Apostila_Cálculo_II

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS 
CENTRO DE EDUCAÇÃO E COMUNICAÇÃO 
CÁLCULO II 
 
 
 
PROFª MARÍLIA DO AMARAL DIAS 
 
 
 
FORMULÁRIO DE INTEGRAIS 
 
 ∫( ∫ ∫ ∫ 
 ∫ ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 
 
 , n -1 
 ∫
 
 
 | | 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ | | | | 
 ∫ | | 
 ∫ | | 
 ∫ | | 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 |
 
 
| 
 ∫
 
 
 
 
 
 |
 
 
| 
 ∫
 
√ 
 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 | √ | 
 ∫√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 ∫√ 
 
 
√ 
 
 
 |√ | 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 √ 
 
 
 
 |
 
 
| 
 ∫
 
 √ 
 
 
 
 (
 √ 
 
) 
 ∫
 
 √ 
 
 
 
 (
 √ 
 
) 
 ∫ ∫ 
 
 
 
Não há ramo da Matemática, por 
mais abstrato que seja, que não 
possa um dia vir a ser aplicado aos 
fenômenos do mundo real. 
LOBACHEVSKY
 
TABELA DE DERIVADAS 
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
 
 
 
 
11. √ 
 
 
 √ 
 
12. √ 
 
 
 √ 
 
13. 
14. 
15. 
 
 
 
 
16. 
 
 
 
17. 
18. 
19. 
 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
 
√ 
 
25. 
 
√ 
 
26. 
 
 
 
27. 
 
 
 
28. 
 
 √ 
 
29. 
 
 √ 
 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
Função Composta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Inversa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Identidades Trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{ ( ( } 
 
 
 
{ ( ( } 
 
 
 
{ ( ( } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 ( 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
Produtos Notáveis 
( 
( ( 
( ( 
( ( 
Propriedades dos Logaritmos 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
Limites Fundamentais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
Geometria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
INTEGRAIS IMEDIATAS 
CALCULAR AS SEGUINTES INTEGRAIS IMEDIATAS 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
1) ∫ 
2) ∫ 
3) ∫
 
 
 
4) ∫
 
 
 
5) ∫ 
6) ∫
 
√ 
 
7) ∫
 
√ 
 
8) ∫√ 
9) ∫
 
√ 
 
10) ∫ √ 
 
11) ∫( 
12) ∫( √ 
13) ∫ (
 
√ 
 
 
 
 √ ) 
14) ∫ (
√ 
 
 
 
√ 
) 
15) ∫ (
 
√ 
 
 √ 
 
) 
16) ∫
 
√ 
 
17) ∫ (
 
 
 
 
 √ 
 ) 
18) ∫( 
 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 ⁄ 
6) √ 
7) 9√ 
 
8) 
 √ 
 
 
9) 
 √ 
 
 
10) 
 √ 
 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) 
 
 
 
 √ 
 
 
13) √ 
 
 
 
 √ 
 
 
14) 
√ 
 
 √ 
15) √ 
√ 
 
 
16) 
 √ 
 
 
 
17) 
 
 
 
 
√ 
 
18) 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
 
19) ∫( 
20) ∫
 
 
 
21) ∫( 
22) ∫
 
 
 
23) ∫
 
 
 
24) ∫
 
 
 
25) ∫( 
26) ∫ ( 
 
√ 
 )
 
 
27) ∫
 
 
 
28) ∫
 
 
 ⁄
√ 
 
 
 
 
19) 
20) | | 
21) ( 
22) 
 
 
 (
 
 
) 
23) 
 
 
 |
 
 
| 
24) 
 
 √ 
 |
√ 
√ 
| 
25) 
 
 
 
26) 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
 
 ⁄ 
27) 
28) 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 ⁄ 
 
 
 
INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÃO 
Calcular as seguintes integrais, utilizando a técnica de substituição de variável: 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
1) ∫ 
 
 
2) ∫ 
 
 
3) ∫( 
4) ∫( 
5) ∫( ( 
6) ∫
 
 
 
7) ∫ √ 
8) ∫
 
 
 
9) ∫ 
10) ∫ 
11) ∫
 √ 
√ 
 
12) ∫ ( 
13) ∫
 
 
 
14) ∫
 
 
 
15) ∫
 
 
 
16) ∫ 
17) ∫
 
 
 
18) ∫
 
√ 
 
19) ∫
 
√ 
 
20) ∫
 
 
 
 
 
1) 
 
 
2) 
 
 
 
 
3) 
( 
 
 
4) 
( )
 
 
 
5) 
( )
 
 
 
6) 
 
 
 | | 
7) ( 
 
 ⁄ 
8) 
 
 
 | | 
9) 
 
 
 
10) – 
11) √ 
12) ( 
13) 
 
 
 
14) ( 
15) 
( 
 
 
16) 
 
 
 
17) ( 
18) 
 
 
 
 
 
 
19) 
 
 
√ 
20) 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
21) ∫
 
 ( 
 
22) ∫√ 
23) ∫√ 
24) ∫
 
 
 
25) ∫
 
 
 
26) ∫
 
 
 
27) ∫ 
28) ∫ 
29) ∫ 
30) ∫
 
 
 
 
 
21) 
 
 
 ( 
22) 
( √ 
 
 
23) 
( √ 
 
 
24) | | 
25) 
 | |
 
 
26) ( 
27) 
 
 
 
28) 
– 
 
 
29) 
30) ( 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Calcular as seguintes integrais, utilizando o métododa substituição: 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
01) ∫( ( 
02) ∫( 
 
 ⁄ 
03) ∫( 
04) ∫
 
√ 
 
05) ∫ √ 
06) ∫( 
 
 ⁄ 
07) ∫
 
 
 
08) ∫
 
 
 ⁄ 
 
 
09) ∫ 
10) ∫ 
11) ∫
 
 
 
12) ∫
 
 
 
13) ∫ 
14) ∫
 
 
 
15) ∫ ( 
16) ∫
 
 √ 
 
17) ∫
 
 
 
18) ∫
 
 
 
19) ∫
 
 
 
20) ∫ √ 
 
 d 
1) 
 
 
( 
2) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
3) 
( )
 
 
 
4) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
5) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
6) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
7) ( 
8) 
 
 ⁄ 
 
 
 
9) 
 
 
 
10) 
 
 
 
11) 
 
 
 
12) | | 
13) 
 
 
 
14) 
 
 
 
15) 
 
 
 ( 
16) 
 
 
( 
17) 
 
 
 | | 
18) 
 
 
 
 
 
 
19) 
 
 
 
20) 
 
 
 
 
 ⁄ 
Exercícios Respostas 
21) ∫
 
 
 
22) ∫( 
23) ∫√ 
24) ∫
 
 
 
25) ∫
 
 
 
26) ∫
 
 
 
27) 
√ 
 
 
28) ∫
 
 
 
29) ∫( 
30) ∫ 
 
 
31) ∫ 
 
 
 
32) ∫
 
( 
 
33) ∫
 
 
 
34) ∫ √ 
35) ∫( 
36) ∫
 
√ 
 
37) ∫
 
 
 
 
38) ∫
 
√ ( √ )
 
 
39) ∫ √ 
 
 
40) ∫ 
 
 
21) ( 
22) 
 
 
 
 
 
 
23) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
24) 
 
 
 
 
 
 
25) 
√ 
 
 |
 √ 
√ 
| 
26) 
 
 
 
 
 
 
27) √ |
 √ 
 √ 
| 
28) 
 
 
 
29) 
 
 
 
30) 
 
 
 
 
31) 
 
 
 
 
 
32) 
 
 
 
33) | | 
34) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
35) 
 
 
( 
36) √ 
37) – | | 
38) 
 
 ( √ )
 
 
39) 
 
 
( √ 
 
 
( √ 
 
 
 
( √ 
40) 
 
 
 
 
 
 
41) ∫ 
42) ∫ √ 
 
43) ∫ 
 
 ⁄ 
 
44) ∫ ( 
 
45) ∫
 
( 
 
 
46) ∫ 
 
47) ∫( 
 
 ⁄ 
 
48) ∫
 √ 
√ 
 
 
49) ∫ √ 
 
50) ∫ ( 
 
41) 
 
 
 
 
42) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
43) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
44) 
 
 
 ( 
45) 
 
 ( 
 
46) | | 
47) 
 
 
( 
 
 ⁄ 
48) √ 
49) 
 
( √ 
 
 
( √ 
50) 
 
 
 
 
INTEGRA AS FUNÇÕES QUE CONTÉM UM TRINÔMIO DO 2º GRAU 
Integrais do tipo ∫
 
 
 
1. ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. ∫
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
3. ∫
 
 
 
√ 
 
 |
 √ 
 √ 
| 
4. ∫
 
 
 
 
 
 |
 
 
| 
5. ∫
 
 
 ( 
6. ∫
 
 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
7. ∫
( 
 
 | | 
8. ∫
( 
 
 
 
 
 ( 
 
 √ 
 
 
√ 
 
9. ∫
 
 
 
 
 
 ( 
 
√ 
 
 
√ 
 
10. ∫
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 |
 
 
| 
11. ∫
 
 
 
 
 
 ( 
 
 √ 
 
 
√ 
 
12. ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
Integrais do tipo ∫
 
√ 
 
13. ∫
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
14. ∫
 
√ 
 | 
 
 
 √ | 
15. ∫
 
√ 
 | √ | 
16. ∫
 
√ 
 
√ 
 
 
 
√ 
 
17. ∫
 
√ ( 
 
√ 
 
 | √ ( | 
 
 
18. ∫
 
√ 
 
 
√ 
 
19. ∫
 
√ 
 
√ 
 
 | √ ( | 
20. ∫
 
√ 
 √ 
21. ∫
( 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
 | √ | 
22. ∫
( 
√ 
 
 
 
√ 
23. ∫
( 
√ 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
24. ∫
 
√ ( 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 ( √ ( ) 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
RESOLVER AS SEGUINTES INTEGRAIS USANDO A TÉCNICA DE ITEGRAÇÃO POR PARTE: 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
01) ∫ 
02) ∫ ( 
03) ∫ 
04) ∫( 
05) ∫ 
06) ∫ 
07) ∫√ 
08) ∫ 
09) ∫ 
10) ∫
 ( 
√ 
 
11) ∫ 
12) ∫ √ 
13) ∫ 
14) ∫( 
15) ∫ 
16) ∫ 
17) ∫ 
 
 
 
18) ∫( 
19) ∫ 
20) ∫ 
01) 
 
 
 
 
 
 
02) ( ( 
03) 
 
 
( 
 
 
) 
04) 
( 
 
 
 
 
 
05) 
 
 
( 
 
 
) 
06) 
 
 
 
07) 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
08) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) – | | 
10) 
 
 
√ [ ( ] 
11) 
 
 
 | | 
12) 
 
 
( 
 
 
 
 
( 
 
 
13) 
 
 
 | | 
14) 
15) 
 
 
 
 
 
 
16) ( 
17) 
 
 
 √ 
18) ( | | 
19) 
 
 
[ ] 
20) √ 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
21) ∫ 
22) ∫ 
23) ∫ 
24) ∫ ( 
25) ∫ 
26) ∫ 
27) ∫ 
 
28) ∫ 
29) ∫ 
30) ∫ 
 
 
 
 
31) ∫ 
32) ∫ 
33) ∫ √ 
34) ∫
 √ 
√ 
 
35) ∫ 
 
36) ∫
 
( 
 
 
 
37) ∫ 
38) ∫ 
39) ∫ 
 
40) ∫ 
 
 
21) 
22) 
23) √ 
24) ( | | 
25) 
 
 
( 
 
 
) 
26) 
 
 
( 
27) ( 
28) 
 
 
 | | 
29) (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
30) 
 
 
 
 
 
 
31) | | 
32) (
 
 
 
 
 
) 
33) √ √ √ 
34) (√ √ √ ) 
35) 
 
 
( 
36) –
 
 
 |
 
 
| 
37) 
 
 
(38) ( 
 
 
 ) 
39) 
 
 
(sec | | 
40) 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS 
Integra as funções racionais por frações parciais: 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
01) ∫
 
( ( 
 
02) ∫
 
( ( ( 
 
03) ∫
 
 
 
04) ∫
 
( ( 
 
05) ∫
 
( ( 
 
06) ∫
( 
 
 
07) ∫
( 
 ( 
 
08) ∫
 
( ( 
 
09) ∫
 
 ( 
 
 
10) ∫
 
( ( 
 
11) ∫
 
 
 
12) ∫
 
 
 
13) ∫
 
 
 
14) ∫
( 
 
 
 
15) ∫
( 
 
 
 
01) |
( 
 
| 
02) 
 
 
 |
( 
( ( 
| 
03) 
 
 
 
 
 
 |
 ( 
( 
| 
04) 
 
 
 
 
 
 |
 
( 
| 
 
 
 | | 
05) 
 
 
 |
 
 
| 
06) 
 
 
 
( 
 
 
07) 
 
 ( 
 
 
( 
 
08) (
 
 
)
 
 
 
 
 +c 
09) |
 
√ 
| 
10) |
( )
 
 
 
| 
 
 
 
 
 
 
11) 
 
 
( | | 
12) 
 
 
 
( 
| |
 
 
√ 
 
 
√ 
 
13) 
 
 
 |
 
 
| 
14) |
( 
 
 
 
 
 ( 
 
 
| 
 
 
 |
( 
 ( 
| 
15) 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
16) ∫
 
 
 
17) ∫
 
 
 
18) ∫
 
 
 
19) ∫
 
 
 
20) ∫
 
 
∫ 
21) ∫
 
 
 
22) ∫
 
 
 
23) ∫
 
 
 
24) ∫
 
 
 
25) ∫
 
 
 
26) ∫
 
 
 
 
16) 
 
 
 
 
 
 |
( 
 ( 
| 
17) 
 
 
 
 
 
 |
 
( 
| 
18) | | 
 √ 
 
 
 
√ 
 
19) 
 
 
 ( 
20) 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 
 
 
 
21) 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
22) 
 
 
 | | 
 
 
 | 
 
 
| | | 
23) 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 | | 
24) 
 
 
 | | 
 
 
*
 
 
 ( 
 
√ 
 
 
√ 
+ 
 
25) 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
26) 
 
 
 | | 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nenhum conhecimento fornece tanta certeza quanto aquele produzido pela 
Matemática. O rigor do raciocínio lógico usado para se chegar a esse 
conhecimento é o aval maior de sua confiabilidade. 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES IRRACIONAIS 
Integra as funções irracionais: 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
01) ∫
√ 
√ 
 
 
 
02) ∫
 √ 
 
 √ 
 
03) ∫
 
 
 
 ⁄
 
04) ∫
( 
 
 ⁄ 
 
 ⁄ )
 
 
 ⁄
 
05) ∫
√ 
 
 
06) ∫ √ 
07) ∫ √ 
 
 
08) ∫
 
 
√
 
 
 
 
09) ∫
 
 √ 
 
10) ∫
 
√ 
 
 
11) ∫
√ 
√ 
 
 
 
12) ∫
√ 
 ( √ 
 )
 
 
13) ∫
 
( 
 
 ⁄
 
14) ∫
√ 
 
 
15) ∫
 
√ 
 
16) ∫
 
 √ 
 
 
01) 
 
 
 √ 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 √ 
 (√ 
 ) 
 √ 
 
02) 
 
 
√ 
 
 √ √ 
 ( √ ) √ 
 
03) |
√ 
 
 √ 
 | 
04) 
 
 
√ 
 
 
 
 
 √ 
 
05) √ |
√ 
√ 
| 
06) 
√( 
 
 
√( 
 
 
07) 
( 
 
 ⁄
 
 
08) 
 
√ 
 √
 
 ( 
 
 
 
 |
√ √ 
√ √ 
| 
09) 
√ 
 
 |
√ √ 
√ √ 
| 
10) 
 
 
(√ ) | √ | 
 
 √ 
 
11) 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 
 | 
 
 ⁄ | 
12) 
 
 ⁄ |
 
 
 ⁄ 
 
 
 ⁄ 
| 
13) 
 
√ 
 |
√ 
√ 
| 
14) √ √ √
 
 
 
15) √ *
( 
 
 
 
 
( + 
16) (√ ) 
 
 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
17) ∫
 
√ √( 
 
18) ∫
( 
 √ 
 
19) ∫
 
( √ 
 
20) ∫
 
√ 
 
 
 
21) ∫
 
 √ 
 
22) ∫
 
√ 
 
 
23) ∫
 
( √ 
 
24) ∫
 
√ 
 
 
 
17) √ 
18) √ |
√ 
√ 
| 
19) 
 
 
 |
√ 
√ 
| 
20) – | (√ )| ( 
 |
√ √ 
√ √ 
| ( 
21) 
 
√ 
 |
√ √ 
√ √ 
| 
22) 
 √ 
 
 
√ √ 
 
 
 
√ 
 √
 
 
 
23) 
√ 
 
 |
√ √ 
√ √ 
| 
 
 √ 
 |
√ √ 
√ √ 
| 
24) |√ | 
 
 
 
INTEGRAÇÃO DE DIFERENCIAIS TRIGONOMÉTRICAS 
 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
01) ∫ 
02) ∫ 
 
03) ∫ 
04) ∫ ( 
05) ∫ 
 
 
 
06) ∫ ( ( 
 
07) ∫ 
08) ∫ 
09) ∫ 
 
10) ∫ 
11) ∫ 
01) –
 
 
 
 
 
 
02) 
 
 
 
 
 
 
03) 
 
 
 | | 
04) 
 
 
 ( 
 
 
 ( 
 
 
( 
05) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) 
 
 
*
 ( 
 
 
 ( 
 
+ 
07) 
 
 
 
 
 
 
08) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
09) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (continuação) 
 
12) ∫ 
 
 
 
13) ∫ 
 
 
(
 
 
 | |) 
14) ∫ 
 
 
 
15) ∫ 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
16) ∫ 
 
 
 
 
 
 
17) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) ∫ 
 
 
( 
19) ∫ 
 
 
( 
20) ∫ 
 
 
 
 
 
 
21) ∫ 
 
 
( ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) ∫ 
 
 
 
 
 
 | | 
23) ∫ 
 
 
( | | 
24) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | 
 
 
 
 
 
| 
25) ∫ 
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
 | |) 
 
 
 
 
 
FÓRMULAS DE REDUÇÃO OU RECORRÊNCIA 
 
 O método de integração por partes pode ser usado para obtermos fórmulas de redução ou 
recorrência. A ideia é reduziruma integral em outra mais simples do esmo tipo. A aplicação 
repetida dessas fórmulas nos levará ao cálculo da integral dada. 
 
As mais usadas são: 
 
1) ∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
2) ∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
3) ∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
4) ∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
5) ∫ 
 
 
 ∫ 
6) ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Integrar as funções irracionais por substituições trigonométricas: 
EXERCÍCIOS RESPOSTAS 
01) ∫
 
( 
 
 ⁄
 
02) ∫
 
 √ 
 
03) ∫
 
√ 
 
04) ∫
 
√ 
 
05) ∫
 
√ 
 
06) ∫
 
√ 
 
07) ∫
 
( 
 
 ⁄
 
08) ∫
 
√ 
 
09) ∫
 
 √ 
 
10) ∫
 
 √ 
 
11) ∫
√ 
 
 
12) ∫
 
( 
 
 ⁄
 
01) 
 
 √ 
 
02) 
 
 
 |
√ 
 
| 
03) 
 
 
 
04) | √ | 
05) | √ | 
06) 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
07) 
 
 √ 
 
08) 
 
 
 
 
 
√ 
09) 
 
 
 |
√ 
 
| 
10) 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
11) √ 
 
 
 
12) 
 
√ 
 
 
 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 Definição: Soma integral ou soma de Riemann 
 Seja ( uma função continua no intervalo [ ] façamos uma 
participação neste intervalo, ou seja, vamos dividir o intervalo [ ] em “ ” partes pelos 
pontos . Logo, podemos fazer: 
 – – – 
 Em cada um dos subintervalos [ , ] , [ , ] , ... , [ , ] vamos 
escolher um ponto Ei, tal que: 
 Ei ∊ ( , ) , E2 ∊ ( , ) , ... , En ∊ ( ) 
 Em cada um desses pontos Ei , calculemos o valor da função (E1) , (E2) , ..., 
 (En). Formemos a soma. 
 Sn = (E1). + (E2) . + ... + (En). 
 Sn = soma integral ou soma Riemann, e também pode ser colocada da seguinte 
forma: 
 ∑ ( 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica da soma de Riemann: 
 
 Para a participação indicada no intervalo [ ] a soma integral ou soma de 
Riemann Sn é numericamente igual à área delimitada pela curva em escada, como mostra a 
figura anterior. 
 De fato, observamos que: 
 (E1). = área do retângulo 
 (E2). = área do retângulo 
 . 
 
 . 
 (En). = área do retângulo 
 
 Se formarmos todas essas áreas, obteremos a área limitada pela curva em escada, o 
eixo dos e as retas 
 
Definição de integral definida 
 A soma integral depende do modo de dividir o segmento [ ] em outros 
segmentos [ ] assim como da seleção dos pontos E dentro dos outros segmentos. 
 Chamamos de ao intervalo de maior comprimento dentre os intervalos 
 , , ... , . Tentaremos diferentes divisões do segmento [ ] de maneira que 
consigamos fazer tender a zero. Observe que fazendo o número de partições 
tender ao infinito (“ ” = número de subintervalos de [ ] tender ao infinito), estaremos 
fazendo com que o comprimento de cada subintervalo tenda a zero, isto é, tender 
a zero. Portanto, quando “ ” → ∞ temos que → 0, a soma integral 
 ∑ ( 
 
 , tender a um limite I, diremos que a função ( é integrável no 
intervalo [ ] e este limite I se chama a integral definida da função ” de “ ” até “ ”, ou 
seja: 
 ∫ ( 
 
∑∫( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica da integral definida: 
 
 
 
 
 
 
Se é uma função tal que ( [ ], a integral definida ∫ ( 
 
 
é 
numericamente igual à área da figura limitada pela curva de ( ), pelo eixo ⃗⃗⃗⃗ e pelas 
retas . 
Obs.: 
a) Em ∫ ( 
 
 
, o número “ ” é chamado limite inferior da integral e “ ” é 
chamado limite superior da integral. 
b) [ ] é o intervalo da integração. 
c) “ ” é a variável de integração. 
d) A integral definida depende da função ( e o intervalo [ ] mas não 
da variável de integração. 
 
Propriedades da integral definida: 
P1. Sempre que utilizamos um intervalo [ ] supomos . Assim, em nossa 
definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite 
superior. 
 Se , então ∫ ( 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 Se , e ( existe, então ∫ ( 
 
 
 
P2. Se é integrável em [ ] e “ ” é um número real arbitrário, então é integral em 
[a ] e ∫ ( ∫ ( 
 
 
 
 
 
 
P3. Se e são funções integráveis em [ ] então é integrável em [ ] e 
∫ [ ( ( ] ∫ ( 
 
 
∫ ( 
 
 
 
 
 
 Esta propriedade pode ser estendida para um número finito de funções. Vale também 
para o caso de termos diferença de funções, isto é: 
∫ [ ( ( ] ∫ ( 
 
 
∫ ( 
 
 
 
 
 
P4. Se e é integrável em [ ] e em [ ], então é integrável em 
[ ] e 
 ∫ ( ∫ ( 
 
 
∫ ( 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da integral definida 
 Teorema Fundamental 
 Este teorema nos diz que conhecendo uma primitiva de uma função continua 
 [ ] , podemos calcular a sua integral definida ∫ ( 
 
 
 
 Com isso obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros 
problemas práticos que envolvem o calculo da integral definida ∫ ( 
 
 
e fixamos 
o limite inferior “ ” e fazemos variar o limite superior. Então o valor da integral 
dependerá desse limite superior variável, que indicaremos por . Fazendo variar no 
intervalo [ ] obtemos uma função ( ) dada por: ( ∫ ( 
 
 
 
 
 A integral ∫ ( 
 
 
representa a área abaixo do gráfico de entre e . Da 
mesma forma ( ∫ ( 
 
 
nos dá a área abaixo de entre e . 
 
 
 
 
 
 
Teorema: 
 “Se é uma função continua em [ ] ∊ [ ] e é definida por 
 ( ∫ ( 
 
 
, então g ( ( 
 Demonstração: 
 Seja g( = ∫ ( ( 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 ( ( ∫ ( 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 ( ( ∫ ( 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 ( ( ∫ ( 
 
 
 
 ( ( ∫ ( 
 
 
 
 Sabemos que [ ] tal que ∫ ( 
 
 
 ( e substituindo 
em , temos: 
 ( ( ( 
 Dividindo ambos os membros por , temos: 
 
 ( ( 
 
 
 ( 
 
 
 Aplicando limites quando 
 
 ( ( 
 
 
 
 ( 
 Então, ( ( , pois é contnua em [ ] (c.q.d.). 
 Obs.: 
 O teorema que acabamos de demonstrar afirma que a integral definida ∫ ( 
 
 
 
com limite superior variável é uma primitiva de . 
 
 
Teorema: 
Seja uma função contínua em [ ] e uma função tal que ( ( 
( é uma primitiva de nesse intervalo) para rodo [ ] então 
∫ ( ( ( 
 
 
 
Demonstração: 
F( é uma primitiva de ( e ∫ ( 
 
 
 é também uma primitiva de ( 
Logo ( e ∫ ( 
 
 
diferem de uma constante. 
Podemos então escrever: 
 ( ∫ ( ∫ ( 
 
 
 ( [ ] 
 
 
 
DeterminemosC: 
Para , temos ∫ ( 
 
 
 ( 
Logo, ( ∫ ( ( ( 
 
 
 
Fazendo , temos: 
∫ ( ( ( 
 
 
 ( Fórmula de Newton-Leibniz) 
Na prática fazemos: 
∫ ( [ ( ] 
 ( ( 
 
 
 
Obs.: 
A integral “indefinida” é uma função e a integral “definida” é um número real. 
Exemplo: 
∫ 
 
 
 integral indefinida 
∫ *
 
 
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 integral definida 
Calcule as seguintes integrais definidas: 
1) ∫ (√ √ 
 
)
 
 
 
 
 
 
2) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
3) ∫ 
 
 
 
 
4) ∫
 
 
 
 
 
5) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
6) ∫ ( 
 
 
 
 
 
 
7) ∫ (
 
 
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
8) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
9) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
10) ∫
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) ∫
 
√ 
 
 
 √ 
12) ∫
√ 
 
 
 
 ( 
13) ∫
 
 √ 
 
 
 
14) ∫
 
√ 
 
 
 
 √ 
 
 
15) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
16) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) ∫
 
 
 ⁄
 
 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
18) ∫
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
19) ∫
 
( 
 
 
 
 
 
 
 
20) ∫
 
√ (√ )
 
 
 
 
 
 
 
21) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) ∫ ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
23) ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) ∫
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) ∫ 
 
 
 
 
 
 
26) ∫ 
 
 
 
 
 
 
27) ∫ 
 
 
 
 
28) ∫ 
 
 
 
29) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
30) ∫ 
 
 
 
 
 
 
31) ∫ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
32) ∫
 
√ 
 
 
 (√ √ )
 
 
APLICAÇÕESDO CÁLCULO INTEGRAL 
CÁLCULO DE ÁREAS 
Área de regiões limitadas por curvas (coordenadas retangulares) 
Definição 1: 
 Se ( é uma função continua num intervalo fechado [ ] e se ( 
neste intervalo, então a área limitada pela curva ( o eixo ⃗⃗⃗⃗ e as retas 
 e é dada por: 
 
 
 
 
 
Definição 2: 
 Se ( é uma função continua num intervalo fechado [ ] e se ( 
neste intervalo, então a área limitada pela curva ( o eixo ⃗⃗⃗⃗ e as retas 
 e ada por: 
 
 
 
 
 
Definição 3: 
 Dada uma curva ( podemos determinar a área limitada pela curva da 
função ( , o eixo ⃗⃗ ⃗⃗ e as retas que será: 
 
 
 
 
 
Se a área é em relação ao eixo ⃗⃗ ⃗⃗ , então a variável da integração é y, logo 
pegamos a função inversa ( 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
Definição 4: 
 Se ( muda um número infinito de vezes de sinal sobre o segmento [ ] 
decompor-se-á a integral sobre [ ] em integrais parciais e calcula-se as diversas. A 
integral é positiva sobre os segmentos em que f( e negativa sobre aqueles em que 
 ( 
 A integral sobre o segmento completo representa a diferença das áreas que se 
encontram de um lado e de outro do eixo ⃗⃗⃗⃗ . Para obter a soma das áreas no sentido 
ordinário, é preciso encontrar a soma dos valores absolutos das integrais sobre os 
intervalos parciais indicados, ou melhor, calcular a integral. 
 
 
 ∫ | ( |
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 5: 
 Área de uma região limitada por duas curvas. 
 1º caso: ( ( ( ( ∊ [ ] 
 ∫ ( 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 ∫ [ ( 
 
 
 ( ] 
 ∫ ( 
 
 
( 
 
 2º caso: ( ( 
 ∫ ( 
 
 
 ( ∫ ( 
 
 
) 
 ∫ [ ( 
 
 
 ( ] 
 ∫ ( 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 3º caso: ( ( 
 ∫ ( 
 
 
 ∫ ( 
 
 
 
 ∫ [ ( 
 
 
 ( ] 
 ∫ ( 
 
 
( 
 
 4º caso: 
 ∫ ( 
 
 
( ∫ ( 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 Obs.: 
 Podemos concluir que é sempre a mesma coisa, “a que está em cima menos a que está em 
baixo”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de volumes 
Volume de um sólido em revolução. 
 Considerando o sólido em revolução gerado a partir da rotação de em torno do eixo ⃗⃗⃗⃗ , 
sendo ( [ ] 
 Vamos descrever um modo de calcular o seu volume V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se fosse constante e igual a “ ” em [ ] o sólido gerado seria um cilindro e 
teria volume V igual a ( ( 
 
 
 
 
 
 Não sendo f constante, vamos dividir [ ] em pequenos subintervalos e em cada 
um deles aproximando ( por uma função constante, vamos calcular o volume do 
sólido como se fosse uma fatia cilíndrica. 
 Assim, o volume V será, aproximadamente, a soma dos volumes das fatias 
cilíndricas consideradas, ou seja: 
 
 ∑ [ ( ̅ ]
 
 onde [ ] 
 
 
 
 
 
 Lembrando da definição de integral resulta: 
 
 
 
 O limite da soma dos volumes destes “ ” cilindros quando “ ” tende ao infinito 
de modo que cada subintervalo tenda a zero é o volume pedido. 
1) No caso de um cone circular de raio da base r e altura h, podemos ter: 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: ∫ (
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) No caso de uma esfera de raio r, podemos ter: 
 
Temos que a equação da circunferência é: 
Como a esfera tem centro na origem, temos que a = 0 e b = 0, logo: 
 
 ⇒ 
 
 ( √ 
Logo: ∫ (√ )
 
 
 ∫ ( 
 
 
 ( 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ∫ [ ( ] 
 
 
 ∫ [ ( ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações da Integral Definida – Cálculo de Áreas 
1. Calcula a área limitada pela curva – e pelas retas e o 
eixo Resposta: 21/2 u.a. 
2. Calcula a área limitada pelas curvas: 
 
 . 
Resposta: 64/3 u.a. 
3. Calcula a área do segmento parabólico determinado pela reta – na parábola 
y – Resposta: 1/6 u.a. 
4. Achar a área limitada pela parábola , o eixo doa e as ordenadas 
 . Resposta: 18 2/3 u.a. 
5. Achar a área limitada pela parábola 
 
 
 e o eixo e suas retas . 
Resposta: 4 1/3 u.a. 
6. Achar a área limitada pela parábola pelo eixo . 
Resposta: 4/3 u.a. 
7. Determinar a área do trapézio limitado pela reta , e pelas ordenadas dos pontos 
de abscissa 0 e 2. Resposta: 6 u.a.8. Achar a área limitada pela parábola cúbica e pelas retas . 
Resposta: 17/64 u.a. 
9. Achar a área limitada pela curva – e o eixo das abscissas. 
Resposta: 37/12 u.a. 
10. Determina a área limitada pelos gráficos das curvas de equações 
 Resposta: 64/3 u.a. 
11. Calcula a área da região R compreendida entre as curvas: 
11.1) e Resposta: 8/3 u.a. 
11.2) e Resposta: 1/6 u.a. 
11.3) – e Resposta: 4/3 u.a. 
11.4) e Resposta: 36 u.a. 
11.5) e y = √ Resposta: 1/3 u.a. 
11.6) e – Resposta: 2 + /6 u.a. 
 
12. Determina as áreas das regiões limitadas por: 
12.1) 
 
 
 ( e ( 
 Resposta: 3/2 + /8 – 1 u.a. 
12.2) ( e ( . 
 Resposta: 4 ½ u.a. 
13. Calcule a área limitada pela curva = 2 – y – y2 e o eixo das ordenadas. 
Resposta: 1u.a. 
14. Achar a área da figura limitada pela curva e o eixo e a reta 
Resposta: 1u.a. 
15. Calcula a área da figura limitada pela curva y , e o eixo 0 e a reta . 
Resposta: ln2u.a. 
16. Calcula a área da figura limitada pela curva , a reta y , o eixo 0y. 
Resposta: 12 u.a. 
17. Calcula a área da figura limitada pela parábola e o eixo das abscissas. 
Resposta: 10 2/3 u.a. 
18. Encontre a área limitada pela curva, e o eixo das abscissas: 
18.1) Resposta: 64 u.a. 
18.2) Resposta: 18 u.a. 
18.3) y Resposta: 9 5/6 u.a. 
18.4) Resposta: 5/3 u.a. 
18.5) Resposta: 22/3 u.a. 
19. Calcula a área limitada pela curva, e o eixo 0y e as retas indicadas: 
19.1) 2 Resposta: 16/3 u.a. 
19.2) Resposta: 14/3 u.a. 
 
 
20. Achar a área entre a curva e o eixo dos . 
Resposta: 8u.a. 
 
 
Aplicações da Integral Definida – Cálculo de Volumes 
 
1. Calcule o volume gerado pela revolução em torno do eixo 0X da área limitada por 
 , Resp.:
 
 
 
2. Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno de 0X da curva 
 limitada pelas retas . Resp.: 
3. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de ( [ ] em 
torno do eixo 0X. Resp.: 
 
 
 
4. A curva 
 
 
 [ ], ao ser girada em torno do eixo dos , determine um sólido 
de volume V. Calcule V. Resp.:
 
 
 
5. A região limitada pela curva y = , o eixo x e as retas x sofrem rotação em 
torno do eixo . Encontre o volume do sólido de revolução gerado. Resp.:
 
 
 
6. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo , da região limitada 
pela parábola y = e a reta Resp.: 
 
 
 
7. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Oy da curva y = e as 
retas y = 0 e y = 2. Resp.: 
 √ 
 
 
 
8. Determine o volume gerado pela região do plano limitada pela curva y = , e o eixo 0Y e 
a reta y = 5, sofrendo uma rotação em torno de 0Y. Resp.: 
 
 
 
9. Determine o volume gerado pela rotação ao redor do eixo da região limitada pela 
parábola e pela reta . Resp.: 16 
10. Encontre o volume da esfera gerada pela rotação da circunferência de equação + y² = r², 
em torno de um diâmetro. Resp.: 
 
 
 
11. Determine o volume do sólido gerado por: 
Um arco de y = senx Resp.:
 
 
 
 
 
Aplicações da Integral Definida – Cálculo do Comprimento de Arco 
 
1. Calcule o comprimento da curva 
 
 
 
 
 
 do ponto onde x = 1 até o ponto onde x = 3. 
Resp.: 14/3 u.c.a. 
2. Determine o comprimento da circunferência x² + y² = r². Resp.: 
3. Determine o comprimento do arco da curva: 
3.1) y² = x³ do ponto x = 0 até 
 
 
 Resp.: 19/27 u.c.a. 
3.2) y = x
3/2
 de x = 0 a x = 5 Resp.: 335/27 u.c.a 
3.3) x = 3y
3/2
 -1 de y = 0 a y = 4 Resp.: 
 
 
( √ ) 
3.4) 24xy = x
4
 + 48 de x = 2 a x = 4 Resp.: 17/6 u.c.a. 
3.5) 
 
 
 
 
 
 de x = 1 a x = 4 Resp.: 2055/64 u.c.a. 
3.6) 25y² = x³ de x = 0 a x = 2 Resp.: 2,09 u.c.a. 
3.7) 
 
 
 
 
 
 Resp.: 118/9 u.c.a. 
3.8) 
 
 
 
 
 
 Resp.: 123/32 u.c.a. 
3.9) 
 
 
 
 
 
 Resp.: 53/6 u.c.a. 
3.10) 
 
 
 Resp.: (√ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
Verifique se a integral é convergente ou divergente: 
1. ∫ 
 
 
 Resp.:
 
 
 
2. ∫
 
 
 
 
 Resp.:
 
 
 
3. ∫
 
 
 
 
 Resp.:
 
 
 
4. ∫
 
 
 
 
 Resp.: +∞ (divergente) 
5. ∫
 
 
 
 
 Resp.:
 
√ 
 
6. ∫
 
 
 
 
 Resp.:
 
 
 
7. ∫
 
√( 
 
 
 Resp.:√ 
8. ∫ 
 
 
 Resp.:
 
 
 
9. ∫ 
 
 
 Resp.:
 
 
 
10. ∫
 
 
 
 
 Resp.:
 
 
 
11. ∫
 
 
 
 
 Resp.:
 
 
 
12. ∫
 
 
 
 
 Resp.:1 
13. ∫
 
 
 
 
 Resp.: 
14. ∫ ( 
 
 
 Resp.: 0 
15. ∫
 
 
 
 
 Resp.:
 
 
 
16. ∫
 
 
 
 
 Resp.: 
 
Derivadas Parciais 
Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem das seguintes funções: 
1. 
2. ∫( 
3. 
4. √ 
5. ∫( 
6. ∫( 
 
7. ∫( ( 
8. ∫( 
9. ∫( ( 
10. √ 
11. √ 
12. 
 
 
 
13. ( 
 
 
 
14. ( 
15. 
 
 
 
16. 
 
17. 
18. ( 
19. √ 
20. √ 
21. ∫( 
 
 
 
22. ∫( ( 
23. 
24. √ ( 
25. 
 
( 
 
Respostas: 
1. 
 
 
 
 
 
 
2. 
 ∫
 
 
 ∫
 
 
3. 
4. 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
5. 
6. 
 
 
7. ( ( ( 
8. 
9. 
 
 
 
 
 
 ( 
10. 
 
√ 
 
 
√ 
 
11. 
 
√ 
 
 
√ 
 
12. 
 
( 
 
 
( 
 
 
 
13. 
 
 
 
 
 
 
14. ( ( 
15. 
 
( 
 
 
( 
 
16. 
 
 
17. 
18. 
 
 
 
 
 
 
19. 
 
√ 
 
 
√ 
 
20. 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
21. 
 
 
 
22. 
 
 
 
 
 
 
23. 
24. 
 
√ 
 
 
√ 
 
25. 
 
[ ] 
 
 
 
 
Calcula as derivadas parciais das funções:Respostas: 
 
1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
3. ( √ ) 
 
4. ( 
 
5. 
 
 
 
 
6. √ 
 
7. 
 
8. √ 
 
9. ( ( 
 
10. √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
√ ( √ 
 
 
√ 
 
 
 ( ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
√ 
 
 ( 
√ 
 
 
 
 
 ( ( ( 
 ( ( ( 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS PARCIAIS 
 
Determine as derivadas de 2ª ordem das seguintes funções: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) ∫( 
 
√ 
 
 
Respostas: 
1) 
2) 
3) 
 
 
 
 
 
 
4) [ ] [ ] 
5) – 
6) – ( 
 
 ( 
 
 (