ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I - (5 - Dimensionamento de Lajes)

Prévia do material em texto

Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
5.1 Introdução 
Viu-se no módulo anterior, em Caminho das Ações, que o Elemento Estrutural Básico de denominação 
Laje é o primeiro a receber as cargas oriundas da utilização da edificação. 
Algumas premissas já foram vistas, resta então partir para o dimensionamento propriamente dito, 
relativo a estas ações (cargas ou carregamentos), ou seja, a verificação do pré-dimensionamento 
geométrico e a determinação da “armadura” que será inserida na seção da laje para incorporar-se ao 
concreto estes juntos (concreto armado) poderem suportar as tensões de flexão ocasionadas pelas 
cargas verticais. Porém antes, expõem-se conceitos já abordados, incorporados a novos (respaldados 
pela Norma). 
Então, pode-se ressaltar que, Lajes são elementos planos, em geral horizontais, com duas dimensões 
muito maiores (dimensões que delimita a área do compartimento da edificação) que a terceira, sendo 
esta denominada espessura. A principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no 
andar, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e equipamentos), e transferi-los para os 
apoios. 
Apresenta-se, neste capítulo, o procedimento para o projeto de lajes retangulares maciças de concreto 
armado, apoiadas sobre vigas ou paredes. Nos edifícios usuais, as lajes maciças têm grande 
contribuição no consumo de concreto: aproximadamente 50% do total. 
A norma (item 14.4.2.1) define placas como sendo elementos de superfície plana sujeitos principalmente 
a ações normais a seu plano. As placas de concreto são usualmente denominadas lajes, e a norma 
estipula que lajes com espessura maior que 1/3 do menor vão devem ser estudadas como placas 
espessas. As prescrições sobre as lajes estão contidas nos itens 13.2.4, 13.2.5.2, 13.3, 14.7, 19 e 20 da 
NBR-6118/2003. 
5.2 Classificação e Tipos de Lajes 
Na verdade, a classificação está intimamente ligada ao Tipo e a recíproca é também verdadeira, ou 
seja, na prática, existem diferentes tipos de lajes que são empregadas nas obras de um modo geral, 
sendo que podem ser classificadas da seguinte forma: 
⇒ Quanto a sua composição e forma; 
⇒ Quanto ao tipo de apoio; 
⇒ Quanto ao esquema de cálculo. 
5.2.1 Quanto a sua composição e forma 
⇒ Lajes mistas pré-moldadas; 
⇒ Lajes mistas moldadas na obra; 
⇒ Lajes maciças; 
⇒ Lajes Nervuradas 
 
 
 
Página 1 de 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.2 Quanto ao Tipo de Apoio 
⇒ Lajes Contínuas; 
⇒ Lajes Isoladas; 
⇒ Lajes em balanço; 
⇒ Lajes Cogumelo e Lisa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vigote de Concreto 
Capa de Concreto 
Bloco Cerâmico 
Laje Mista Pré-Moldada Laje Maciça 
Lajes Nervuradas 
Vazio Vazio Enchimento 
Fig. 5.1 – Lajes quanto a Forma e Composição 
 
Laje 
Laje Isolada Laje Contínua 
Laje Lisa 
Laje em Balanço 
Pilar 
Capitel 
Laje Cogumelo 
 
 
L4 L1 L2 L3 L5 
Fig. 5.2 – Lajes quanto ao Tipo de Apoio 
 
 
 
 
 
 
 Página 2 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
5.2.3 Quanto ao Esquema de Cálculo 
⇒ Lajes Armadas em 1 Direção; 
⇒ Lajes Armadas em 2 Direções. 
É necessário, antes da definição destes dois tipos de Lajes, a introdução dos conceitos acerca de vão 
livre ( ℓo ) e vão teórico ( ℓ ) de uma laje, pois esta classificação está intimamente ligada à relação entre 
os seus vãos. 
5.2.3.1 Vão Livre e Vão Teórico 
Vão livre ( ℓo ) é a distância livre entre as faces dos apoios. No caso de balanços, é a distância da 
extremidade livre até a face do apoio (Fig. 5.3). O vão teórico ( ℓ ) é denominado vão equivalente pela 
NBR 6118, que o define como a distância entre os centros dos apoios, não sendo necessário adotar 
valores maiores do que: 
 em laje isolada, o vão livre acrescido da espessura da laje no meio do vão; 
 em vão extremo de laje contínua, o vão livre acrescido da metade da dimensão do 
apoio interno e da metade da espessura da laje no meio do vão. 
Nas lajes em balanço, o vão teórico é o comprimento da extremidade até o centro do apoio, não sendo 
necessário considerar valores superiores ao vão livre acrescido da metade da espessura da laje na face 
do apoio. 
Em geral, para facilidade do cálculo, é usual considerar os vãos teóricos até os eixos dos apoios (Fig. 
5.3). 
 
 
 
 
 
 
 
Conhecidos os vãos teóricos, considera-se ℓx o menor vão, ℓy o maior e λ = ℓy / ℓx (Fig. 5.4). De acordo 
com o valor de λ , é usual a seguinte classificação: 
 λ < 2 ⇒ laje armada em duas direções; 
 λ ≥ 2 ⇒ laje armada em uma direção. 
 
Fig. 5.3 – Vão Livre e Vão Teórico 
 
ℓ 
ℓo ℓo 
 
Página 3 de 40 
 
 
 
 
 
 
 
Nas lajes armadas em duas direções, as duas armaduras são calculadas para resistir os momentos 
fletores nessas direções, tais momentos fletores serão vistos no item a seguir. 
As denominadas lajes armadas em uma direção, na realidade, também têm armaduras nas duas 
direções. A armadura principal, na direção do menor vão, é calculada para resistir o momento fletor 
nessa direção, obtido ignorando-se a existência da outra direção. Portanto, a laje é calculada como se 
fosse um conjunto de vigas-faixa na direção do menor vão. 
Na direção do maior vão, coloca-se armadura de distribuição, com seção transversal mínima dada pela 
NBR 6118. Como a armadura principal é calculada para resistir à totalidade dos esforços, a armadura 
de distribuição tem o objetivo de solidarizar as faixas de laje da direção principal, prevendo-se, por 
exemplo, uma eventual concentração de esforços. 
5.3 Vinculação de Bordo de Lajes 
Na maioria dos processos de cálculos usuais, cada painel individual de laje deve apresentar as 
condições de bordo bem definidas. 
 
Os bordos das lajes são: 
 
• Engastados; 
• Apoiados e; 
• Livres. 
 
Onde se utiliza uma representação gráfica para os referidos casos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laje 
L 1 
Vigas 
Apoiado 
Engastado 
Livre L
aj
e 
V
ig
a 
Fig. 5.5 – Tipos de Bordos de Lajes 
 
Fig. 5.4 Vãos Teóricos - ℓx (menor vão) e ℓy (maior vão) 
ℓx 
ℓy 
x
y


=λ 
λ = ℓy / ℓx 
 
 
 
 
 
 
 Página 4 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
A hipótese de sempre que uma laje estiver ao lado de outra, o bordo comum às duas resulte 
necessariamente em um engaste, isso não é regra; como se vê a seguir: 
 
• Relação entre os vãos das lajes adjacentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se ℓ 2 ≥ ℓ 1 / 4 ⇒ L1 engastada em L2, e se ℓ 2 < ℓ 1 / 4⇒ L1 apoiada em L2. 
• Laje Rebaixada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∆h ≤ h1 
Se → bordo engastado 
 bw ≥ hmin 
 
 
 
 ∆h > h1 
Se → bordo apoiado 
 ℓ ≤ 2,5 m 
 
 
ℓ 1 ℓ2 
L1 L2 
 
Bordo Analisado 
Fig. 5.6 – Análise de Bordo Comum à Lajes Adjacentes 
 
 L1 
 L2 
h1 
h2 
∆h → Rebaixo 
bw 
ℓ1 ℓ2 
Bordo Analisado 
Para: 
 
h1 → espessura da laje superior 
 
h2 → espessura da laje inferior 
 
hmin → o menor valor entre h1 e h2 
 
ℓ → o menor valor entre ℓ1 e ℓ 2 
 (vãos das lajes L1 e L2) 
 
Fig.5.7 – Bordo Adjacente à Laje Rebaixada 
 
Página 5 de 40 
 
 ∆h > h1 
Se ℓ > 2,5 m → bordo engastadobw ≥ hmin 
 
 
• Engaste Parcial 
 
Pode ocorrer, por exemplo, uma borda com uma parte engastada e a outra apoiada, como mostrado na 
Figura 5.8. Um critério aproximado, possível para este caso, é indicado na tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 Cargas e Verificação de Flechas para Lajes Maciças 
5.4.1 Cargas (ou Carregamentos) em Lajes 
As cargas atuantes nas lajes são de natureza permanente ( g ) e de natureza acidental ( q ). Os valores 
dessas são indicadas pela NBR-6120. As cargas de natureza permanente que atuam nas lajes são 
compostas basicamente por: 
• Peso próprio da laje; 
• Peso da regularização; 
• Peso do enchimento; 
• Peso do revestimento; 
• Peso dos elementos construtivos fixos; 
• Peso das instalações permanentes; outras. 
 
ℓy1 ≤ ℓy / 3 Considera-se a borda totalmente apoiada 
ℓy /3 < ℓy1 < 2. ℓy /3 
Calculam-se os esforços para as duas situações: 
 Borda totalmente apoiada e totalmente engastada ∴ 
⇒ adotar o maior valor no dimensionamento 
 
ℓy1 ≥ 2. ℓy / 3 Considera-se a borda totalmente engastada 
 
Engaste Apoio 
Fig. 5.8 – Caso Específico de Vinculação 
ℓx 
 ℓy1 
ℓy 
 ℓy2 
 
 
 
 
 
 
 Página 6 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
Para efeitos práticos e satisfazendo os ditames de norma, remete-se a seguir as considerações já 
mencionadas anteriormente em Sistemas Estruturais 1, quanto aos carregamentos em Lajes (Módulo3): 
• Peso-próprio (pp): 
 Este peso, definido como peso-próprio é função do peso específico do material em questão. 
γ: peso específico do material (kN/m3) → concreto armado: 25 kN/m3 
• Alvenaria (alv): 
É função do peso/m2 da alvenaria, dependendo se a parede é mais ou menos espessa. 
O peso das paredes de alvenaria de uma obra deve ser considerado sobre os elementos estruturais 
em que elas se apóiam. Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes (não tão 
comum, porém possível). 
 
O peso/m2 dos principais tipos de alvenaria são os seguintes: 
 
• alvenaria de cutelo: 
0,95 kN/m2 
 
• alvenaria de 1/2 vez: 
1,70 kN/m2 
 
• alvenaria de 1 vez: 
3,20 kN/m2 
 
 
Os valores de peso/m2 da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro furado com 
argamassa de 1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco. 
• Revestimento (rev): 
O peso dos revestimentos (prontos, considerando contrapiso/regularização e acabamento final) de 
uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em que eles se apóiam. Um valor básico é 
utilizado como peso de revestimento: 
 
rev = 0,50 kN/m2 (carregamento distribuído/m2) 
 
O valor acima é considerado somente para revestimentos mais comumente utilizados, como por 
exemplo: taco, tapete, borracha, paviflex, etc. 
 
 
Página 7 de 40 
 
 
 
 
Para outros tipos de revestimento (cerâmico = 0,80 kN/m²) devem ser consultadas tabelas 
especiais ou devem ser feitas consultas ao próprio fabricante. Porém, ressaltando que estamos 
falando de revestimento, pois a laje em si, já deveria ter sido considerada no seu peso próprio 
também. 
• Cobertura (cob): 
O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apóiam algum tipo de 
cobertura (usados geralmente em residência), entendo-se por cobertura toda a estrutura (madeira 
ou metal) que suporta as telhas mais o peso das próprias telhas. O peso da cobertura é função do 
peso/m2 do telhado. 
 
 
cob = 0,60 kN/m2 à 1,00 kN/m2 (carregamento distribuído/m2) 
- onde, 0,60 kN/m2 ( telha de fibrocimento) e 1,00 kN/m2 ( telha de barro ). 
• Carregamentos Acidentais 
Os carregamentos acidentais, ao contrário dos permanentes, nem sempre estão presentes em um 
Sistema Estrutural. Há épocas em que eles são atuantes e há épocas em que eles não aparecem. 
Apesar desta sazonalidade, eles devem ser considerados durante todo o tempo, não 
podendo nunca ser esquecidos. 
• Sobrecargas: 
São carregamentos dados em função da utilização de determinado compartimento da edificação. 
Isto quer dizer, para que uso se destina o determinado compartimento da edificação. 
O efeito da sobrecarga é considerado sobre lajes sendo, portanto, um carregamento do tipo 
distribuído/m2. 
Valores a serem considerados: 
 forro (sem acesso ao público): sc = 0,50 kN/m2 
 residência, escritório: sc = 1,50 à 2,00 kN/m2 
 compartimentos com acesso ao público (escolas, restaurantes, etc.): sc = 3,00 kN/m2 
 compartimentos para baile, ginástica, esporte (teatros, ginásios, clubes, etc.): sc = 4,00 
kN/m2 
 compartimentos para arquivos/bibliotecas/depósitos: sc = função de cada caso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 8 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
• Lajes em Balanço 
Nas lajes em balanço, que se destinam a sacadas, além das cargas permanentes e acidentais 
citadas até aqui, devem ser considerados os seguintes carregamentos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.2 Flecha como delimitador 
Deslocamentos limites (ou flechas) são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado 
limite de deformações excessivas da estrutura. A norma define quatro grupos básicos de deformações. 
 
O item 13.3 da norma apresenta valores limites para cada tipo de deslocamento, com comentários e 
observações adicionais. 
 
Apresenta-se a seguir um critério prático que permite a obtenção de lajes relativamente rígidas, ou seja, 
flechas admissíveis; isso em função de sua altura útil (d) ⇒ d = h – c onde → altura total da laje ( h ) e 
recobrimento da armadura ( c ), onde pode-se adotar c = 1,5 cm (interior→ estrutura convencional), c = 
2,0 cm ( exterior→ estrut. conv. e interior → concreto aparente) e c = 2,5 cm ( exterior → coc. 
Aparente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para lajes retangulares com bordas engastadas, a altura útil d (em cm) pode ser estimada por meio da 
expressão: 
 
 
 
 onde: 
 
d h 
c 
Armadura (ou ferragem) 
Fig. 5.9 – Altura útil ( d ) da Laje 
 
 
H 
V 
q 
1 m 
 
Onde: 
 
q → carga acidental do compartimento que 
lhe dá acesso; 
H = 0,8 kN/m; 
V = 2,0 kN/m 
( )
100
*.n.1,05,2 −
=d 
 n é o número de bordas engastadas; 
 ℓx ou; 
* < 0,7 ℓ y 
 
ℓ* menor valor entre 
 
 
Página 9 de 40 
 
 
 
Para qualquer tipo de laje, inclusive as lajes em balanço, pode ser usado o critério da NBR 6118 : 
 
 
32 .
d
ΨΨ
=

 
Onde: 
 = menor vão teórico da laje (em cm); 
ψ2= valor que depende das condições de bordo; 
ψ3= valor que depende do aço empregado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,70 1,20 1,00 0,50 
Valores de ( ψ2 ) para lajes armadas em 1 direção 
 
Valores de ( ψ2 ) para lajes armadas em 2 direções, onde: L →lado maior e l → lado menor 
L→ L / l l ↓ 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 10 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.3 Determinação dos Esforços nas Lajes 
Consideram-se aqui: ações (cargas), reaçõesde apoio (para as vigas ou pilares) e momentos fletores 
(nos vãos, que servirão de referência para o dimensionamento da armadura). 
 
O efeito das ações, ou cargas, já se abordou neste módulo. Onde, na avaliação do peso próprio, 
conforme item 8.2.2 da NBR 6118, admite-se o peso específico de 25 kN/m3 para o concreto armado. 
As cargas relativas aos revestimentos de piso e da face inferior da laje dependem dos materiais 
utilizados. Esses valores se encontram. As cargas de paredes apoiadas diretamente na laje podem, em 
geral, ser admitidas uniformemente distribuídas na laje, antes da determinação dos Momentos 
abordaremos mais especificamente o efeito de parede sobre laje. 
 
Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no projeto, pode ser 
admitida, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado 
de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo 
de 1 kN/m2. 
 
5.4.3.1 Reações de Apoio 
As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio. Embora essa transferência 
aconteça com as lajes em comportamento elástico, o procedimento de cálculo proposto pela NBR 6118 
baseia-se no comportamento em regime plástico, a partir da posição aproximada das linhas de 
plastificação, também denominadas charneiras plásticas. Este procedimento é conhecido como 
processo das áreas. 
 
 Processo das áreas 
 
Como já visto anteriormente e conforme o item 14.7.6.1 da NBR 6118 , permite-se calcular as reações 
de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribuído considerando-se, para 
cada apoio, carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, traçando-se, a partir dos 
vértices, na planta da laje, retas inclinadas de: 
 
• 45° entre dois apoios do mesmo tipo; 
• 60° a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado; 
• 90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre. 
 
Este processo encontra-se ilustrado nos exemplos da Figura 4.10. A título de reafirmação de conceitos 
anteriores e com base nessa figura, as reações de apoio por unidade de largura serão dadas por: 
 
 
Valores de ( ψ3 ) 
Laje 
maciça 
Aço 
utilizado 
Laje 
Nervurada 
x
yAq
yV
x
yAq
y
Vx
Aq
xV
x
Aq
x
V
yy

'.'
.'.'. ==== 
 
Página 11 de 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.4 Cargas de Alvenaria nas Lajes 
Quando existirem paredes que se apoiam diretamente sobre as lajes, o seu peso próprio deverá ser 
considerado como sendo uma carga permanente, da seguinte forma: 
• Lajes armadas em 1 direção 
 a) Alvenaria segundo a menor dimensão: 
A carga da parede será suposta distribuída uniformemente segundo uma faixa de largura ( b ) e o 
trecho será dimensionado como uma viga de largura ( bw ), altura ( h ) e vão teórico ( ℓ ): 
 
 
 
 
 
 
 
q → carga total uniformemente distribuída 
 
x , y → menor e maior vão teórico da laje respectivamente 
 
Vx , V’x → reações de apoio na direção do vão x 
 
Vy , V’y → reações de apoio na direção do vão y 
 
Ax, A’x, Ay e A’y → áreas correspondentes aos apoios considerados 
 
V’ e A’ → sinal referente às bordas engastadas 
 
Vx 
y 
V’x 
Vy 
V’x 
V’y 
Vy 
 
Vx 
y 
x x 
Fig. 5.10 – Exemplos de Aplicação do Processo das Áreas 
 
Seção de cálculo 
← Parede 
bw 
← Parede 
 
b 
b = a + h 
bw a 
h 
h 
x 
y 
22
bb xw

+= 
 
 
 
 
 
 
 Página 12 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Alvenaria segundo a maior dimensão: 
 
 
 
 
 
 
• Lajes armadas em 2 direções 
Um critério simplista, porém usual, consiste em considerar que o peso total da parede se distribua 
uniformemente por sobre toda a laje. 
5.4.5 Determinação dos Momentos Fletores 
O cálculo das placas por processos exatos é extremamente complexo, uma vez que envolve a solução 
de uma equação diferencial de quarta ordem. A matemática nos fornece métodos como as Diferenças 
Finitas, os Elementos Finitos, etc. que levam a resultados quase que exatos, porém, mesmo estes 
métodos, além de complexos, de solução demorada, demandam conhecimentos não dominados pela 
grande maioria dos profissionais da área de engenharia e arquitetura. 
 
Os processos de cálculo simplificados surgiram em função da necessidade de se ter um cálculo rápido, 
com um nível de precisão coerente com a atividade da engenharia, e acessível aos profissionais. 
 
Calculadas segundo a teoria das placas, os métodos de cálculo são divididos em dois grupos: 
 
• Método Clássico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime 
elástico linear, homogêneos, isótropos. 
 
bw 
parede 
 
 
 
 Armadura de 
distribuição 
Armadura Principal 
ℓx 
ℓy 
 
ℓy 
ℓx 
1 m 
ℓx 
h 
Seção de cálculo 
parede 
 
Página 13 de 40 
 
• Método da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais trabalhando em regime 
rígido-plástico - Teoria das charneiras plásticas . 
 
5.4.5.1 Determinação dos Momentos Fletores para Lajes Armadas em 2 direções 
O processo de Marcus é um processo de cálculo simplificado, oriundo do Método Clássico, assimilando 
a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si. Marcus introduziu coeficientes de 
correção nas expressões dos momentos fletores positivos, de tal forma que seus resultados se 
aproximassem dos obtidos através da Teoria da Elasticidade. 
 
Pelo Processo de Marcus é convencionado que os lados da laje serão denominados " ℓx " e " ℓy ", 
sendo: 
 ⇒ ℓx está na direção mais vinculada. 
Caso ambas as direções sejam igualmente vinculadas: 
 ⇒ ℓx estará na direção com menor vão. 
 
e a relação entre os lados será definida como: 
 
x
y

=λ 
Os momentos fletores positivos e negativos em uma laje são determinados supondo-se uma faixa da 
laje, de 1,0 m de largura carregada pelo quinhão de carga atuante na direção da mesma. O efeito da 
grelha é introduzido no cálculo destas vigas fictícias através dos coeficientes mx e my (para os 
Momentos Positivos) e nx e ny (para os Momentos Negativos). Onde: 
 
 
 
 
Para: 
 
 
 
 
Antes de se colocar a tabela, necessário é, passar o conhecimento dos tipos de lajes que se referem 
nessa mesma tabela. Para a Tabela dos Coeficientes de Marcus, ou simplesmente, Tabela de Marcus; 
os tipos de laje são relacionados conforme a sua vinculação: 
yn
2
x.q
yX
xn
2
x.q
xX
ym
2
x.q
yM
xm
2
x.q
xM

−=−=== 
q → carga total uniformemente distribuída 
 
x → conforme definição para o Processo de Marcus 
 
Mx , My → Momentos Positivos nas respectivas direções 
 
Xx , Xy → Momentos Negativos nas respectivas direções 
 
mx, nx, my e ny → Coeficientes tabelados conforme o tipo de laje e a 
relação λ 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 14 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJESLaje Tipo 1 – com todas as bordas simplesmente apoiada ⇒ 
Laje Tipo 2 – com uma borda engastada ⇒ 
Laje Tipo 3 – com duas bordas, adjacentes, engastadas ⇒ 
Laje Tipo 4 – com duas bordas, opostas, engastadas ⇒ 
Laje Tipo 5 – com três bordas engastadas ⇒ 
Laje Tipo 6 – com todas bordas engastadas ⇒ 
 
TABELA DE MARCUS 
 
 
 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 5 Tipo 4 Tipo 6 
mx my my my my my nx nx nx nx ny ny my ny mx mx mx mx mx nx λ 
 
Página 15 de 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4.5.2 Determinação dos Momentos Fletores para Lajes Armadas em 1 direção 
 
TABELA DE MARCUS ( CONTINUAÇÃO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 5 Tipo 4 Tipo 6 
mx my my my my my nx nx nx nx ny ny my ny mx mx mx mx mx nx λ 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 16 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
Quando um painel de laje apresentar a relação de lados maior que dois, de maneira muito simplificada 
pode-se calcular os esforços apenas na direção do menor vão. Na outra direção (maior vão), coloca-se 
uma armadura mínima de distribuição recomendada por norma. 
• Lajes Isoladas ou Lajes Contínuas 
O esquema de determinação dos Momentos (Positivo e/ou Negativo) fica idêntico ao das vigas de vão 
único, dependendo é claro da vinculação (apoio) das bordas. Para a Laje L1, só temos Momento 
Positivo ( M1 ); já para as Lajes L2 e L3 (seccionadas de uma continuidade de Lajes) existirão: Um 
Momento Positivo ( M2 ) e um Momento Negativo ( X2 → referente ao momento na borda engastada ) e 
para Laje L2: um Momento Positivo ( M3 ) e 2 Momentos Negativos ( X’3 e X’’3 → referente aos 
momentos nas bordas engastadas ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A armadura correspondente a uma laje em balanço deve se estender, na laje adjacente, de um 
comprimento igual ao da laje em balanço. Quando o comprimento da laje em balanço 
ultrapassar 3 m é conveniente colocar uma armadura, nas duas direções, também na face 
inferior (para limitar as aberturas de fissuras devidas à retração do concreto e dilatação 
térmica). 
 
5.4.6 Compatibilização dos Momentos Fletores 
Há de se observar, que tanto para os momentos positivos como para os negativos, os valores 
determinados pela Tabela de Marcus (para as lajes armadas em 2 direções → armadas em cruz), ou os 
momentos determinados nos casos de lajes armadas em 1 só direção, deverão sofrer uma 
compatibilização (ou compensação); pois, como nas vigas contínuas, os momentos de engastamento 
perfeito dos diversos vãos não são os valores definitivos para os apoios. Bem como, os momentos 
positivos nos vãos são calculados (pelo método das seções), em função dos momentos nos apoios já 
“compensados” (processo de Cross por exemplo). 
 
1 m 
 
ℓ1 ℓ3 ℓ2 
ℓy 
8
.q
M
2
1
1

= 
8
.q
X
14
.q
2M
2
2
2
2
2


=
=
 
12
.q
''X X'
24
3.qM
2
3
33
2


==
=
3 
Laje L3 Laje L2 Laje L1 
 
Página 17 de 40 
Porém, a compensação dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, é um processo 
bastante simplificado, rápido e que fornece resultados razoavelmente próximos dos reais, desde que se 
observe algumas restrições: 
• a carga permanente deve ser maior que a acidental, 
• carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total, 
• as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si. 
Estas restrições, para a grande maioria dos casos estruturais surgidos ( ou que surgirão) para análise 
na vida profissional de um arquiteto, não será impeditivo para a utilização do processo que passaremos 
a detalhar a seguir. 
Ao contrario das vigas contínuas, onde ocorre a propagação dos momentos ao longo dos tramos, nas 
lajes esta propagação não será considerada. A compensação será feita uma a uma, independente das 
demais. 
Decorre então, a necessidade do entendimento da existência de uma diferença de Momentos Negativos 
em cada apoio e, quando houver a compensação desses momentos, necessariamente o Momento 
Negativo “compensado” será menor que o maior dos dois momentos. Com isso, tantos nos vãos 
extremos, quanto nos vãos internos o Momento final Positivo será acrescido, pois a curvatura desce: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Processo Simplificado segue o seguinte procedimento: 
 
OBS → Seguiremos as numerações do exemplo acima para ficar mais fácil a compreensão 
 
• Momento Negativo Final 
 
 (no caso, do apoio entre as lajes 1 e 2; isto é claro na direção x): 
 
 1) 
 
 
 
 
 
M 2x M 1x 
M 3x 
X 3x 
X ’2x X “2x 
X 1x 
L1 L3 L2 
x x x 
2) →•x800, Onde X será adotado o maior valor entre X1 e X’2 
Xc1 ≥ 
2
'XX
21
+
 
 
 
 
 
 
 
 Página 18 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
 
• Momento Positivo Final 
 
(no caso, se demonstrará o procedimento para os Momentos positivos das Lajes 1 e 2, pois 
diferem na analogia, uma vez que a Laje 1 é de extremidade e a Laje 2 é Laje intermediária, 
também na direção x): 
 
VÃO EXTERNO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VÃO INTERNO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5 Dimensionamento de Lajes Maciças de Concreto Armado 
Conhecidos os momentos fletores característicos compatibilizados (Mk → Momentos Positivos e 
Negativos Compatibilizados – segundo item anterior ), passa-se à determinação das armaduras. Esse 
dimensionamento é feito à Flexão (como veremos mais detalhadamente no estudo de vigas), admitindo-
se a largura b = 1m = 100cm. Obtém-se, dessa forma, uma armadura por metro linear. 
Podem ser utilizadas as tabelas descritas a seguir, sendo a Tabela 5.3 para o cálculo das áreas 
necessárias das armaduras e as Tabelas 5.4 e 5.5 para a escolha do diâmetro e do espaçamento das 
barras, respectivamente. 
• Inicialmente, determina-se o momento fletor de cálculo ( Md ), em kN.cm/m: 
Md = γf . Mk onde, γf = 1,4 ( coeficiente de segurança de norma → adimensional) 
• Posteriormente, calcula-se o coeficiente Kc conforme: 
 
M 1 
 
 X 1 
X ’2 
∆X1 
 
LAJE 1 
Xc 1 
∆M1 
 Mc 1 
∆X1 = X1 - Xc1 e; M c1= M 1 + ∆M1 
Onde :
2
1XΔ1MΔ = ; 
Xc1 ⇒ Momento Negativo”compensado” 
Mc1 ⇒ Momento Positivo”compensado” 
 
Xc1 ⇒ Adotar o maior valor entre 1 e 2. 
 
∆X1 
 
∆X2 
 
LAJE 1 LAJE 2 LAJE 3 
M2 
∆M2 
 
Mc 2 
M c2= M 2 + ∆M2 
Onde :
2
2XΔ1XΔ2MΔ
+
= ; 
Xc2 ⇒ Momento Negativo”compensado” 
Mc2 ⇒ Momento Positivo”compensado” 
 
Xc 1 Xc 2 
 
Página 19 de 40 
 
dM 
2db w
cK
•
= onde bw = 100 cm ( largura de calcula para 1,0 m de faixa de laje ) e d = altura 
útil da laje ( em cm ) e Md ( em kN.cm ); 
• Com o coeficiente Kc, e conhecidos a resistência característica do concreto ( em MPa ) e o tipo 
de aço ( ferro ) utilizados na obra, determina-se ( através da Tabela 5.3) o coeficiente Ks; 
• Com o coeficiente Ks, determina-se então a área de armadura ( As → em cm2 ), conforme: 
 
d 
dMsK
sA
•
= ; 
• Através das Tabelas 5.4 e ou 5.5 determina-seo diâmetro nominal do ferro e o seu 
espaçamento. 
5.5.1 Diretrizes de Norma e Dimensionamento 
As armaduras devem respeitar os valores mínimos recomendados pela NBR 6118, indicados nas 
tabelas 5.1 e 5.2 nas quais ρs = As / (bw . d ). Onde relaciona ρs = f ( ρmin ) e ρmin = As min / (bw . d ) 
Calcula-se ρmin para fatores diferentes, usando a equação ou usando a tabela: 
 
yd 
cd
minmin
ωρ
f
f
•= onde, minω → taxa mecânica mínima de ferro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 5.2 - VALORES DE ρmin 
Tabela 5.1 - VALORES MÍNIMOS PARA AS ARMADURAS 
 
 
 
 
 
 
 Página 20 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
• Devem ser observadas outras prescrições da NBR 6118, algumas das quais são 
mencionadas a seguir: 
• Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. 
 
• Espaçamento da armadura principal de flexão deve ser igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo 
o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. 
 
• O espaçamento da armadura secundária de flexão ≥ da armadura principal, mantendo-se, 
ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 5.3 – Ks = f (Kc) 
 
Página 21 de 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 5.4 – Determinação de Número de Ferros e bitola ( ø ) = f ( As, bw ) 
 
 
 
 
 
 
 Página 22 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA 5.5 – Determinação de Número de Ferros e bitola ( ø ) = f ( As) p/ bw =100 cm 
 
Página 23 de 40 
 
EXEMPLO: 
 
Dimensionar a área de armadura (de ferro) positiva e negativa das lajes ( L1, L2 e L3 ) da figura abaixo. 
Sabe-se que o ferro a ser utilizado é CA 50 e o concreto fck = 20 MPa e que, a Laje 3 deverá ser 
rebaixada em 20,0 cm, pois será área destinada a área de serviço. Sabe-se também, que o piso é de 
uma edificação residencial e será revestido com taco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• ROTEIRO DE CÁLCULO: 
 
a) Determinação das cargas nas lajes. 
b) Verificação do tipo de laje quanto ao modo de cálculo (armada em 1 ou 2 direções). 
c) Determinação do tipo de laje para a utilização das Tabelas de Marcus. 
d) Determinação da relação λ = ℓy / ℓx. 
e) Através das tabelas de Marcus (com o tipo de laje e λ ), determinar os coeficientes mx, my, nx e 
ny. 
f) Calcular os Momentos Positivos e Negativos ( Mx, My, Xx e Xy ). 
g) Compatibilização dos Momentos Fletores 
h) Com os momentos, calcular as áreas de armadura. 
 
• SOLUÇÃO: 
 
a) Determinação das cargas nas lajes 
 
Peso Próprio ⇒ 0,10 ( m ) x 25,0 kN/m3 = 2,50 kN/m2 
 
Revestimento ⇒ ( taco ) = 0,50 kN/m2 
 
Carga Acidental ⇒ ( uso residencial ) = 1,50 kN/m2 
 
Total ( q = ) = 4,50 kN/m2 
 
 
h = 10 
 
h = 10 
 
h = 10 
 
L 3 
3,
00
 
4,
50
 
2,
00
 
3,50 
5,50 
2,00 
L 1 
L 2 
Reb. = 20 
 
 
 
 
 
 
 Página 24 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
b) Verificação do tipo de laje quanto ao modo de cálculo (armada em 1 ou 2 direções) 
 
Laje 1 ⇒ Independentemente da vinculação da Laje 1 com as Lajes 2 e 3, pela definição, para 
determinarmos λ, leva-se em consideração que x é o menor lado e y é o maior lado. Já a análise de 
λ para o uso na Tabela de Marcus, pode diferir o valor, isso decorrente do estabelecimento de x, que 
não necessariamente é o menor vão. 
 
Logo, Laje 1 ⇒ x = 3,00 m e y = 5,50 m ∴λ = y / x = 5,5 / 3,0 < 2 
 
∴ Laje 1 ⇒ Armada em 2 direções 
 
Laje 2 ⇒ Da mesma forma que na Laje 1, independentemente da vinculação da Laje 2 com as Lajes 1 
e 3, pois, para o cálculo de λ, leva-se em consideração que x é o menor lado e y é o maior lado. 
 
Logo, Laje 2 ⇒ x = 2,00 m e y = 3,50 m ∴ λ = y / x = 3,5 / 2,0 < 2 
 
∴ Laje 2 ⇒ Armada em 2 direções 
 
 
Laje 3 ⇒ Para o cálculo de λ, leva-se em consideração que x é o menor lado e y é o maior lado. 
 
Logo, Laje 3 ⇒ x = 2,00 m e y = 4,50 m ∴λ = y / x = 4,5 / 2,0 > 2 
 
∴ Laje 2 ⇒ Armada em 1 direção 
 
 
c) Determinação do tipo de laje para a utilização das Tabelas de Marcus 
 
Laje 1 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Laje 1 tem três bordos simplesmente apoiados, pois são lados que não há lajes adjacentes a eles. 
Existe somente um bordo (ou lado) a ser analisado, ou seja, o lado que separa a Laje 1 da Laje2 ( y1 ) 
e da Laje 3 ( y2 ). 
 
 
 
h = 10 
 
L 1 
x 
y 
ℓ y = 5,50 
ℓ y1 = 3,50 ℓ y2 = 2,00 
ℓ x
 =
 3
,0
0 
 ←
ℓ 
3 
= 
4,
50
 
 
 ←
ℓ 
1 
= 
3,
00
 
 
 
←
 ℓ 
2 
=2
,0
0 
→
 
 
Página 25 de 40 
• Laje1/Laje2 ( bordo y1 ) ⇒ 1 = 3,00 m e 2 = 2,00 m estabelecem uma relação ( 1 / 2 ) < 4 
e, se não há restrição alguma de rebaixo, logo y1 está engastado. 
 
• Laje1/Laje3 ( bordo y2 ) ⇒ 1 = 3,00 m e 3 = 4,50 m estabelecem uma relação ( 3 / 1 ) < 4; 
porém há a indicação de que a Laje 3 tem rebaixo de 20 cm ( ∆h = 20 cm ); para a verificação 
de engaste ou não, deve-se além de comparar-se h (espessura da Laje 1) com ∆h, também 
averiguar se  é ≥ ou < 2,50 m, onde  ( = 3,00 m ) é o menor valor entre 1 e 3. 
 
 ∆h = 20 cm > h = 10 cm 
∴ como ⇒ ( bordo y2 ) bordo engastado 
  > 2,50 m 
 
 
Como y1 e y2 são engastados, logo o bordo y é totalmente engastado para a Laje L1. 
 
É importante observar que, se y2 não fosse engastado, dever-se-ia analisar a relação y1 / y, 
verificando se é < 1/3 (apoiado), ou se é ≥ 2/3 (engastado). 
A relação y1 / y = 3,50 / 5,50 é < 2/3 e > 1/3. Neste caso, dever-se-ia finalmente, adotar os maiores 
valores de Reações de Apoio e de Momentos (Positivos e Negativos) verificando-se para ambos os 
casos (apoiado e engastado). 
 
Com tudo isso, a Laje 1 ⇒TIPO 2. 
 
 
Laje 2 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Laje 2 tem dois bordos simplesmente apoiados, pois são lados que não há lajes adjacentes a eles. 
Existem somente dois bordos (ou lados) a serem analisados, ou seja, o lado que separa a Laje 2 da 
Laje1 e da Laje 3. 
 
• Laje2/Laje1 ⇒ 2 = 3,50 m, para a Laje 2, não precisa de nenhuma outra análise (além 
daquelas feitas para a Laje 1), pois está engastado. Ou seja, na sua totalidade existe outra laje 
adjacente. 
 
• Laje2/Laje3 ⇒ 2 = 3,50 m e 3 = 2,00 m estabelecem uma relação ( 3 / 1 ) < 4; porém há a 
indicação de que a Laje 3 tem rebaixo de 20 cm ( ∆h = 20 cm ); para a verificação de engaste 
ou não, deve-se além de comparar-se h (espessura da Laje 2) com ∆h, também averiguar se  
é ≥ ou < 2,50 m, onde  ( = 2,00 m ) é o menor valor entre 2 e 3. 
 
 ∆h = 20 cm > h = 10 cm 
∴ como⇒ ( bordo L1/L3 ) bordo apoiado 
  < 2,50 m 
h = 10 
 
ℓ X
 =
2,
00
 
L 2 
ℓ y = 3,50 
ℓ 2 = 3,50 ℓ 3 = 2,00 
x 
y 
 
 
 
 
 
 
 Página 26 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
 
Com tudo isso, a Laje 2 ⇒TIPO 2. 
 
 Laje 3 ⇒ 
 
A Laje 3 como já visto, é armada em 1 direção; logo, não há a necessidade de análise dos bordos nas 
direções que não sejam àquela de cálculo. 
 
Na direção de cálculo, existe uma borda (parcial) com uma laje adjacente (no caso a Laje 2), porém, já 
também visto, não há engaste e sim apoio. E mesmo que houvesse engaste, dever-se-ia ainda, 
analisar a extensão “desse” engaste, em relação com a totalidade do lado. Para então, determinar se é 
(ou não) o lado todo engastado. 
 
Com tudo isso, a Laje 3 ⇒ Armada em 1 direção ( com apoios articulados e vão de 2,00 m → x = 
2,00 m ) 
 
d) Determinação da relação λ = ℓy / ℓx. 
 
Laje 1 ⇒TIPO 2, e λ = y / x = 5,5 / 3,0 = 1,833 
 
Laje 2 ⇒TIPO 2, e λ = y / x = 3,5 / 2,0 = 1,750 
 
Laje 3 ⇒ Armada em 1 direção ( não é calculado o Momento com o auxílio das Tabelas de Marcus ) 
 
e) Através das tabelas de Marcus (com o tipo de laje e λ ), determinar os coeficientes mx, my, nx e 
ny. 
 
Laje 1 ⇒TIPO 2, e λ = y / x = 5,5 / 3,0 = 1,833 ⇒ ( mx = 17 , my = 76,6 e nx = 8 ) 
 
Obs: o valor de my foi interpolado, para se determinar 76,6, uma vez que os valores são tabelados para 
λ variando de 1,82 para 1,84. 
 
Laje 2 ⇒TIPO 2, e λ = y / x = 3,5 / 2,0 = 1,750 ⇒ ( mx = 17 , my = 71,5 e nx = 8 ) 
 
Obs: o valor de my foi interpolado, para se determinar 71,5, uma vez que os valores são tabelados para 
λ variando de 1,74 para 1,76. 
 
f) Calcular os Momentos Positivos e Negativos ( Mx, My, Xx e Xy ). 
 
Laje 1 ⇒ x = 3,00 m ⇒ mx = 17 , my = 76,6 e nx = 8 onde: 
 
xn
2
x.q
xX
ym
2
x.q
yM
xm
2
x.q
xM

−=== ⇒ 
( ( (
8
2)00,3.4,5
xX6,67
2)00,3.4,5
yM71
2)00,3.4,5
xM −===
 
∴ Mx = 2,38 kN.m / m → Mx = 238 kN.cm / m 
 
∴ My = 0,529 kN.m / m → My = 52,9 kN.cm / m 
 
Página 27 de 40 
 
∴ Xx = - 5,06 kN.m / m → Xx = - 506 kN.cm / m ( sinal negativo somente indica armadura 
superior ) 
 
Laje 2 ⇒ x = 2,00 m ⇒ ( mx = 17 , my = 71,5 e nx = 8 ) 
 
xn
2
x.q
xX
ym
2
x.q
yM
xm
2
x.q
xM

−=== ⇒ 
( ( (
8
2)00,2.4,5
x
X
5,17
2)00,2.4,5
y
M
71
2)00,2.4,5
x
M −=== 
∴ Mx = 1,05 kN.m / m → Mx = 105 kN.cm / m 
 
∴ My = 0,251 kN.m / m → My = 25,1 kN.cm / m 
 
∴ Xx = - 2,25 kN.m / m → Xx = - 225 kN.cm / m ( sinal negativo somente indica armadura 
superior ) 
 
Laje 3 ⇒ x = 2,00 m ⇒ q = 4,5 kN/m2 ( armada em 1 direção e bi-articulada) 
⇒ m/m.kN25,2
8
2)00,2(5,4
=
×
==
8
2
x.q
xM

 
 
∴ Mx = 2,25 kN.m / m → Mx = 225 kN.cm / m 
 
g) Compatibilização dos Momentos Fletores 
 
 
Antes de se compatibilizar os Momentos Positivos e Negativos, deve-se fazer um resumo destes 
Momentos: 
 
 Mx = 238 kN.cm / m 
Laje 1  My = 52,9 kN.cm / m 
 Xx = 506 kN.cm / m ( L1/L2 e L 1/L3 ) 
 
 Mx = 105 kN.cm / m 
Laje 2  My = 25,1 kN.cm / m 
 Xx = 225 kN.cm / m ( L2/L1 ) 
 Xy = 0,00 kN.cm / m ( L2/L3 → L3 rebaixada ) 
 
 Mx = 225 kN.cm / m ( armada em 1 direção ) 
Laje 3  My = 0,00 kN.cm / m 
 Xx = 0,00 kN.cm / m ( L3/L2 → L3 rebaixada ) 
 Xy = 0,00 kN.cm / m ( L3/L1 →armada em 1 direção e na direção x ) 
 
Logo, a compatibilização dos Momentos deverá ser feita a partir dos Momentos Negativos referentes 
ao(s) bordo(s) que separa(m) L1 das Lajes L2 e L3. 
 
LAJE 1 ⇒ 
 
Fica caracterizado que para a Laje L1 adota-se Laje Externa (Vão Externo): 
 
 
 
 
 
 
 Página 28 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
 
Primeiramente faz-se a análise do(s) Momento(s) Negativo(s), referente ao(s) bordo(s) de ligação das 
Lajes L1/L2 e L1/L3. 
 
Laje 1 / Laje 2 ⇒ m/cm.kN5,563
2
22550621 =
+
=
+
2
XX
 e 0,8 . X1 = 0,8 x 506 = 404,8 kN.cm/m 
Logo, Xc1= 404,8 kN.cm/m ( para o bordo L1/L2) 
 
Laje 1 / Laje 3 ⇒ m/cm.kN0,253
2
050631 =
+
=
+
2
XX
 e 0,8 . X1 = 0,8 x 506 = 404,8 kN.cm/m 
Logo, também para o bordo Laje 1 / Laje 3 ⇒ Xc1= 404,8 kN.cm/m 
 
∴ Xc1= 404,8 kN.cm/m (ao longo de todo que separa Laje 1 com as Lajes 2 e 3) 
 
O Momento Positivo na direção x deverá também ser compatibilizado → ( Mxc1 ), onde: 
 
Mxc1 = Mx1 + ∆M1 e ∆M1 = (Xx1 - Xc1 ) / 2 ∴ ∆M1 = ( 506 - 404,2 ) / 2 = 50,9 e se Mxc1= Mx1 + ∆M1 
 
∴ Mxc1 = 238 + 50,9 = 288,9 kN.cm/m 
 
 
LAJE 2⇒ 
 
Fica caracterizado que para a Laje L2, também se adota Laje Externa (Vão Externo), como esta laje é 
liga à Laje L1 e somente à Laje L1; logo, a compatibilização do Momento Negativo para esta laje é o 
mesmo valor da Laje L1. 
 
 
∴ Xc2= 404,8 kN.cm/m (ao longo de todo que separa Laje 2 com as Lajes 1) 
 
O Momento Positivo na direção x deverá também ser compatibilizado → ( Mxc2 ), onde: 
 
Mxc2 = Mx2 + ∆M2 e ∆M2 = ∆M1 = 50,9 e se Mxc2 = Mx2 + ∆M2 
 
∴ Mxc2 = 105 + 50,9 = 155,9 kN.cm/m 
 
 
LAJE 3⇒ 
 
Como se trata de Laje armada em 1 direção e, não ter o bordo engastado na direção de cálculo, isso 
implica em não haver a necessidade de compatibilização do momento positivo, pois não há momento 
negativo nos bordos. 
 
∴ Mxc3 = Mx3 = 225 kN.cm/m 
 
h) Com os momentos, calcular as áreas de armadura. 
 
Com o intuito de parâmetros de norma quanto a Armadura Mínima, deve-se então estabelecer As min e 
este valor é determinado através da fórmula → ρmin = As min / (bw . d ), onde é encontrado na Tabela 
 
Página 29 de 40 
5.2 e, pode-se então confrontar as situações de comparação de ρmin com ρs, determinado 
respectivamente As min e As . 
 
Para concreto fck = 20 MPa e aço CA 50 ⇒ ρmin = 0,15 % 
 
∴ As min = ρmin . (bw . d ), onde pela Tabela 5.5 → ρmin = 0,15% 
 
∴ As min = ( 0,15/100 ) x (100 x 8,5) = 1,28 cm2/m 
 
E segundo recomendação de norma (tabela 5.4), para Armadura Positiva de Lajes armadas em 2 
direções, ρs ( → A s ) ≥ 0,67 ρmin (→ As min ) , então, no exemplo: A s ≥ 0,67 . 1,28 = 0,86 cm2/m. Já 
para Lajes armadas em 1 direção, a armadura principal: ρs (→ A s ) ≥ ρmin (→ As min ), mesma 
condição para Armadura Negativa. Para a Armadura Secundária (ou de Distribuição) em Lajes 
Armadas em 1 direção: ρs (→ A s ) ≥ 20% da Armadura Principal, ou ρs (→ A s ) ≥ 0,50 ρmin (→ As 
min ), ou ainda, ρs ( → A s ) ≥ 0,90 cm2/m, o que for maior. 
 
Na verdade, estabeleceu-se uma referência para todas as Três Lajes (pois os fatores: fck e tipo de aço 
são os mesmos para as três Lajes) 
 
LAJE L1  
 
Armadura Positiva : 
 
• Direção x ⇒ Mxc1 = 288,9 kN.cm/m 
 
Md = γ f . Mk ⇒ Md = 1,4 x 288,9 = 404,5 kN.cm/m e 
dM 
2db w
cK
•
= ∴ 86,17
5,404
5,00
=
•
=
 
281
cK
 
 
Com K c = 17,86 e concreto fck = 20 MPa, aço CA 50 → Tabela 5.3 ⇒ K s = 0,024 
 
∴ /m2cm14,1
d
dM.sKx =•==
8,5 
404,50,024
sA
 e como Asx > 0,86 cm2/m, então OK ! 
 
• Direção y ⇒ Myc1 = My1 = 52,9 kN.cm/m 
 
Md = γ f . Mk ⇒ Md = 1,4 x 52,9 = 74,1 kN.cm/m e 
dM 
2db w
cK
•
= ∴ 50,97
1,74
5,00
=
•
=
 
281
cK
 
 
Com K c = 97,50 e concreto fck = 20 MPa, aço CA 50 → Tabela 5.3, como K c > 51,9 ⇒ K s lim= 0,023 
 
∴ /m2cm20,0
d
dM.sKy =•==
8,5 
74,10,023
sA
 e como Asy < 0,86 cm2/m, então Asy assume o 
valor de 0,86 cm2/m ∴ Asy = 0,86 cm2/m 
 
Armadura Negativa : 
 
• Borda entre as Lajes L1/L2 e L1/L3 ⇒ Xc1 = 404,8 kN.cm/m 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 30 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
Md = γ f . Mk ⇒ Md = 1,4 x 404,8 = 566,7 kN.cm/m e 
dM 
2db w
cK
•
= ∴ 75,12
7,566
5,00
=
•
=
 
281
cK
 
 
Com K c = 12,75 e concreto fck = 20 MPa, aço CA 50 → Tabela 5.3 ⇒ K s = 0,024 
 
∴ /m2cm60,1
d
dM.sKx =•==
8,5 
566,70,024
sA
 e como Asx > 1,28 cm2/m, então OK ! 
LAJE L2  
 
Armadura Positiva : 
 
• Direção x ⇒ Mxc2 = 155,9 kN.cm/m 
Md = γ f . Mk ⇒ Md = 1,4 x 155,9 = 218,3 kN.cm/m e 
dM 
2db w
cK
•
= ∴ 10,33
3,218
5,00
=
•
=
 
281
cK
 
Com K c = 33,10 e concreto fck = 20 MPa, aço CA 50 → Tabela 5.3 ⇒ K s = 0,023 
 
∴ /m2cm59,0
d
dM.sKx =•==
8,5 
218,30,023
sA
 e como Asx < 0,86 cm2/m, então Asx assume o 
 
valor de 0,86 cm2/m ∴ Asx = 0,86 cm2/m 
 
• Direção y ⇒ Myc2 = My2 = 25,1 kN.cm/m 
 
Md = γ f . Mk ⇒ Md = 1,4 x 25,1 = 35,1 kN.cm/m e 
dM 
2db w
cK
•
= ∴ 84,205
1,35
5,00
=
•
=
 
281
cK
 
Com K c = 205,84 e concreto fck = 20 MPa, aço CA 50 → Tabela 5.3, como K c > 51,9 ⇒ K s lim = 
0,023 
∴ /m2cm09,0
d
dM.sKy =•==
8,5 
35,10,023
sA
 e como Asy < 0,86 cm2/m, então Asy assume o 
valor de 0,86 cm2/m ∴ Asy = 0,86 cm2/m 
 
LAJE L3  
 
Armadura Positiva : 
 
• Direção x ( Laje armada em 1 só direção ) ⇒ Mx3 = 225,0 kN.cm/m 
Md = γ f . Mk ⇒ Md = 1,4 x 225,0 = 315,0 kN.cm/m e 
dM 
2db w
cK
•
= ∴ 94,22
0,315
5,00
=
•
=
 
281
cK
 
Com K c = 22,94 e concreto fck = 20 MPa, aço CA 50 → Tabela 5.3 ⇒ K s = 0,023 
∴ /m2cm85,0
d
dM.sKx =•==
8,5 
,030,023 15
sA
 e como Asx < 1,28 cm2/m, então Asx assume o 
 
valor de 1,28 cm2/m ∴ Asx = 1,28 cm2/m 
 
Página 31 de 40 
 
• Direção y ( Armadura Secundária → As d ) ⇒ 
 
Como a Armadura Principal = As min = 1,28 cm2/m, então o maior valor entre as três considerações: ρs 
(→ A s ) ≥ 20% da Armadura Principal, ρs (→ A s ) ≥ 0,50 ρmin (→ As min ), e ainda, ρs (→ A s ) ≥ 
0,90 cm2/m, é que As d = 0,90 cm2/m. 
5.5.2 Designação das Armaduras de Lajes Maciças 
Quanto ao Desenho de Armação, diz-se daquele que definem as armaduras a serem colocadas nos 
elementos. Devem trazer: identificação das barras, definição da bitola e do comprimento, e do 
posicionamento. 
 
Por exemplo, uma determinada barra será designada por: N8 – 2 ø 12,5 – 252. 
 
 
 
 
 
 
Isso quer dizer que o ferro de posição 8 tem bitola (diâmetro) de 12,5 mm e comprimento reto de 252 
cm e por fim, a quantidade desse ferro naquele elemento estrutural é de 2 (duas) barras. 
 
Quando se diz comprimento reto, quer se dizer comprimento de corte daquele ferro, para posterior 
dobra conforme detalhamento de cada, de cada posição. E quanto ao detalhamento de armação, será 
visto neste módulo em itens a seguir. 
Seguem-se figuras de armação de elementos estruturais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quantidade do ferro 
Bitola do ferro 
Comprimento reto do ferro Posição do ferro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 32 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (manual) 
 
 
 
Página 33 de 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em cada prancha de detalhamento de armadura são feitas duas tabelas, uma chamada de Lista de 
Aço, e outra, Resumo de Aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 34 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
A Lista de Aço é indispensável para a produção. Indicam os comprimentos e quantidades de aço a 
serem cortadas, com respectivos diâmetros, e, a numeração a ser adotada na etiqueta fixada nas 
armaduras, indicativas da posição conforme projeto. 
 
 
 
 
 
 
O Resumo de Aço é necessário para a compra do aço para obra, bem como, quanto a armadura, são 
os valores constantes nos orçamentos finais de obra. 
RESUMO DE AÇO 
Φ Comprimento (+5%) 
Peso por 
metro linear Peso total 
 
 
 
 
TOTAL = 
5.5.3 Detalhamento das Armaduras de Lajes Maciças 
Ressalta-se aqui, que de posse das áreas de armadura calculadas para os casos de vigas (flexão e 
cisalhamento), pilares (flexo-compressão e armadura transversal) e finalmente lajes (flexão); facilita o 
detalhamento o uso de tabelas. 
 
No anexo constam as planilhas necessárias para cada caso; ressalta-se antes, que é muito difícil 
encontrar-se valores exatos para área de armadura efetivamente adotada, em relação à calculada, com 
isso é permitido ( a Norma permite) que Asef ≥ 0,95 Ascal. 
• Armaduras Positiva e Negativa 
Em dimensionamento de lajes foi visto que se chega aos Momentos nas duas direções (Mx e My) 
quando for laje armada em duas direções, ou da mesma forma, se chega ao Momento para laje 
armada em uma só direção. Viu-se também, que existem os Momentos Negativos (Xx e Xy) para os 
apoios entre lajes contíguas. 
 
LISTA DE AÇO 
Posição Φ Quant. Comp. unit. Comp. total 
1 
2 
3 
4 
 
Página 35 de 40 
Esses Momentos, tanto positivos quanto negativos, geram uma área de armadura que fica em termos 
de cm²/m, novamente se remete ao entendimento de que isso quer dizer, “tantos” cm² de área de ferro 
distribuídos em 1 (um) metro de laje, na direção considerada. 
 
 
Para então se ter as bitolas de ferro associadas ao espaçamento correto, de uma referida área 
correspondente, recorre-se à tabela 1.4a. 
 
Para maior facilidade, pode-se prever que todas as armações positivas sejam levadas de apoio a apoio 
das lajes; embora não seja o mais econômico. 
 
Já para as armações negativas pode-se adotar um comprimento, onde a barra avance ¼ do menor dos 
maiores vãos de cada laje adjacente e a metade deste comprimento para a outra laje, isso a partir do 
eixo da viga, que coincide com o eixo entre lajes adjacentes; porém alternando-os para cada 
espaçamento. 
 
Supondo o esquema de lajes a seguir, com espessura de 10 cm e, que os momentos geraram para a 
Laje 1 as Armaduras Positivas Asx = 2,04 cm2/m, Asy = 1,54 cm2/m e AsL1/L2 = 3,07 cm2/m, como 
Armadura Negativa entre as Lajes 1 e 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto ao por que dos valores de a e b, remete-se ao que já fora mencionado anteriormente, para as 
armações negativas pode-se adotar um comprimento, onde a barra avance ¼ do menor dos maiores 
vãos de cada laje adjacente e a metade deste comprimento para a outra laje, isso a partir do eixo da 
viga; então, os vãos de cálculo da laje L1 são (ℓ 1 = 3,20 m e ℓ 3 = 4,00 m ), então o maior vão dessa 
laje é ℓ 3, já para a laje L2, os vãos são (ℓ 2 = 4,20 m e ℓ 3 = 4,00 m ), onde o maior vão é ℓ 2. Entre os 
maiores vãos (ℓ 2 e ℓ 3), o menor é ℓ 3 = 4,00, então a = ℓ 3 / 4 = 100 cm ∴ b = a / 2 = 50 cm. 
Pode-se verificar que tanto na Armadura positiva, quanto na Armadura negativa é previsto um gancho, 
ou seja, para melhorar a aderência, é conveniente dobrar as extremidadesdas armações a 90°, com 
um comprimento igual à espessura da laje menos os recobrimentos. 
100 
N3 – 39 Φ 6,3 c/10 – C = 158 
20 
50 
150 
N
2 
– 
16
 Φ
 6
,3
 c
. 2
0 
– 
C
 =
 4
12
 
N1 – 27 Φ 6,3 c. 15 – C = 332 
L1 
h=9 
L2 
ℓ 2 = 4,20 
ℓ 
3 =
 4
,0
0 
4,00 20 20 
ℓ 1 = 3,20 
3,
80
 
20
 
20
 
3,00 
40
0 
320 
 a = ℓ 3 / 4 
b = a/ 2 a = ℓ 3 / 4 
b = a/ 2 
 
 
 
 
 
 
 Página 36 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
Para as lajes armadas em uma só direção, é necessário prever o uso de armações secundárias, no 
sentido transversal à Armadura Principal, essas armações secundárias são chamadas de Armações de 
Distribuição, onde o seu valor é de 0,5 cm2/m. 
Deve-se atentar para que a Armadura principal (Asx) seja colocada por baixo da (Asy), no caso de laje 
armada em duas direções e, por baixo da armadura de distribuição, no caso de laje armada em uma só 
direção. 
Quando se remeteu anteriormente, em detalhamento de armadura positiva, em ser menos ou mais 
econômico, vai-se pormenorizar aqui, a partir deste ponto. 
Existem três aspectos (para tipos de lajes = tipos de vãos), associado a outros três fatores 
(espaçamento da armadura), onde se pode (previsto em norma) apelar para a economia, podendo ser 
chamada de economia de ponta e/ou economia de faixa. 
Isto tudo decorre do fator de que traçar diagramas de momentos fletores das lajes seria extremamente 
trabalhoso e, por esta razão, são adotados os valores apresentados a seguir para a obtenção dos 
comprimentos e disposição das barras das armaduras positivas. 
Costuma-se, para melhor execução das armaduras negativas de lajes, prever uma armadura de 
montagem, necessária para manter na posição correta a armadura negativa, que é colocada antes da 
concretagem. Um detalhe típico deste tipo de armadura (caranguejo) é mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
1. PARA VÃOS ISOLADOS: 
O comprimento da barra será 90% do menor vão ( ℓ ), para lajes de vãos ( L – maior vão x ℓ - menor 
vão ), e será afastada 10% de ℓ a partir dos apoios, como indicado na figura abaixo: 
 
 
 
2. PARA VÃOS CENTRAIS: 
O comprimento da barra será 80% do menor vão ( ℓ ), para lajes de vãos ( L – maior vão x ℓ - menor 
vão ), e será afastada 20% de ℓ a partir dos apoios, como indicado na figura abaixo: 
 
 
0,10 ℓ 0,10 ℓ 
0,20 ℓ 0,20 ℓ 
 
 
Página 37 de 40 
3. PARA VÃOS EXTREMOS: 
Basicamente, segue sob a alternância de duas barras com comprimentos distintos e, consequentes 
posicionamentos distintos, uma barra segue de comprimento total de apoio-à-apoio, e outra com 75% 
do menor vão ( ℓ ), para lajes de vãos ( L – maior vão x ℓ - menor vão ), onde esta última será afastada 
20% de ℓ a partir do engaste e, afastada 5% de ℓ a partir do apoio simples, como indicado na figura 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Os três casos expostos são caracterizados como “economia de ponta”, passa-se neste momento a 
pormenorizar o que se chama da “economia de faixa”, que nada mais, nada menos é que, adotar-se ou 
não e de que forma adotar-se, de acordo com a magnitude dos espaçamentos adotados para as 
referidas armaduras positivas. 
 
Para isso, a NBR 6118 especifica três possibilidades de economia, conforme os três casos (faixas) a 
seguir: 
a. PARA ESPAÇAMENTOS de 17,5 a 33 cm (1 φ c. 17,5, c. 20, c. 25, c. 30 ou c. 33): 
 
Não há possibilidade de economia para estes casos, uma vez que, nas regiões próximas aos apoios as 
barras estariam espaçadas em mais de 33 cm, o que a norma não permite (no mínimo 3 barras por 
metro devem chegar aos apoios). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. PARA ESPAÇAMENTOS de 10 a 15 cm (1 φ c. 10, c. 12,5 e c. 15): 
 
Já, nesta faixa de espaçamentos é permitida a economia de ponta e elas serão alternadas como 
mostrado nos três casos, conforme os vãos. 
0,20 ℓ 0,05 ℓ 
20 20 
480 
32
0 
20
 
20
 
N2 – 17 φ 5,0 c. 20 - 500 
N
1 
– 
25
 φ
 5
,0
 c
. 2
0 
- 3
40
 
L1 
 
 
 
 
 
 
 Página 38 de 40 
 
 Prof. Luiz Algemiro Cubas Guimarães (MIRO) 
 ESTRUTURA DE CONCRETO ARMADO I (CV 045) 
Notas de Aula - 5 
 
DIMENSIONAMENTO DE LAJES 
 
 
Exemplifica-se então na figura a seguir conforme a L2, com quatro bordos apoiados. A economia no 
comprimento é de 0,10 x ℓ = 0,10 x 360 = 36 cm, e será adotado 35 cm, pois se deve sempre que 
possível, arredondar os comprimentos para múltiplos de 5 cm. 
 
Portanto, os comprimentos das barras seriam: 
 
Na direção x : 400 – 35 + 20 = 385 cm 
Na direção y : 340 – 35 + 20 = 325 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c. PARA ESPAÇAMENTOS de 5,0 a 7,5 cm (1 φ c. 5, c. 6,7 e c. 7,5): 
 
Para estes casos; pode-se, além da economia de ponta, duplicar o espaçamento em regiões próximas 
aos apoios, numa faixa igual a 20% do menor vão da laje (0,2 ℓ), valor este correspondente ao caso 
mais desfavorável de apoio. Na verdade esta prática é prevista em norma, porém pouco usual na 
prática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 20 
400 
34
0 
20
 
20
 
N2 – 17 φ 5,0 c. 20 - 385 N
1 
– 
25
 φ
 5
,0
 c
. 2
0 
- 3
25
 
L2 
20 20 
400 
33
0 
20
 
20
 
N2 – 23 φ 5,0 c.15 - 385 N1
 –
 5
4 
φ 
5,
0 
c.
 2
0 
- 3
15
 
L3 
65 65 
35 φ N 1 c.7,5 9 φ N 1 c.15 9 φ N 1 c.15 
 
Página 39 de 40 
• Armaduras de Canto 
As armaduras de canto são utilizadas para combater o momento volvente e, isto de acordo com a NBR 
6118, subitem 3.3.2.8, que diz o seguinte: 
 
Quando, nos cantos das lajes retangulares livremente apoiadas nas quatro bordas, a armadura para combater o 
momento volvente não for calculada, deverão ser dispostas duas armaduras, uma superior paralela à bissetriz e outra 
inferior, a ela perpendicular, cada uma delas com área de seção transversal não inferior à metade da máxima no centro 
da laje. Essas armaduras deverão estender até a distância, medida a partir das faces dos apoios, igual a um quinto do 
vão menor. 
 
O que acontece na prática é o de se colocar tais armaduras apenas em lajes cujo vão menor seja 
superior a 3,0 m e somente nos cantos onde concorram dois bordos simplesmente apoiados e, não 
apenas quando a laje for simplesmente apoiada nos quatro bordos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Explicitando ⇒ AS c,inf = AS c,sup ≥ 0,2 AS da Laje, onde é a maior armadura entre ASx e ASy da 
respectiva Laje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,1 ℓ 
0,2 ℓ 
AS c,inf – Armadura de Canto Inferior 
0,2 ℓ 
0,1 ℓ 
AS c,sup – Armadura de Canto Superior 
 
 
 
 
 
 
 Página 40 de 40 
	5.1 Introdução
	5.2 Classificação e Tipos de Lajes
	5.2.1 Quanto a sua composição e forma
	5.2.2 Quanto ao Tipo de Apoio
	5.2.3 Quanto ao Esquema de Cálculo
	5.2.3.1 Vão Livre e Vão Teórico
	Conhecidos os vãos teóricos, considera-se ℓx o menor vão, ℓy o maior e λ = ℓy / ℓx (Fig. 5.4). De acordo com o valor de λ , é usual a seguinte classificação:
	 λ < 2 ( laje armada em duas direções;
	 λ ( 2 ( laje armada em uma direção.
	5.3 Vinculação de Bordo de Lajes
	5.4 Cargas e Verificação de Flechas para Lajes Maciças
	5.4.1 Cargas (ou Carregamentos) em Lajes
	As cargas atuantes nas lajes são de natureza permanente ( g ) e de natureza acidental ( q ). Os valores dessas são indicadas pela NBR-6120. As cargas de natureza permanente que atuam nas lajes são compostas basicamente por:
	 Peso próprio da laje;
	 Peso da regularização;
	 Peso do enchimento;
	 Peso dorevestimento;
	 Peso dos elementos construtivos fixos;
	 Peso das instalações permanentes; outras.
	Para efeitos práticos e satisfazendo os ditames de norma, remete-se a seguir as considerações já mencionadas anteriormente em Sistemas Estruturais 1, quanto aos carregamentos em Lajes (Módulo3):
	 Peso-próprio (pp):
	 Alvenaria (alv):
	 Revestimento (rev):
	 Cobertura (cob):
	 Carregamentos Acidentais
	 Sobrecargas:
	 Lajes em Balanço
	Nas lajes em balanço, que se destinam a sacadas, além das cargas permanentes e acidentais citadas até aqui, devem ser considerados os seguintes carregamentos:
	5.4.2 Flecha como delimitador
	5.4.3 Determinação dos Esforços nas Lajes
	5.4.3.1 Reações de Apoio
	5.4.4 Cargas de Alvenaria nas Lajes
	5.4.5 Determinação dos Momentos Fletores
	5.4.5.1 Determinação dos Momentos Fletores para Lajes Armadas em 2 direções
	5.4.5.2 Determinação dos Momentos Fletores para Lajes Armadas em 1 direção
	5.4.6 Compatibilização dos Momentos Fletores
	Há de se observar, que tanto para os momentos positivos como para os negativos, os valores determinados pela Tabela de Marcus (para as lajes armadas em 2 direções ( armadas em cruz), ou os momentos determinados nos casos de lajes armadas em 1 só direç...
	Porém, a compensação dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, é um processo bastante simplificado, rápido e que fornece resultados razoavelmente próximos dos reais, desde que se observe algumas restrições:
	 a carga permanente deve ser maior que a acidental,
	 carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total,
	 as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si.
	Estas restrições, para a grande maioria dos casos estruturais surgidos ( ou que surgirão) para análise na vida profissional de um arquiteto, não será impeditivo para a utilização do processo que passaremos a detalhar a seguir.
	Ao contrario das vigas contínuas, onde ocorre a propagação dos momentos ao longo dos tramos, nas lajes esta propagação não será considerada. A compensação será feita uma a uma, independente das demais.
	Decorre então, a necessidade do entendimento da existência de uma diferença de Momentos Negativos em cada apoio e, quando houver a compensação desses momentos, necessariamente o Momento Negativo “compensado” será menor que o maior dos dois momentos. C...
	5.5 Dimensionamento de Lajes Maciças de Concreto Armado
	Conhecidos os momentos fletores característicos compatibilizados (Mk ( Momentos Positivos e Negativos Compatibilizados – segundo item anterior ), passa-se à determinação das armaduras. Esse dimensionamento é feito à Flexão (como veremos mais detalhada...
	Podem ser utilizadas as tabelas descritas a seguir, sendo a Tabela 5.3 para o cálculo das áreas necessárias das armaduras e as Tabelas 5.4 e 5.5 para a escolha do diâmetro e do espaçamento das barras, respectivamente.
	 Inicialmente, determina-se o momento fletor de cálculo ( Md ), em kN.cm/m:
	Md = (f . Mk onde, (f = 1,4 ( coeficiente de segurança de norma ( adimensional)
	 Posteriormente, calcula-se o coeficiente Kc conforme:
	 Com o coeficiente Kc, e conhecidos a resistência característica do concreto ( em MPa ) e o tipo de aço ( ferro ) utilizados na obra, determina-se ( através da Tabela 5.3) o coeficiente Ks;
	 Com o coeficiente Ks, determina-se então a área de armadura ( As ( em cm2 ), conforme:
	;
	 Através das Tabelas 5.4 e ou 5.5 determina-se o diâmetro nominal do ferro e o seu espaçamento.
	5.5.1 Diretrizes de Norma e Dimensionamento
	As armaduras devem respeitar os valores mínimos recomendados pela NBR 6118, indicados nas tabelas 5.1 e 5.2 nas quais (s = As / (bw . d ). Onde relaciona (s = f ( (min ) e (min = As min / (bw . d )
	Calcula-se (min para fatores diferentes, usando a equação ou usando a tabela:
	5.5.2 Designação das Armaduras de Lajes Maciças
	5.5.3 Detalhamento das Armaduras de Lajes Maciças
	 Armaduras Positiva e Negativa
	 Armaduras de Canto