P2 de Cálculo I com gabarito (Derivada)

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Prova 2 de Ca´lculo 1
1. Utilize a regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
(a) lim
x→0
(
1
x2
−
1
sen x
)
(b) lim
x→0+
(sec x)
1
x2
Pontuac¸a˜o: 2,0 pontos (cada item vale 1,0 pontos).
Soluc¸a˜o da Questa˜o 1
(a) Observe que:
lim
x→0
�
1
x2
− 1
sen x
�
= lim
x→0
1
x2
�
1− x
2
sen x
�
=
�
lim
x→0
1
x2
�
·
�
lim
x→0
�
1− x
2
sen x
��
=
�
lim
x→0
1
x2
�
·
0
B
B
@
lim
x→0
1− lim
x→0
x2
sen x
| {z }
∗
1
C
C
A
= +∞ · (1− 0) = +∞
Ca´lculo de (∗) usando L’Hospital:
lim
x→0
x2
sen x
= lim
x→0
2x
cos x
= 0.
(b) Observe que
lim
x→0+
(sec x)
1
x
2 = lim
x→0+
eln(sec x)
1
x
2
= lim
x→0+
e
1
x
2 ln(sec x)
= lim
x→0+
e
− ln(cos x)
x
2
= e
lim
x→0+
− ln(cos x)
x2
= e1/2 (Usando L’Hospital)
Ca´lculo do Limite usando L’Hospital:
lim
x→0+
− ln(cos x)
x2
= − lim
x→0+
ln(cos x)
x2
= − lim
x→0+
1
cos x
(−sen x)
2x
(Aplicando a regra de L’Hospital.)
= lim
x→0+
tg x
2x
= lim
x→0+
sec2x
2
(Aplicando L’Hospital.)
= 1
2
2. Dado f(x), calcule f ′(x):
(a) f(x) = (2 + sen x)cos 3x (b) f(x) = x2ee
ee
x
(c) f(x) =
1− ex
1 + ex
(d) f(x) = ln
(
(x2−1)3
ln x
)2
Pontuac¸a˜o: 2,0 pontos (cada item vale 0,5 pontos).
Soluc¸a˜o da Questa˜o 2
(a) Usando a regra da Cadeia, temos:
f ′(x) = Dx
�
ecos 3x.ln(2+sen x)
�
= ecos 3x.ln(2+sen x).Dx (cos 3x. ln(2 + sen x))
= ecos 3x.ln(2+sen x).
�
−sen 3x. ln(2 + sen x) + cos 3x
2+sen x
(cos x)
�
= (2 + sen x)cos 3x.
�
−sen 3x. ln(2 + sen x) + cos 3x
2+sen x
(cos x)
�
(b) Usando a Regra do do Produto juntamente com a Regra da Cadeia, temos:
f ′(x) = Dx
�
x2ee
e
e
x
�
= 2xee
e
e
x
+ x2ee
e
e
x
ee
e
x
ee
x
ex.
(c) Usando a regra do Quociente, temos:
f ′(x) =
1− ex
1 + ex
=
(1 + ex)(−ex)− (1− ex)ex
(1 + ex)2
=
−2ex
(1 + ex)2
.
(d) Observe que:
f(x) = ln
�
(x2 − 1)3
ln x
�2
= 6 ln(x2 − 1)− 2 ln(ln x).
Enta˜o derivando temos
f ′(x) =
12x
x2 − 1 −
2
x ln x
.
2
3. Um triaˆngulo iso´sceles ABC tem o ve´rtice A em (0, 0). A base deste triaˆngulo
que esta´ situada acima deste ve´rtice e e´ paralela ao eixo x, e tem os ve´rtices
B e C localizados sobre a para´bola y = 9 − x2. Sabendo que o lado BC
aumenta a´ raza˜o de 2cm/s, determine a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo,
no instante em que o lado BC mede 4cm.
Pontuac¸a˜o: 2,0 pontos.
Soluc¸a˜o da Questa˜o 3
Sejam
• AD = h(t)
• BC = 2x(t)
Enta˜o a a´rea do ∆ABC e´ dado por
S(t) = AD·BC
2
= h(t)x(t)
= (9− x2)x = 9x− x3
Por hipotese, BC aumenta a` uma raza˜o de 2 cm/s, enta˜o
(2x(t))′ = 2x′ = 2 cm/s ⇒ x′(t) = 1 cm/s. (1)
Seja t0 o instante tal que BC = 4 cm, enta˜o
2x(t0) = 4⇒ x(t0) = 2. (2)
Finalmente, por (1) e (2), segue pela regra da cadeia:
dS
dt
�
�
�
t=t0
= 9 dx
dt
�
�
�
t=t0
− 3(x(t0))2 dxdt
�
�
�
t=t0
= 9 · 1− 3 · 22 · 1
= 9− 12 = −3 cm2/s
Assim, do dS
dt
< 0, a a´rea decresce.
3
4. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizara´ na travessia do
rio (de 100 m de largura) um barco com velocidade ma´xima de 10 Km/h; de B
a C utilizara´ uma bicicleta com velocidade ma´xima de 15 Km/h. Determine
B para que o tempo gasto no percurso seja o menor possivel.
CB
A
Rio100m
10Km
Pontuac¸a˜o: 2,0 pontos.
Soluc¸a˜o da Questa˜o 4
Sejam
• A = (0, 0)
• B = (b, 1
10
)
• C = (10, 1
10
)
Sabemos que
velocidade =
distancia
tempo
⇒ tempo = distancia
velocidade
.
O tempo necessa´rio para que a pessoa va´ de A ate´ B e´ dado por
t1 =
AB
10
=
q
b2 + 1
100
10
Agora, de B ate´ C o tempo e´ dado por
t2 =
BC
15
=
10− b
15
.
O tempo de A ate´ C e´ dado pela soma destes tempos:
T (b) = t1 + t2
=
q
b2+ 1
100
10
+ 10−b
15
Derivando temos
T ′(b) = b
10
q
b2+ 1
100
− 1
15
=
15b−10
q
b2+ 1
100
150
q
b2+ 1
100
=
�
15b−10
q
b2+ 1
100
�
�
150
q
b2+10 1
100
�
�
15b+10
q
b2+ 1
100
�
�
15b+10
q
b2+ 1
100
�
= 225b
2−100b2−1
�
150
q
b2+10 1
100
��
15b+10
q
b2+ 1
100
�
= 115b
2−1
�
150
q
b2+10 1
100
��
15b+10
q
b2+ 1
100
�
4
Determinando os pontos criticos:
T ′(b) = 0↔ 115b2 − 1 = 0↔ b =
√
5
25
Km
Pelo teste da derivada Primeira:
• 0 < b <
√
5
25
⇒ T ′(b) < 0⇒ T e´ crescente.
• b =
√
5
25
⇒ T ′(b) = 0
• b >
√
5
25
⇒ T ′(b) > 0⇒ T e´ decrescente.
Logo b =
√
5
25
Km ou 40
√
5 m e´ o ponto de modo que o tempo gasto no percurso seja mı´nimo.
5. Seja
f(x) =
x2
x2 − 4
Determine
(a) Os intervalos de crescimento ou decrescimento de f .
(b) Os intervalos onde a func¸a˜o e´ coˆncava para baixo e/ou para cima e os
pontos de inflexa˜o (se existirem).
(c) As ass´ıntotas horizontal, vetical e obl´ıqua (se existirem).
(d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
Pontuac¸a˜o: 2,0 pontos (cada item vale 0,5 pontos).
Soluc¸a˜o da Questa˜o 5
O domı´nio de f :
Dom(f) = R− {−2, 2}.
Ca´lculo da derivada Primeira e Segunda:
f ′(x) =
−8x
(x− 4)2 e f
′′(x) =
24x2 + 32
(x2 − 4)3 .
Determinando os Pontos cr´ıticos:
f ′(x) = 0↔ x = 0
(a) Intervalos de Crescimento e Decrescimento:
• x < −2⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ crescente.
• −2 < x < 0⇒ f ′(x) > 0⇒ f e´ crescente.
• 0 < x < 2⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ crescente.
• x > 2⇒ f ′(x) < 0⇒ f e´ crescente.
(b) Intervalos onde a func¸a˜o e´ coˆncava para baixo e/ou para cima:
• x < −2⇒ f ′′(x) > 0⇒ f e´ coˆncava para cima.
• −2 < x < 2⇒ f ′′(x) < 0⇒ f e´ coˆncava para baixo.
• x > 2⇒ f ′′(x) > 0⇒ f e´ coˆncava para cima.
5
Nota: Na˜o ha´ pontos de Inflexa˜o.
(c) Ass´ıntotas Horizontais, Verticais e Obl´ıquas:
• lim
x→2+
x2
x2 − 4 = +∞
• lim
x→2−
x2
x2 − 4 = −∞
• lim
x→−2+
x2
x2 − 4 = −∞
• lim
x→−2−
x2
x2 − 4 = +∞
Portanto, x = 2 e x = −2 sa˜o ass´ıntotas verticais do gra´fico da func¸a˜o f .
• lim
x→+∞
x2
x2 − 4 = limx→+∞
1
1− 4
x2
= 1
• lim
x→−∞
x2
x2 − 4 = limx→+∞
1
1− 4
x2
= 1
Logo, y = 1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico da func¸a˜o f .
Nota: Na˜o ha´ ass´ıntotas obl´ıquas
(d) Esboc¸o do Gra´fico de f :
6