lista_calculo1_03

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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2012
Lista de Exerc´ıcios 3
1. Usando a fo´rmula
df
dx
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
encontre a derivada das func¸o˜es dadas
(a) f(x) = 4x2 + 5x+ 3 (Resp: 8x+ 5)
(b) f(x) =
√
3x+ 5 (Resp: 3
2
√
(3x+5)
)
(c) f(x) = 1
x+1
(Resp: −1
(x+1)2
)
(d) f(x) = 3
x2+1
(Resp: −6x
(x2+1)2
)
2. Verifique se f e´ cont´ınua e deriva´vel no ponto x0 = 0, sendo:
f(x) =

x2 + sen(x), se x > 0
x5 + 4x3, se x < 0
0, se x = 0
Resposta: cont´ınua mas na˜o deriva´vel em x0 = 0.
3. Calcule as derivadas das func¸o˜es abaixo:
(a) y = 15√
x2
Resposta: y′ = −2
5
1
5√
x7
(b) y = x
3+1
x2+2
Resposta: y′ =
x(x3+6x−2)
(x2+2)2
(c) y =
√
x(x4 + x) Resposta: y′ = 1
2
√
x
(x4 + x) +
√
x(4x3 + 1)
(d) y = 3x2ex Resposta: y′ = ex(6x+ 3x2)
(e) y = 1
ln(x)
Resposta: y′ = − 1
x ln2(x)
(f) f ′(e), se f(x) = 4 ln(x)− ex
2
Resposta: 4
e
− ee
2
(g) y = 3 sec(x)+4 cossec(x)−5 cotg(x)−√x Resposta: 3 sec(x)tg(x)−4 cossec(x)cotg(x)+
5cossec2(x)− 1
2
√
x
(h) y = (x3 + 2x2 + 4)5 Resposta: y′ = 5(x3 + 2x2 + 4)4(3x2 + 4x)
(i) y = cos4(x) Resposta: y′ = −4 cos3(x)sen(x)
(j) y = esen(x) Resposta: y′ = esen(x)cos(x)
(k) y = ln(ex + tg(x)) Resposta: y′ = e
x+sec2(x)
ex+tg(x)
(l) y = (x2 + sen(2x))4 Resposta: y′ = 4(x2 + sen(2x))3(2x+ 2cos(2x))
1
(m) y = ln(tg(3x)) Resposta: y′ = 3sec
2(3x)
tg(3x)
(n) y = ln(arcsen(2x)) Resposta: y′ = 2√
1−x2arcsen(x)
4. Uma part´ıcula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equac¸a˜o de movimento
s =
t2
2
+
4t
t+ 1
onde s e´ a distaˆncia desde a origem, em m, em t segundos. Encontre a velocidade
(em m/s), a distaˆncia percorrida e o tempo quando a acelerac¸a˜o e´ nula. Resposta:
t = 1s, s = 2, 5m, v = 2m/s
5. Mostre que a taxa de variac¸a˜o do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao seu raio e´
numericamente igual a` a´rea da esfera.
6. Obter a equac¸a˜o da reta tangente a` curva
(a) f(x) = ln(x) em x = 1. Resposta: y = x− 1
(b) f(x) = ex + ln(x) em x = 1 Resposta: y = (e+ 1)x− 1
7. Quantas tangentes horizontais tem a curva y = x
3
3
− 2x2 + 3x + 1? Resposta: 2, em
x = 1 e x = 3
8. Achar, caso existam, os valores ma´ximo e mı´nimo de:
(a) f(x) = sen(x)− cos(x), x ∈ [0, pi] Resposta: −1,√2
(b) f(x) =
√
3 + 12x− x3, 0 ≤ x ≤ 3 Resposta: √3,√19
(c) f(x) = 1
x
+ ln(x), 1
2
≤ x ≤ 4 Resposta: 1 e 1, 64
9. Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo e deˆ as ass´ıntotas, quando existirem:
(a) f(x) = x3 − 3x+ 3
(b) f(x) = (x4 − 8x2 +
16)/4
(c) f(x) = x
x2+1
(d) f(x) = x
3
x2−1
(e) f(x) = x+sen(2x) no
intervalo [−2pi
3
, 2pi
3
]
(f) f(x) =
√
4x2 + x+ 1
(g) f(x) = x
2−1
x2−4
(h) f(x) = x
√
8− x2
10. Seja f uma func¸a˜o cuja derivada tem gra´fico esboc¸ado na figura abaixo:
64 5321−1
−2
y = f ′(x)
y
x
2
(a) Em que intervalos f e´ crescente ou decrescente?
(b) Para quais valores de x f tem um ma´ximo ou mı´nimo local?
(c) Em que intervalos f tem concavidade para cima ou para baixo?
(d) Ache os pontos de inflexa˜o de f .
(e) Assumindo que f seja cont´ınua e que f(0) = 0, esboce o gra´fico de f .
11. Seja y = cos(ωt), ω constante. Verifique que
d2y
dt2
+ ω2y = 0.
12. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o xy + 3 = 2x. Mostre que
dy
dx
= 2−y
x
. Calcule dy
dx
∣∣
x=2
. (Resp. 1
4
)
13. Seja
x2 + sen(y) = ex + ey
obtenha y′. Resposta: y′ = e
x−2x
cos(y)−ey
14. Determine a constante a tal que f(x) = x2 + a
x
tenha:
• Um mı´nimo local em x = 2.
• Um mı´nimo local em x = −3.
• Mostre que f na˜o tera´ ma´ximo local para nenhum valor de a.
Resposta: (a) 16; (b) -54.
15. Calcule, caso exista
(a) lim
x→0
e3x − 1
sen(4x)
Resposta: 3
4
(b) lim
x→∞
(3x+ 9)
1
x Resposta: 1
(c) lim
x→∞
x sen
(
1
x
)
Resposta: 1
16. Calcule o valor de
√
17 usando diferenciais. Resposta: ≈ 4.125. O valor real e´ 4.1231.
17. O Centro acadeˆmico ganhou 60m de alambrado e deseja cercar uma a´rea em que
planeja construir uma quadra. Para isso deseja solicitar uma a´rea, que tem um muro
em uma das laterais, de comprimento y e largura x, tal que possa, por questo˜es de
economia, ter a a´rea ma´xima com o alambrado dispon´ıvel. Quais as dimenso˜es desta
quadra? Resposta: x = 15m e y = 30m
3
18. Um determinado estudo afirma que uma populac¸a˜o de cobaias em t anos sera´ de
p(t) = 18− 6
t+1
em milho˜es de indiv´ıduos. Outro estudo afirma que o n´ıvel me´dio de
poluic¸a˜o de determinado ga´s para uma populac¸a˜o p, em partes por milha˜o, e´ dado
por m(p) =
√
p2 + 2p+ 112. Determine a taxa de variac¸a˜o, em relac¸a˜o ao tempo,
do poluente, em dois anos. Dica: Use a regra da cadeia. Resposta: dm
dt
(2) = 0.5667
4