limites_aula_1

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Ca´lculo I
Prof. Dennis Bessada
UNIFESP - 1o semestre de 2012
Limites - Aula 1
1 Problema inicial
1.1 Func¸o˜es que “parecem” ser problema´ticas
• Conforme vimos em aula, jamais podemos efetuar operac¸o˜es do tipo
1.
0
0
2.
±∞
±∞ .
e assim por diante. Pore´m, o que ocorre com func¸o˜es do tipo
f(x) =
sin(x)
x
? (1)
• A func¸a˜o parece resultar na indeterminac¸a˜o 0
0
!
• Vejamos como a func¸a˜o f(x) = sin(x)/x se comporta pro´xima do ponto zero:
x < 0 f(x) x > 0 f(x)
-0.1 0.9983341665 0.1 0.998334166
-0.01 0.9999833334 0.01 0.9999833334
-0.001 0.9999833334 0.001 0.9999998333
-0.0001 0.9999998333 0.0001 0.9999999983
-0.00001 0.9999999983 0.00001 1.0000000000
e assim por diante.
• Notemos que mesmo os valores de x estando pro´ximos do valor zero, os valores
correspondentes de f(x) se aproximam de 1!
1
• O gra´fico correspondente de f(x) e´ dado por
Figura 1: Gra´fico de f(x) = sin(x)/x
• Notemos que a func¸a˜o
f(x) =
sin(x)
x
(2)
na˜o e´ definida no ponto zero; pore´m, seu gra´fico passa pelo ponto 1, conforme
verificamos pela tabela.
2 Limites
2.1 Definic¸o˜es
• A` medida que x se aproxima de zero (ou seja, x→ 0, onde lemos “x tende a zero”),
f(x) se aproxima de 1.
Definic¸a˜o 1:
Esse valor fixo, para o qual a func¸a˜o tende quando x→ 0, recebe o nome de limite
de f(x). Escrevemos
lim
x→a
f(x) = L (3)
e leˆ-se “o limite de f(x), quando x tende a a, e´ igual a L”, se pudermos tornar
arbitrariamente pro´ximos de L (ta˜o pro´ximos de L quanto quisermos), tomando x
suficientemente pro´ximo de a, mas na˜o igual a a.
2
OBSERVAC¸O˜ES:
1. x se torna muito pro´ximo de a, ta˜o pro´ximo quanto quisermos.
2. Do mesmo modo, f(x) assume valores muito pro´ximos de L, ta˜o pro´ximo quanto
quisermos.
2.2 Exemplos
1. Pela definic¸a˜o de limite, fica claro que
lim
x→0
sin(x)
x
= 1. (4)
2. Estime o valor de lim
x→1
x− 1
x2 − 1.
Tabela com os valores de x tendendo a 1:
x < 1 f(x) x > 1 f(x)
0.5 0.666667 1.5 0.400000
0.9 0.526316 1.1 0.476190
0.99 0.502513 1.01 0.497512
0.999 0.500250 1.001 0.499750
0.9999 0.500025 1.0001 0.499975
Vemos, pela tabela, que
lim
x→1
x− 1
x2 − 1 = 0.5 . (5)
Podemos, ainda, mostrar que o limite acima e´ va´lido mesmo sem a tabela!
(Exemplo a ser desenvolvido no quadro.)
3
Figura 2: Gra´fico de f(x) = (x− 1)/(x2 − 1)
3. Estime o valor de lim
x→2
x2 − 4
x2 − 2x .
Tabela com os valores de x tendendo a 2:
x < 2 f(x) x > 2 f(x)
1.5 2.333333333 2.1 1.952380952
1.9 2.052631579 2.01 1.995024876
1.99 2.005025126 2.001 1.999500250
1.999 2.000500250 2.0001 1.999950002
1.9999 2.000050002 2.00001 2.000000000
Novamente, fica claro, pela tabela, que
lim
x→2
x2 − 4
x2 − 2x = 2 . (6)
Como no caso anterior, podemos mostrar que o limite acima e´ va´lido mesmo sem a tabela!
(Exemplo a ser desenvolvido no quadro.)
4