,70 2,34 
 Iguala-se o número de casas decimais. 
 
 1170 234 
-1170 5 
0000 
 
1.3.5.5 - Potenciação 
Efetue da mesma forma com os números naturais. 
Exemplos: 
(0,2)² = 0,2 x 0,2 = 0,04 (1,23)0 = 1 
(1,2) ²= 1,2 x 1,2 = 1,44 (23,5)1 = 23,5 
 
1.4 - RAZÃO 
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b¹ 0, ao quociente entre eles. Indica-
se a razão de a para b por a/b ou a : b. 
Exemplo: 
Na sala da 6ª B de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de 
rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão) 
Observe que, a vírgula foi eliminada e se efetuou a divisão. 
Resto igual a zero divisão exata 
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5
4
525
520



(Indica que para cada 4 rapazes existem 5 moças) 
Voltando ao exercício anterior, encontre a razão entre o número de moças e rapazes. 
4
5
520
525



(Indica que para cada 5 moças existem 4moças) 
 
1.4.1 - Lendo Razões 
5
2
, lê-se, 2 está para 5 ou 2 para 5 
9
8
, lê-se, 8 está para 9 ou 8 para 9 
Obs.:Os termos de uma razão são Antecedente e Consequente. 
 
1.5 - PROPORÇÃO 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Dados os números racionais a, b, c e d, diferentes 
de zero, eles formam, nessa ordem uma proporção quando a razão de a para b for igual a razão de 
c para d. 
 
d
c
b
a
 
 
Extremos 
a : b = c : d 
Meios 
Os extremos são 2 e 10, os meios são 5 e 4. 
 
1.5.1 - Propriedade Fundamental das Proporções 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
Exemplo: 
4
8
3
6
 , é uma proporção, produto dos meios é igual ao produto dos extremos, 6x4=3x8. 
 
1.5.2 - Trabalhando com Proporção 
Determine o valor de x nas seguintes proporções: 
a) 2
15
30301510*3*1510
3
15
 xxxx
x
 
 
Meios 
Extremos 
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1.5.3 - Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais 
Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. 
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, são alguns 
exemplos de grandezas. 
No nosso dia-a-dia são encontradas varias situações em que duas ou mais grandezas as 
relacionam. 
Em uma corrida quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as 
grandezas são a velocidade e o tempo. 
Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que 
esta fique pronta. Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo. 
 
1.5.4 - Grandezas Diretamente Proporcionais 
Em um determinado mês do ano, o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse 
dado pode-se formar a seguinte tabela. 
Quantidade de 
gasolina (em litros) 
Quantidade a pagar 
(em reais) 
1 0,50 
2 1,00 
3 1,50 
Observe: 
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. 
Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. 
Neste caso, as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são 
chamadas grandezas diretamente proporcionais. 
Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra 
também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica. 
 
1.5.5 - Grandezas inversamente proporcionais 
Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele 
escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um 
deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. 
 
Observe a tabela: 
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Número de alunos 
escolhidos. 
Números de livros 
para cada aluno 
2 12 
4 6 
6 4 
Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. 
Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz 
para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante. 
Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas 
grandezas variam um na razão inversa do outro. 
 
1.6 - REGRA DE TRÊS 
Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porém 
não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. 
Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano 
Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de 
Regra de Três Números Conhecidos. 
 
1.6.1 - Regra de três simples 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores 
dos quais conhecemos três deles. Deve-se, portanto, determinar um valor a partir dos três já 
conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 
 Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na 
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 Montar a proporção e resolver a equação. 
Exemplos: 
a) Se 8m de tecido custam156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido? 
Tecido (m) Preço 
8 156 
12 x 
 
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Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta 
na mesma proporção o preço a ser pago. 
234
8
187618728156*128156
12
8
 xxxx
x
 
Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. 
A quantia a ser paga é de R$234,00. 
b) Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro 
fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso? 
Velocidade (Km/h) Preço 
60 4 
80 x 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a velocidade o tempo 
diminui na razão inversa. 
3
8
242486*48
60
804
 xxxx
x
 
O tempo a ser gasto é 3 horas. 
Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas. 
 
1.6.2 - Regra de Três Composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais. 
Exemplo: 
a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m3? 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
Aumentando o número de horas de trabalho, pode-se diminuir o número de caminhões. Portanto, a 
relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
Aumentando o volume de areia, deve-se aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é 
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Deve-se igualar a razão que contém o 
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
 
20108
1000
80020
8
5
125
16020 xx
x
x
x
 
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25
8
2002008  xxx 
Será preciso de 25 caminhões. 
 
1.7 - PORCENTAGEM 
Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem. 
Exemplo: 
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. Se reparar em sua 
volta, percebe-se que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, 
televisão e anúncios de liquidação, etc. 
Exemplos: 
O crescimento no número de matrícula no ensino fundamental foi de 24%. 
A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. 
Desconto de 25% nas compras à vista. 
Apenas 20% da mão-de-obra é realmente especializada. 
Deve-se lembrar que a porcentagem, também pode ser representada na forma de números 
decimal, observe os exemplos: 
Exemplos: 
%12
100
12
 %5
100
5
 %78
100
78
 
Alguns cálculos que envolvem porcentagens. 
Exemplos: 
01 - Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto 
pagarei se comprar esta televisão à vista? 
(primeiro representamos na forma de fração decimal) 
10% de 100 
10% x 100 
300 - 30 = 270 
Logo, pagarei 270 reais. 
 
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02 - Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira 
Pedro usou. 
32% x 100 = 32 
Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira. 
 
03 - Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro 
de 25% sobre o preço de custo. 
25% x 2000 = 5000 
O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro. 
Então, 2000 + 500 = 2500 reais. 
Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais. 
 
04 - Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive 
de lucro? 
Lucro: 25 000 - 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo) 
(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo) 
Porcentagem Preço 
100% 20 000 20000 x = 500000 => x = 500000/20000 => x = 25% 
X 5 000 
 
05 - O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. 
Qual era o preço desta casa antes deste aumento? 
Porcentagem Preço 
120% 35 000 120 x = 3500000 => x = 35000/120 => x = 29.166,67 
100% x 
Logo, o preço anterior era 29 166,67 
 
 
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2 - EQUAÇÕES 
2.1 - EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL 
Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma 
ou mais letras que representam números desconhecidos. 
Exemplo: X + 3 = 12 - 4 
 
 É uma sentença matemática aberta; 
 É uma igualdade 
 Portanto, é uma equação 
Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, 
com a  0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da 
equação do 1º grau) 
Exemplos: 
x - 4 = 2 + 7, (variável x) 
2m + 6 = 12 - 3 ,(variável m) 
-2r + 3 = 31, (variável r) 
5t + 3 = 2t - 1 , (variável t) 
3(b - 2) = 3 + b,(variável b) 
 
4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau) 
3x - 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º 
grau) 
Obs: Deve-se observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 
2º membro à direita do sinal de igual. 
 
Conjunto Universo: Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. 
Represente pela letra U. 
Conjunto Solução: Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença 
verdadeira. Represente pela letra S. 
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Exemplo: 
Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática 
2x - 4 = 2, verdadeira. 
2(0) - 4 = 2 Errado 
2(2) - 4 = 2 Errado 
2(3) - 4 = 2 Verdadeiro 
2(6) - 4 = 2 Errado 
2(8) - 4 = 2 Errado 
2(9) - 4 = 2 Errado 
Deve-se observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3} 
 
2.1.1 - Raiz da equação 
Um dado número é chamado de raiz da equação, quando este torna a igualdade verdadeira. 
Verificando se um dado número é raiz da equação: 
Exemplos: 
01 - Verifique se o número 4 é raiz da equação 9a - 4 = 8 + 6a 
Equação 9a - 4 = 8 + 6a 
Substitua a por 4 9(4) - 4 = 8 + 6(4) 36 - 4 = 8 + 24 32 = 32 
Então, o número 4 é raiz da equação ou seja conjunto solução. 
02 - Verifique se o número - 3 é raiz da equação 2x - 3 = 3x + 2. 
Vamos substituir x por – 3 2(-3) - 3 = 3(-3) + 2 - 6 - 3 = - 9 + 2 - 9 = - 7 , sentença falsa - 9 
é diferente de -7 (- 9 - 7). 
Então - 3 não é raiz da equação ou seja não é conjunto solução da equação. 
Observe que em todas as equações apresentadas a raiz ou o conjunto solução é o mesmo. Por esse 
motivo, são chamadas equações equivalentes. 
 
2.1.2 - Resolvendo Equações do 1º grau 
Resolver uma equação do 1º grau em um determinado conjunto universo significa determinar a 
raiz ou conjunto solução dessa equação, caso exista solução. 
Exemplo: 
5a + 11 = - 4 
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5a = - 11 - 4 
a = - 15/5 
a = - 3 
S = {-3} 
OBS: Se você prestou atenção na resolução, deve ter observado que o número que estava em um 
membro com determinado sinal aparece no outro membro com sinal diferente, e quem estava 
multiplicando aparece no outro membro dividindo. No processo prático é feito assim. 
 
2.1.3 - Resolvendo equações pelo método prático 
Exemplos:1) Resolva as seguintes equações do 1º grau com uma variável sendo U=Q 
a) Y + 5 = 8 
Y = 8 – 5 
y = 3 
S = {3} 
 
b) 13x – 16 = - 3x 
13x + 3x = 16 
16x = 16 
x = 1 
S = {1} 
 
c) 3(x-2) – (1-x) = 13 
3x – 6 – 1 + x = 13 
3x + x = 13 + 6 + 1 
4x = 20 
x = 5 
S = {5} 
 
 
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d) t/4 – 7/10 = 2t/5 – 1 ( tire o mmc) 
5t – 14/20 = 8t – 20/20 
5t – 14/20 = 8t – 20/20 ( cancele os denominadores) 
5t – 14 = 8t – 20 
5t – 8t = -20 + 14 
-3t = -6 (x1) 
3t = 6 
t = 6/3 
t = 2 
S = {2} 
 
e) 5x – 7 = 5x – 5 
5x – 5x = -5 + 7 
0x = 2 
x = 2/0 
x = 0  Não existe divisão por zero, então fala-se que, a equação é impossível em Q, 
então S = { } (vazio). 
 
f) 5x – 4 = -4 + 5x 
5x – 5x = -4 + 4 
0x = 0  Fala-se que esta equação é indeterminada ( infinitas soluções) 
 
2.1.4 - Resolvendo Problemas do 1º grau 
Antes de iniciar a resolução de um problema usando as equações, deve-se determinar a equação 
que o resolve. 
1º. Identifique uma incógnita do problema que será representada por uma letra (x, y, m...); 
2º. Escreva a equação do problema; 
3º. Resolva a equação; 
4º. Verifique se o resultado encontrado atende ao problema; 
 
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Exemplos: 
a) Um número: x ( a letra x é a incógnita ou o termo desconhecido); 
b) O triplo de um número: 3x 
c) O dobro de um número acrescido de 4: 2x+4 
d) Um número somado com seu dobro é igual a 10: x+2x=10 
e) A metade de um número: x/2 
f) Um número somando a sua terça parte: x+x/3 
 
Exemplos: 
a) Um número somado com o seu dobro é igual a quinze. Determine este número. 
x+2x=15 
3x=15 
x=5 
O número procurado é 5. 
 
b) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas galinhas e 
quantos coelhos há nesse terreiro? 
Coelho = x 
Galinhas= 13 – x ( total de animais menos o número de coelhos) 
Logo, 4x + 2(13-x)=46 ( número de pés de coelho vezes o número de coelhos + número de pés de 
galinhas vezes o número de galinha é igual ao total de pés). 
4x + 2(13 - x)=46 
4x + 26 – 2x = 46 
4x – 2x = 46 – 26 
2x = 20 
x = 10 
Número de coelhos = 10 
Número de galinhas = 13 – 10 = 3 
 
 
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2.2 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
De forma geral, chama-se equação do 2º grau com um variável toda equação que pode ser escrita 
na forma, ax² + bx + c = 0, em que x é a variável e a, b, c são os coeficientes da equação do 2º 
grau. 
 A representa o coefiente de x²; 
 B representa o coeficinete de x; 
 C representa o termo independente. 
Exemplos de equações do 2º grau: 
5x² - 3x + 3 = 0  onde: a =5; b = -3 e c = 2 
x² + 6x + 9 = 0  onde: a = 1; b = 6 e c = 9 
-3x² + 7x + 1 = 0  onde: a = -3; b = 7 e c = 1 
-x² + 5x – 6 = 0  onde: a = -1; b = 5 e c = -6 
3x² - 5 = 0  onde: a = 3; b = 0 e c = -5 
x² + 4x = 0  onde: a = 1; b = 4 e c = 0 
 
2.2.1 - Equações do 2º grau completas e incompletas 
Completas: ax² + bx + c = 0 
Quando possui os coeficientes a, b e c. 
Exemplos: 
x² - 4x – 12 = 0  onde: a = 1; b = -4 e c = -12 
-x² + 11x – 18 = 0, onde: a = -1, b = 11 e c = -18 
Incompletas: ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0 ou ax² = 0 
Quando b ou c é igual a zero, ou ambos iguais a zero. 
Exemplos: 
3x – 4a = 0, onde: a = 3, b = - 4 e c = 0 
2x2 + 5 = 0, onde: a = 2, b = 0 e c = 5 
3x2 = 0, onde: a = 3, b = 0 e c = 0 
 
2.2.2 - Raízes de uma equação do 2º grau 
Fala-se que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática verdadeira. 
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Exemplos: 
1. Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0. 
x2 – 11x + 18 = 0 
(9)2 – 11(9) + 18 = 0 (substitua a variável x por 9) 
81 – 99 + 18 = 0 
0 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais) 
2. Verifique se 3 é raiz da equação 2x2 + 5x – 3 = 0. 
2x2 + 5x – 3 = 0 
2(3)2 + 5(3) – 3 = 0 (substitua a variável x por 3) 
2(9) + 15 – 3 = 0 
18 + 15 – 3 = 0 
30  0 (não, 3 não é raiz da equação, observe que os dois membros são deferentes) 
 
2.2.3 - Resolvendo Equações do 2º Grau 
2.2.3.1 - Equações Incompletas 
ax2 – bx = 0, (c = 0) 
a) x2 – 4x = 0 
x(x – 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) 
x = 0 
x – 4 = 0 
x = 4 
S = {0;4} 
b) -2x2 – 8x = 0 
x(-2x – 8) = 0 (observe: x foi colocado em evidência) 
x = 0 
-2x = 8 (-1) 
2x = - 8 
x = - 4 
S = {0;-4} 
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Conclusão: Neste tipo de equação sempre umas das raízes vai ser igual a zero. 
ax2 + c = 0, (b = 0) 
a) x2 – 16 = 0 
x²=16 (dois números que elevado ao quadrado dê dezesseis, -4 e +4). 
16x 
x=4 
S = {- 4; 4} 
 
b) -2x2 + 8 = 0 
-2x2 = - 8(-1) 
2x2 = 8 
x2 = 8/2 
X2 = 4 
4x 
x = ± 2 
S = {- 2; + 2} 
Conclusão: Neste tipo de equação sempre as raízes vão ser opostas. 
 
ax2 = 0, (b = 0, c = 0) 
5x2 = 0 
X2 = 0/5 
X2 = 0 
x = 0 (zero é nulo) 
S = { 0 } 
Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz vai ser igual a zero. 
 
2.2.3.2 - Equações Completas 
ax2 + bx + c = 0 -> Use a fórmula de Báskara. 
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a
bx
2

 
 lê-se Delta 
acb 42  
, é o discriminante da equação 
Observe, que a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau. 
 
Resolução 
Exemplos: 
 x2 – 8x + 12 = 0 -> a = 1, b = - 8 e c = 12 
acb 42  ( primeiro vamos calcular o valor de delta) 
)12)(1(4)8( 2  (substitua a por 1, b por -8 e c por 12) 
 = 64-48 
 = 16 (delta positivo) 
a
bx
2

 (fórmula de Baskara) 
a
bx
2

 (substitua b por –8, delta por 16 e a por 1. 
2
48


x 
 
6
2
12
2
48' 




x 
 
2
2
4
2
48'' 




x 
 
 2;6 S 
 
x2 – 12x + 36 = 0 -> a = 1, b = - 12 e c = 36 
acb 42  
 
    361412 2  
 
144144  
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0 (Delta igual a 0) 
 
a
bx
2

 
 
 
 12
012 
x 
 
2
012 
x 
 
6
2
12
2
012' x 
 
6
2
12
2
012'' x 
 
6S 
 
 
2x2 – 4x + 3 = 0 -> a = 2, b = - 4 e c = 3 
acb 42  
 
    3244 2  
 
2416  
 
8 (delta negativo) 
S = { }, não existe raiz de número real negativo 
 
Importante: 
 > 0 (Positivo) -> A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x’  x”) 
 < 0 (Negativo) -> A equação não possui raízes reais. 
 = 0 -> A equação possui duas raízes reais e iguais. (x’ = x”) 
Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta) 
Exemplo: 
Determine o valor de m na equação 2x2 + 3x + m, para que as raízes sejam reais e iguais. 
 = 0 -> (Raízes reais e iguais) -> a = 2, b = 3 e c = m 
acb 42  
 
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Educação Profissional 30
042  acb 
 
     0243 2  m 
 
089  m 
 
 198  m 
 
98 m 
 
8
9
m 
 (Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 9/8) 
 
Determine o valor de m na equação 2x2 - 4x + 5r, para que as raízes sejam reais e diferentes. 
 > 0 -> a = 2, b = - 4 e c = 5r 
acb 42 acb 42  >0 
 
    r5244 2  >0 
 
04016  r 
 
)1(1640  r 
 
1640 r 
 
 
8:40
8:16
r 
 
5
2
r 
 (Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < 2/5) 
Determine o valor de k na equação -3x2 + 5x – 2k, para que não exista raízes reais. 
 < 0 -> a = - 3, b = 5 e c = -2k 
acb 42  
 
042  acb 
 
     02345 2  k 
 
02425  k 
 
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Educação Profissional 31
 12524  k 
 
2524 k 
 
24
25
k 
 
Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º Grau 
É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resolver a 
equação. Graças as relações de Girard. 
Soma das raízes 
a
bxx  "' ou 
a
bS  
Produto das raízes 
a
cxx "'. ou 
a
cP  
 
Exemplos: 
Calcule a soma e o produto das raízes equações do 2º grau. 
x2 + 7x + 12 = 0 -> a = 1, b = 7 e c = 12 
  7
1
7




 SS
a
bS 
 
12
1
12
 PP
a
cP 
 
Determine o valor de pm na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a soma das raízes seja 3/4. 
a
bS  
 
    









4
2
4
3
4
2
4
3
4
2
4
3
4
3 mmm
a
bS 
 
    812412843.424  mmm 
 
5
4
20204  mmm 
 
 
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Educação Profissional 32
2.3 - EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
Você já estudou ao longo de sua vida escolar as equações de 1º grau, as equações de 2º grau, 
agora chegou a hora de aprender as equações biquadradas (Bi = duas vezes) 
É definido como equações biquadradas as equações escritas na seguinte forma: 
ax4 + bx2 + c = 0 
a, b e c são chamados coeficiente numéricos. 
a pertence a R* Ou seja a é um número diferente de zero. 
b pertence a R e c pertence a R, Ou seja "b" e "c" podem ser 
qualquer número real. 
 
Exemplos: 
x4 - 2x2 + 6 = 0 9x4 - 42x2 = 0 
3x4 - x2 + 8 = 0 -x4 + 6 = 0 
-7x4 - 5x2 + 8 = 0 -2x4 - x2 + 8 = 0 
 
Obs: Note que nos exemplos temos equações biquadradas completas (quando possui todos os 
coeficientes numéricos) e incompletas (quando falta um dos coeficientes numéricos b ou c, 
lembrando que o coeficiente “a” existirá sempre). 
 
2.3.1 - Resolvendo equações biquadradas 
Resolva a equação x4 - 10x2 + 9 = 0, observando que se trata de uma equação biquadrada x4 = 
(x2)2 , que está elevado ao quadrado duas vezes (biquadrada). 
Escreva a equação x4 - 10x2 + 9 = 0, da seguinte forma (x2)2 -10x2 + 9 = 0 observe que temos 
x2 duas vezes, vamos substituí-lo por y ou qualquer letra, sendo assim a nova equação será y2 -10y 
+ 9 = 0. 
 
09102  yy 
 
,1a eb 10 9c 
 
acb 42  
 
     643610091410 2  
 
a
by
2

 
 
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Educação Profissional 33
 
  2
810
12
6410 


 yy 
 
9
2
18
2
8101 y 
 
2
2
2
2
8101 y 
 
Lembre-se que x²=y logo: 
 
3992  xxx 
 
1112  xxx 
 
 3;1;1;3 S 
 
2.4 - SISTEMAS DO 1º GRAU 
 
Afirma-se que duas equações do 1º grau, formam um sistema quando possuem uma solução comum 
(mesma solução). 
Nesse caso as duas equações tem o mesmo conjunto universo. 
 
2.4.1 - Resolvendo sistemas do 1º grau 
1º) Método da adição: 
Esse método consiste em adicionar as duas equações membro a membro, observando que nesta 
operação devere eliminar uma variável. 
Exemplo 1: 
 
 
1º some as duas equações membro a membro: 
Logo: 
2x = 14 
x = 14/2 
x = 7 
 
Volte na 1ª ou 2ª equação: 
1402
)ª2(5
)ª1(9






yx
yx
yx
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Educação Profissional 34
1ª equação: 
x + y = 9 
2 + y = 9 
y = 9 – 2 
y = 7 
S = {(2;7)} 
 
Obs: no conjunto solução de um sistema, deve colocar o par de números dentro de um parêntese 
por ser um par ordenado, primeiro x depois y. 
Exemplo 2: 





1137
534
yx
yx
 
Observe que na forma em que se encontram as equações. Se adicionarmos não eliminaremos 
nenhuma das variáveis. Multiplique a 1ª ou 2ª equação por (-1), para que os coeficientes de y 
fiquem opostos –3 e +3. 
603
1137
534
1137
)1(534












yx
yx
yx
yx
yx
 
Voltando na 1ª equação substitua x por 2. 
3x = 6 
x = 6/3 
x = 2 
s = {(2;1)} 
 
2.5 - SISTEMAS DO 2º GRAU 
Veja os seguintes sistemas de equações, com variáveis x e y. 





6
5
xy
yx
 e 





2
422
yx
yx
 
 
Note que, em cada sistema temos uma equação do 2º grau e uma equação do 1º grau. Estes são 
chamados sistemas do 2º grau. 
2.5.1 - Resolvendo sistemas do 2º grau 
Resolva pelo método da substituição. 
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Educação Profissional 35





)ª2(6
)ª1(5
xy
yx
 
 
Isolando a variável x na 1ª equação. 
 
x + y = 5 
x = 5 – y 
Substitua o valor de x na 2ª equação. 
xy = 6 
Y (5 - y) = 6 
5y - y2 = 6 
- y2 + 5y - 6 = 0 
Resolvendo a equação do 2º grau. 
0652  yy 
 
    6145 2  logo 2425  logo 1 
 
2
15


y logo 
2
6'


y logo y’=3 
 
2
4"


y logo y”=2 
 
Voltando na 1ª equação. 
x = 5 – y 
x" = 5 - 3 
x" = 2 
x' = 5 - 2 
x' = 3 
S = {(3;2),(2;3) 
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3 - GEOMETRIA 
O nome Geometria, em grego, significa medida da terra (geo = terra e metria = medida). No 
antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usava-na para medir 
terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides 
construídas próximas ao rio Nilo, é um ótimo exemplo disso. 
Os Egípicios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em 
busca de novas aplicações na geometria. 
Por volta de 600 a.C. os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos 
geométrico que foram adquirindo, fazendo com que o Geometria deixasse de ser puramente 
experimental. 
Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito, principalmente, pelo matemático 
grego Euclides, por volta de 300 a.C., e reuniu uma obra de 13 volumes, chamada os Elementos. 
Toda a geometria que estuda-se hoje é praticamente a mesma daquela época. 
 
3.1 - PONTO, RETA E PLANO 
Ponto, reta e plano não são definidos, apenas se tem a idéia intuitiva de ponto (olhando uma 
estrela no céu, localizando uma cidade no mapa, etc.), de reta (observando as linhas do campo de 
futebol, de uma quadra de futsal, os fios da rede elétrica bem esticado, etc.), de plano 
(observando o piso de sua casa, o campo de futebol, a superfície de uma psicina, etc.). 
Observando bem a nossa volta, vamos nos deparar com estes a todo momento. 
Ponto O ponto não possui dimensões, é representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino. 
 
Ponto A 
 
Ponto B 
 
Ponto H 
 
Reta A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim, sendo representada por 
uma letra minúscula do alfabeto latino, quando desenha-se uma reta no caderno ou quadro, esta 
representado parte da reta. 
Exemplos: 
 
 Os pontos F, H, A e D pertencem a reta r 
Plano O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites 
em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representar o plano no papel ou no 
quadro.Por isso, representa-se parte deste. O plano é representado por uma letra do alfabeto 
grego. Como alfa (a), beta (b) e gama (g). 
 
 
r 
 F H A D 
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Exemplos: 
 Plano alfa 
Observe: 
 
Deve-se lembrar que, usa-se pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto, está 
contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que, ponto e 
elemento, reta e plano são conjuntos. 
 
3.2 - SEGMENTO DE RETA 
Dados dois pontos distintos (diferentes), a reunião do conjunto desses dois pontos com o 
conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta. 
Exemplo: 
 
 
TR é um segmento de reta sendo T e R suas extremidades. 
Representamos assim: TR 
 
3.3 - SEMI-RETA 
Em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto O que pertence a 
uma reta r. Afirmar que esse ponto O separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses 
conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto O é chamado origem das semi-retas. 
Exemplo: 
 
 
T R 
m 
A O B 
A reta r e o ponto P pertencem ao plano alfa, por 
estar dentro dele. 
A reta m e o ponto E não pertencem ao plano alfa, 
por estar fora dele. 
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OA Semi-reta de origem O passando pelo ponto A. 
OB Semi-reta de origem O passando pelo ponto B. 
 
3.4 – TRIÂNGULOS 
Chama-se de triângulos todo polígono que possui três lados. 
Exemplo: 
 
 
3.4.1 - Classificando os triângulos quanto aos lados 
Triângulo isósceles: Possui dois lados congruentes (iguais) e o terceiro lado diferente. 
 
 
AB igual a AC 
 
 
Triângulo eqüilátero: Possui os três lados congruentes (iguais). 
 
 Os lados BCAB, e AC são iguais. 
 
 
Triângulo escaleno: Possui o três lado com medidas diferentes. 
 
 Os lados BCAB, e AC são diferentes. 
 
 
CDBCAB ,, são os lados do triângulo. 
a, b, e c são os ângulos internos do triângulo. 
A, B e C são os vértices do triângulo. 
 
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3.4.2 - Classificando os triângulos quanto aos ângulos 
Triângulo retângulo: Possui um ângulo reto (ângulo de 90º) 
 
 Observe que o ângulo A mede 90°. 
 
 
Triângulo acutângulo: Possui três ângulos agudos (ângulos menores que 90°) 
 
Observe que as medidas dos ângulos A, B e C são menores que 90°. 
 
 
Triângulo obtusângulo: Possui um ângulo obtuso (ângulos maiores que 90º) 
 
 
Observe que o ângulo A é maior que 90°. 
 
 
 
3.5 - TEOREMA DE TALES 
Feixe de retas paralelas: 
Quando se têm mais de duas retas paralelas em um mesmo plano, denomina-se feixe de retas 
paralelas. 
 
 
 
 
 
h // m // r 
Feixe de retas paralelas 
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Um feixe de retas paralelas determinam sobre duas transversais segmentos proporcionais. 
Observe: 
Pelo Teorema temos: 
LO
PL
DV
AD
 
Lemos: AD está para DV assim como PL está para LO . 
 
Pode-se falar também que: 
EF
EH
AB
AC
PH
EH
BC
AC
FH
BC
EF
AB
 ;; 
 
Exemplos: 
Determine os valores desconhecidos dos segmentos abaixo. 
FH
EF
BC
AB
 logo 
4
10
6

x
 logo 604 x logo 
4
60
x logo 15x 
FH
EF
BC
AB
 logo 
24
5


x
x
 logo )2(54  xx logo 1054  xx logo x4 - 5x = -10 
Logo )1(10  x logo 10x 
 
 
 
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3.6 - TIPOS DE RETAS 
Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando estão em um mesmo plano e não tem ponto em 
comum. 
Exemplo: 
As retas r e m são paralelas r // m (// paralelas ) 
As retas s e b não são paralelas. 
Observe que elas vão se encontrar. 
 
Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes quando possui um único ponto em comum. 
Exemplo: 
 
As retas f e p encontram em um único ponto (A). 
 
 
Retas perpendiculares: Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e 
formam ângulos de 90º. 
Exemplo: 
A reta m é perpendicular a reta p. 
m  p 
 (perpendicular) 
 
Retas oblíquas: Duas retas são oblíquas, quando são concorrentes e não são perpendiculares. 
Exemplo: 
 
As retas r e f são oblíquoas. 
 
 
 
 
 
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3.7 - FIGURAS GEOMÉTRICA 
Figura geométrica plana: Uma figura é geométrica plana se todos os seus pontos pertencem a um 
mesmo plano. 
Exemplos: 
 
Observe que todos os pontos desta figura pertencem a 
um só plano. 
 
Figura geométrica não plana: Se nem todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano. A 
maioria dos objetos que nos cercam não são planas. 
 
A figura ao lado não pertence a um só plano. 
 
 
3.8 - POLÍGONOS 
Poli (Vários ), gono (ângulos) , figura geométrica plana de vários ângulos. 
Polígono é a reunião de uma linha poligonal simples formada apenas por segmentos de reta com a 
sua região interna. 
Exemplos: 
 Quadrilátero (4 lados) Triângulo (3 lados) Hexógono (6 lados) 
3.8.1 - Tipos de polígonos 
Convexos: 
Exemplos: 
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Não convexos: 
Exemplos: 
 
3.8.2 - Partes de um Polígono 
 
DACDBCAB ,,, são lados. 
 
 
 
3.8.3 - Classificação dos Polígonos 
Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, deve-se observar que em 
qualquer polígono o número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de vértice. 
 
NÚMERO 
DE LADOS 
NOME 
3 Lados Triângulo 
4 Lados Quadrilátero 
5 Lados Pentágono 
6 Lados Hexágono 
7 Lados Heptágono 
8 Lados Octógono 
9 Lados Eneágono 
10 Lados Decágono 
11 Lados Undecágono 
12 Lados Dodecágono 
15 Lados Pentadecágono 
20 Lados Icoságono 
 
 
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4 - MEDIDAS 
4.1 - MEDINDO COMPRIMENTO 
Deve-se saber que a unidade fundamental para medir comprimento é o metro, que é representada 
pela letra m. 
A palavra metro vem do grego, metron, que significa o que se mede. 
Esta medida foi adotada como padrão. 
 
4.2 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO 
Múltiplos Unidade 
principal 
Submúltiplos 
quilometro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
Observe que cada unidade de comprimento é dez vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior. 
Atenção: Deve-se observar que existem outras unidades de medidas, bastante usadas. 
Polegada, que equivale a 25,4 mm. 
Jarda, que equivale a 91,44 cm. 
Milha, que equivale a 1069 m. 
Légua, que equivale a 5555 m. 
Pé, que equivale a 30,44 cm. 
Lendo Medidas de Comprimento deve-se observar que a leitura das medidas de comprimento é 
feita de forma semelhante a leitura dos números decimais. 
Exemplos: 
2,23 m = dois metros e vinte e três centímetros ou três vírgula vinte e três metros. 
12,45 dm = doze decímetro e quarenta e cinco centímetro ou doze vírgula quarenta e cinco 
decímetro. 
0,23 km = zero quilômetro e vinte e três decâmetro ou zero vírgula vinte e três quilômetro. 
13,47 m = treze metros e quarenta e sete centímetro ou treze vírgula quarenta e sete metros. 
 
4.3 - TRANSFORMANDO UNIDADES 
Ao trabalhar, com o método de andarcom a vírgula, o número de casas necessárias para chegar 
na unidade desejada. 
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Exemplos: 
2,3 m para cm = 230,0 ou 230 cm (para chegar até o centímetro desloca-se a vírgula duas casas 
para a direita) · 
12,47 m para dm = 124,7 dm (para chegar até o decímetro desloca-se a vírgula uma casa para 
direita) 
3 m para mm = 3000,0 ou 3000 mm (para chegar até o milímetro desloca-se a vírgula três casas 
para a direita) 
4,23 km para m = 4230,0 ou 4230 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três casas 
para a direita) 
300 cm para m = 3,00 ou 3 m (para chegar até o metro desloca-se a virgula duas casas para a 
esquerda) 
123,4 mm para m = 0,1234 m (para chegar até o metro desloca-se a vírgula três casas para a 
esquerda) 
14 m para km = 0,014 km (para chegar até o quilômetro desloca-se a vírgula três casas para a 
esquerda, como faltou número completa-se com zero) . 
 
5 - PERÍMETRO 
Perímetro é contorno de um polígono, ou seja é a soma das medidas dos lados de um polígono 
medida na mesma unidade. 
Exemplos: 
Calcule o perímetro das seguintes figuras. 
a) 
 
b) 
 
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c) 
 
Paulo deseja cercar seu terreno de forma retangular com 5 voltas de arame farpado. Calcule a 
quantidade de arame a ser gasto, sabendo que o terreno possui 26 m de comprimento por 20 m de 
largura. 
 
5.1 - MEDINDO SUPERFÍCIES 
Assim como se mede comprimento, também se mede superfícies planas. Quando se fala em medir 
uma superfície plana, tem-se que compará-la com outra tomada como unidade padrão e verifica-se 
quantas vezes essa unidade de medida cabe na superfície que se quer medir. 
 
5.2 - UNIDADE DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE 
Deve-se saber que a unidade fundamental usada para medir superfície é o metro quadrado(m²), 
que corresponde a área de um quadrado que possui os lados medindo 1 m cada um. 
 
 
Este quadrado possui 1m de cada lado logo possui um metro 
quadrado. 
 
 
 
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5.3 - QUADRO DE UNIDADES USADAS PARA MEDIR SUPERFÍCIES 
Múltiplos Unidade 
fundamental 
Submúltiplos 
km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
1.000.000m² 10.000m² 100m² 1m² 0,01m² 0,0001m² 0,000001m² 
Observe que cada unidade é 100 vezes maior que a unidade imediatamente anterior. 
 
5.4 - LENDO UNIDADES DE ÁREA 
4,35 cm2 = Quatro centímetros quadrados e trinta e cinco milímetros quadrados ou quatro vírgula 
trinta e cinco centímetros quadrados. 
12,12 m2 = Doze metros quadrados e doze decímetros quadrados ou doze vírgula doze metros 
quadrados. 
 
5.5 - TRANSFORMANDO UNIDADES 
2,234 m2 para dm2 = 223,4 dm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 
4,4567 dm2 para cm2 = 445,67 cm2 (Observe que a vírgula deslocou para direita 2 casas) 
4567,5 dm2 para dam2 = 0,45675 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 casas) 
45 cm2 para m2 = 0,0045 m2 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 4 casas como não 
tínhamos mais números completamos com zeros) 
 
5.6 – ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS 
5.6.1 – Área do quadrado 
 
 
 
5.6.2 – Área do retângulo 
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5.6.3 – Área do triângulo 
 
5.6.4 – Área do paralelogramo 
 
5.6.5 – Área do trapézio 
 
 
 
 
 
5.6.6 – Área do losango 
 
 
 
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5.6.7 – Área do círculo 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Transforme: 
a) 1,02 hm² em dam² 
b) 0,05 m² em cm² 
c) 1,36 mm² em cm² 
d) 4,1 dm² em dam² 
Solução: 
No sistema métrico decimal, as medidas de superfícies apresentam a seguinte escala: 
km² hm² dam² m² dm² cm² mm² 
a) 1,02 hm² = 102 dam² 
b) 0,05 m² = 500 cm² 
c) 1,36 mm² = 0,0136 cm² 
d) 4,1 dm² = 0,00041 dam² 
2) Calcular a área de um quadrado, sabendo-se que seu perímetro é 8 cm. 
Solução: 
4P 
cm2
4
848   
2A 
22A 
24cmA  
3) Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo-se que a medida da base é o dobro da altura e a 
sua área é de 16cm². 
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Solução: 
A b . h 
cmhhhhhh 228
2
16216.216 222  
cmbbhb 2422.22  
 
R: As dimensões do retângulo são: base cm24 e a altura cm22 . 
 
4) Calcular a área de um círculo, que tem 6 cm de diâmetro. 
Solução: 
 
2
2
2
9
3.
3
2
626
2
cmA
A
rA
cmrrr
rd








 
 
5.7 - CALCULANDO ÁREAS 
Exemplos: 
01) Calcule a área de um terreno quadrado de 25 m de lado. 
A = l2 => A = 252 => A = 625 m2 
02) Calcule a área de um campo de futebol cujas dimensões são, 150m de comprimento por 75m 
de largura. (o campo tem a forma retangular, com esta na horizontal eu falo comprimento vezes 
largura). 
A = b x h => A = 150 x 75 => A = 11.250 m2 
RESOLVA OS EXERCÍCOS ABAIXO. 
01. Determine a área de um paralelogramo em que a altura mede 10 cm e sua base mede 6 cm. (R = 
60) 
02. Sabendo-se que a altura de um triângulo mede 8 cm e sua base mede 13 cm. Determine sua 
área. (R = 52) 
03. Um losango possui a diagonal maior medindo 8 cm e a menor medindo 6 cm. Calcule a área 
deste losango. (R = 24) 
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04. A base maior de um trapézio mede 40 cm e sua base menor mede 25 cm. Calcule sua área 
sabendo que a altura mede 20 cm. (R = 650) 
Observação: Existem medidas específicas para medir grandes extensões, como sítios, chácaras 
e fazendas. 
São elas o hectare e o are. 
1 hectare(ha) = 10.000(m²) 1 are(a) = 100(m²) 
Exemplos: 
Uma fazenda possui 120 000 m² de área, qual a sua medida em hectare? 
120.0000 : 10.000 = 120 ha. 
Uma fazenda possui 23,4 ha de área, qual a sua área em m²? 
23,4 x 10.000 = 234.000 m² 
 
6 - CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
Circunferência é um conjunto de pontos de um mesmo plano que estão a uma mesma distância de 
um ponto pertencente a este mesmo plano. 
Este ponto é o centro da circunferência, a distância do centro à circunferência chamamos de raio 
(r). 
Exemplo: 
O é o centro da circunferência e OP é o raio da circunferência. 
6.1 - REGIÃO INTERIOR E EXTERIOR DE UMA CIRCUNFERÊNCIA 
Exemplo: 
 
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6.2 - CORDA, DIÂMETRO E RAIO 
Corda: é um segmento de reta que toca a circunferência em dois pontos distintos. 
Diâmetro: é a corda que passa pelo centro e divide a circunferência em duas partes iguais. 
Raio: é o segmento de reta que tem uma extremidade no centro da circunferência e o outro na 
própria circunferência. 
Exemplo: 
 
OP raio da circunferência 
TE corda da circunferência 
SF diâmetro da circunferência 
 
6.3 - ARCO DA CIRCUNFERÊNCIA 
Exemplos: 
 
6.4 - SEMICIRCUNFERÊNCIA 
Nota-se que o diâmetro divide a circunferência em duas partes, cada uma destas partes é 
chamada de semicircunferência. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
6.5 - CÍRCULO 
É a reunião da circunferência com sua região interna. Centro, raio, corda, diâmetro e arco de um 
círculo são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco da circunferência. 
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Exemplo: 
 
6.6 - POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 
Reta secante: é a reta que toca a circunferência em dois pontos distintos. 
Exemplo: 
 
Reta tangente: é a retaque toca a circunferência em apenas um ponto. 
Exemplo: 
 
Reta externa: é a reta que não toca nenhum ponto da circunferência. 
Exemplo: 
 
 
 
6.7 - COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
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O comprimento de uma circunferência é o número que representa os perímetros dos polígonos 
inscritos nessa circunferência quando o número de lados aumenta indefinidamente. 
Entende-se comprimento como sendo o contorno da circunferência. 
Exemplo: 
Uma volta completa em torno da terra. 
O comprimento de um aro de bicicleta. 
O comprimento da roda de um carro. 
O comprimento da bola central de um campo de futebol. 
 
6.8 – CALCULANDO  
Esta é uma constante (seu valor não muda nunca). 
Esta surgiu da divisão do comprimento pelo diâmetro da circunferência. Verificou-se que não 
importava o comprimento da circunferência, sempre que dividia o comprimento pelo diâmetro o 
resultado era o mesmo (3,14159265....), para não ter que escrever este número a todo o momento 
ficou definido que esta seria representado pela letra  (pi) do alfabeto grego, lembre-se usa-se 
apenas com duas casas decimais = 3,14. 
 
6.9 - CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 
Para calcular o comprimento da circunferência, DC
D
C
  devemos lembrar que rD 2 
diâmetro é igual ao dobro do raio. 
logo rC 2 (comprimento =2 vezes  vezes o raio). 
Para calcular o comprimento de uma circunferência usa-se a fórmula. 
Exemplos: 
01. Determine o comprimento de uma circunferência em que o raio mede 3 cm. 
rC 2 basta substituirmos o r por 3cm e  por 3,14. 
cmCcmxxC 84,18314,32  
02. Vamos calcular o raio de uma circunferência sabendo que o comprimento mede 62,8 m. 
rC 2 basta substituirmos C por 62,8m e  por 3,14. 
mrmrxrmxrxm 10
28,6
8,6228,68,6214,328,62  
 
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6.10 - CALCULANDO A ÁREA DE UM CÍRCULO 
Para calcular a área de um círculo usa-se a fórmula: 
2rA  
Exemplos: 
01. Calcule a área de um círculo, sabendo que seu raio mede 4 m. 
2rA  devemos substituir  por 3,14 e r por 4m. 
222 24,501614,3)4(14,3 mAmxAmxA  
 
02. Determine o raio de uma circunferência sabendo que sua área é igual 314 cm². 
2rA  vamos substituir A por 314cm²  por 3,14. 
10100100
14,3
31414,3314 2
2
222  rrrcmrxrcm cm² 
6.11 - VOLUME 
Chama-se de volume de um sólido geométrico, o espaço que esse sólido ocupa. 
6.12 - MEDINDO VOLUME 
Para medir volume, usamos a unidade denominada metro cúbico (m³). 
O que é 1 m³? 
É o volume de um cubo, em que suas arestas medem 1m. 
Exemplo: 
 
6.13 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO 
Múltiplos Unidade 
fundamental 
Submúltiplos 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³ 
1 000 000 000 m³ 1 000 000 m³ 1 000 m³ 1 m³ 0,001 m³ 0,000 001 m³ 0,000 000 001 m³ 
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Atenção: Você deve ter notado que cada unidade é maior que a unidade imediatamente inferior 
1000 vezes ou 1000 vezes menor que a unidade imediatamente superior. 
No seu dia a dia, você deve ter observado que as unidades mais usadas são, o m³, cm³ e dm³. 
 
6.14 - LENDO UNIDADES DE VOLUME 
4,35 cm³ = Quatro centímetros cúbicos e trinta e cinco milímetros cúbicos ou quatro virgula 35 
centímetros cúbicos. 
12,123 m³ = Doze metros cúbicos e cento e vinte e três decímetros cúbicos ou doze vírgula cento 
e vinte e três metros cúbicos. 
 
6.15 - TRANSFORMANDO UNIDADES 
2,234 m³ para dm³ = 2234 dm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 
4,4567 dm³ para cm³ = 4456,7 cm³ (Observe que a vírgula deslocou para direita 3 casas) 
4567,5 dm³ para m³ = 4,5675 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 3 casas) 
45 cm³ para m³ = 0,000045 (Observe que a vírgula deslocou para esquerda 6 casas como não 
tínhamos mais números completamos com zeros) 
 
6.16 – VOLUME DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
6.16.1 – Cubo 
 
 
3aV  
 
 
 
6.16.2 - Paralelepípedo Retângulo 
 
3aV  
 
 
 
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6.16.3 – Cilindro 
 
 
HAV b . 
 
 
 
6.16.4 – Prisma 
 
 
HAV b . 
 
6.16.5 - Pirâmide 
 
 
3
.HAV b 
 
 
 
 
6.16.6 – Cone 
 
 
3
.HAV b 
 
 
 
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6.16.7 - Esfera 
 
 
3
3
4 rV  
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1) Transforme: 
a) 2,6 hm³ = 2600 dam³ 
b) 0,016 km³ = 16000 dam³ 
c) 1,06cm³ = 0,00106 dm³ 
 
2) O volume de um cubo é 27 cm³. Calcule a medida da aresta desse cubo. 
Solução: 
 
cma
aa
aV
3
2727 3 333
3



 
 
 
3) O volume de um paralelepípedo retângulo é de 24cm³, sabendo-se que o comprimento é 4cm, a 
largura é 3cm. A altura desse paralelepípedo é: 
 
cmc
c
c
cbaV
2
1224
.4.324
..




 
 
 
 
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6.17 - CALCULANDO VOLUMES 
Determine o volume da seguinte figura. 
Exemplos: 
Calcule o volume de uma caixa cúbica, cuja aresta mede 9 m. 
V = a3 
V = (9 m)3 
V = 729 m3 
Quantos m3 de água são necessários para encher uma piscina em que as dimensões são: 
comprimento = 12 m, largura = 6 m e profundidade = 1,5 m. 
V = c x l x h 
V = 12 m x 6 m x 1,5 m 
V = 108 m3 
 
7 - RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de 90º. 
 
Relações 
Podemos afirmar que: b² = am, c² = an, h² = mn, ah = bc e a = m+n 
 
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Determine o valor de x nas seguintes figuras: 
 
 
 
 
 
 
Relação b²= am 
6,3
10
36
3610
)1(3610
1036
1062






x
x
x
x
x
x
 
 
Relação h²= m n 
6
36
36
36
4,9
2
2
2





x
x
x
x
x
 
 
Relação ah = bc 
10
8,4
48
488,4
6,88,4.




x
x
x
x
 
 
 
Relação c²= na 
6
36
36
4,9
2
2
2





x
x
x
x
anx
 
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7.1 - TEOREMA DE PITÁGORAS 
O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
Exemplos: 
Calcule o valor de x nas seguintes figuras: 
 
 
 
 
 
 
5
25
25
916
34
2
2
222





x
x
x
x
x
 
 
6"
2'
1
84
)1(2
64)4(
64
4816
)12)(1(4)4(
0124
44168
44168
)2()4(
2
2
222
222
222















x
e
x
x
x
xx
xxxxx
xxxxx
xxx
 
Como não existe medida negativo x=6 
 
 
 
9
81
81
225144
144225
1215
2
2
2
222






x
x
x
x
x
x
 
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7.2 - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo 
da matemática que estuda a relação entre as mediadas dos lados e dos ângulos de um triângulo. 
Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, 
mas não podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só 
homem, nem de um povosó. 
 
7.2.1 - Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo 
Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c 
são os catetos do triângulo retângulo. 
Observação: Catetos são os lado que formam o ângulo de 90º. 
 
 
Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo. 
Seno de y = 
Hipotenusa
ytoaoânguloCatetoOpos
 ou sem 
a
cy  
Cosseno de y = 
Hipotenusa
uloycenteaoângCatetoAdja
 ou cos 
a
by  
Tangente de y = 
uloycenteaoângCatetoAdja
ytoaoânguloCatetoOpos
 ou tg 
b
cy  
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Razões Trigonométricas Especiais 
 30° 45° 60° 
Seno 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
Cosseno 
2
3
 
2
2
 2
1
 
Tangente 
3
3
 
1 3 
 
Existem outro ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma 
tabela chamada tabela trigonométrica. 
Exemplos: 
1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º) 
 
2. Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 30º) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
Coletânia Objetivo para concursos – Matemática e Raciocínio Lógico e Quantitativo – 2003. 
GIOVANNI, Castrucci e GIOVANNI Jr. A conquista da Matemática, 6ª série – São Paulo, 
Editora FTD, 1988. 
GIOVANNI, José Ruy. A conquista da Matemática, 7ª série – São Paulo, Editora FTD, 1988. 
JAKUBO e LELLIS, José e Marcelo. Matemética na Medida Certa, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São 
Paulo – Editora Scipione, 1994. 
MALVEIRA, Linaldo. Matemática Fácil, 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries. São Paulo – Editora Ática, 1993. 
www.somatematica.com.br 
www.terra.com.br/matematica 
www.matematica.com.br 
www.exatas.hpg.com.br 
www.zmais.com.br 
 
 
 
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