Teoria Fundamental do Motor de Indução - Ivo Barbi

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APÊNDICE 
 
CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA 
INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO 
(A) TRANSFORMAÇÃO REAL 
 Seja uma estrutura genérica representada na Fig. 1. 
+-
v1
i1
+-
v2
i2
+-
v3
i3
+-
vn
in
 
Fig. 1 – Estrutura genérica. 
 Seja: 
 
1
2
3
n
i
i
i
i
       
i = (1) 
 
1
2
3
n
v
v
v
v
       
v = (2) 
 A potência envolvida é definida genericamente pela expressão (3). 
 tP = v i (3) 
 Seja: 
 -1T =v A v (4) 
174 APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO 
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 -1T =i A i (5) 
 Onde A-1 é uma matriz real n x n. 
 vT e IT representam os vetores tensão e corrente transformados pela matriz A-1. 
 Das expressões (4) e (5) obtém-se: 
 T=v Av (6) 
 T=i Ai (7) 
 tt tT=v v A (8) 
 Levando-se as expressões (7) e (8) na expressão (3) obtém-se: 
 t tT TP = v A Ai (9) 
 Seja: 
 tT T TP = v i (10) 
 Assim, para que PT = P é necessário que: 
 t =A A I (11) 
ou 
 t -1=A A (12) 
 Portanto para que a potência seja a invariante, é necessário que a 
transformação seja ortogonal. 
(B) TRANSFORMAÇÃO COMPLEXA 
 Quando as variáveis são complexas, a potência é definida pela expressão (13). 
 tP = ∗i v (13) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 175 
 Seja: 
 -1T =v A v (14) 
 -1T =i A i (15) 
 Assim: 
 T=v Av (16) 
 T=i Ai (17) 
 tt tT=i i A (18) 
 tt tT=
∗ ∗i i A (19) 
 Levando-se (19) e (16) em (13) obtém-se: 
 t tT TP =
∗ ∗i A Av (20) 
 Como, 
 T T TP =
∗ti v (21) 
 Para que PT = P é necessário que: 
 t =∗A A I (22) 
ou 
 t -1=∗A A (23) 
 Portanto quando a transformação é complexa, a matriz que a realiza deve ser 
unitária. 
 A transformação real é um caso particular da transformação complexa. Nesse 
caso: 
176 APÊNDICE. CONDIÇÕES PARA QUE A POTÊNCIA SEJA INVARIANTE SOB UMA TRANSFORMAÇÃO 
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 t t=∗A A (24) 
 Assim, 
 t -1=A A (25) 
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IVO BARBI 
 
TEORIA 
FUNDAMENTAL DO 
MOTOR DE INDUÇÃO 
 
d
q
 
 
 EDIÇÃO DO 
AUTOR 
 
Teoria Fundamental do Motor de Indu��o - Ivo Barbi/Cap�tulo 01 - Introdu��o a Teoria de Convers�o Eletromec�nica de Energia.pdf
CAPÍTULO 
1 INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
1.1 INTRODUÇÃO 
 Este capítulo pode ser considerado introdutório. Nele são estabelecidos os 
princípios sobre os quais serão desenvolvidos os capítulos seguintes. 
 Serão modelados alguns sistemas simples, nos quais ocorre transformação de 
energia elétrica em mecânica ou vice-versa. 
 O estudo desses sistemas permitirão estabelecer os princípios básicos que 
explicam os fenômenos associados à conversão eletromecânica de energia. 
 Os resultados obtidos serão genéricos e serão empregados no 
desenvolvimento dos demais capítulos, nos quais serão estabelecidos os modelos da 
máquina de indução. 
 As máquinas cuja conversão eletromecânica de energia dependa da presença 
de campos elétricos serão excluídas deste texto, visto que não apresentam interesse 
para o estudo da máquina de indução. 
1.2 CIRCUITO R - L 
 Consideremos a Fig. 1.1. Nela está representado um sistema constituído por 
uma bobina enrolada sobre um bastão de material magnético. Na Fig. 1.2 está 
representado o circuito equivalente do sistema. Nela aparece a indutância da bobina e 
a resistência do fio. 
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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v 
Fig. 1.1 – Circuito magnético simples. 
L
v
R
i
+
-
vR
+ -vL
 
Fig. 1.2 – Circuito elétrico equivalente. 
 
 Empregando a teoria de circuitos elétricos, pode-se estabelecer as equações 
(1.1) e (1.2) que relacionam as tensões e a corrente do circuito. 
 R Lv v v= + (1.1) 
 div Ri L
dt
= + (1.2) 
 Multiplicando-se todos os membros da equação (1.2) por i, obtém-se a 
equação (1.3) 
 2 div i Ri Li
dt
= + (1.3) 
mas 
 
21d Li
di 2Li
dt dt
   = (1.4) 
Assim 
 
2
2
1d Li
2vi Ri
dt
   = + (1.5) 
 Na expressão (1.5) tem-se as seguintes grandezas: 
 Vi → potência instantânea fornecida pela fonte ao circuito; 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 3 
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 2Ri → potência instantânea dissipada na resistência do 
circuito; 
 2Li
2
1 → energia instantânea armazenada no campo 
magnético; 
 
21d Li
2
dt
    → velocidade instantânea de crescimento da energia no 
campo magnético. Esta grandeza tem a dimensão de 
potência. 
 É preciso ter em mente que no sistema apresentado na Fig. 1.1, não existe 
conversão eletromecânica de energia. Toda energia fornecida pela fonte é 
transformada em calor e acumulada no campo magnético. Neste caso, somente a 
equação (1.5) representa o comportamento do sistema apresentado. 
1.3 MÁQUINA ELEMENTAR A DESLOCAMENTO LINEAR 
 Considerando-se a Fig. 1.3, semelhante a Fig. 1.1, mas com uma diferença 
fundamental: possibilidade de haver movimento relativo entre a bobina e o seu núcleo. 
Desta forma existe a possibilidade de variação do valor da indutância. A indutância da 
bobina é função de x, posição relativa entre ela e o seu núcleo. 
v
x
i L(x)
 
Fig. 1.3 – Circuito magnético sujeito a uma força 
mecânica externa. 
L(x)
v
R
i
+
-
vR
+ -vL
 
Fig. 1.4 – Circuito elétrico equivalente. 
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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 O circuito equivalente encontra-se representado na Fig. 1.4. Empregando-se a 
teoria de circuitos elétricos, obtém-se a expressão (1.6) 
 R Lv v v= + (1.6) 
 dv Ri
dt
φ= + (1.7) 
 ( )ixL=φ (1.8) 
 Assim: 
 
( )( )d L x i
v Ri
dt
= + (1.9) 
como L(x) e i são variáveis, obtém-se: 
 ( ) ( )dL xdiv Ri L x i
dt dt
= + + (1.10) 
 Multiplicando-se todos os membros da expressão (1.10) por i obtém-se a 
expressão (1.11) 
 ( ) ( )2 2 dL xdivi = Ri + L x i + i
dt dt
 (1.11) 
 
( )
( ) ( )
2
2
1d L x i dL xdi 12 = L x i + i
dt dt 2 dt
    (1.12) 
 ( )
( ) ( )2 2
1d L x i dL xdi 12L x i = - i
dt dt 2 dt
    (1.13) 
 Levando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão 
(1.14): 
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( ) ( ) ( )22 2 2
1d L x i dL x dL x12vi = Ri + - i + i
dt 2 dt dt
    (1.14) 
Assim: 
 
( )
( )
2
2 2
L x i
d
2 dL x1vi = Ri + + i
dt 2 dt
    (1.15) 
 Observamos que a expressão (1.15) possui o termo ( )
dt
xdLi
2
1 2 a mais em 
relação a expressão (1.5). Esse termo existe como conseqüência da variação da 
indutância do sistema e representa a diferença entre a potência fornecida pela fonte e 
as
potências dissipadas na resistência do circuito e armazenada no campo magnético. 
 Assim: 
 ( ) ( )
2
2 2
1d L x idL x1 2i = vi - Ri +
2 dt dt
         
 (1.16) 
 Este termo corresponde à potência elétrica convertida em potência mecânica. 
 Portanto: 
 ( )
dt
xdLi
2
1
dt
dxFP 2cme == (1.17) 
 ( ) ( )dL x dL x dx=
dt dx dt
 (1.18) 
 Assim: 
 ( )2 dL x1F = i
2 dx
 (1.19) 
 A expressão (1.19) é muito importante e estabelece o princípio básico da 
conversão eletromecânica de energia. Estabelece que uma força é produzida quando a 
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indutância é variável com o deslocamento. Este princípio explica o funcionamento de 
todos os sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia. 
 O sistema representado na Fig. 1.1 possui uma só variável dependente, a 
corrente do circuito. Por isto o seu comportamento é representado apenas pela 
expressão (1.2). O sistema representado na Fig. 1.3 possui duas variáveis 
dependentes, a corrente e a posição relativa entre o núcleo e a bobina. Por esta razão 
a equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento. 
 Deve-se obter a equação mecânica do sistema para completar o modelo. 
 Considerando-se a Fig. 1.5 
v
x
i L(x)R
F
F
F
F
i
e
a
 
Fig. 1.5 – Circuito magnético simples com possibilidade de deslocamento do núcleo. 
 
dt
dxDFa = ⇒ é a força de atrito. 
 2
2
i dt
xdmF = ⇒ é a força de inércia. 
 eF ⇒ é a força externa aplicada sobre o núcleo 
 ( )2 dL x1F = i
2 dx
 ⇒ é a força elétrica. 
 O equilíbrio mecânico estabelece que: 
 aie FFFF ++= (1.20) 
 Reunindo-se as equações elétrica e mecânica, obtém-se o modelo completo 
representado pelas equações (1.21) e (1.22): 
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 ( ) 22 e2dL x1 dx d xi - D - m = F2 dx dt dt (1.21) 
 ( ) ( ) V
dt
xdLi
dt
dixLRi =++ (1.22) 
 Como entradas ou variáveis independentes temos a tensão e a força externa. 
Como saídas ou variáveis dependentes temos a posição relativa x e a corrente i. 
 Como parâmetros do sistema temos o coeficiente de atrito D, a massa do 
núcleo m, a resistência da bobina R e a sua indutância L(x). 
 Podemos representar o sistema de acordo com a Fig. 1.6. 
- Parâmetros
- Modelo
SISTEMAv(t)
Fe(t)
x(t)
i(t)
 
Fig. 1.6 – Representação por bloco do sistema de equações. 
 O sistema estudado, com a sua aparente simplicidade é representado por um 
modelo relativamente complexo, na medida em que é não-linear e de difícil, senão 
impossível, tratamento analítico. 
1.4 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM UM ROLAMENTO. 
TORQUE DE RELUTÂNCIA 
 Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.7: 
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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R
L( )
Rotor
0
d
q
θ
θ
+
-
v
 
Fig. 1.7 – Representação da máquina elétrica elementar de um enrolamento. 
 O rotor desta máquina elementar pode girar em torno do eixo “O”. Quando o 
rotor se desloca em relação à bobina, a indutância da bobina L(θ) varia. 
 Por analogia com o sistema apresentado na Fig. 1.5, podemos obter a equação 
elétrica do sistema, representado pela expressão (1.23): 
 ( ) ( )
dt
dLi
dt
diLRiV θ+θ+= (1.23) 
 Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétrico 
produzido pelo sistema 
 ( )
dt
dLi
2
1
dt
dTP 2mec
θ=θ= (1.24) 
 Assim: 
 ( )2 dLd 1 dT = i
dt 2 d dt
θθ θ
θ (1.25) 
 Portanto: 
 ( )2 dL1T = i
2 d
θ
θ (1.26) 
 A expressão (1.26) estabelece uma relação entre o torque produzido sobre o 
rotor e a variação da indutância própria do enrolamento. É preciso enfatizar que para o 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 9 
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sistema apresentado, o torque depende da variação da indutância própria do 
enrolamento. 
 A variação da indutância é decorrente da variação da relutância segundo o eixo 
da bobina, com o deslocamento angular do rotor. Por isto é denominado torque de 
relutância. 
 Analisando-se a variação da indutância própria da bobina com a posição, 
constata-se que ela assume valores máximos quando θ é igual a 0o e 180o, assume 
valores mínimos quando θ é igual a 90o e 270o. 
 Pode-se representar ( )θL de acordo com a Fig. 1.8: 
90 135 1800 270
2 Lm
 L0
45
L( )
θ
θ
 Lq
 Ld
 
Fig. 1.8 – Variação da indutância própria da bobina em função do ângulo θ. 
 Tal função pode geralmente ser representada com boa precisão pela 
expressão (1.27): 
 ( ) 0m L2cosLL +θ=θ (1.27) 
 Neste caso, em que a função L ( )θ é conhecida, a expressão do torque pode 
ser obtida numa forma mais adequada ao uso. 
 Levando-se a expressão (1.27) em (1.26) obtém-se a expressão (1.28): 
 ( )0m2 L2cosLdt
di
2
1T +θ= (1.28) 
 Assim, em módulo: 
 θ= 2seniLT 2m (1.29) 
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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 De acordo com a Fig. 1.8, as indutâncias de eixo direto e quadratura assumem 
os valores representados pelas expressões (1.30) e (1.31): 
 m0d LLL += (1.30) 
 m0q LLL +−=− (1.31) 
 Assim: 
 
2
LL
L qdm
−= (1.32) 
 
( ) θ−= seni
2
LL
T 2qd (1.33) 
 A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só existe na medida em que 
as indutâncias de eixo direto e quadratura sejam diferentes. Pode-se ainda representar 
a expressão do torque em função da relutância de eixo direto e quadratura, Rd e Rq. 
 Sabe-se que: 
 
d
2
d R
nL = (1.34) 
 
q
2
q R
nL = (1.35) 
onde n representa o número de espiras da bobina. Assim: 
 θ⋅


 −= 2seni
R
1
R
1
2
nT 2
qd
2
 (1.36) 
 Deste modo: 
 θ⋅



⋅
−= 2seni
RR
RR
2
nT 2
qd
dq
2
 (1.37) 
 Se o rotor for cilíndrico, tem-se que Rd = Rq e o torque produzido é nulo. 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 11 
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 Resta-nos ainda representar o modelo completo da máquina elementar 
representada na Fig. 1.7. 
 A equação mecânica é representada pela expressão (1.38): 
 iea TTTT ++= (1.38) 
 Assim, o modelo completo fica representado pelas equações (1.39) e (1.40). 
 ( ) 22 e2dL1 d di - D - J = T2 d dt dt
θ θ θ
θ (1.39) 
 ( ) ( )dLdiRi + L + i = v
dt dt
θθ (1.40) 
 A representação do sistema em bloco aparece na Fig. 1.9. 
MÁQUINA
v(t)
Te(t)
i(t)
ELEMENTAR (t)θ
 
Fig. 1.9 – Representação de máquina elementar de um enrolamento com as variáveis de entrada e saída. 
 A tensão de alimentação e o torque externo de carga são variáveis 
independentes. A corrente e a posição angular são as variáveis dependentes. 
 O princípio aqui exposto é de grande importância prática. Basta lembrar o 
elevado número de equipamentos que nele se baseiam: motores a relutância, 
instrumentos de medição do tipo ferro móvel, etc. 
1.5 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. 
TORQUE DE EXCITAÇÃO 
 Considerando a máquina elementar representada na Fig. 1.10.
Admitindo que 
os dois enrolamentos S e R estejam situados sobre peças cilíndricas de sorte que as 
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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suas indutâncias próprias sejam independentes da posição. Em tal estrutura, somente 
a indutância mútua entre os dois enrolamentos depende da posição. 
S
R
v
+
-
S
vR
+
-
i S
iR
θ
 
Fig. 1.10 – Representação física de máquina elementar relativa de dois enrolamentos. 
 As equações elétricas deste sistema, estabelecidas por inspeção estão 
representadas a seguir: 
 ( ) ( )( )SR RS SS S S d M id L iv = R i + +dt dt
θ
 (1.41) 
 ( ) ( )( )SR SR RR R R d M id L iv = R i + +dt dt
θ
 (1.42) 
 LS e LR são as indutâncias próprias. 
 MSR é a indutância mútua existente entre os enrolamentos. 
 Desenvolvendo-se as expressões (1.41) e (1.42), obtém-se as expressões 
(1.43) e (1.44). 
 ( ) ( )SRS RS S S S R SRdMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt
θ θ (1.43) 
 ( ) ( )SR SRR R R R S SRdM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt
θ θ (1.44) 
 Multiplicando-se a expressão (1.43) por iS e (1.44) por iR, obtém-se as 
expressões (1.45) e (1.46). 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 13 
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 ( ) ( )2 SRS RS S S S S S S R S SR SdMdi diP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt
θ θ (1.45) 
 ( ) ( )2 SR SRR R R R R R R S R SR RdM didiP = v i = R i + L i + i i + M idt dt dt
θ θ (1.46) 
PS e PR representam as potências instantâneas fornecidas pelas fontes dos 
enrolamentos. 
 A potência total será: 
 SR PPP += (1.47) 
 Assim: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 SRS R
S S S S R S SR S
2 SR SR
R R R R S R SR R
dMdi diP = R i + L i + i i + M i +
dt dt dt
dM didi+R i + L i + i i + M i
dt dt dt
θ θ
θ θ
 (1.48) 
 Sabemos que: 
 
( )
( ) ( ) ( )
2 2
S S R R SR S R
SRS SR R
S S R R SR S SR R S R
d 1 1L i + L i + M i i =
dt 2 2
dMdi didi di= L i + L i + M i + M i + i i
dt dt dt dt dt
 θ  
θθ θ
 (1.49) 
 Portanto: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
SRS SR R
S S R R SR S SR R S R
2 2
S S R R SR S R
SR
S R
dMdi didi diL i + L i + M i + M i + 2i i =
dt dt dt dt dt
1 1d L i + L i + M i i dM2 2= + i i
dt dt
θθ θ
 θ  θ 
 (1.50) 
 Portanto a potência total passa a ser representada pela expressão (1.51): 
 ( ) ( )
2 2
S S R R SR S R
2 2 SR
S S R R S R
1 1d L i + L i + M i idM 2 2P = R i + R i + i i +
dt dt
 θ θ   (1.51) 
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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 Seja: 
 2 2r S S R RP =R i +R i (1.52) 
 
( )2 2S S R R SR S R
L
1 1d L i + L i + M i i
2 2P =
dt
 θ   (1.53) 
 rP representa a potência dissipada nos resistores. 
 LP representa a potência acumulada no campo magnético. 
 Assim: 
 ( )SRmec S RdMP = i idt
θ
 (1.54) 
 mecP representa a quantidade de potência elétrica convertida em potência 
mecânica. Isto decorre do fato que a potência fornecida é igual à potência dissipada, 
mais a potência acumulada, mais a potência convertida. 
 Por outro lado: 
 
dt
dTPmec
θ= (1.55) 
 Assim: 
 ( )SR S RdMd dT = i idt d dt
θθ θ
θ (1.56) 
 Então a expressão do torque será: 
 ( )SRS R dMT = i i d
θ
θ (1.57) 
 A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnético se a 
indutância mútua variar com o deslocamento angular. 
 O torque originado pela variação de indutância mútua é denominado torque de 
excitação. É ele que explica o funcionamento da maior parte das máquinas elétricas, 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 15 
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como o motor de indução, o motor síncrono com excitação e o motor de corrente 
contínua. 
 A indutância mútua entre os enrolamentos representados na Fig. 1.10, pode 
ser estabelecida de diversas maneiras. A simples inspeção indica que ela é máxima 
para θ = 0 , nula para θ = π/2 e θ = 3π/2 e mínima para θ = π. A sua variação pode 
então ser representada graficamente segundo Fig. 1.11. 
3
2
M
π
2 π π2 π
0
θ
M ( )SR θ
 
Fig. 1.11 – Variação da indutância mútua entre os enrolamentos em função de θ. 
 É possível representá-la com boa precisão pela expressão (1.58). 
 ( ) θ=θ cosMM 0SR (1.58) 
 Portanto o torque, em módulo, fica representado pela expressão (1.59). 
 θ= seniiMT RS0 (1.59) 
 A representação gráfica é mostrada na Fig. 1.12: 
2
M i i
π
2 π π32 π
0
θ
T 
R S
 
Fig. 1.12 – Variação do torque em função do ângulo θ. 
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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 Com as informações até aqui conseguidas, podemos estabelecer o modelo 
completo do sistema em questão. Basta para isto agrupar as equações elétrica e 
mecânica. 
 Seja: 
 iae TTTT ++= (1.60) 
 Assim o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.62) e 
(1.63): 
 ( ) 2SRe S R 2dM d dT = i i - D - Jd dt dt
θ θ θ
θ (1.61) 
 ( ) ( )SRS RS S S S R SRdMdi div = R i + L + i + Mdt dt dt
θ θ (1.62) 
 ( ) ( )SR SRR R R R S SRdM didiv = R i + L + i + Mdt dt dt
θ θ (1.63) 
 A máquina possui como variáveis independentes, vS, vR e Te. Como variáveis 
dependentes as correntes iS , iR e o deslocamento angular θ. 
 A representação em bloco está mostrada na Fig. 1.13. 
MÁQUINA
v (t)
Te(t)
v (t)
S
R i (t)
(t)θ
i (t)
S
R
 
Fig. 1.13 – Representação da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos com as variáveis de entrada e 
saída. 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 17 
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1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS. 
ROTOR COM PÓLOS SALIENTES 
 Consideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.14. A indutância 
própria do enrolamento estatórico e a mútua entre os dois enrolamentos dependem do 
ângulo θ . 
+
-
+
-
v
S
v
R
i
S
i
R
θ
 
Fig. 1.14 – Representação física da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos de pólos salientes. 
 Como já foi demonstrado, o torque de excitação é obtido pela expressão (1.64): 
 ( )SRexc S R dMT = i i d
θ
θ (1.64) 
 O torque de relutância é representado pela expressão (1.65): 
 ( )2R S dL1T = i2 d
θ
θ (1.65) 
 O torque total produzido pela máquina será a soma dos torques de relutância e 
de excitação. É representado pela expressão (1.66): 
 ( ) ( )2 S SRS S RdL dM1T = i + i i2 d d
θ θ
θ θ (1.66) 
 Considerando a variação de LS e MSR em função de θ representada pelas 
expressões (1.67) e (1.68): 
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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 ( ) 2θ 0s ML θ =L cos +L (1.67) 
 ( ) θ=θ cosMM 0SR (1.68) 
 Obtém-se: 
 θ+θ= seniiM2seniLT RS02Sm (1.69) 
 A máquina síncrona de pólos salientes possui torque de relutância e excitação 
e é um bom exemplo de máquina cujo comportamento é traduzido por uma expressão 
com a forma da expressão (1.69). 
1.7 MÁQUINA COM TRÊS ENROLAMENTOS 
 Os resultados até aqui obtidos serão estendidos para uma máquina de três 
enrolamentos. Neste caso o modelo é representado
pelas equações (1.70) à (1.73). 
 ( ) ( ) ( )1 1 12 2 13 31 1 1 d L i d M i d M iv = R i + + +dt dt dt (1.70) 
 ( ) ( ) ( )12 1 2 2 23 32 2 2 d M i d L i d M iv = R i + + +dt dt dt (1.71) 
 ( ) ( ) ( )13 1 23 2 3 33 3 3 d M i d M i d L iv = R i + + +dt dt dt (1.72) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 12 13 23
1 2 3 1 2 1 3 2 3
dL dL dL dM dM dM1 1 1T = i i i i i i i i i
2 d 2 d 2 d d d d
θ θ θ θ θ θ+ + + + +θ θ θ θ θ θ (1.73) 
 Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matricial, 
As equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (1.74). 
 
1 1 1 1 12 13 1
2 2 2 12 2 23 2
3 3 3 13 23 3 3
v R 0 0 i L M M i
dv = 0 R 0 i M L M i
dt
v 0 0 R i M M L i
                  +                           
 (1.74) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 19 
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 Vamos em seguida reescrever a equação do torque: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 12 13
1 1 1 2
3
1
12 2 23
2 2 2 2
3
1
13 23 3
3 3 3 2
3
i
dL dM dM1T = i i i i
2 d d d
i
i
dM dL dM1 i i i i
2 d d d
i
i
dM dM dL1 i i i i
2 d d d
i
 θ θ θ   + + +   θ θ θ    
 θ θ θ   + + + +   θ θ θ    
 θ θ θ   + + +   θ θ θ    
 (1.75) 
 A expressão (1.75) pode ainda ser representada segundo a expressão (1.76): 
 [ ]
131 12
1
2312 2
1 2 3 2
3
13 23 3
dMdL dM
d d d i
dM1 dM dLT = i i i i
2 d d d
idM dM dL
d d d
  θ θ θ         θ θ θ       θ θ θ 
 (1.76) 
 Seja: 
 
1
2
3
i
= i
i
     
i (1.77) 
 
1
2
3
R 0 0
0 R 0
0 0 R
     
R = (1.78) 
 [ ]t 1 2 3= i i ii (1.79) 
20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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 ( )
131 12
2312 2
13 23 3
dMdL dM
d d d
d dMdM dL
d d d d
dM dM dL
d d d
  θ θ θ  =  θ θ θ θ   θ θ θ 
L θ
 (1.80) 
 Assim, o torque passa a ser representado pela expressão (1.82). As tensões 
são representadas pela expressão (1.81): 
 ( )d= +
dt
L
v Ri i
θ
 (1.81) 
 ( )t d1T =
2 dθ
L
i i
θ
 (1.82) 
 As expressões (1.81) e (1.82) foram estabelecidas para uma máquina com três 
enrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sistema onde exista 
conversão eletromecânica de energia. 
1.8 CONCLUSÕES 
 Pode-se sintetizar os resultados obtidos no desenvolvimento deste capítulo, do 
seguinte modo: 
(a) O deslocamento relativo das partes de um sistema implica em 
conversão eletromecânica de energia, quando há indutâncias próprias 
ou mútuas, desse sistema, que sofrem variação com o deslocamento. 
(b) A representação matricial dos sistemas nos quais ocorre conversão 
eletromecânica de energia leva a obtenção de modelos compactos de 
fácil interpretação física e de fácil manuseio. 
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1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
I = 2A
P
S = 5cm2
? = 40cm
+ -v
 
Fig. 1.15 – Representação física do eletroimã do 
problema 1. 
1) Um eletroímã de manutenção tem uma 
secção reta uniforme de 5cm2 e um 
comprimento total médio de 40cm 
(incluindo a armadura). O enrolamento é 
excitado por uma corrente de 2A; supõe-
se que o núcleo e a armadura possuem a 
mesma permeabilidade. A permeabilidade 
relativa (µr) é igual a 2500. Calcular o 
número de espiras necessário para resistir 
a uma massa de 50kg. (Fig. 1.15) 
 
2) O relé mostrado na Fig. 1.16 tem uma armadura móvel de secção quadrada, com 
lado d, guiado por dois suportes não magnéticos de espessura q e comprimento d/2. A 
carcaça é excitada por duas bobinas percorridas pela mesma corrente i. Cada bobina 
possui N espiras. Supõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabilidade 
infinita. 
 (a) Calcular a indutância do relé em função de x. 
 (b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a armadura, em 
função de i e x. 
 (c) Calcular a força quando o relé está “colado”. 
 (d) Fazer uma aplicação numérica para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 e 
i = 0,5A 
22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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d +-
v
d
x
d/2
g
g
N
N
I
 
Fig. 1.16 – Representação física do relé do problema 2. 
 
3) Na Fig. 1.17 está representada uma 
peça de aço, de massa M, suspensa por 
uma mola de constante K (N/m) e 
submetida a influência de uma bobina cuja 
resistência é desprezível. Supõe-se que a 
indutância da bobina varia em função da 
posição x da massa, segundo a expressão 
L (x) = A + Bx, sendo A e B constantes. 
v(t)
i(t)
M
x(t)
+
-
 
Fig. 1.17 – Representação física do problema 3. 
 (a) Escrever a equação elétrica do sistema, estabelecendo a tensão V(t) 
em função de i(t) e de x(t). 
 (b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a massa M. 
 (c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema. 
 
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θ
v
i
i
Fig. 1.18 – Instrumento do tipo bobina móvel. 
4) Na Fig. 1.18, as duas bobinas são 
ligadas eletricamente em série; uma está 
alojada no estator fixo e a outra no rotor 
móvel. As indutâncias próprias e mútuas 
valem: 
L1 = 0,2mH, 
L2 = 0,1mH, 
L3 = 0,05cos θ mH 
As duas bobinas são percorridas por uma 
corrente senoidal de valor eficaz igual a 
5A (i = 2 5 sen ωt). 
 (a) Calcular o valor médio do torque eletromagnético exercido sobre a 
bobina móvel em função de θ. 
 (b) Supor que a bobina móvel seja mantida no ângulo θ = 900, por 
ação de uma mola espiral que exerce um torque dado pela 
expressão T = K(θ - π/2) com K = 0,004J/rd2. Calcular o valor do 
ângulo “θ“ de equilíbrio em graus. 
 
5) Considere a Fig. 1.19. O ferro-móvel pode sofrer deslocamento na direção x. Ao se 
deslocar sofre a ação da mola, cuja constante é Ks. A posição do ferro-móvel em 
relação ao ferro-fixo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferro-
móvel é M. O atrito é por hipótese nulo. Efeitos secundários, como dispersão de fluxo 
são ignorados. O enrolamento possui N espiras e resistência elétrica nula. 
 O enrolamento é alimentado por uma fonte tal que a densidade de fluxo no 
entreferro é dada por B(t) = Bm sen ωt. 
 (a) Encontrar a expressão da força eletromagnética exercida sobre o 
ferro-móvel em função de Bm, ω e t. 
 (b) Escrever a equação da tensão de alimentação do enrolamento em 
função de Bm, ω e t. 
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA 
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 (c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema em termos de Bm, 
ω e t. 
Mola
v(t)
 x
D A
 
Fig. 1.19 – Instrumento do tipo ferro-móvel. 
 
6) Seja a estrutura representada a seguir: 
R
L( )
Rotor
0
d
q
θ
θ
+
-
v
 
Fig. 1.20 – Máquina elétrica elementar com um enrolamento. 
 (a) Obter a expressão geral do torque. 
 (b) Explicar fisicamente a origem do
torque. 
 (c) Seja L (θ) = Lmcos 2θ + L0. Obter a expressão final do torque. 
 (d) Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamento 
dinâmico da estrutura. 
 
Teoria Fundamental do Motor de Indu��o - Ivo Barbi/Cap�tulo 02 - Estudo da M�quina Sim�trica Trif�sica.pdf
CAPÍTULO 
2 ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
 A máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica. Apresenta 
estruturas magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos, 
tanto do rotor quanto do estator são iguais entre si e igualmente defasados. 
 A máquina de indução com rotor em gaiola também é simétrica, pelas mesmas 
razões expostas. Porém o número de fases do rotor é superior a três. De fato, cada 
barra da gaiola constitui uma fase. 
 Neste capítulo será modelada apenas a máquina trifásica, porém sem perda de 
generalidade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases e 
conseqüentemente para o rotor em gaiola. 
 Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig. 
2.1. 
vS3
vS2
vS1
i S3
i S1
i S2
+
-
+
-
+
-
+
+
+
-
- -
i R3i R1
i R2
vR1
vR2
vR3
 
Fig. 2.1 – Representação da máquina simétrica trifásica. 
26 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
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2.2 HIPÓTESES DE ESTUDO E CONVENÇÕES 
 Para que se possa representar matematicamente a máquina em estudo, serão 
feitas algumas hipóteses simplificativas, sem as quais a formulação, se não se tornasse 
impossível, tornar-se-ia extremamente complexa. 
 
 A) Hipóteses de estudo e conseqüências: 
(a) Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si. 
(b) Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si. 
(c) Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto no 
estator quanto no rotor. 
(d) O entreferro é considerado constante. 
(e) O circuito magnético é considerado ideal. A saturação não existe. 
(f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro é 
radial e senoidal. 
(g) A máquina será considerada bipolar. 
(h) Não serão consideradas as perdas magnéticas. 
 
 Como conseqüência das hipóteses de estudo adotadas, podemos estabelecer 
que: 
 
 (a) Os fluxos podem ser superpostos. Assim: 
 totalφ = ∑
=
φ
3
1i
R i
+∑
=
φ
3
1i
Si
 (2.1) 
sendo 
iR
φ o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e 
iS
φ o fluxo produzido pelo 
enrolamento “i” do estator. 
 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 27 
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 (b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem indutâncias próprias 
constantes. Assim: 
 
1S
L , 
2S
L , 
3S
L , 
1R
L , 
2R
L e 
3R
L são constantes. 
 
 (c) como conseqüência da igualdade dos enrolamentos tem-se: 
 SSSS LLLL 321 === 
 RRRR LLLL 321 === 
 SSSS RRRR 321 === 
 RRRR RRRR 321 === 
 
 (d) como conseqüência do defasamento igual entre os enrolamentos tem-se: 
 SSSS MMMM 132312 === 
 RRRR MMMM 132312 === 
onde: 
 SM = indutância mútua entre dois enrolamentos do estator 
 RM = indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor 
 (e) as indutâncias mútuas entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos são 
funções senoidais do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotor 
estão representados simbolicamente na Fig. 2.2: 
28 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
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S1
S2
S3
R1
R2
R3
θ
θ
 
Fig. 2.2 – Representação simbólica dos enrolamentos do estator e do rotor. 
 ( )
( )3/4cosMM
3/2cosMM
cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
31
21
11
π+θ=
π+θ=
θ=
 (2.2) 
 
( )
( )3/2cosMM
cosMM
3/4cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
32
22
12
π+θ=
θ=
π+θ=
 (2.3) 
 
( )
( )
θ=
π+θ=
π+θ=
cosMM
3/4cosMM
3/2cosMM
SRRS
SRRS
SRRS
33
23
13
 (2.4) 
 
 B) Convenções: 
 A máquina será tratada como um receptor e as equações das tensões terão a 
forma representada pela expressão (2.5) 
 aa a a
dv R i
dt
φ= + (2.5) 
onde φ representa o fluxo total que envolve o enrolamento “a”. 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 29 
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2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOS 
 Adotando a superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelas 
expressões (2.6), (2.7) e (2.8). 
 
3312211113211 RRSRRSRRSSSSSSSS
iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.6) 
 
3322221123122 RRSRRSRRSSSSSSSS
iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.7) 
 
3332231132133 RRSRRSRRSSSSSSSS
iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.8) 
 Representando-se as equações (2.6), (2.7) e (2.8) matricialmente, obtém-se a 
equação (2.9): 
 
















+
















=








φ
φ
φ
3
2
1
332313
322212
312111
3
2
1
3
2
1
R
R
R
RSRSRS
RSRSRS
RSRSRS
S
S
S
SSS
SSS
SSS
S
S
S
i
i
i
MMM
MMM
MMM
i
i
i
LMM
MLM
MML
 (2.9) 
 Generalizando-se para os enrolamentos rotóricos e compactando-se a 
representação obtém-se as expressões (2.10): 
 
( )
( )
= +
= +
S SS S SR R
R RS S RR R
L i L i
L i L i
φ θ
φ θ (2.10) 
onde: 
 
S S S
S S S
S S S
L M M
M L M
M M L
  =    
SSL (2.11) 
 
R R R
R R R
R R R
L M M
M L M
M M L
  =    
RRL (2.12) 
30 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
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 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
SR
cos cos 2 / 3 cos 4 / 3
M cos 4 / 3 cos cos 2 / 3
cos 2 / 3 cos 4 / 3 cos
θ θ + π θ + π  = θ + π θ θ + π  θ + π θ + π θ 
SRL θ (2.13) 
 ( ) ( )t=RS SRL Lθ θ (2.14) 
 As matrizes (2.11) e (2.12) são chamadas de matrizes circulantes simétricas. 
2.4 EQUAÇÕES DAS TENSÕES 
 Na medida que for possível será mantida a representação matricial no 
desenvolvimento deste capítulo. 
 Das leis da física, podemos escrever as expressões das tensões como estão 
representadas nas expressões (2.15) e (2.16): 
 
d
dt
= + SS S Sv R i
φ
 (2.15) 
 
d
dt
= + RR R Rv R i
φ
 (2.16) 
onde: 
 








=
S
S
S
R00
0R0
00R
SR (2.17) 
 








=
R
R
R
R00
0R0
00R
RR (2.18) 
 A seguir serão desenvolvidas as expressões dos fluxos: 
 
( )( )dd
dt dt
+ θ= SS S SR RS L i L iφ (2.19) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 31 
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 ( ) ( )( )dd d
dt dt dt
θ= + SR RS SS S L iL iφ (2.20) 
 ( ) ( )d dd d
dt dt dt dt
θ= + θ +S SRS RSS SR RLi iL L i
φ
 (2.21) 
mas 
 ( ) ( )d d
dt dt
θ ∂ θ θ= ∂θ
SR SRL L (2.22) 
 Assim, a derivada do fluxo do estator é representada pela expressão (2.23). 
 ( ) ( )d d d d
dt dt dt dt
∂ θ θ= + θ + ∂θ
S SRS R
SS SR R
Li iL L i
φ
 (2.23) 
 A derivada do fluxo do rotor, obtida de maneira análoga, é representada pela 
expressão (2.24): 
 ( ) ( )d dd d
dt dt dt dt
∂ θ θ= + θ + ∂θ
R RSSR
RR RS S
LiiL L i
φ
 (2.24) 
 Levando-se as expressões das derivadas dos fluxos (2.23) e (2.24) nas 
expressões (2.15) e (2.16), obtém-se as expressões das tensões, (2.25) e (2.26): 
 ( ) ( )d d d
dt dt dt
∂ θ θ= + + θ + ∂θ
SRS R
S S S SS SR R
Li iv R i L L i (2.25) 
 ( ) ( )dd d
dt dt dt
∂ θ θ= + + θ + ∂θ
RSSR
R R R RR RS S
Liiv R i L L i (2.26) 
2.5 EQUAÇÃO DO TORQUE 
 Como foi estabelecido no capítulo 1, o torque de excitação, quando se trata de 
dois enrolamentos, é determinado pela expressão (2.27): 
32 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
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 ( )dT
dt
= SRS R Mi i θ (2.27) 
 Na máquina simétrica trifásica há três enrolamentos no estator e três no rotor. 
Adicionando os torques produzidos pelos seis enrolamentos, obtém-se a expressão 
(2.28): 
 
3 11 1 2 1
1 1 2 3
3 21 2 2 2
2 1 2 3
1 3 2 3 3 3
3 1 2 3
S RS R S R
R S S S
S RS R S R
R S S S
S R S R S R
R S S S
MM M
T = i i + i + i +
MM M
+i i + i + i +
M M M
+i i + i + i
∂∂ ∂  ∂θ ∂θ ∂θ 
∂∂ ∂  ∂θ ∂θ ∂θ 
∂ ∂ ∂  ∂θ ∂θ ∂θ 
 (2.28) 
 Representando-se na forma matricial, obtém-se a expressão (2.29): 
 [ ]
















θ∂
∂=
3
2
1
332313
322212
312111
321
R
R
R
RSRSRS
RSRSRS
RSRSRS
SSS
i
i
i
MMM
MMM
MMM
iiiT (2.29) 
 Seja: 
 ( ) 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
S R S R S R
S R S R S R
S R S R S R
M M M
M M M
M M M
  =    
SRL θ (2.30) 
 
1
2
3
R
R
R
i
i
i
  =    
Ri (2.31) 
 
1
2
3
S
S
S
i
i
i
  =    
Si (2.32) 
 A expressão do torque será então representada pela expressão (2.33). 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 33 
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( )( )tT ∂= ∂θSRS R
L
i i
θ
 (2.33) 
 Transpondo-se a expressão (2.33), obtém-se a expressão (2.34): 
 
( )( )tT ∂= ∂θRSR S
L
i i
θ
 (2.34) 
 Adicionando-se as expressões (2.33) e (2.34) e dividindo-se por dois obtém-se 
a expressão (2.35). 
 
( )( ) ( )( )t t1T
2
 ∂ ∂= +  ∂θ ∂θ 
SR RS
S R R S
L L
i i i i
θ θ
 (2.35) 
 A expressão (2.35) pode ser reescrita segundo a expressão (2.36). 
 ( ) ( )( )t t 01T 02    ∂ =      ∂θ    
SSR
S R
RRS
iL
i i iL
θ
θ (2.36) 
 As matrizes LSS e LRR são formadas por termos independentes da posição 
angular θ. Por isto: 
 0∂ ∂= =∂θ ∂θ
SS RRL L (2.37) 
 Pode-se consequentemente estabelecer que: 
 
( )
( )
( )
( )
0
0
   ∂ ∂=      ∂θ ∂θ   
SR SS SR
RS RS RR
L L L
L L L
θ θ
θ θ (2.38) 
Seja: 
 ( )ttt RS iii = (2.39) 
 


=
R
S
i
i
i (2.40) 
34 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
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 ( ) ( )( )
 =    
SS SR
RS RR
L L
L
L L
θθ θ (2.41) 
 Assim o torque será representado pela expressão (2.42): 
 ( )t1T
2
∂= ∂θ
L
i i
θ
 (2.42) 
2.6 EQUAÇÕES FINAIS DA MÁQUINA 
 Reunindo-se as expressões das tensões e do torque, (2.25) e (2.26) e (2.42) 
respectivamente, obtém-se o modelo completo da máquina, representado pelas 
expressões (2.43), (2.44) e (2.45). 
 ( ) ( )d d d
dt dt dt
∂ θ θ= + + θ + ∂θ
SRS R
S S S SS SR R
Li iv R i L L i (2.43) 
 ( ) ( )dd d
dt dt dt
∂ θ θ= + + θ + ∂θ
RSSR
R R R RR RS S
Liiv R i L L i (2.44) 
 ( )t1T
2
∂= ∂θ
L
i i
θ
 (2.45) 
 As equações elétricas podem ser reescritas segundo a expressão (2.46): 
 ( )
( )
( )
( )
0 0 d
0 0 dt
0 0d d
0 0dt dt
        = + +                        
      ∂ θ+ +            ∂θ      
S S S SS S
R S R RR R
S SSR SR
R RRS RS
v R i L i
v R i L i
i iL L
i iL L
θ θ
θ θ
 (2.46) 
 As expressões (2.46) podem ser reescritas de uma forma mais compacta, 
segundo a expressão (2.47): 
 ( ) ( )d d
dt dt
∂ θ= + + ∂θ
Liv Ri L i
θθ (2.47) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 35 
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Pois: 
 


=
R
S
R
R
R
0
0
 (2.48) 
 
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
     + =              
SS SR SS SR
RR RS RS RR
L L L L
L L L L
θ θ
θ θ (2.49) 
 Reunindo-se as expressões (2.47) e (2.42) obtém-se o modelo da máquina 
simétrica na sua forma mais compacta, representada pelas expressões (2.50): 
 
( ) ( )
( )t
p
1T
2
•∂= + + θ∂θ
∂= ∂θ
L
v Ri L i i
L
i i
θθ
θ (2.50) 
2.7 OUTRA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO DO 
TORQUE 
 Consideremos a expressão das tensões (2.51): 
 ( ) ( )p •∂= + + θ∂θ
L
v Ri L i i
θθ (2.51) 
 Pré-multiplicando-se todos os termos da equação pelo vetor corrente 
transposto obtém-se a equação (2.52): 
 ( ) ( )t t t tp •∂= + + θ∂θ
L
i v i Ri i L i i i
θθ (2.52) 
 Por outro lado: 
 ( ) ( ) ( ) ( )t t t1 1 d 1 1 dp
2 2 dt 2 2 dt
•∂  = + θ+  ∂θ 
tLi ii L i i L + i i L i
θθ θ θ (2.53) 
mas: 
36 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
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 ( ) ( )tt1 d 1 d
2 dt 2 dt
i ii L = L iθ θ (2.54) 
 Assim: 
 ( ) ( ) ( )t t td 1 1p
dt 2 2
∂  = − θ+  ∂θ  
Lii L i i i L i
iθθ θ (2.55) 
 Substituindo-se a expressão (2.55) em (2.52), obtém-se a expressão (2.56): 
 ( ) ( )t t t t1 1p
2 2
•∂ = + + θ  ∂θ 
L
i v i Ri i L i i i
θθ (2.56) 
 O último termo da expressão (2.56) representa a parcela de potência elétrica 
absorvida pela máquina e convertida em potência mecânica. Assim: 
 ( )tm 1P 2
•∂= θ∂θ
L
i i
θ
 (2.57) 
portanto: 
 ( )t1T
2
∂= ∂θ
L
i i
θ
 (2.58) 
 Fica assim estabelecida a equação do torque, com o emprego de um método 
diferente daquele empregado no item 2.5. 
 Os diversos termos das expressões (2.47) podem ser interpretados 
fisicamente. Assim: 
(a) iR → Representa as quedas de tensão nas resistências dos 
enrolamentos da máquina. 
(b) ( )pL iθ → Representa as tensões geradas nos enrolamentos, causadas 
pela variação das correntes. São tensões variacionais. 
(c) ( ) •∂ θ∂θ
L
i
θ
 → São as tensões geradas nos enrolamentos, quando há 
deslocamento relativo entre eles. São denominadas tensões rotacionais. 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 37 
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 Quando 
•θ = 0 , ou seja, quando o rotor estiver em repouso, o modelo passa a 
ser representado pela expressão (2.59): 
 ( )p= +v Ri L iθ (2.59) 
que representa um transformador. 
2.8 CONCLUSÕES 
 As equações (2.50) são não lineares e de difícil solução. Em geral, não são 
empregadas no estudo do comportamento da máquina. 
 Por isto, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares, 
com
o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo original 
estabelecido neste capítulo. Tais técnicas serão estudadas nos capítulos seguintes. 
 Em alguns trabalhos, destinados a determinar o comportamento da máquina de 
indução associada a certos tipos de conversores estáticos, o modelo representado 
pelas equações (2.50) foram empregados. Tal tipo de estudo porém é muito particular e 
só pode ser realizado com o emprego de computadores. 
 
 
38 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
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2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Seja uma máquina simétrica trifásica, alimentada em corrente no estator e no rotor. 
As correntes estatóricas e rotóricas são dadas pelas expressões seguintes: 
 ( )
1S S S S
i I cos t= ω + θ 
 ( )
2S S S S
i I cos t 2 / 3= ω + θ − π 
 ( )
3S S S S
i I cos t 4 / 3= ω + θ − π 
 
 ( )
1R R R R
i I cos t= ω + θ 
 ( )
2R R R R
i I cos t 2 / 3= ω + θ − π 
 ( )
3R R R R
i I cos t 4 / 3= ω + θ − π 
 O rotor gira com velocidade mω em relação ao estator. Será considerada uma 
máquina de indução de dois pólos. Assim: 
 mRS ω+ω=ω 
 Pede-se a expressão final do torque desenvolvido pela máquina. 
Teoria Fundamental do Motor de Indu��o - Ivo Barbi/Cap�tulo 03 - Estudo da Transforma��o ab0.pdf
CAPÍTULO 
3 ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
3.1 INTRODUÇÃO 
 O primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para a 
análise da máquina de indução é o estudo da transformação 0αβ . Consiste numa 
transformação linear que diagonaliza as matrizes circulantes simétricas, que aparecem 
na formulação dos modelos da máquina trifásica simétrica. 
 Fisicamente a transformação 0αβ transforma a máquina simétrica trifásica 
numa máquina simétrica bifásica, com mesma potência mecânica, torque, velocidade e 
número de pólos. Por isto é também conhecida com o nome de transformação trifásica-
bifásica. 
 Esta transformação é muito útil também no estudo de transitórios de 
transformadores simétricos e reatores trifásicos. 
 A alimentação pode ser não-simétrica e não-senoidal, desde que a máquina 
seja simétrica. 
3.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
 Seja duas estruturas, uma trifásica e uma bifásica, representadas Fig. 3.1 e 
Fig. 3.2: 
 Os enrolamentos que compõem a estrutura trifásica possuem n3 espiras e os 
que compõem a estrutura bifásica possuem n2 espiras. 
 Cada enrolamento, ao ser percorrido por uma corrente produz uma força 
magnetomotriz F. 
 
40 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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S1
S2
S3
F2 F1
F3
n3
n3
n3
iS2
iS1
iS3
 
Fig. 3.1 – Circuito trifásico simétrico. 
S
 
S
F
n2
iS
 
F n2
iS
α
α
α
β
β
β
 
Fig. 3.2 – Circuito bifásico simétrico. 
 
 Será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em função 
de F1, F2 e F3, de sorte que a estrutura bifásica produza uma força magnetomotriz 
resultante com efeito semelhante à resultante da estrutura trifásica. 
 Decompondo-se vetorialmente F1, F2 e F3 segundo os eixos Sα e Sβ encontra-
se as expressões (3.1) e (3.2). 
 ( ) ( )
1 2 3S S S
F F + F cos 2 / 3 F cosSα = π + 4π/3 (3.1) 
 ( ) ( )
2 3S S S
F = 0 + F sen 2 /3 + F sen 4 /3β π π (3.2) 
 Assim: 
 
1
2
3
S
S
S
S
S
FF 1 1 2 1 2
FF 0 3 2 3 2 F
α
β
 − −     =     −     
 (3.3) 
mas: 
 S S2
S S
F i
nF i
α α
β β
   =      
 (3.4) 
e 
 
1 1
2 2
3 3
S S
S 3 S
S S
F i
F n i
F i
      =         
 (3.5) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 41 
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 Substituindo-se as expressões (3.4) e (3.5) na expressão (3.3) encontramos a 
expressão (3.6): 
 
1
2
3
S
S 3
S
S 2
S
ii 1 -1 2 -1 2n ii n 0 3 2 - 3 2 i
α
β
      =          
 (3.6) 
 Para que a matriz definida pela expressão (3.6) possa ser invertida, vamos 
definir a corrente i0 segundo a expressão (3.7): 
 ( )0 1 2 33S S S S
2
ni a i i i
n
= + + (3.7) 
 Levando-se (3.7) em (3.6) obtém-se (3.8): 
 
0 1
2
3
S S
3
S S
2
S S
i a a a i
ni 1 1 2 1 2 i
n
i i0 3 2 3 2
α
β
           = − −            −    
 (3.8) 
 Seja a matriz definida pela expressão (3.9): 
 3
2
a a a
n 1 1 2 1 2
n
0 3 2 3 2
−
  = − −  − 
1A (3.9) 
 Para que a potência seja invariante (apêndice), deve-se satisfazer a seguinte 
relação: 
 ( ) 1t11 AA −=−− (3.10) 
ou 
 t1 AA =− (3.11) 
ou 
 − − =t1 1A A I (3.12) 
42 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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sendo I a matriz identidade, ou: 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
  =    
I (3.13) 
 Portanto: 
 
2
3
2
a 1 0a a a 1 0 0
n 1 1 2 1 2 a 1 2 3 2 0 1 0
n
0 0 10 3 2 3 2 a 1 2 3 2
         − − − =           − − −     
 (3.14) 
 Assim: 
 
2
23
2
n3 a 1
n
  =  
 (3.15) 
 ( ) 141411
n
n
2
2
3 =++



 (3.16) 
 Portanto: 
 
3
2
n
n
2
3 = (3.17) 
e 
 
2
1a = (3.18) 
 Assim a matriz torna-se: 
 








−
−−=−
23230
21211
212121
3
21A (3.19) 
 Seja: 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 43 
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







=
β
ααβ
S
S
S
i
i
i
0
0S
i (3.20) 
e 
 








=
3
2
1
321
S
S
S
i
i
i
Si (3.21) 
 
3210 S
1
S iAi
−=
αβ
 (3.22) 
 
αβ
=
0321 SS
iAi (3.23) 
 A matriz 1A − define a transformação 0αβ ou trifásica-bifásica. 
3.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
 Consideremos um enrolamento trifásico simétrico (estator de um motor de 
indução com enrolamento rotórico aberto). 
 Sejam nulas as resistências desse enrolamento. Consideremos a expressão 
dos fluxos, representada por (3.24): 
 
















=








φ
φ
φ
3
2
1
3
2
1
i
i
i
LMM
MLM
MML
 (3.24) 
ou 
 1 2 3 1 2 3= L iφ (3.25) 
 Seja: 
 3210 φφ 1A−αβ = (3.26) 
44 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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 0 1 2 3αβ
−= 1i A i (3.27) 
 Assim: 
 321321 iLAA
11 −− =φ (3.28) 
 αβ
−
αβ = 00 iALA 1φ (3.29) 
 Seja: 
 ALAL 1N
−= (3.30) 
 Assim: 
 αβαβ = 00 iLNφ (3.31) 
 Calculemos a matriz NL : 
 








−
−
















−
−−=
232121
232121
0121
LMM
MLM
MML
23230
21211
212121
3
2
3
2
NL (3.32) 
 








−
−
+
=
ML00
0ML0
00M2L
NL (3.33)
Seja: 
 0 L 2M= +L (3.34) 
 S L M= −L (3.35) 
 Assim: 
 
0 0 0
S
S
0 0 i
0 0 i
0 0 i
α α
β β
     φ     φ =          φ     
L
L
L
 (3.36) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 45 
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 As novas indutâncias são definidas do seguinte modo: 
 0L - indutância cíclica homopolar 
 SL - indutância cíclica 
 Comparando-se as expressões (3.24) e (3.36), verifica-se que a matriz 
indutância foi diagonalizada. 
 A matriz indutância L original é do tipo circulante simétrica, que aparece na 
formulação dos modelos das máquinas elétricas. Daí a importância prática da 
transformação 0αβ . 
3.4 ESTUDO DO REATOR TRIFÁSICO SIMÉTRICO 
 Será empregada, a título de exemplo, a transformação 0αβ na análise de um 
reator trifásico simétrico, representado na Fig. 3.3: 
v1
v2
v3
i1
i2
i3
R
L
M
2
2
2
R3
R1
L3
L1
3
M13
M12
 
Fig. 3.3 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico. 
 São conhecidos os parâmetros R, L e M e as tensões v1(t), v2 (t) e v3 (t). 
Deseja-se determinar as correntes i1 (t), i2 (t) e i3 (t). 
 A equação das tensões é representada pela expressão (3.37). 
46 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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 123 123 123p= +v Ri Li (3.37) 
 Pré-multiplicando-se os termos de (3.37) por A-1 obtém-se a expressão (3.38): 
 321321321 p iLAiRAVA
111 −−− += (3.38) 
 Assim: 
 0 0 0pαβ αβ αβ
− −= +1 1v A RAi A LAi (3.39) 
 Seja: 
 −1NR = A RA (3.40) 
 −1NL = A LA (3.41) 
 Assim: 
 0 N 0 N 0pαβ αβ αβ= +V R i L i (3.42) 
mas, 
 








=
R00
0R0
00R
NR (3.43) 
 
0
S
S
0 0
0 0
0 0
  =    
NL
L
L
L
 (3.44) 
 O modelo do reator trifásico simétrico será então descrito pela expressão (3.45) 
 
0 0 0
S
S
v R p 0 0 i
v 0 R p 0 i
v 0 0 R p i
α α
β β
   +     = +        +    
L
L
L
 (3.45) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 47 
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 Constata-se que a matriz impedância fica diagonalizada. O reator é então 
representado por três equações diferenciais de 1ª ordem, representadas pelas 
expressões (3.46). 
 
( )
( )
( )
0 0 0
S
S
v R p i
v R p i
v R p i
α α
β β
= +
= +
= +
L
L
L
 (3.46) 
 Fisicamente o reator trifásico é convertido em três reatores monofásicos 
independentes, representados na Fig. 3.4. 
v0
i0
R L0
vα
iα
R Lα
vβ
iβ
R Lβ
 
Fig. 3.4 – Modelo elétrico equivalente para o reator trifásico usando a transformada αβ0. 
 Na solução de um problema particular do reator conhecendo-se v1, v2 e v3 
determina-se v0, vα e vβ. Com o emprego das equações (3.46) determina-se i0, iα e iβ 
Aplicando-se a transformação inversa, determina-se i1, i2 e i3. 
48 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 NO ESTUDO DO 
TRANSFORMADOR 
 Seja um transformador trifásico simétrico, cuja estrutura está representada na 
Fig. 3.5. 
MSR
S1
S2
S3
R1
R3
R2
 
Fig. 3.5 – Estrutura do transformador trifásico simétrico. 
 O circuito correspondente está representado na Fig. 3.6. 
vS1
vS2
vS3
iS1
iS2
iS3
RS1
RS2
RS3
L S1
L S2 L S3
iR3
iR2
iR1
L R3
L R2
L R1
RR3
RR2
RR1
 
Fig. 3.6 – Circuito elétrico equivalente do transformador trifásico simétrico. 
 O transformador é representado pelas equações (3.47). 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 49 
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d d
dt dt
dd
dt dt
= + +
= + +
S R
S S S SS SR
SR
R R R RR RS
i iv R i L L
iiv R i L L
 (3.47) 
onde: 
 








=
S
S
S
R00
0R0
00R
SR (3.48) 
 








=
R
R
R
R00
0R0
00R
RR (3.49) 
 








=
SSS
SSS
SSS
LMM
MLM
MML
SSL (3.50) 
 








=
RRR
RRR
RRR
LMM
MLM
MML
RRL (3.51) 
 








−−
−−
−−
==
SRSRSR
SRSRSR
SRSRSR
M2M2M
2MM2M
2M2MM
RSSR LL (3.52) 
 Aplicando-se a transformação 0αβ nas equações (3.47), obtém-se as 
equações (3.53) e (3.54): 
 0 0
0 0
d d
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
− − −= + +S R1 1 1S S S SS SR
i i
v A R Ai A L A A L A (3.53) 
 0 0
0 0
dd
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
− − −= + + SR1 1 1R R R RR SR
ii
v A R A i A L A A L A (3.54) 
50 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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 As expressões (3.53) e (3.54) podem ser reescritas segundo as expressões 
(3.55) e (3.56). 
 0 0
N N N0 0
d d
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
= + +S RS S S SS SR
i i
v R i L L (3.55) 
 0 0
N N N0 0
d d
dt dt
αβ αβ
αβ αβ
= + +R RR R R RR RS
i i
v R i L L (3.56) 
 As matrizes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões 
(3.57), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61): 
 
S
S
S
R 0 0
0 R 0
0 0 R
  =    
NS
R (3.57) 
 








=
R
R
R
R00
0R0
00R
NR
R (3.58) 
 
S
S
S
0 0
0 0
0 0
  =    
SSL
L
L
L
 (3.59) 
 
R
R
R
0 0
0 0
0 0
  =    
RRL
L
L
L
 (3.60) 
 








==
SR
SR
m00
0m0
000
RSSR LL (3.61) 
onde: 
 S0 S SL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do primário. 
 R0 R RL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do secundário. 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 51 
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 S S SL M= −L ⇒ indutância cíclica do primário. 
 R R RL M= −L ⇒ indutância cíclica do secundário. 
 SR SR
3m = M
2
 ⇒ indutância mútua cíclica. 
 O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (3.62). 
0 0 0
00 0
S S SS
S S S SRS
S S S SRS
RRR R
SR RRR R
SRRR R
v i p 0 0 0 0 0R 0 0 0 0 0
v i 0 p 0 0 pm 00 R 0 0 0 0
v i 0 0 p 0 0 pm0 0 R 0 0 0
0 0 0 pL 0 00 0 0 R 0 0v i
0 pm 0 0 pL 00 0 0 0 R 0v i
0 0 pm 0 0 p0 0 0 0 0 Rv i
α α
β β
α α
β β
                   = +                     
L
L
L
0
0
S
S
S
R
R
R R
i
i
i
i
i
L i
α
β
α
β
                             
 (3.62) 
 Como as matrizes parâmetros são diagonalizadas, o modelo (3.62) pode ser 
reescrito segundo as equações (3.63), (3.64) e (3.65). 
 0 0 0 0
0 0 0 0
S S S SS
RR R R R
v i 0 iR 0
p
0 Rv i 0 i
        = +                       
L
L (3.63) 
 0
0
S S S SS
RR R R R
v i 0 iR 0
p
0 Rv i 0 i
α α α
α α α
     
  = +                       
L
L (3.64) 
 0
0
S S SSS
RR R R R
v i i0R 0
p
0 Rv i 0 i
β β β
β β β
       = +                     
L
L (3.65) 
 As equações (3.63), (3.64) e (3.65) representam três transformadores 
monofásicos independentes, representados pela Fig. 3.7, Fig. 3.8 e Fig. 3.9. 
iS0 iR0vS0 vR0
+
-
 
Fig. 3.7 – Seqüência 0. 
52 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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iSα iRαvSα vRα
+
-
 
Fig. 3.8 – Seqüência α. 
 
iSβ iRβvSβ vRβ
+
-
 
Fig. 3.9 – Seqüência β. 
 Desse modo, a transformação 0αβ apresenta a importante propriedade de 
converter um transformador trifásico simétrico em três transformadores monofásicos 
independentes, tornando a análise muito simples. 
3.6 APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO TRIFÁSICA-BIFÁSICA NAS 
EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA 
 No capítulo 2 foram estabelecidas as equações da máquina simétrica trifásica, 
representadas neste capítulo pelas expressões (3.66), (3.67) e (3.68). 
 ( ) ( )d d d
dt dt dt
∂ θ θ= + + θ + ∂θ
SRS R
S S S SS SR R
Li iv R i L L i (3.66) 
 ( ) ( )dd d
dt dt dt
∂ θ θ= + + θ + ∂θ
RSSR
R R R RR RS S
Liiv R i L L i (3.67) 
 ( )t1T
2
∂= ∂θ
L
i i
θ
 (3.68) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 53 
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 Aplicando-se a transformação A-1 na expressão (3.66) obtém-se a expressão 
(3.69): 
( ) ( )0 0 00 d d ddt dt dtαβ αβ− − − − − αβαβ
∂ θ= + + ∂θ
S R1 1 1 1 1
S S S SS SR SR R
i i
A v A R Ai + A L A A L A A L Aiθ θ (3.69) 
 Definindo-se: 
 
N
−= 1S SR A R A (3.70) 
 
N
−= 1R RR A R A (3.71) 
 
N
−= 1SS SSL A L A (3.72) 
 
N
−= 1RR RRL A L A (3.73) 
 ( ) ( )N −= 1SR SRL A L Aθ θ (3.74) 
 ( ) ( )N −= 1SR SRL A L Aθ θ (3.75) 
 Substituindo as últimas expressões em (3.69) e generalizando os resultados 
para a expressão da tensão rotórica obtém-se as expressões (3.76) e (3.77), que são 
as equações elétricas da máquina nas variáveis 0αβ . 
 ( ) ( )0 0
N N 00 0
N
N
d d d
dt dt dt
αβ αβ
αβαβ αβ
∂ θ= + + + ∂θ
S R SR
S S S SS SR R
i i L
v R i L L i
θθ (3.76) 
 ( ) ( )0 0
N N0 0 0N
dd d
dt dt dt
αβ αβ
αβ αβ αβ
∂ θ= + + + ∂θ
SR RS N
R R R RR RS S
ii L
v R i L L i
θθ (3.77) 
 Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedimento a seguir: 
 ( )tT ∂= ∂θSRS R
L
i i
θ
 (3.78) 
 
0αβ
= SS iAi (3.79) 
54 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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 tSS Aii
tt
0αβ
= (3.80) 
 ( )
00
tT
αβαβ
∂= ∂θ
SRt
S R
L
i A Ai
θ
 (3.81) 
 
( )( )
00
tT
αβαβ
∂= ∂θ
t
SR
S R
A L A
i i
θ
 (3.82) 
 Assim: 
 
( )
00
t NT
αβαβ
∂= ∂θ
SR
S R
L
i i
θ
 (3.83) 
 As matrizes 
NS
R , 
NR
R , 
NSS
L e 
NRR
L são as mesmas obtidas no estudo do 
transformador. 
 No procedimento que segue, é estabelecida a matriz ( )NRSL θ . 
 Substituindo-se as matrizes -1A , A e ( )SRL θ na expressão (3.75), obtém-se a 
expressão (3.84). 
( ) SRN
1 1 1 12 4 1 0cos cos cos
2 2 2 23 3
2 1 1 4 2 1 1 3M 1 cos cos cos
3 2 2 3 3 2 22
2 43 3 1 1 3cos cos cos0
3 32 2 2 22
    π π   θ θ+ θ+                  π π     = − − θ+ θ θ+ −              π π      θ + θ+ θ− − −             
SRL θ 
(3.84) 
 Realizando-se os produtos matriciais obtém-se as matrizes (3.85) e (3.86): 
 ( ) SR SRN
SR SR
0 0 0
0 m cos m sen
0 m sen m cos
  = θ − θ  θ θ 
SRL θ (3.85) 
 ( ) SR SRN
SR SR
0 0 0
0 m cos m sen
0 m sen m cos
  = θ θ  − θ θ 
RSL θ (3.86) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 55 
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 Pois 
 ( ) ( )
N N
t=RS SRL Lθ θ (3.87) 
 Com: 
 ( ) ( ) ( )0 N N
0 0N
dd d
dt dt dt
αβ
αβ αβ
∂ θ+ =∂θ
SR SRR
SR R R
L Li
L i i
θ θθ (3.88) 
pode-se escrever o modelo final sob a forma de variáveis 0αβ da máquina simétrica 
trifásica, segundo as expressões (3.89): 
 
( )
( )
( )
0 N
N N 00 0
0 N
N N0 0 0
N
00
t
dd
dt dt
dd
dt dt
T
αβ
αβαβ αβ
αβ
αβ αβ αβ
αβαβ
= + +
= + +
∂= ∂θ
SRS
S S S SS R
SRR
R R R RR S
SR
S R
Li
v R i L i
Li
v R i L i
L
i i
θ
θ
θ
 (3.89) 
 O modelo desenvolvido, obtido a partir das expressões (3.89) é representado 
pelas expressões (3.90). 
 Nelas verifica-se a presença do ângulo θ nas matrizes indutâncias mútuas. Por 
isto o modelo é não linear e de difícil solução analítica. 
 
0 0
0 0
0
0
S S
S
S S
S
S SS
RR R
R
R R
R
R R
S
S SR SR
S SR SR
R
SR SR R
p
v i
R 0 0v i
0 R 0 0
v i0 0 R
R 0 0v i
0 0 R 0v i0 0 R
v i
0 0 0 0 0
0 0 0 m cos m sen
0 0 0 m sen m cos
0 0 0 0 0
0 m cos m sen 0 0
α α
β β
α α
β β
= +
+
                                         
θ − θ
θ θ
θ θ
L
L
L
L
L
0
0
S
S
S
R
R
SR SR R
R
i
i
i
i
i
0 m sen m cos 0 0 i
α
β
α
β
                         − θ θ     
L
 
56 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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0
0
R
SR S S S R
R
i0 0 0
T m i i i 0 sen cos i
0 cos sen i
α β α
β
      = − θ − θ        θ − θ    
 (3.90) 
 No capítulo seguinte será introduzida a transformação de PARK, destinada a 
simplificar mais o modelo da máquina simétrica trifásica. 
 O efeito da transformação 0αβ aplicado á máquina simétrica trifásica pode ser 
melhor evidenciado com o auxílio da Fig. 3.10 e Fig. 3.11: 
 
S1
S2
S3
R1
R2
R3
θ
θ
S1
i
S2
i
S3
i
R1
i
R2
i
R3
i
 
Fig. 3.10 – Motor trifásico. 
Sβ
Sα
Rβ
Rα
θ
Rβi
Sβi
Rαi
Sαi
 
Fig. 3.11 – Motor bifásico equivalente. 
 Portanto, a máquina trifásica real é transformada numa máquina bifásica 
imaginária. A ausência dos enrolamentos de seqüência zero ou homopolar será 
explicada no item 3.7. 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 57 
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3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA CÍCLICA HOMOPOLAR 
 Seja a máquina simétrica com enrolamentos rotóricos abertos e enrolamentos 
estatóricos submetidos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representado 
na Fig. 3.12. 
iS
i
i
S
S
iS
vS
1
2
3
S1
S2
S3
R1
R2
R3
 
Fig. 3.12 – Máquina simétrica trifásica com enrolamentos rotóricos abertos sendo os estatóricos alimentados 
com a mesma tensão. 
 
1 2 3S S S S
v v v v= = = (3.91) 
 Levando-se as tensões 
1S
v , 
2S
v e 
3S
v da expressão (3.91) na expressão (3.92), 
obtém-se os resultados
a seguir: 
 
0 1 2 3αβ
−= 1S Sv A v (3.92) 
 Sv 0α = (3.93) 
 Sv 0β = (3.94) 
 
0S S
v 3 v= (3.95) 
 Considerando a máquina em regime permanente, tem-se: 
 0
0
S
S
0
v
i
2 f
= π L (3.96) 
58 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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 ( )0 1 2 3S S S S1i i i i3= + + (3.97) 
 Então 
 
3
ii SS0 = (3.98) 
 Levando (3.98) e (3.95) em (3.96), obtém-se: 
 S S
0
i 3 v
2 f3
= π L (3.99) 
 Assim: 
 SS
0
3vi
X
= (3.100) 
 onde: 
 0 0X 2 f= π L (3.101) 
 Pode-se imediatamente concluir que a corrente que circula na fonte fica 
limitada apenas pela reatância cíclica homopolar. 
 Para facilitar a interpretação física, será considerada a Fig. 3.11: 
ROTOR
FS1
FS3
FS2
iS1
iS3
iS2
 
Fig. 3.13 – Estrutura de uma máquina simétrica trifásica. 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 59 
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 Como as correntes 
1S
i , 
2S
i e 
3S
i , são iguais, as três forças magnetomotrizes, 
1S
F , 
2S
F e 
3S
F são iguais em módulo e em fase no tempo. Assim os fluxos são nulos, 
com exceção dos fluxos de dispersão, que se fecham pelo ar e que estão 
representados na Fig. 3.13. 
 Pode-se então concluir que a indutância de seqüência zero ou cíclica 
homopolar é uma imagem da indutância da dispersão. 
 Consideramos as equações completas de seqüência zero, obtidas a partir das 
equações (3.90). 
 0 0 0 0
0 0 0 0
S S S SS
RR R R R
v i p 0 iR 0
0 Rv i 0 p i
        = +                       
L
L (3.102) 
 Segundo as expressões (3.102) não há indutância mútua entre as 
componentes de seqüência homopolar do estator e do rotor. 
 Quando não há fio neutro na alimentação da máquina simétrica trifásica as 
tensões e correntes homopolares não existem. 
 Quando há neutro e a alimentação for balanceada, existem componentes 
homopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partir 
das expressões (3.90). 
60 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
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3.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
v
R i
i i
1
2 3
L
S
L
S
R R
L
S
 
Fig. 3.14 – Rotor trifásico com uma fase em aberto. 
1) Seja a estrutura representada na Fig. 
3.14, com os seguintes parâmetros: 
 R = 1Ω 
 SL = 0,280H (indutância cíclica) 
 f = 60Hz 
 V = 380V (valor eficaz) 
 O circuito é considerado em regime 
permanente. Determinar as expressões e 
os valores das correntes nas fases da 
estrutura. 
 
2) Repetir os cálculos para a Fig. 3.15, representada a seguir: 
i
v
1
1
LSLS
LS
RR
R
v
i
2v3v
+
+ +
- -
-+
-
3 2i
 
Fig. 3.15 – Rotor trifásico com duas fases em paralelo e em série com a terceira sendo alimentadas por uma 
fonte de tensão única. 
 
3) Seja a estrutura representada na Fig. 3.16: 
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i 1v1
+
-
i 2v2
+
-
i 3v3
+
-
 
Fig. 3.16 – Estrutura de um reator trifásico. 
onde: 50RRRR 321 ,==== Ω , 
 60LLLL 321 ==== mH (próprias) 
 =M -30mH (mútuas) 
 No instante t = 0 aplicam-se as seguintes tensões nos enrolamentos: 
 1v 50V= ; 2v 30V= ; 3v 100V= 
 Empregando a transformação 0αβ , determinar as correntes nos enrolamentos 
em função do tempo. 
 
4) Seja um reator trifásico, representado esquematicamente pela Fig. 3.17: 
v
v
v
S
S
S i
i
i
1
2
3
1
2
3
R
LSM
 
Fig. 3.17 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico. 
 Os parâmetros são os mesmos do exercício 3. Os interruptores 1S , 2S e 3S são 
fechados simultaneamente. 
62 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 
Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com 
 
1
2
3
v Vcos t
2v Vcos t
3
4v Vcos t -
3
= ω
π = ω −  
π = ω  
 
onde 
 377=ω rad/s 
 v 2 220= volts 
 Determinar as correntes ( )ti1 , ( )ti 2 e ( )ti3 . 
 
5) Seja o transformador trifásico, representado na Fig. 3.18. 
S1 S2 S3
R3R2R1
iS1
iS2
iS3
iR1 iR2 iR3
v1 v2 v3
 
Fig. 3.18 – Transformador trifásico com um curto-circuito na saída de duas fases. 
 É estabelecido um curto circuito entre as fases 2 e 3 do secundário. Determinar 
a expressão da corrente de curto circuito, empregando a transformação 0αβ , sabendo 
que: 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 63 
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1
2
3
v Vcos t
2v Vcos t
3
4v Vcos t -
3
= ω
π = ω −  
π = ω  
 
Teoria Fundamental do Motor de Indu��o - Ivo Barbi/Cap�tulo 04 - A Transforma��o de Park e a M�quina Sim�trica.pdf
CAPÍTULO 
4 A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICA 
4.1 INTRODUÇÃO 
 A transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo das 
máquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equações 
das máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas. 
 Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixos 
e enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricos 
pseudo-estacionários. 
4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK 
 Foi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e as 
correntes ficam relacionados pelas equações (4.1). 
0 0
0
00 0
S S
S
S SS SR SR
S SS SR SR
RR R
SR SR RR R
SR SR R
R R
i0 0 0 0 0
i0 0 0 m cos m sen
i0 0 0 m sen m cos
0 0 0 0 0 i
0 m cos m sen 0 0 i
0 m sen m cos 0 0 i
α α
β β
α α
β β
φ        φ   θ − θ    φ  θ θ   =     φ      θ θ   φ     − θ θ     φ   
L
L
L
L
L
L
(4.1) 
 Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2). 
 
0 0 00
S S RS
S S S SR SR R
S SR SRS S R
i i0 0 0 0 0
0 0 i 0 m cos m sen i
0 0 0 m sen m cosi i
α α α
β β β
     φ            φ = + θ − θ                θ θφ             
L
L
L
 (4.2) 
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 65 
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 Vamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão 
(4.3): 
 








φ
φ
φ








θθ
θ−θ=








φ
φ
φ
β
α
R
R
R
R
R
R 0
q
d
0
cossen0
sencos0
001
 (4.3) 
 Assim: 
 
00dq αβ
−= R1R iBi (4.4) 
onde: 
 








θθ
θ−θ=−
cossen0
sencos0
001
1B (4.5) 
 A matriz B-1 define a transformação de PARK. 
4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARK 
 Vamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo as 
expressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serão 
alteradas pela transformação de PARK. 
 S SRmαβ αβ αβ
−= + 1S S Ri B iL Iφ (4.6) 
 R