Econometria_Capitulos 10

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ECONOMETRIA
Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Cap. 10 – Multicolinearidade: o que 
acontece se os regressores são 
correlacionados?
Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. 
Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006
• Premissa 10 do modelo de regressão linear clássico é 
que não há multicolinearidade entre os regressores.
1. Qual é a natureza da multicolinearidade?
2. A multicolinearidade é realmente um problema?
3. Quais são as suas consequências práticas?
4. Como é possível detectá-las?
5. Que medidas práticas podemos tomar para amenizar o 
problema da multicolinearidade?
• Também examinaremos a premissa 7 (no. de 
observações da amostra deve ser maior que o número 
de regressores) e a premissa 8 (deve haver suficiente 
variabilidade nos valores dos regressores).
A natureza da multicolinearidade
• Multicolinearidade perfeita
λ1𝑋1 + λ2𝑋2 + ⋯ + λ𝑘𝑋𝑘 = 0
𝑋1 = −
λ2
λ1
𝑋2 + ⋯ −
λ𝑘
λ1
𝑋𝑘
• Multicolinearidade imperfeita
λ1𝑋1 + λ2𝑋2 + ⋯ + λ𝑘𝑋𝑘 + 𝑣𝑖 = 0
𝑋1 = −
λ2
λ1
𝑋2 + ⋯ −
λ𝑘
λ1
𝑋𝑘 −
1
λ1
𝑣𝑖
X1 é uma combinação
linear exata das demais
variáveis
X1 não é mais uma combinação
linear exata porque também é
determinada por um termo de
erro estocástico
A natureza da multicolinearidade
• Multicolinearidade perfeita
– Coeficientes indeterminados e erros padrão infinitos
• Multicolinearidade imperfeita
– Coeficientes com erros padrão grandes, ou seja, serão 
estimados com pouca precisão
– Lembrar de 7.4.12 𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 =
𝜎2
 𝑥𝑗
2
1
1−𝑅𝑗
2
É o R2 da regressão de 
Xj contra as outras variáveis
explicativas
A natureza da multicolinearidade
• Fontes de multicolinearidade
– Método de coleta de dados: coleta limitada a uma faixa de 
valores dos regressores
– Restrições nos próprios dados: ex: empresas maiores têm 
maior endividamento
– Especificação do modelo: acréscimo de termos polinomiais
– Modelo superdeterminado: muitas variáveis para poucas 
observações
– No caso de séries temporais quando os regressores têm uma 
tendência comum, ou seja, todos aumentam ou diminuem ao 
longo do tempo
Estimação na presença de 
multicolinearidade perfeita
𝑋3𝑖 = λ𝑋2𝑖
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽1𝑋2𝑖 + 𝛽2𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽1𝑋2𝑖 + 𝛽2(λ𝑋2𝑖) + 𝑢𝑖
𝑌𝑖 = 𝛼 + (𝛽1 + 𝛽2λ)𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖
Esse valor será estimado e não se poderá
determinar β1 e β2 separadamente
Consequências teóricas da multicolinearidade
• Os estimadores de MQO ainda são os melhores 
estimadores não tendenciosos.
• Então qual é o problema?
• É mais difícil estimar coeficientes com erros-padrão 
pequenos.
– Mas isso também ocorre quanto há (i) poucas observações e 
(ii) variáveis independentes com pequena variância
– Exemplo: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎𝑖 + 𝛽3𝑅𝑖𝑞𝑢𝑒𝑧𝑎𝑖 + 𝑢𝑖
– Pessoas com renda elevada têm riqueza elevada
– Para estimar precisaríamos ter na amostra pessoas ricas com 
renda baixa, e pessoas com renda alta e pouca riqueza
– Aumentar a amostra pode ajudar
Consequências práticas da multicolinearidade
1. Embora sejam melhores estimadores lineares não tendenciosos, 
os estimadores de MQO têm grande variância e covariância, 
tornando difícil uma estimação exata.
2. Em decorrência de 1, os intervalos de confiança tendem a ser 
mais amplos, facilitando a aceitação da “hipótese nula igual a 
zero”
3. Também com efeito de 1, a razão t de um ou mais coeficientes 
tende a ser estatisticamente insignificante
4. Embora a razão t de um ou mais coeficientes seja 
estatisticamente insignificante, R2, a medida geral da qualidade 
do ajustamento, pode ser muito alto.
5. Os estimadores MQO e seus erros-padrão podem ser sensíveis a 
pequenas alterações nos dados.
Consequências práticas da multicolinearidade
• Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores 
MQO
em: 𝑦𝑖 = 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝛽3𝑥3𝑖 + 𝑢𝑖
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =
𝜎2
 𝑥2𝑖
2 (1−𝑟23
2 )
𝑣𝑎𝑟 𝛽3 =
𝜎2
 𝑥3𝑖
2 (1−𝑟23
2 )
A variância dos coeficientes aumenta a uma velocidade 
igual a 
1
(1−𝑟23
2 )
FIV = fator de inflação da variância
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =
𝜎2
 𝑥2𝑖
2 𝐹𝐼𝑉 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 =
𝜎2
 𝑥3𝑖
2 𝐹𝐼𝑉
Consequências práticas da multicolinearidade
• Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores 
MQO
𝐹𝐼𝑉 =
1
(1 − 𝑟23
2 )
se r23 = 1 => FIV → ∞
se r23 = 0 => FIV → 1
Quanto mais próximo de 1 melhor.
Ver figura 10.2.
Consequências práticas da multicolinearidade
• Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores 
MQO
𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 =
𝜎2
 𝑥𝑗
2
1
1 − 𝑅𝑗
2
𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 =
𝜎2
 𝑥𝑗
2 𝐹𝐼𝑉𝑗
Ou seja, a 𝑣𝑎𝑟( 𝛽) depende de:
1. 𝑥𝑗
2 => deve haver variabilidade suficiente nos valores 
assumidos pelos regressores (Premissa 8)
2. FIV
3. 𝜎2
Consequências práticas da multicolinearidade
• Grandes variâncias e covariâncias dos estimadores 
MQO
• Tolerância = inverso do FIV
𝑇𝑂𝐿𝑗 =
1
𝐹𝐼𝑉𝑗
= (1 − 𝑅𝑗
2)
Consequências práticas da multicolinearidade
• Intervalos de confiança mais amplos
– Com intervalos mais amplos os dados amostrais podem ser 
compatíveis com um conjunto mais amplo de hipóteses
– Logo, a chance de aceitar uma hipótese nula sendo ela falsa é 
aumentada. Esse é o erro do tipo II.
Consequências práticas da multicolinearidade
• Razões t “insignificantes”
– A razão t é 
 𝛽2
𝑒𝑝( 𝛽2)
que será comparada com o tcrítico para 
rejeição ou não da hipótese de que β2 = 0.
– Com o aumento de 𝑒𝑝( 𝛽2) teremos razões t pequenas o que 
torna mais difícil rejeitar H0: β2 = 0.
Consequências práticas da multicolinearidade
• Alto valor de R2, mas com poucas razões t
significativas
– Com R2 alto => o teste F rejeitará H0: β1 = β2 = ... = βk = 0, 
ou seja, a regressão como um todo é significativa mas com 
poucos valores t significantes
– É um sintoma de multicolinearidade.
Rodar regressõs em multi1.txt. Comando estat vif.
Detecção da Multicolinearidade
• Kmenta: “A multicolinearidade é uma questão de grau, 
e não de tipo”
• Não há um método único para detectá-la ou medir sua 
força. Temos alguma regras práticas:
1. R2 alto, mas com poucas razões t significativas.
Detecção da Multicolinearidade
2. Altas correlações entre pares de regressores (> 0,8)
• Problema: uma baixa correlação de ordem 0 não garante que não há 
multicolinearidade
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝛽4𝑋4𝑖 + 𝑢𝑖
E imaginemos que 𝑋4𝑖 = λ2𝑋2𝑖 + λ3𝑋3𝑖
Ou seja, X4 é uma combinação linear exata de X2 e X3, de modo que 
𝑅4.23
2 = 1 é o coeficiente de determinação da regressão X4 contra X2 e X3.
𝑅4.23
2 =
𝑟42
2 + 𝑟43
2 − 2𝑟42𝑟43 𝑟23
1 − 𝑟23
2
Mas como 𝑅4.23
2 = 1 devido à colinearidade perfeita, obtemos:
1 =
𝑟42
2 + 𝑟43
2 − 2𝑟42𝑟43 𝑟23
1 − 𝑟23
2
Que pode ser satisfeita por r42=0,5, r43=0,5 e r23= -0,5, que são valores 
não muito altos. 
Então, em modelos com mais de 2 variáveis explanatórias a correlação 
simples não é um indicador infalível da presença de multicolinearidade.
Ver comandos em correlações.txt
Detecção da Multicolinearidade
3. Exame das correlações parciais
4. Regressões auxiliares
1. Fazer a regressão de uma variável explicativa com as demais
2. Se o teste F apontar significância da regressão auxiliar, há 
multicolinearidade
3. Se for significativo decidir se Xi deve ser mantido no modelo
Regra prática de Klien: a multicolinearidade só será um problema sério 
se o R2 de todas as regressões auxiliares for maior que o R2 da regressão 
de Y contra X. (como qualquer regra prática use com cautela)
4. Tolerância e fator de inflaçãoda variância: 
Regra prática: se o FIV > 10, o que acontece quando 𝑅𝑗
2 > 0,90 diz-se 
que essa variável é altamente colinear.
Ver comandos em correlações.txt
Detecção da Multicolinearidade
Crítica: 𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 =
𝜎2
 𝑥𝑗
2 𝐹𝐼𝑉𝑗 mostra que um FIV alto não 
necessariamente implicará uma 𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 alta, pois este aumento pode ser 
contrabalançado por 𝑥𝑗
2 maior ou 𝜎2 menor.
Outra regra: quanto mais próxima de zero estiver a TOLj, maior o grau 
de colinearidade dessa variável com os demais regressores.
Ver comandos em correlações.txt
Medidas Corretivas
• Não fazer nada
– Blanchard: “vontade divina”
– Se não posso estimar o coeficiente individualmente estimo 
uma combinação linear dos mesmos, é melhor que nada
– 𝑦𝑖 = (𝛽1 + 𝛽2λ)𝑥2𝑖 + 𝑢𝑖
• Exclusão de variáveis e viés de especificação
– Excluir a variável com correlação alta
– Pode levar ao viés de especificação
– Se a teoria estipula a variável ela não deve ser retirada
Medidas Corretivas
• Informações a priori
– Se trabalhos anteriores estipulam a relação entre os 
coeficientes ele pode ser usado
– Ex: se sabe-se que β3 = 0,10β2
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 0,10𝛽2𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2(𝑋2𝑖 + 0,10𝑋3𝑖) + 𝑢𝑖
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖
Medidas Corretivas
• Transformação de variáveis
– Se a série é temporal
– Ex: consumo, renda e riqueza => renda e riqueza podem 
evoluir no tempo de forma semelhante levando à correlação
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑡 + 𝛽3𝑋3𝑡 + 𝑢𝑡
Vale também em t-1:
𝑌𝑡−1 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑡−1 + 𝛽3𝑋3𝑡−1 + 𝑢𝑡
Solução: forma de primeira diferença
(𝑌𝑡 − 𝑌𝑡−1) = 𝛽2(𝑋2𝑡 − 𝑋2𝑡−1) + 𝛽3(𝑋3𝑡 − 𝑋3𝑡−1) + 𝑣𝑡
Problema: perda de
uma observação
Problema: na maioria dos casos
é correlacionado serialmente
violando a premissa 5
Problema: este procedimento
não se aplica a dados
em corte transversal.
Medidas Corretivas
• Transformação de variáveis
– Solução: transformação proporcional
𝑌𝑡
𝑋3𝑡
= 𝛽1
1
𝑋3𝑡
+ 𝛽2
𝑋2𝑡
𝑋3𝑡
𝑋2𝑡 + 𝛽3 +
𝑢𝑡
𝑋3𝑡
Onde:
Yt = consumo
X2t = PNB
X3t = população
Problema: esse termo de erro
será heterocedástico
Medidas Corretivas
• Dados adicionais ou novos
– Testar outra amostra
– Aumentar o tamanho da amostra
𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =
𝜎2
 𝑥2𝑖
2 (1 − 𝑟23
2 )
• Outros métodos
– Análise fatorial
– Componentes principais
Com o aumento da amostra
esse termo aumenta.
A multicolinearidade é necessariamente 
algo ruim?
• Se o objetivo é a previsão, a mulicolinearidade não é 
ruim.
• Se a estimação dos parâmetros é importante então 
teremos problemas.
• Exemplo aplicado: os dados de Longley