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UFRB - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral I CURSO: PROFESSOR: DATA: / / NOME: TURMA: LISTA DE EXERCÍCIOS ATUALIZADA EM 5 DE FEVEREIRO DE 2015 Limites: Noção Intuitiva, Definição e Propriedades 1. Complete a tabela (use a calculadora e uma aproximação com até 4 casas decimais) e utilize os resultados para estimar o valor do limite da função quando x tende a a ou explicar por que ele não existe. (a) x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f (x) = x − 1 x3 − 1 x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 x − 1 x3 − 1 , a = 1 (b) x 1, 9 1, 99 1, 999 1, 9999 x − 2 x2 − 4 x 2, 1 2, 01 2, 001 2, 0001 x − 2 x2 − 4 , a = 2 (c) x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 x + 2 1− x x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 x + 2 1− x , a = 1 (d) x −3, 1 −3, 01 −3, 001 x2 + 5x + 6 x2 + 8x + 15 x −2, 9 −2, 99 −2, 999 x2 + 5x + 6 x2 + 8x + 15 , a = −3 2. Prove cada proposição usando a definição de limite. (a) lim x→2 3x − 2 = 4 (b) lim x→4 5− 2x = −3 (c) lim x→2 x2 − 4x + 5 = 1 (d) lim x→1 x2 − 1 x − 1 = 2 (e) lim x→5 1 2− x = − 1 3 (f) lim x→9− 4 √ 9− x = 0. 3. Determine, se possível, as constantes reais a e/ou b de modo que lim x→k f (x) exista, sendo: (a) f (x) = ® 3ax2 + 2, x < 1 x − 2, x ≥ 1 , k = 1 (b) f (x) = 3x − 2, x > −1 3, x = −1 5− ax , x < −1 , k = −1 (c) f (x) = ® 4x + 3, x ≤ −2 3x + a, x > −2 , k = −2 (d) f (x) = 3x2 − 5x − 2 x − 2 , x < 2 3− ax − x2, x ≥ 2 , k = 2 4. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades. (a) lim x→4 5x2 − 2x + 3 (b) lim x→3 (x3 + 2)(x2 − 5x) (c) lim x→−1 x − 2 x2 + 4x − 3 (d) lim x→1 Å x4 + x2 − 6 x4 + 2x + 3 ã2 (e) lim u→−2 √ u4 + 3u + 6 (f) lim t→−2 (t + 1)9(t2 − 1) Limites e Indeterminações 5. Seja f (x) = √ 3 + x −√3 x : (a) Use uma tabela de valores de f (x) para estimar o limite quando x tende a zero. Utilize quatro casas decimais. (b) Use as propriedades de limites para encontrar o valor exato do mesmo limite. 6. Prove que o lim x→0 |x | x não existe. 7. Seja f (x) = ® √ x − 4 , se x > 4 8− 2x , se x ≤ 4 e determine, se possível, o limx→4 f (x). 8. Verifique se existe os limites indicados, se não existir indique a razão disto. (a) lim t→−4 |t + 4| t + 4 (b) f (x) = √ x2 − 9 , se x ≤ −3;√ 9− x2 , se − 3 < x < 3;√ x2 + 6x + 9 , se x ≥ 3. lim x→−3 f (x) e lim x→3 f (x). 9. Calcule, se possível, os limites. (a) lim x→−2 4− x2 2 + x (b) lim x→−3 x2 − x − 12 x + 3 (c) lim x→1 x2 + 2x − 3 3x − 3 (d) lim x→−2 x + 2 x2 − x − 6 (e) lim x→3 x2 + x − 12 x2 − x − 6 (f) lim x→3 x2 − 4x + 3 x2 − x − 6 (g) lim x→4 3x2 − 17x + 20 4x2 − 25x + 36 (h) lim x→1 Å 2x2 − 3x + 1 3x − 3 ã2 (i) lim x→1 x3 − 1 x2 − 1 (j) lim x→1 x3 − 1 5x − 5 (k) lim x→−2 x3 + 8 x2 − 4 (l) lim t→−2 t3 + 4t2 + 4t (t + 2)(t + 3) (m) lim x→−2 3 x3 − 3x + 2 x2 + 3x + 2 (n) lim x→2 x4 − 16 8− x3 (o) lim x→1 x3 − 3x + 2 x4 − 4x + 3 ; 10. Calcule, se possível, os limites. (a) lim x→1 √ x − 1 x − 1 ; (b) lim x→0 √ x + 1−√1− x 3x ; (c) lim x→−1 1− x2 x + √ 2 + x ; (d) lim x→1 √ x + 2−√3 x3 − 1 . (e) lim t→9 9− t 3−√t (f) lim t→0 √ 2− t −√2 t (g) lim t→0 √ 25− 3t − 5 t (h) lim x→7 2−√x − 3 x2 − 49 (i) lim x→4 3−√5 + x 1−√5− x (j) lim h→0 3 √ 8 + h − 2 h (k) lim x→0 3 √ 2x − 1 + 1 x ; (l) lim x→1 3 √ 2x + 1− 3√3 1− 3√x ; 11. Determine cada limite, através do gráfico da função f (x), caso exista. x y 1 2 1 3 (a) lim x→1− f (x) (b) lim x→1+ f (x) (c) lim x→1 f (x) (d) lim x→−∞ f (x) (e) lim x→+∞ f (x) (f) lim x→2 f (x). 12. Determine cada limite, através do gráfico da função f (x), caso exista. LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2 x y 3 −1 1 3 (a) lim x→3− f (x) (b) lim x→3+ f (x) (c) lim x→3 f (x) (d) lim x→−∞ f (x) (e) lim x→+∞ f (x) (f) lim x→4 f (x). 13. Determine cada limite, através do gráfico da função f (x), caso exista. x y 1− 12 1 2 (a) lim x→1− f (x) (b) lim x→1+ f (x) (c) lim x→1 f (x) (d) lim x→−∞ f (x) (e) lim x→+∞ f (x) (f) lim x→0 f (x). 14. Mostre que o lim x→0 x2 · cos(20πx) = 0. 15. Use o teorema do confronto para mostrar que lim x→0 √ x2 + x3 sen (π x ) = 0. 16. A função sinal, denotada por sgn, está definida por sgn(x) = −1 , se x < 0 0 , se x = 0 1 , se x > 0 (a) Esboce o gráfico dessa função. (b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites que se seguem. i. lim x→0+ sgn(x) ii. lim x→0− sgn(x) iii. lim x→0 sgn(x) 17. Seja h(x) = x , se x < 0 x2 , se 0 < x ≤ 2 8− x , se x > 2 (a) Calcule, se existirem, os limites. i. lim x→0+ h(x) ii. lim x→0− h(x) iii. lim x→0 h(x) iv. lim x→2− h(x) v. lim x→2+ h(x) vi. lim x→2 h(x) (b) Esboce o gráfico da função h. 18. Considere a função f (x) = x 2 − 1 |x − 1| . (a) Determine lim x→1+ f (x) e lim x→1− f (x). (b) Existe lim x→1 f (x)? LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3 (c) Esboce o gráfico de f . 19. Calcule o limite: lim x→0 cos(x)− 3√cos(x) sen2(x) . 20. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para quais os lim x→a f (x) existe: g(x) = x , sex ≤ 1 3 , sex = 1 2− x2 , se1 < x ≤ 2 x − 3 , sex > 2 Limites Infinitos 21. Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz L = L0 1− v 2 c2 , expressa o comprimento L como uma função da velocidade v em relação a um observador, em que L0 é o comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre lim v→c− L e interprete o resultado. Por que é necessário o limite à esquerda? 22. Prove usando a definição, que lim x→−3 1 (x + 3)4 =∞. 23. Determine os limites. (a) lim x→5+ 6 x − 5 (b) lim x→3+ 1 (x − 3)8 (c) lim x→−2+ x − 1 x2(x + 2) (d) lim x→3+ x x − 3 (e) lim x→4− 3− x x2 − 2x − 8 (f) lim x→4 x − 5 (x − 4)2 (g) lim x→0 cos(x) x · sen(x) (h) lim x→2− 3− x (x − 2)3 24. Determine uma equação da(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função em cada caso. (a) f (x) = −2 x + 3 (b) f (x) = −2 (x + 3)2 (c) f (x) = 5 x2 + 8x + 15 Limites no Infinito 25. Calcule os limites: (a) lim x→+∞ (3x3 + 4x2 − 1) (b) lim t→−∞ t + 1 t2 + 1 (c) lim x→−∞ 3x5 − x2 + 7 2− x2 (d) lim x→−∞ −5x3 + 2 x3 + 3 (e) lim x→+∞ −4x4 + 2 2x − x3 (f) lim x→+∞ √ x2 + 1 x + 1 (g) lim r→+∞ r4 − r2 + 1 r5 + r3 − r (h) lim t→+∞ 6t2 + 5t (1 − t)(2t − 3) (i) lim x→+∞ √ 1 + 4x2 4 + x (j) lim x→+∞ √ 4x + x2 4x + 1 (k) lim x→+∞ x7 − 1 x6 + 1 (l) lim x→+∞ 1−√x 1 + √ x (m) lim x→+∞ tg−1(x2 − x4) (n) lim x→+∞ Ä√ x2 + 1− √ x2 − 1 ä (o) lim x→+∞ 1 + 2 + 3 + . . .+ n n2 (p) lim x→+∞ 12 + 22 + . . .+ n2 n3 Sugestão: Para (o) n∑ k=1 k = n(n + 1) 2 e para (p) n∑ k=1 k2 = n(n + 1)(2n+ 1) 6 . 26. Determine uma equação da assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico da função f (x). (a) f (x) = 2x + 1 x − 3 (b) f (x) = 4x2 x2 − 9 LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4 27. Encontre a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) e vertical(is) do gráfico de cada função. (a)y = x x + 4 (b) y = x 2 + 4 x2 − 1 (c) y = x 3 x2 + 3x − 10 (d) y = x 3 + 1 x3 + x (e) y = x 4 √ x4 + 1 (f) y = x − 9 4x2 + 3x + 2 . 28. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima que um novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha produzirá Q(t) = 30 − 10 · e− t9 novas unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se: (a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento? (b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo? 29. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o numero de pessoas que tomaram conhecimento e dado por N(t) = 600 1 + 24e−0,5t , em que t representa o número de dias após ocorrer a notícia. Pergunta-se (a) Quantas pessoas souberam a noticia de imediato? (b) Determine lim t→∞ N(t) e explique o seu resultado. 30. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado pela função A(x) = 120x 2 x2 + 4 , em que A(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do filme em cartaz. Pergunta-se: (a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês? (b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo? 31. Calcule o limite: lim x→+∞ √ x» x + √ x + √ x Limites Fundamentais 32. Calcule os limites: (a) lim x→0 sen(3x) 2x (b) lim x→0 sen(10x) sen(7x) (c) lim x→0 tg(3x) 2x (d) lim x→0 1− cos(x) x2 (e) lim x→0 1− sec(x) x2 (f) lim x→0 1− cos(x) x (g) lim x→0 1− cos(x) x sen(x) (h) lim x→0 7− 7 cos2(x) 3x2 (i) lim x→0 sen(x) x − π (j) lim x→0 √ 1 + sen(x)−√1− sen(x) x (k) lim x→0 2x3 − x + sen(x) x (l) lim x→0 sen(x + a)− sen(a) x (m) lim x→pi ß ln[sen2(x)]− 2 · ln(x)− ln Å 1− 2π x + π2 x2 ã™ 33. Calcule os limites: (a) lim x→−∞ Å 1 + 2 x ãx (b) lim x→−∞ Å 1− 3 x ãx (c) lim x→+∞ Å 1 + 1 x ã3x (d) lim x→+∞ Å 1− 4 x ã5x (e) lim x→−∞ Å 1 + 1 x ãx (f) lim x→+∞ Å x + 1 x − 1 ãx (g) lim x→∞ Å x 1 + x ãx (h) lim x→+∞ Å x + 5 x ã2x+3 LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 5 34. Determine: (a) lim x→0 ex − 1 2x (b) lim x→0 31+x − 3 x (c) lim x→3 4x − 64 x − 3 (d) limx→0 4− e2x x 35. Calcule os limites: (a) lim x→ 3pi2 [1 + cos(x)]3 1 cos(x) (b) lim x→0 ex − 1 sen(x) (c) lim x→0 −5x3 + sen5(x) 6x3 (d) lim x→+∞ 2 1+x2 2x2 36. Use o teorema do confronto para determinar lim x→∞ sen2 x x2 . Limites Envolvendo Funções Limitadas 37. Calcule os limites: (a) lim x→0 x · sen Å 1 x ã (b) lim x→+∞ sen(x) + x6 x (c) lim x→−∞ ex · sen(x) (d) lim x→0+ ß x3 [ 4− cos(x−2)] + ex x ™ (e) limx→+∞ (2 + x3) · cos[ln(x)] 1− 3x7 (f) lim x→+∞ 3 cos(x) + 2x 2x 38. Determine se o que está estabelecido é falso ou verdadeiro. Se verdadeiro, explique, se falso, explique o porquê ou dê um contra-exemplo. (a) lim x→3+ 2x x − 3 = +∞, neste caso, dizemos que a reta y = 3 é uma assíntota vertical. (b) lim x→0 x |x | não existe. (c) lim x→0 √ x · ecos(3pi/x) = 0 (d) A função f (x) = x 3 − x2 − 2x x − 2 tem uma descontinuidade removível em x = 2 e f pode ser redefinida como uma nova função dada por g(x) = x3 − x2 − 2x x − 2 , se x 6= 2 −6 , se x = 2 (e) Existe um número real que é exatamente um a mais que seu cubo. (f) lim x→0 sen(7x) sen(5x) = 7 5 . Limites e Continuidade 39. Considere a função y = f (x) abaixo definida no domínio R \ { −π 2 ; π 2 } . Analisando o gráfico de f (x), responda, justificando: LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 6 y x−π −pi2 0 pi 2 π 3pi2 1 2 3 (a) lim x→0 f (x) (b) lim x→ pi2 + f (x) (c) lim x→ pi2 − f (x) (d) lim x→ pi2 f (x) (e) lim x→pi+ f (x) (f) lim x→pi− f (x) (g) lim x→pi f (x) (h) lim x→− pi2 f (x) (i) lim x→ 3pi2 + f (x) (j) lim x→ 3pi2 − f (x) (k) lim x→ 3pi2 f (x) (l) lim x→−pi− f (x) (m) lim x→−pi+ f (x) (n) lim x→−pi f (x) (o) lim x→−∞ f (x) (p) lim x→+∞ f (x) (q) f (−π) (r) f (0) (s) f (π) (t) f Å 3π 2 ã (u) f é contínua em x0 = 0? (v) f é contínua em x0 = −π? (w) f é contínua em x0 = 3π 2 ? (x) f é contínua em x0 = π? (y) f é contínua em x0 = −π 2 ? 40. Mostre que a função é contínua em x0 em cada caso. (a)f (x) = x2 +√7− x , x0 = 4 (b) g(x) = (x + 2x3)4, x0 = −1 (c) h(x) = x + 1 2x2 − 1, x0 = 4 41. Investigue a continuidade das seguintes funções: (a) f (x) = x3 − 8 x2 − 4, x 6= 2, 1, x = 2 (b) f (x) = 2 3x2 + x3 − x − 3 (c) f (x) = ® 0, x ≤ 0 x , x > 0 (d) f (x) = x |x | , x 6= 0 −1, x = 0 42. Calcule as constantes a e b de modo que: (a) lim x→b x2 − a x − b = 4 (b) limx→3 x2 − ax + b x − 3 = 5 (c) limx→+∞ ï ax − bx + 3 x + 1 ò = 5 43. Se f e g são funções contínuas, com f (3) = 5 e lim x→3 [2f (x)− g(x)] = 4, encontre g(3). 44. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas. (a) f (x) = ® x2 + px + 2, x 6= −3 x , x = −3(b) f (x) = ® x + 2p, x ≤ −1 p2, x > −1 (c) f (x) = ® e2x , x 6= 0 p3 − 7, x = 0 45. Esboce o gráfico das funções abaixo, determine lim x→x− 0 f (x), lim x→x+ 0 f (x) e, caso exista, lim x→x0 f (x). (a) f (x) = ® x2 − 3x + 2, x ≤ 3 8− 2x , x > 3 , a = 1; (c) f (x) = ® x2 − x , x ≥ 0 −x , x < 0 , a = 0; (b) f (x) = x2 − 1, x ≥ 1, x 6= 2 1, x = 2 1− x , x < 1 , a = 2; (d) f (x) = |x | x , a = 0; 46. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede (use o Winplot 1 para visualizar e confirmar os gráficos construídos) 1 <http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html> LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 7 (a) f (x) = 4x + 12, x < −2 x2, −2 ≤ x ≤ 1 −x2 + 3, x > 1 i. lim x→−∞ f (x) ii. lim x→1 f (x) (iii) lim x→−2 f (x) (iv) lim x→+∞ f (x) (b) f (x) = ® 2−x , x > 0 x−1, x < 0 i. lim x→−∞ f (x) ii. lim x→0+ f (x) iii. lim x→0− f (x) iv. lim x→+∞ f (x) (c) f (x) = 2x , x < 0 1− x , 0 ≤ x < 1 x2 − 1, x > 1 1, x = 1 i. lim x→−∞ f (x) ii. lim x→1 f (x) iii. lim x→0 f (x) iv. lim x→+∞ f (x) (d) f (x) = x + 5, x ≤ −2 x2 − 1, −2 ≤ x ≤ −1 2x + 2, −1 < x ≤ 0 2−x , x > 0 i. lim x→−∞ f (x) ii. lim x→+∞ f (x) iii. lim x→−2 f (x) iv. lim x→0 f (x) 47. Se uma esfera oca de raio a = 2cm é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade de campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei: E (x) = ® 0 ; se 0 ≤ x < a x−2 ; se x ≥ a Estude a continuidade do campo na superfície da esfera. 48. Que tipo de descontinuidade possui a função f (x) = e 11−x em x = 1? 49. Mostre que a função é contínua no intervalo dado. (a) f (x) = x√16− x2; [−4, 4] (b) f (x) = x + 1 x − 3 ; (−∞, 3) 50. Encontre os pontos no(s) qual(is) a função é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico. (a) f (x) = 2x + 1 , se x ≤ −1 3x , se − 1 < x < 1 2x − 1 , se x ≥ 1 (b) f (x) = ® (x − 1)3 , se x < 0 (x + 1)3 , se x ≥ 0 51. Explique o porquê que a função é contínua. Estabeleça o domínio. (a) f (x) = x x2 + 5x + 6 (b) f (t) = 2t +√25− t2 (c) f (x) = 5√x − 1(x2 − 2) (d) f (x) = sen(x) x + 1 (e) f (x) = ex sen(5x) (f) f (x) = sen−1(x2 − 1) 52. Use a continuidadepara calcular o limite. (a) lim x→4 5 + √ x√ 5 + x (b) lim x→pi sen(x + sen(x)) (c) lim x→1 ex 2−x (d) lim x→2 arctg Å x2 − 4 3x2 − 6x ã 53. A força gravitacional exercida pela terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é F (r) = GMr R3 , se r < R GM r2 , se r ≥ R em que M é a massa da terra, R é o seu raio e G é a constante gravitacional. A função F é uma função contínua em r? LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 8 54. Quais das seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se esta for removível, encontre uma função g que é igual a f , para x 6= a e que seja contínua em R. (a) f (x) = x 2 − 2x − 8 x + 2 , a = −2 (b) f (x) = x − 7|x − 7| , a = 7 (c) f (x) = x 3 + 64 x + 4 , a = −4 (d) f (x) = 3− √ x 9− x , a = 9 Derivadas Imediatas e as Regras Operacionais Derivadas Imediatas 1. k ′ = 0, ∀ k ∈ C; 2. (xn)′ = nxn−1; 3. (ax)′ = ax · ln(a), em particular, (ex)′ = ex ; 4. (sen(x))′ = cos(x); 5. (cos(x))′ = − sen(x); 6. (tg(x))′ = sec2 x ; 7. (cotg(x))′ = − cossec2 x ; 8. (sec(x))′ = tg(x) · sec(x); 9. (cossec(x))′ = cotg(x) · cossec(x); 10. (loga x)′ = 1 x · ln(a) , ∀x ∈ R ∗ +, 0 < a 6= 1, em particular, (ln x)′ = 1 x ; 11. (arcsen x)′ = 1√ 1− x2 ;. 12. (arccos(x))′ = −1√ 1− x2 ; 13. (arctg(x))′ = 1 1 + x2 ; Regras da Derivação 1. d(u ± v) = du ± dv ; 2. d(u · v) = u · dv + v · du; 3. d (u v ) = vdu − udv v2 . 55. Encontre a derivada de cada uma das funções. (a) f (x) = 2x4 − 3x2 + 5x − 2 (b) f (x) = 3 2x + 2x( 5 √ x3)− 2√ x (c) f (x) = (3x5 − 1)(2− x4) (d) f (s) = √3(s3 − s2) (e) f (t) = t 3 − 3t t5 − 5t (t 2 − 2t) (f) f (x) = x 3 ex + ex x3 (g) f (x) = x2 sen(x)− ln(x) cos(x) (h) f (θ) = 2 cotg(θ) 1− sen(θ) (i) f (x) = sec 2 t 1 + t2 ; (j) g(x) = Å 3x2 + 4 x7 + 1 ã10 ; (k) f (t) = sen2(3t)√cos 2t; (l) f (t) = e3t2−t3 − ln(cos 3t). (m) f (x) = Å 3x2 + 4 x7 + 1 ã2 ; (n) f (θ) = e3θ. sen2(3θ); (o) f (t) = ln(cos(t)). 56. Se f (x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é: (a) 7 (b) 2 (c) 5 (d) 10 57. Calcule as abscissas dos pontos do gráfico de y = x3 + 2x2 − 4x nos quais a reta tangente é: (a) Horizontal. (b) Paralela à reta 2y + 8x − 5 = 0. LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 9 58. Determine a equação da reta tangente à curva f (x) = x − 3 x + 3 no ponto x = −2. Existe reta tangente ao gráfico de f que tem inclinação horizontal? Por quê? Derivada da Função Composta Derivada da Função Composta h(x) = f (g(x))⇒ h′(x) = [f (g(x))]′ · g ′(x). Derivada da Função Exponencial Composta y = [u(x)v(x)]⇒ y ′ = v · uv−1 · u′ + uv · v ′ · ln x . 59. Calcule a derivada de: (a) y = 3√3x − 1 (b) z(x) = ln(x2 − 6) (c) f (t) = e4t3 (d) f (t) = ln(sec(x)) (e) y = cos[tg(3− 5x)] (f) y = sen(x2 − 2x) (g) f (t) = e 4t3t+4 (h) y = √−3− 7x cos(−15x) (i) y = sec î log2 Ä 4 √ x3 −√2 äó 60. Encontre a derivadas das funções dadas. (a) f (x) = (3x5 − 1)10(2− x4) (b) f (t) = (t 3 − 3t)3 (t5 − 5t)5 (c) f (s) = ln(e5s−3) (d) f (x) = 1 2 ln(7x2 − 4) (e) f (x) = ex2 + 4 (f) f (θ) = 2 cos(2θ2 − 3θ + 1) (g) f (θ) = 2 cos2(θ) sen(θ) (h) f (θ) = sen2(θ) + cos2(θ) (i) f (x) = ln Å x + 1 ex ã (j) f (x) = ln(sen2(x)) (k) f (x) = arctg(x2 + 1) (l) f (θ) = earcsen(θ) 61. Determine f ′(3), (a) sabendo que f (1 + 2x) + f (2x2 + 1) = 4x2 + 4x + 2, ∀ x ∈ R. (b) sabendo que f (4x − 1) · f (−2x3 + 5) = x5 + x3 − x e que f (3) < 0. 62. Mostre que: (a) Se y = xn, com n ∈ R, então y ′ = n · xn−1. (b) Se f é uma função par, então f ′(x) = −f ′(−x). (c) Se f é uma função ímpar, então f ′(x) = f ′(−x). LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 10 Derivada da Função Inversa Derivada da Função Inversa y−1 = 1 f (x) ⇒ (y−1)′ = 1 f ′(x) . 63. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura ao lado, sabendo-se que n é a reta normal a f (x) = ex no ponto de abscissa x0 = 1. x y f (x) n 1 64. Determine (f −1)′(−5), sabendo que: f : (2, +∞) → R x 7→ x2 − 4x − 2. 65. Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função f (x) = arctg2(x) no ponto de abscissa √ 3. 66. Calcule a derivada da função inversa de f (x) = 5√x no ponto y = 1. 67. Determine a derivada da função inversa das funções a seguir. (a) f (x) = 2x2 − 3 (b) f (x) = 5− 7x (c) f (x) = x4 + 1 Derivadas Sucessivas 68. Mostre que y = A cos(ω − t) + B sen(ω − t), satisfaz a equação: d 2y dω2 − d 2y dt2 = 0. 69. Determine a derivada de ordem 2006 das funções: (a) f (x) = (2x + 1) (b) f (x) = ex(x + 1) L’Hospital 70. Calcule o limite utilizando as regras de L’Hospital. (a) lim x→0 x tg(x) (b) lim x→0 ex − cos(x) x sen(x) (c) lim x→+∞ ln(x)√ x (d) lim x→0 x2 + 6x x3 + 7x2 + 5x (e) lim x→+∞ Å ln x x + 1 ã (f) lim x→+∞ x99 ex Derivação Implícita 71. Determine dy dx por derivação implícita: (a) x2 + y2 = 16 (b) 1 x + 1 y = 1 (c) y2 = cos(x − y) (d) ex+y = arctg(y) LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 11 72. Ache a equação da reta tangente à curva x − y = √x + y no ponto (3, 1). 73. Determine f ′(3) sabendo que 2f (5x−2) = x3 + 3x2 Diferenciais Diferencial de uma Função Seja uma função y = f (x) uma função. Da igualdade lim ∆x→0 ∆y ∆x = f ′(x), temos: ∆y ∆x − f ′(x) = α Diferença entre a razão incremental e a derivada da função. Logo: ∆y = f ′(x) ·∆x︸ ︷︷ ︸ Diferencial da função + α ·∆x ; dy = f ′(x)∆x . 74. Usando diferenciais, determinar um valor aproximado para: (a) √64, 1; (b) 4√13 (c) ln(2, 53) sabendo que ln(2, 5) = 0, 91629 75. Encontrar o acréscimo ∆y e a diferencial dy para os valores dados: (a) y = 1 2x2 ; ∆x = 0, 001; x = 1; (b) y = 5x2 − 6x ; ∆x = 0, 02; x = 0; (c) y = 2x + 1 x − 1 ; ∆x = 0, 1; x = −1. 76. Calcular a diferencial das seguintes funções: (a) y = (2x2 + x + 1)ex2 (b) y =√ln[tg(3x)] (c) y = 2sen(x) (d) x + 1 ex Taxas de Variação 77. Um material arenoso está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se dado instante o raio é 12 metros, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2 m3 no volume da pilha. 78. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1.200 m, como um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o possível erro no cálculo da área do terreno. 79. Um tanque em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm de mate- rial para um melhor isolamento térmico. Se o lado do tanque é de 2 m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. 80. Uma pedra cai livremente num lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada aumenta a uma taxa de 16 cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região estará aumentando quando o raio for de 4 cm? 81. Uma piscina está sendo drenada para a limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e depois de um tempo t este volume diminui 2.500 t2 litros, determinar: LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 12 (a) tempo necessário para esvaziamento da piscina; (b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5]; (c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo. 82. Um tanque tem a forma de um cilindro reto de 5 m de raio de base e 10m de altura. No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3/h. Com que velocidade o nível da água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio? 83. Um tanque cilíndrico aberto, deveter um revestimento externo com 2cm de espessura. Se o raio interno for 6m e a altura 10m, encontre, por diferenciais, a quantidade de material necessária para o revestimento. 84. Uma caixa de metal na forma de um cubo deve-se ter um volume inferior a 1000 cm3. Os seis lados são feitos de metal, com espessura de 12cm. Se o custo do material for de R$ 0, 20 por centímetros cúbicos, use diferencial para encontrar o custo aproximado do metal a ser usado na confecção da caixa. 85. Um reservatório de água tem 80m de comprimento e sua secção transversal é um trapézio isósceles com lados iguais a 10m, uma base superior de 17m e uma base inferior de 5m. Quando a água tiver 5m de profundidade, ache a taxa segundo qual estará escoando, se o nível de água estiver abaixando a uma taxa de 0, 1 m/h. 86. Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores em qualquer época é uma função do número de peixes no lago, naquele período de tempo. Suponha que quando há x peixes pequenos no lago, a população de predadores é y e y = 1 2 x2 +80. Se a temporada de pesca terminou t semanas atrás, x = 8t+90. A que taxa a população de peixe predador estará crescendo 9 semanas após o término da temporada da pesca? 87. A constante de uma reação química equilibrada varia com a temperatura absoluta de acordo com a lei K = K0 · e −q(T−T0) 2T0T , em que K0, q e T0 são constantes. Ache a taxa de variação instantânea de K em relação a T . Crescimento, Extremante, Inflexão e Esboço de Gráficos 88. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes e decrescentes. (a) y = x3 + 2x2 − 4x + 2 (b) y = x 2 x − 1 (c) y = t 2 + 9 (t − 3)2 (d) y = e−x (e) y = ex(x2 − 2x) (f) y = x 2 ex (g) y = x4 + 4x (h) y = x5 − 25 3 x3 + 20x − 2 (i) y = 5x3 − 3x5 (j) y = ln x 3− x 89. Encontre os pontos críticos das seguintes funções: (a) f (x) = 5x2 + 4x (b) f (t) = 2t3 + 3t + 6t + 4 (c) f (x) = xe2x (d) f (s) = √3(s2 − s) (e) f (t) = t + 1 t2 + t + 1 (f) s(t) = 2t3 + 3t2 + 6t + 4 (g) f (x) = x + sen(x) (h) f (θ) = 5 + 6θ − 2θ3 LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 13 90. Encontre os valores de mínimo e de máximo de f no intervalo dado. (a) f (x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3] (b) f (t) = t3 − 3t + 1, [0, 3] (c) f (x) = 2t3 + 3t2 + 4, [−2, 1] (d) f (s) = 3x5 − 5x3 − 1, [−2, 2] (e) f (t) = t t2 + 1 , [0, 2] (f) s(t) = ln x x , [1, 3] (g) f (x) = cos(x) + sen(x), [ 0, π 3 ] (h) f (θ) = θe−θ, [0, 2] 91. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que: (a) f (x) = axe−x2 tenha um máximo em x = 1√ 2 ; (b) f (x) = x3 + ax2 + bx + c tenha pontos críticos em x = −2 e x = 3. Qual é o de máximo e qual é o de mínimo? 92. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Rolle para as funções a seguir, nos intervalos especificados. Ache, então, um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ′(c) = 0. (a) f (x) = 4x3 − 9x , I1 = ï −3 2 , 0 ò , I2 = ï 0, 3 2 ò e I3 = ï −3 2 , 3 2 ò . (b) f (x) = ® x + 2 , x ≤ 2 4− x , x > 1 e I = [−2, 4] 93. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Lagrange para as funções a seguir, nos intervalos I especificados. Em seguida, obtenha um c ∈ I que satisfaça a tese do teorema. (a) f (x) = x2 + 2x − 1 e I = [0, 1]; (b) f (x) = 3√x2 e I = [0, 2]; (c) f (x) = x 2 + 4x x − 1 e I = [2, 6] 94. Determine os pontos de inflexão e verifique, também, os intervalos os quais o gráfico delas tem concavidade positiva ou negativa das funções da questão 88. 95. Determine as coordenadas dos pontos extremantes identificando-os, caso existam, de cada uma das funções da questão 88, usando o teste da primeira e o da segunda derivada. 96. Determine (se existir) as assíntotas: horizontais, verticais ou oblíquas das funções a seguir: (a) y = 3x + 1 (x + 2)(x − 3) (b) y = x2 x − 3 97. Esboce o gráfico de cada uma das funções da questão 88, informando no plano cartesiano os pontos determinados pelas intersecções com os eixos (quando for fácil), os pontos onde a função possui extremos relativos e os pontos de inflexão. Utilize o software winplot 2 para conferir. 98. Esboce os gráficos das funções a seguir: (a) y = −x2 + 4x + 2 (b) y = −x4 − x3 − 2x2 (c) y = 3x + 1 (x + 2)(x − 3) (d) y = ln(x2 + 1) (e) y = x 2 x − 3 2download em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 14 99. Sabendo que f é definida e contínua em R e que o gráfico a seguir representa a derivada de f , determine para a função f : (a) as abscissas dos pontos críticos; (b) as abscissas dos pontos de máximo e mínimo locais; (c) os intervalos de crescimento e decrescimento; (d) os intervalos nos quais a função tem concavidade voltada para cima e nos quais a função tem concavidade voltada para baixo; (e) as abscissas dos pontos de inflexão. x y −2 0 2 4 6 100. Considere uma função duplamente derivável y = f (x) com as seguintes propriedades: x y Derivadas x < −1 y ′ > 0 y ′′ < 0 −1 0 y ′ > 0 y ′′ = 0 −1 < x < 0 y ′ > 0 y ′′ > 0 0 1 y ′ > 0 y ′′ = 0 0 < x < 2 y ′ > 0 y ′′ < 0 2 3 y ′ = 0 y ′′ < 0 x > 2 y ′ < 0 y ′′ < 0 (a) Informe, sem cálculos, quais são os extremantes relativos e os pontos de inflexão, caso existam. (b) Esboce o gráfico da função com as informações dadas acima. Quando for possível, indique as coordenadas. 101. Considere a função f (x) = 4x x2 + 1 . (a) Encontre os intervalos os quais a função é crescente e decrescente; (b) Classifique os pontos críticos; (c) Encontre os intervalos os quais a função tem concavidade voltada para cima e para baixo; (d) Determine as coordenadas dos pontos de inflexão, caso existam; (e) Determine as equações das assíntotas, caso existam; (f) Esboce o gráfico da função, indicando os pontos determinados nos itens anteriores. 102. Determine, se possível, as raízes reais do polinômio f (x) = −2x4 + 4x3 + 3x2 + 6x + 9 e seus pontos críticos. Faça o esboço do gráfico deste polinômio utilizando os dados acima. 103. Dada a função racional f (x) = 2x 2 − 8 x2 − x − 6 , determine o domínio, o conjunto imagem e as equações das assíntotas horizontais e verticais. Esboce o gráfico de f . Problemas de Otimização 104. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço papelão medindo 8 centímetros de largura por 15 centímetros de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os lados para LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 15 cima. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados que devem cortados para a produção de uma caixa de volume máximo. 105. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100m2. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. 25m 20m 1 2 m 1 2 m12.100m 2 x y 106. [Construindo uma tubulação] Superpetroleiros descarre- gam petróleo, em atracadouros a 4 milhas da costa. A refina- ria mais próxima está 9 milhas a leste do ponto da costa mais próximo do atracadouro. Uma tubulação precisa ser construída para conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaquáticos custam R$300.000, 00 por milha e os terrestres, R$200.000, 00 por milha. Localize o ponto B para minimizar os custos da cons- trução. Costa A B Refinaria Atracadouro 4 mi 9 mi 107. [Locação de uma estação bombeadora] Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio. Uma es- tação bombeadora de água será instalada para servir às duas cidades. A tubulação seguirá as retas que li- gam cada cidade à estação. Defina o ponto onde a estação bombeadora deve ser instalada para minimi- zar o custo da tubulação.Veja a figura: P B A 2 mi 5 mi 10 mi 108. [Lançamento da água] Desprezando a resistência do ar, o jato d’água de uma mangueira de incêndio satisfaz à equação y = mx − 16(1 +m2) (x v )2 , em que m é a inclinação do bico, v é a velocidade do jato no bico em metros por segundos e y é a altura em metros do jato a x metros do bico. Considere que v seja uma constante positiva. Calcule: (a) o valor de x para a altura y do jato seja máxima para um valor fixo m; (b) o valor de m para que o jato chegue ao chão a uma distância máxima do bico; (c) o valor de m para o qual a água atingirá altura máxima num muro vertical a x metros do bico da mangueira. 109. [Reação a medicamento] Em medicina é frequentemente aceito que a reação R a uma dose x de uma droga é dada pela equação da forma R = Ax2(B − x), em que A e B são certas constantes positivas. A sensibilidade de alguém a uma dose x é definida pela equação d dx R da reação com a respectiva dose. Para que valor de x : (a) a reação é máxima? (b) a sensibilidade é máxima? 110. Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. O material da tampa e da base deve custar R$3, 00 por centímetro quadrado e o material para os lados custa R$1, 50 por centímetro quadrado. Queremos encontrar as dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo. 111. Se uma lata fechada com volume 16π cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura e o raio, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação. LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 16 112. Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de papelão com 12 cm de lado. Para isso, ele pretende retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando, a seguir, os lados. (a) Se x cm for o comprimento dos quadrados a serem cortados, expresse o volume da caixa em centí- metros cúbicos como função de x . (b) Qual é o domínio da função? (c) A função é contínua em seu domínio? (d) Determine o comprimento do lado do quadrado para que a caixa tenha volume máximo. 113. Dois pontos A e B estão colocados em lados opostos a um rio cuja largura é de 3 km. A linha AB é ortogonal ao rio. Um ponto C está na mesma direção que B, mas 2 km do rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C . Se o custo por quilômetro do cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor possível? 114. Um campo retangular à margem de uma rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do rio. Se o custo do material for de R$12, 00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$8, 00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com R$3.600, 00 de material. 115. Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto diário será de R$16, 00 por lugar. Se contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o lucro bruto diário por lugar decrescerá de R$0, 08 vezes o número de lugares acima de 80. Qual deverá ser o número de assentos para que o lucro bruto diário seja máximo? 116. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400m2 de área, determine as dimensões a e b, de forma que o comprimento da cerca seja mínimo. 117. Encontre as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 100 cm2. 118. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à razão de 8 cm3/min. Como está variando o raio no instante em que a bola tem 4 cm de diâmetro? 119. Uma cerca de 8 m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca? 120. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3 cm e 4 cm se dois lados do retângulo estão sobre os catetos. 121. Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20 m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada? 122. O telescópio espacial Huble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s é dado por v(t) = 0, 001302t3− 0, 09029t2 + 23, 61t − 3, 083 pés/s. Usando esse modelo, estime os valores máximos e mínimo absoluto da aceleração do ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar. LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 17 123. Um modelo para o índice de preço de alimento (o preço de uma cesta básica) entre 1984 e 1994 é dado pela função I (t) = 0, 00009045t5 + 0, 001438t4− 0, 06561t3 + 0, 4598t2 − 0, 6270t + 99, 33, em que t é medido em anos desde a metade do ano de 1984; assim 0 ≤ t ≤ 10, e I (t) é medido 1987 em dólares e reduzido em uma escala tal que I (3) = 100. Estime os períodos nos quais a comida foi mais barata e mais cara durante 1984-1994. 124. Um tanque de zinco na forma cilíndrica deve ser construído para a cultivo de peixes. Tal tanque deve conter 8.000 litros de água e não precisará de tampa. Determine as medidas do tanque (a altura h e o raio r do cilindro) para que a quantidade de zinco seja mínimo. DICA: Volume do cilindro V = πr2 · h, área da superfície do cilindro menos a tampa S = 2πr · h + πr2. 125. Uma lata cilíndrica de estanho (sem tampa) tem volume de 5 cm3. Determine suas dimensões se a quantidade de estanho para a fabricação da lata é mínima. 126. James mora numa ilha a 6 km da praia e sua namorada Jeane mora a 4 km praia acima. James pode remar seu barco a 3 km por hora e pode andar a 5 km por hora na praia. Encontre o tempo mínimo gasto por James para alcançar a casa de Jeane vindo de sua ilha. 127. A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do número de pessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o ouviram. Mostre que a rapidez é máxima no instante em que metade das pessoas ainda não ouviu o boato. 128. Uma certa árvore possui seu tronco na forma de um cilindro de raio 1m e altura 4m. Um certo fungo alojou-se sobre a casca do tronco destruindo 5cm de profundidade. Qual a quantidade de material que deve ser retirado? 129. Encontre as medidas de cada um dos lados do triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito numa circunferência de raio 4 cm. Resumo: Cálculo Diferencial e Integral Definição Sejam y = f (x) uma função e c ∈ R. Denomina-se INTEGRAL da função f (x), a função primitiva F (x) + c , pois (F (x) + c)′ = f (x). Propriedades 1. d ∫ f (x) dx = f (x) dx; 2. ∫ df (x) dx = f (x) + C ; 3. ∫ k · f (x) dx = k · ∫ f (x) dx, k ∈ C; 4. ∫ [f (x) + g(x)] dx = ∫ f (x) dx+ ∫ g(x) dx; 5. Å∫ f (x) dx ã′ = f (x). LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 18 Integrais imediatas 1. ∫ xn dx = xn+1 n+ 1 + C , n ∈ R \ {−1}; 2. ∫ 1 x dx = ln |x |+ C ; 3. ∫ sen(x) dx = − cos(x) + C ; 4. ∫ cos(x) dx = sen(x) + C ; 5. ∫ tg(x) dx = ln | sec(x)|+ C ; 6. ∫ cotg(x) dx = ln | sen(x)|+ C ; 7. ∫ sec(x) dx = ln | tg(x) + sec(x)|+ C ; 8. ∫ cossec(x) dx = ln | cotg(x)− cossec(x)|+ C ; 9. ∫ sec2 x dx = tg(x) + C ; 10. ∫ cossec2(x) dx = − cotg(x) + C ; 11. ∫ sec(x) · tg(x) dx = sec(x) + C ; 12. ∫ cossec(x) · cotg(x) dx = − cossec(x) + C ; 13. ∫ ax dx = ax ln a + C , a ∈ R∗+ \ {1}; 14. ∫ ex dx = ex + C ; 15. ∫ dx√ 1− x2 = arcsen x + C ; 16. ∫ dx√ b2 − a2x2 = 1 a arcsen(a b x ) + C ; 17. ∫ dx 1 + x2 = arctg(x) + C ; 18. ∫ dx b2 + a2x2 = 1 ab arctg ( a b x ) + C ; 19. ∫ dx a2x2 ± b2 = 1 2ab ln ∣∣∣∣ax ± bax ∓ b ∣∣∣∣+ C ; 20. ∫ dx√ a2x2 ± b2 = 1 a ln ∣∣∣ax +√a2x2 ± b2∣∣∣+ C ; 21. ∫ ln x dx = x(ln |x | − 1) + C . 22. ∫ dx x √ x2 − a2 = 1 a arcsec (x a ) + C . Métodos de integração Por substituição; Por partes: u · v ∫ v · du. Integral de certas funções que contém um trinômio 1. ∫ dx ax2 + bx + c . ∫ dx x2 + 5x + 4 = ∫ dxÅ x2 + 5x + 25 4 ã + 4− 25 4 = ∫ dxÅ x + 5 2 ã2 − Å 3 2 ã2 = 1 2 · 3 2 ∫ ln ∣∣∣∣∣∣∣ x + 5 2 − 3 2 x + 5 2 + 3 2 ∣∣∣∣∣∣∣+ c = 1 3 ln ∣∣∣∣x + 1x + 4 ∣∣∣∣+ c 2. ∫ (mx + n) dx ax2 + bx + c ; ∫ (2x + 3) dx x2 + 5x + 4 u = x2 + 5x + 4 ⇒ du = 2x + 5 dx∫ (2x + 5− 2) dx x2 + 5x + 4 = ∫ du u − 2 ∫ dx x2 + 5x + 4 = ln |x2 + 5x + 4| − 2 3 ln ∣∣∣∣x + 1x + 4 ∣∣∣∣+ c LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 19 Integral de funções racionais f (x) = p(x) q(x) , q(x) 6= 0, ∀ x , em que p(x) e q(x) são dois polinômios. Devemos observar as seguintes hipóteses: 1. Grau de p(x) < grau de q(x). 2. Grau de p(x) > grau de q(x). Na primeira hipótese, decompomos p(x) q(x) em frações parciais, de acordo com a natureza das raízes do polinômio q(x). Este pode apresentar raízes reais ou complexas, simples ou múltiplas. Os casos a seguir ilustrarão estes quatro aspectos. 1. ∫ (2x − 1) dx (x − 1)(x − 2) Façamos (2x − 1) (x − 1)(x − 2) = A x − 1 + B x − 2 = (A+ B)x − 2A− B (x − 1)(x − 2) ⇒ { A+ B = 2 −2A− B = −1 ⇒ { A = −1 B = 3 Logo, ∫ (2x − 1) dx (x − 1)(x − 2) = − ∫ dx x − 1 + 3 ∫ dx x − 2 = ln ∣∣∣∣(x − 2)2x − 1 ∣∣∣∣+ c 2. ∫ dx (x − 1)2(x − 2) Façamos 1 (x − 1)2(x − 2) = A (x − 1)2 + B x − 1 + C x − 2 = A(x − 2) + B(x2 − 3x + 2) + C (x2 − 2x + 1) (x − 1)2(x − 2) ⇒ B + C = 0 A− 3B − 2C = 0 −2A+ 2B + C = 1 ⇒ A = −1 B = −1 C = 1 Logo, ∫ dx (x − 1)2(x − 2) = − ∫ dx (x − 1)2 − ∫ dx x − 1 + ∫ dx x − 2 = 1 x − 1 ln ∣∣∣∣x − 2x − 1 ∣∣∣∣+ c 3. ∫ x dx (x2 + 1)(x − 1) Façamos x (x + 1)2(x − 1) = Ax + B x2 + 1 + C x + 1 = (A+ C )x2 + (B − A)x + C − B (x2 + 1)(x − 1) LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 20 ⇒ A+ C = 0 B − A = 1 C − B = 0 ⇒ A = −1 2 B = 1 2 C = 1 2 Logo, ∫ x dx (x2 + 1)(x − 1) = − ∫ x dx 2(x2 + 1) + ∫ dx 2(x2 + 1) + ∫ dx 2(x − 1) = 1 2 arctg(x) + ln ∣∣∣∣∣ 4 (x − 1)2 x2 + 1 ∣∣∣∣∣+ C 4. ∫ (x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx (x2 + 2x + 3)(x + 1) (x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx (x2 + 2x + 3)(x + 1) = Ax + B (x2 + 2x + 3)2 + Cx + D (x2 + 2x + 3 + E x + 1 = . . . Na segunda hipótese, devemos dividir, inicialmente, p(x) por q(x) e efetuar o procedimento de cálculo da integral. 5. ∫ (x5 + x4 − 8) dx x3 − 4x = ∫ (x2 + x + 4) dx+ ∫ (4x2 + 16x − 8) dx x3 − 4x = . . . = x3 3 + x2 2 + 4x + ln ∣∣∣∣x2(x − 2)5(x + 2)3 ∣∣∣∣+ c Identidades trigonométricas importantes 1. sen2(x) = 1− cos(2x) 2 ; 2. cos2(x) = 1 + cos(2x) 2 ; 3. sen(x) · cos(x) = 1 2 sen 2x ; 4. sen(x) · cos(y) = 1 2 [sen(x − y) + sen(x + y)]; 5. sen(x) · sen(y) = 1 2 [cos(x − y)− cos(x + y)]; 6. cos(x) · cos(y) = 1 2 [cos(x − y) + cos(x + y)]. Funções hiperbólicas 1. senh(x) = e x − e−x 2 = −i sen(iθ); 2. cosh(x) = e x + e−x 2 = cos(iθ); 3. cosh2(x)− senh2(x) = 1; 4. senh2(x) = 1 2 (cosh(2x)− 1); 5. cosh2(x) = 1 2 (cosh(2x) + 1); 6. senh(x) · cosh(x) = 1 2 senh(2x). LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 21 Integral das Funções Hiperbólicas 1. ∫ senh(x) dx = cosh(x) + c ⇒ (cosh(x))′ = senh(x); 2. ∫ cosh(x) dx = senh(x) + c ⇒ (senh(x))′ = cosh(x); Cálculo de Comprimento Cartesianas ℓ = ∫ b a » 1 + (f ′(x))2 dx; Polares ℓ = ∫ θ2 θ1 ρ2 + Å dρ dθ ã2 dθ; x = f1(t) y = f2(t) ⇒ ∫ β α Å dx dt ã2 + Å dy dt ã2 dt Cálculo de Áreas A = ∫ b a f (x) dx∫ b a f (y) dy ; A = 1 2 ∫ β α ρ2dθ. Cálculo do Volume V = π ∫ b a x2 dy V = π ∫ b a y2 dx. Integrais Indefinidas 130. Calcule a integral e, em seguida, derive as respostas para conferir os resultados. (a) ∫ y3(2y2 − 3) dy (b) ∫ Å 2 x2 + 3 x3 + 5 ã dx (c) ∫ 2 cotg2(θ) − 3 tg2(θ)dθ (d) ∫ ax4 + bx3 + 3c dx (e) ∫ dx sen2(x) (f) ∫ cos(θ) tg(θ)dθ. 131. Calcule as seguintes integrais e, em seguida, derive para verificar sua resposta. (a) ∫ 2x7 dx (b) ∫ dx x3 (c) ∫ x 2 3 dx (d) ∫ xpi dx (n) ∫ sen(x) cos2(x) dx (o) ∫ (4 cossec(x) · cotg(x) + 2 sec2(x)) dx (p) ∫ sec2(x)[cos3(x) + 1] dx (q) ∫ e 4x2 + 4 dx LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 22 (e) ∫ (3x4 − 5x3 + 4) dx (f) ∫ 1 4 x4 + 2 3 x3 − 12x2 + 8x − 1 dx (g) ∫ 6t2 3 √ tdt (h) ∫ x4(5 − x2) dx (i) ∫ Å√ x − 1√ x ã dx (j) ∫ Å 2 x3 + 3 x2 + 5 ã dx (k) ∫ 2 x √ x − x 3 √ x 2 dx (l) ∫ y4 + 2y2 − 1√ y dy (m) ∫ (5 cos(x)− 4 sen(x)) dx (r) ∫ (3 cossec2(t)− 5 sec(t) · tg(t)) dt (s) ∫ dx (ax)2 + a2 ; a 6= 0. (t) ∫ 5√ x2 x3 4 √ x dx (u) ∫ 1 sen2(x) dx (v) ∫ 1 cos2(x) dx (w) ∫ 1− cos2(x) sen(x) dx (x) ∫ tg2(x) sen(x) dx (z) ∫ cossec(x) tg(x) dx 132. Determine a função f (x), tal que∫ f (x) dx = x3 + 1 3 · cos(2x) + C . 133. Determine a função f (x) tal que ∫ f (x) dx = x2 + 1 2 cos(2x) + c . 134. Encontre uma função f (x) tal que 1 2 f ′(x)− e2x = 0 e f (0) = 1. 135. Utilizando o método da substituição, calcule as seguintes integrais: (a) ∫ x 5 √ x2 − 1 dx (b) ∫ sen2(x) cos(x) dx (c) ∫ tg(x) sec2(x) dx (d) ∫ 6x2 sen(x3) dx (e) ∫ x2(x3 − 1)10 dx (f) ∫ (x + sec2(3x)) dx (g) ∫ arcsen(y) 2 √ 1− y2 dy (h) ∫ x2 + 2x√ x3 + 3x2 + 1 dx (i) ∫ 1 2 t cos(4t2) dt (j) ∫ (tg(2x) + cotg(2x))2 dx (k) ∫ (e2x + 2)5e2x dx (l) ∫ sen(θ)dθ [5− cos(θ)]3 (m) ∫ √ 1− 4y dy (n) ∫ x2(x3 − 1)10 dx (o) ∫ 6x2 sen(x3) dx (p) ∫ … 1 + 1 3x dx x2 (q) ∫ (x3 − 2)1/7x2 dx (r) ∫ √ x2 + 2x4 dx (s) ∫ e1/x + 2 x2 dx (t) ∫ xe3x 2 dx (u) ∫ cos(x) 3− sen(x) dx Integrais Definidas 136. Determine a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição P dada e os valores de ξi dados. (a) f (x) = x2, 0 ≤ x ≤ 3; para P = ß 0, 1 2 , 5 4 , 9 4 , 3 ™ e ξ1 = 1 2 , ξ2 = 1, ξ3 = 3 2 , ξ4 = 5 2 . (b) f (x) = 1 x , 1 ≤ x ≤ 3; para P = ß 1, 5 3 , 9 4 , 8 3 , 3 ™ ; e ξ1 = 5 4 , ξ2 = 2, ξ3 = 5 2 , ξ4 = 11 4 . LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 23 (c) f (x) = x2 − x + 1, 0 ≤ x ≤ 1; para f1 = 0, 1, ξ2 = 0, 4, ξ3 = 0, 6, ξ4 = 0, 9. 137. Calcule as integrais definidas: (a) ∫ 5 2 3 dx (b) ∫ 2 −1 6 dx (c) ∫ 2 −2 √ 5 dx (d) ∫ −2 5 2 dx (e) ∫ 4 1 ( √ 2t + 3 √ t)dt (f) ∫ pi 2 0 cos(x) [1 + sen(x)]3 dx (g) ∫ 5 1 √ 2t − 1dt (h) ∫ 1 0 xex 2−1 dx 138. Calcule as integrais definidas usando os seguintes resultados: ∫ 2 −1 x2 dx = 3, ∫ 2 −1 dx = 3 2 ,∫ pi0 sen(x) dx = 2, ∫ 2 −1 x2 dx = 3, ∫ pi 0 cos(x) dx = 0, ∫ pi 0 sen2(x) dx = π 2 . (a) ∫ 2 −1 (2x2 − 4x + 5) dx (b) ∫ 2 −1 Å 2− 5x + x 2 2 ã dx (c) ∫ −1 2 (2x + 1)2 dx (d) ∫ −2 −1 (x − 1)(2x + 3) dx (e) ∫ pi 0 (2 sen(x) + 3 cos(x) + 1) dx (f) ∫ pi 0 (cos(x) + 4)2 dx 139. Encontre o valor médio das funções dadas abaixo, definidas em seus respectivos intervalos. Encontre, também, o valor de x no qual ocorre o valor médio. (a) f (x) = x2, [−1, 2], sabendo-se que ∫ 2 −1 x2 dx = 3. (b) f (x) = sen(x), [0,π], sabendo-se que ∫ pi 0 sen(x) dx = 2. 140. Calcule as seguintes integrais: (a) ∫ 3 −1 4 dx (b) ∫ 2 0 (x3 + 3x − 1) dx (c) ∫ 3 0 (3x2 − 4x + 1) dx (d) ∫ 6 3 (x2 − 2x) dx (e) ∫ 5 −2 |x − 3| dx (f) ∫ pi 8 0 sen(2x) dx (g) ∫ 2 1 1 x2 dx (h) ∫ −1 −2 Å 1 x2 + x ã dx (i) ∫ 1 −1 e2x dx (j) ∫ 4 1 (5x + √ x) dx (k) ∫ 1 0 1 x + 1 dx (l) ∫ pi 4 0 sec2 x dx (m) ∫ 2 1 (x − 2)5 dx (n) ∫ 1 0 3 √ 5− x dx (o) ∫ 0 −1 x √ x + 1 dx (p) ∫ 1 0 1 (x + 1)5 dx (q) ∫ 1 0 x2 1 + x3 dx (r) ∫ 1 0 x2 (1 + x3)2 dx (s) ∫ pi 3 0 cos(2x) dx 141. Calcule a área S da figura plana limitada pela(s): (a) reta y = 2x − 1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5 (b) curva y = 10 + x − x2, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 3; (c) curvas y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x ; (d) curvas y = x3 + 2x2 − 8x e y = x2 + 2x − 8; LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 24 (e) curvas y = 2− x2 e y3 = x2; (f) curvas y = x2 − 6x + 9 e y = −x2 + 9; (g) curva y = x3 e a primeira bissetriz. (h) curvas y = 3x − 3 4 x2 e g(x) = 3− 3 4 x . (i) curvas y = e−2x , y = x + 1, y = 0 e x = 1. 142. Encontre a área da região hachurada em cada caso. (a) f (x) = 2 x e g(x) = −x2 + 2x + 1; (b) f (x) = x3 e g(x) = 4x . 0 1 2 3 0 1 2 3 x y x y (c) f (x) = 2x − 1 e g(x) = −x ; x y 1 −1 LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 25 Gabarito 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. lim x→4 f (x) = 0. 8. 9. (a) 4; (b) −7; (c) 43 ; (d) − 15 ; (e) 75 ; (f) 25 ; (g) (h) (i) 32 ; (j) 35 ; (k) −3 (l) (m) (n) (o) 10.. (a) 12 ; (b) 13 ; (c) 43 ; (d) 16√3 ; (h) −1 56 ; (i) − 13 ; (j) 112 ; (l) − 23√9 . 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 21. 22. 23. 24. (a) x = −3; (b) x = −3; (c) x = −5 e x = −3. 25. (a) +∞; (b) 0; (c) −∞; (d) −5; (e) +∞; (f) 1; (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 1/2; (p) 1/3. 26. (a) y = 2; (b) y = 4. 27. (a) ; (b) (c) (d) (e) (f) . 28. (a) 20 unidades; (b) tende a produzir um número de 30 novas unidades. 29. (a) 24 unidades; (b) 600. 30. (a) 24 e 60 milhões; (b) 120 milhões. 32. (a) 32 ; (b) 107 ; (f) 0; (k) 0; (m) 1. 33. 34. 35. 36. 37. 39. 40. 41. (a) Descontínua no ponto x = −2; (b) Descontínua no conjunto {−3,−1, 1}; (c) Contínua em R; (d) Descontínua em x = 0. 46. 43. 6. 44. (a) p = 143 ; (b) p = 1; (c) p = 2. 45. 46. 47. É descontínuo, pois lim x→2 E(x) 6= E(2). 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. (a) 8x3 − 6x + 5 (b) −3 2x2 + 165 5√ x3 + 1√ x (c) −27x8 + 30x4 + 4x3 (d) √3(3s2 − 2s) (e) 2t 8 + 6t7 − 18t6 − 20t5 + 30t4 + 30t3 − 30t2 (t5 − 5t)2 (f) −x3 + 3x2 ex + ex Ä 1 x3 − 3 x4 ä (g) 2x sen(x) + x2 cos(x) − 1 x + tg(x) (h) cotg(θ) [1− sen(θ)]2 [2 − 2 cossec(θ) + cos(θ)] 56. 57. 58. 59. 60. (a) (3x5 − 1)9(−162x8 + 300x4 + 4x3); (b) (t 3 − 3t2)(9t7 − 9t5 − 95t3 + 15t) (t5 − 5t)6 ; (c) 5; (d) 7x 7x2 − 8 ; (e) 2xe x2 ; (f) −2 sen(2θ2 − 3θ + 1)(4θ − 3); (g) 2 cos(θ)[3 cos2(θ) − 2]; (h) 0; (i) 1 x + 1 − 1; (j) 2 cotg(x); (k) 2x x4 + 2x2 + 2 ; (l) e arcsen(θ)√ 1− θ2 . 61. 62. 63. 64. 65. 66. 5. 67. (a) (f−1)′(x) = 1 2 √ 2x+6 ; (b) (f−1)′(x) = − 17 ; (c) (f−1)′(x) = 14 4√x−1 3 . 68. Demonstração. 69. 70. (a) 1; (b) +∞; (c) 0; (d) 0; (e) 0; (f) 0. 130. 131. (a) x 8 4 +C ; (b) − 1 2x2 +C ; (c) 3 5 x 5 3 +C (d) 1 pi + 1 xpi+1 +C (e) 3 x 5 5 − 5 x 4 4 + 4x +C ; (f) 1 20 x5 + 1 6 x4 − 4x3 + 4x2 − x + C (g) 9 5 t 10 3 +C ; (h) x5− x 7 7 +C ; (i) 2 3 x √ x−2√x +C ; (j)− 1 x2 − 3 x +5x +C ; (k)− 4√ x − 3x 2 3 √ x 14 +C (l) ( 2 9 y4 + 4 5 y2−2)√y +C ; (m) 5 sen(x)+4 cos(x)+C ; (n) sec(x) + C ; (o) −4 cossec(x) + 2 tg(x) + C ; (p) sen(x) + tg(x) + C ; (q) e 4 arctg(x) + C ; (r) −3 cotg(t)− 5 sec(t) + C ; (s) 1 a2 · arctg(x) + C ; (t) − 20 27x 27√ x7 + C ; (u) − cotg(x) + C ; (v) tg(x) + C ; (w) − cos(x) + C . 132. f (x) = 2x2 − 23 sen(2x). 133. f (x) = − sen(2x) + 2x. 134. f (x) = e2x 135. (a) 5 8 (x2 − 1)4/5 + C ; (b) sen 3(x) 3 + C ; (c) tg 2(x) 2 + C ; (d) −2 cos3(x) + C ; (e) (x 3 − 1)11 33 + C ; (f) 1 3 tg(3x) + C ; (g) 1 4 arcsen(y2) + C ; (h) 2 3 √ x3 + 3x2 + 1 + C ; (i) 1 16 sen(4t2) + C ; (j) 1 2 tg(2x) − cotg(2x) + C ; (k) 1 12 (e2x + 2)6 + C ; (l) −1 2(5− cos(θ))2 + C . 136. (a) 247 32 ; (b) 1469 1320 ; (c) 0, 835. 137. (a) 9; (b) 18; (c) 4√5; (d) −14. 138. (a) 15; (b) 0; (c) −21; (d) − 3 2 ; (e) 4 + pi; (f) 33pi 2 . 139. (a) 1 e ±1; (b) 2 pi e 0, 69. 140. (a) 16; (b) 8; (c) 12; (d) 36; (e) 29 2 ; (f) 2− √ 2 4 ; (g) 1 2 , (h) −1; (i) 1 2 (e2 − e−2); (j) 253 6 ; (k) ln(2); (l) 1; (m) − 1 6 ; (n) 45 4 ; (o) − 4 15 ; (p) 15 64 ; (q) 1 3 ln(2); (r) 1 6 ; (s) √ 3 4 . 141. (a) 20. (b) 2456 . (c) (d) (i) 1 − 12e2 . 142. (a) 53 − ln(4). (b) 8 (c) log2(e) − 12 77. 4, 421 milímetros. 78. 24.000m2 79. 0, 06m3. 80. 128pi cm2/s. 81. (a) 6s; (b) −17.500m3/s; (c) −10.000m3/s. 82. 1pim/h; 10pih. 83. 0, 4pim2 84. 85. −12, 5 m3/h 86. 88. (a) (−∞,−2] ∪ [2/3,∞) crescente; [−2, 2/3] decrescente; (b) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) crescente; [0, 1) ∪ (1, 2] decrescente; (c) (−∞,−3] ∪ (3, +∞) crescente; [−3, 3) decrescente; (d) (−∞,∞) decrescente; (e) (−∞,−√2] ∪ [√2,∞) crescente; [−√2,√2] decrescente; (f) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) decrescente; [0, 2] crescente; (g) [−1,∞) crescente; (−∞,−1] decrescente; (h) (−∞,−2] ∪ [−1, 1] ∪ [2,∞) crescente; [−2,−1] ∪ [1, 2] decrescente; (i) (−∞,−1] ∪ [1,∞) decrescente; [−1.1] crescente; (j) (−∞, 0[ crescente; ]3,∞) decrescente. 89. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 90. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 91. (a) ∀ a ∈ R∗+, (b) a = − 32 , b = −18 e c ∈ R. xmax = −2 e xmin = 3. 92. 93. 94. (a) (−2/3; f (2/3)) PI; ] − 2/3, +∞) côncava para cima; (−∞,−2/3[ côncava para baixo; (b) (−∞, 1[ côncava para baixo; ]1, +∞) côncava para cima; (c) (−6, f (−6)) PI; (−6, +∞) côncava para cima; (−∞,−6) côncava para baixo; (d) (−∞, +∞) côncava para cima; (e) (−1−√3, f (−1−√3)) e (−1 +√3, f (−1 +√3)) PI; (−∞,−1−√3[∪]− 1 +√3,∞) côncava para cima; ]− 1−√3,−1 +√3[ côncava para baixo; (f) (2−√2, f (2−√2)) e (2 +√2, f (2 +√2)) PI; (−∞, 2−√2[∪]2 +√2,∞) côncava para cima; ]2−√2, 2+√2[ côncava para baixo; (g) (−∞,∞) CVC; (h) (− √ 5 2 , f (− √ 5 2 )), (0, f (0)) e ( √ 5 2 , f ( √ 5 2 )) PI; (−∞,− √ 5 2 [∪]0, √ 5 2 [ CVB; ]− √ 5 2 , 0[∪] √ 5 2 ,∞) CVC; (i) (− √ 2 2 , f (− √ 2 2 )), (0, f (0)) e ( √ 2 2 , f ( √ 2 2 )) PI; (−∞,− √ 2 2 [∪]0, √ 2 2 [ CVC; ]− √ 2 2 , 0[∪] √ 2 2 ,∞) CVB; (j) (−∞, 0[∪]3,∞) CVC. 95. (a) (−2, 10) ponto de Máximo; (2/3, 14/27) ponto de Mínimo; (b) (0, 0) ponto de Máximo; (2, 4) ponto de Mínimo; (c) (−3, 1/2) ponto de Mínimo; (d) 6 ∃; (e) (−√2, e− √ 2(2 + 2 √ 2) ponto de Máximo; (+ √ 2, e √ 2(2− 2√2)) ponto de Mínimo; (f) (0, 0) ponto de Mínimo; (2, 4/e2) ponto de Máximo; (g) (−1,−3) ponto de Mínimo; (h) (−2,−22/3) e (1, 22/3) pontos de Máximo; (−1,−44/3) e (2, 125/3) pontos de Mínimo; (i) (−1,−2) ponto de Mínimo; (1, 2) ponto de Máximo; (j) 6 ∃ 96. 97. 98. 99. 100. 103. 104. x = 53 cm.105. 88, 33 + 24× 150, 62 + 45. 106. A 8 √ 5 5 mi do ponto A. 107. A 7, 9 mi da perpendicular da cidade B . 108. (a) x = v2m 32(1 + m2) ; (b) m = 1 (c) m = v2 32x . 109. (a) x = 23B ; (b) x = 13B . 110. 10× 10× 20. 111. r = 2, h = 4. 112. (d) 8 cm. 113. diretamente de A a C . 114. 16.875m2 . 115. 140 lugares e R$1.568, 00 o lucro bruto diário. 116. a = 40 √ 3 3 ; b = 10 √ 3. 120. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. h = r = 203√pi . 125. h = r = 3 √ 5 pi . 126. 127. 128. LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 26
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