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Lista de Exercícios - Cálculo 1 - Limites, Derivadas

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UFRB - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: Calculo Diferencial e Integral I CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
LISTA DE EXERCÍCIOS
ATUALIZADA EM 5 DE FEVEREIRO DE 2015
Limites: Noção Intuitiva, Definição e Propriedades
1. Complete a tabela (use a calculadora e uma aproximação com até 4 casas decimais) e utilize os
resultados para estimar o valor do limite da função quando x tende a a ou explicar por que ele não existe.
(a)
x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f (x) =
x − 1
x3 − 1
x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
x − 1
x3 − 1
, a = 1
(b)
x 1, 9 1, 99 1, 999 1, 9999
x − 2
x2 − 4
x 2, 1 2, 01 2, 001 2, 0001
x − 2
x2 − 4
, a = 2
(c)
x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
x + 2
1− x
x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
x + 2
1− x
, a = 1
(d)
x −3, 1 −3, 01 −3, 001
x2 + 5x + 6
x2 + 8x + 15
x −2, 9 −2, 99 −2, 999
x2 + 5x + 6
x2 + 8x + 15
, a = −3
2. Prove cada proposição usando a definição de limite.
(a) lim
x→2
3x − 2 = 4
(b) lim
x→4
5− 2x = −3
(c) lim
x→2
x2 − 4x + 5 = 1
(d) lim
x→1
x2 − 1
x − 1 = 2
(e) lim
x→5
1
2− x = −
1
3
(f) lim
x→9−
4
√
9− x = 0.
3. Determine, se possível, as constantes reais a e/ou b de modo que lim
x→k
f (x) exista, sendo:
(a) f (x) =
®
3ax2 + 2, x < 1
x − 2, x ≥ 1 , k = 1
(b) f (x) =


3x − 2, x > −1
3, x = −1
5− ax , x < −1
, k = −1
(c) f (x) =
®
4x + 3, x ≤ −2
3x + a, x > −2 , k = −2
(d) f (x) =


3x2 − 5x − 2
x − 2 , x < 2
3− ax − x2, x ≥ 2
, k = 2
4. Calcule os limites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades.
(a) lim
x→4
5x2 − 2x + 3
(b) lim
x→3
(x3 + 2)(x2 − 5x)
(c) lim
x→−1
x − 2
x2 + 4x − 3
(d) lim
x→1
Å
x4 + x2 − 6
x4 + 2x + 3
ã2
(e) lim
u→−2
√
u4 + 3u + 6
(f) lim
t→−2
(t + 1)9(t2 − 1)
Limites e Indeterminações
5. Seja f (x) =
√
3 + x −√3
x
:
(a) Use uma tabela de valores de f (x) para estimar o limite quando x tende a zero. Utilize quatro casas
decimais.
(b) Use as propriedades de limites para encontrar o valor exato do mesmo limite.
6. Prove que o lim
x→0
|x |
x
não existe.
7. Seja f (x) =
® √
x − 4 , se x > 4
8− 2x , se x ≤ 4 e determine, se possível, o limx→4 f (x).
8. Verifique se existe os limites indicados, se não existir indique a razão disto.
(a) lim
t→−4
|t + 4|
t + 4
(b) f (x) =


√
x2 − 9 , se x ≤ −3;√
9− x2 , se − 3 < x < 3;√
x2 + 6x + 9 , se x ≥ 3.
lim
x→−3
f (x) e lim
x→3
f (x).
9. Calcule, se possível, os limites.
(a) lim
x→−2
4− x2
2 + x
(b) lim
x→−3
x2 − x − 12
x + 3
(c) lim
x→1
x2 + 2x − 3
3x − 3
(d) lim
x→−2
x + 2
x2 − x − 6
(e) lim
x→3
x2 + x − 12
x2 − x − 6
(f) lim
x→3
x2 − 4x + 3
x2 − x − 6
(g) lim
x→4
3x2 − 17x + 20
4x2 − 25x + 36
(h) lim
x→1
Å
2x2 − 3x + 1
3x − 3
ã2
(i) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
(j) lim
x→1
x3 − 1
5x − 5
(k) lim
x→−2
x3 + 8
x2 − 4
(l) lim
t→−2
t3 + 4t2 + 4t
(t + 2)(t + 3)
(m) lim
x→−2
3
 
x3 − 3x + 2
x2 + 3x + 2
(n) lim
x→2
x4 − 16
8− x3
(o) lim
x→1
x3 − 3x + 2
x4 − 4x + 3 ;
10. Calcule, se possível, os limites.
(a) lim
x→1
√
x − 1
x − 1 ;
(b) lim
x→0
√
x + 1−√1− x
3x
;
(c) lim
x→−1
1− x2
x +
√
2 + x
;
(d) lim
x→1
√
x + 2−√3
x3 − 1 .
(e) lim
t→9
9− t
3−√t
(f) lim
t→0
√
2− t −√2
t
(g) lim
t→0
√
25− 3t − 5
t
(h) lim
x→7
2−√x − 3
x2 − 49
(i) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x
(j) lim
h→0
3
√
8 + h − 2
h
(k) lim
x→0
3
√
2x − 1 + 1
x
;
(l) lim
x→1
3
√
2x + 1− 3√3
1− 3√x ;
11. Determine cada limite, através do gráfico da função f (x), caso exista.
x
y
1 2
1
3
(a) lim
x→1−
f (x)
(b) lim
x→1+
f (x)
(c) lim
x→1
f (x)
(d) lim
x→−∞
f (x)
(e) lim
x→+∞
f (x)
(f) lim
x→2
f (x).
12. Determine cada limite, através do gráfico da função f (x), caso exista.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 2
x
y
3
−1
1
3
(a) lim
x→3−
f (x)
(b) lim
x→3+
f (x)
(c) lim
x→3
f (x)
(d) lim
x→−∞ f (x)
(e) lim
x→+∞
f (x)
(f) lim
x→4
f (x).
13. Determine cada limite, através do gráfico da função f (x), caso exista.
x
y
1− 12
1
2
(a) lim
x→1−
f (x)
(b) lim
x→1+
f (x)
(c) lim
x→1
f (x)
(d) lim
x→−∞
f (x)
(e) lim
x→+∞ f (x)
(f) lim
x→0
f (x).
14. Mostre que o lim
x→0
x2 · cos(20πx) = 0.
15. Use o teorema do confronto para mostrar que
lim
x→0
√
x2 + x3 sen
(π
x
)
= 0.
16. A função sinal, denotada por sgn, está definida por
sgn(x) =


−1 , se x < 0
0 , se x = 0
1 , se x > 0
(a) Esboce o gráfico dessa função.
(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos limites que se seguem.
i. lim
x→0+
sgn(x) ii. lim
x→0−
sgn(x) iii. lim
x→0
sgn(x)
17. Seja
h(x) =


x , se x < 0
x2 , se 0 < x ≤ 2
8− x , se x > 2
(a) Calcule, se existirem, os limites.
i. lim
x→0+
h(x) ii. lim
x→0−
h(x) iii. lim
x→0
h(x) iv. lim
x→2−
h(x) v. lim
x→2+
h(x) vi. lim
x→2
h(x)
(b) Esboce o gráfico da função h.
18. Considere a função f (x) = x
2 − 1
|x − 1| .
(a) Determine lim
x→1+
f (x) e lim
x→1−
f (x).
(b) Existe lim
x→1
f (x)?
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 3
(c) Esboce o gráfico de f .
19. Calcule o limite: lim
x→0
cos(x)− 3√cos(x)
sen2(x)
.
20. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os valores de a para quais os lim
x→a
f (x)
existe:
g(x) =


x , sex ≤ 1
3 , sex = 1
2− x2 , se1 < x ≤ 2
x − 3 , sex > 2
Limites Infinitos
21. Na teoria da relatividade, a fórmula da Contração de Lorentz
L = L0
 
1− v
2
c2
,
expressa o comprimento L como uma função da velocidade v em relação a um observador, em que L0 é o
comprimento do objeto no repouso e c é a velocidade da luz. Encontre lim
v→c−
L e interprete o resultado. Por
que é necessário o limite à esquerda?
22. Prove usando a definição, que lim
x→−3
1
(x + 3)4
=∞.
23. Determine os limites.
(a) lim
x→5+
6
x − 5
(b) lim
x→3+
1
(x − 3)8
(c) lim
x→−2+
x − 1
x2(x + 2)
(d) lim
x→3+
x
x − 3
(e) lim
x→4−
3− x
x2 − 2x − 8
(f) lim
x→4
x − 5
(x − 4)2
(g) lim
x→0
cos(x)
x · sen(x)
(h) lim
x→2−
3− x
(x − 2)3
24. Determine uma equação da(s) assíntota(s) vertical(is) do gráfico da função em cada caso.
(a) f (x) = −2
x + 3
(b) f (x) = −2
(x + 3)2
(c) f (x) = 5
x2 + 8x + 15
Limites no Infinito
25. Calcule os limites:
(a) lim
x→+∞
(3x3 + 4x2 − 1)
(b) lim
t→−∞
t + 1
t2 + 1
(c) lim
x→−∞
3x5 − x2 + 7
2− x2
(d) lim
x→−∞
−5x3 + 2
x3 + 3
(e) lim
x→+∞
−4x4 + 2
2x − x3
(f) lim
x→+∞
√
x2 + 1
x + 1
(g) lim
r→+∞
r4 − r2 + 1
r5 + r3 − r
(h) lim
t→+∞
6t2 + 5t
(1 − t)(2t − 3)
(i) lim
x→+∞
√
1 + 4x2
4 + x
(j) lim
x→+∞
√
4x + x2
4x + 1
(k) lim
x→+∞
x7 − 1
x6 + 1
(l) lim
x→+∞
1−√x
1 +
√
x
(m) lim
x→+∞
tg−1(x2 − x4)
(n) lim
x→+∞
Ä√
x2 + 1−
√
x2 − 1
ä
(o) lim
x→+∞
1 + 2 + 3 + . . .+ n
n2
(p) lim
x→+∞
12 + 22 + . . .+ n2
n3
Sugestão: Para (o)
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
e para (p)
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n+ 1)
6
.
26. Determine uma equação da assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico da função f (x).
(a) f (x) = 2x + 1
x − 3 (b) f (x) =
4x2
x2 − 9
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 4
27. Encontre a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) e vertical(is) do gráfico de cada função.
(a)y = x
x + 4
(b) y = x
2 + 4
x2 − 1
(c) y = x
3
x2 + 3x − 10
(d) y = x
3 + 1
x3 + x
(e) y = x
4
√
x4 + 1
(f) y = x − 9
4x2 + 3x + 2
.
28. O departamento de capacitação de novos funcionários da empresa C&V Confecções estima que um
novo funcionário com pouca experiência na confecção da sua linha produzirá Q(t) = 30 − 10 · e− t9 novas
unidades em t dias após receber treinamento. Pergunta-se:
(a) Qual a produção do funcionário no início do treinamento?
(b) O que acontece com o nível de produção a longo prazo?
29. Uma determinada notícia numa cidade foi propagada de tal maneira que o numero de pessoas que
tomaram conhecimento e dado por N(t) = 600
1 + 24e−0,5t
, em que t representa o número de dias após
ocorrer a notícia. Pergunta-se
(a) Quantas pessoas souberam a noticia de imediato?
(b) Determine lim
t→∞
N(t) e explique o seu resultado.
30. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteira é aproximado
pela função A(x) = 120x
2
x2 + 4
, em que A(x) é medido em milhões de dólares e x é o número de meses do
filme em cartaz. Pergunta-se:
(a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro e o segundo mês?
(b) Qual será a arrecadação do filme a longo do prazo?
31. Calcule o limite: lim
x→+∞
√
x»
x +
√
x +
√
x
Limites Fundamentais
32. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
sen(3x)
2x
(b) lim
x→0
sen(10x)
sen(7x)
(c) lim
x→0
tg(3x)
2x
(d) lim
x→0
1− cos(x)
x2
(e) lim
x→0
1− sec(x)
x2
(f) lim
x→0
1− cos(x)
x
(g) lim
x→0
1− cos(x)
x sen(x)
(h) lim
x→0
7− 7 cos2(x)
3x2
(i) lim
x→0
sen(x)
x − π
(j) lim
x→0
√
1 + sen(x)−√1− sen(x)
x
(k) lim
x→0
2x3 − x + sen(x)
x
(l) lim
x→0
sen(x + a)− sen(a)
x
(m) lim
x→pi
ß
ln[sen2(x)]− 2 · ln(x)− ln
Å
1− 2π
x
+
π2
x2
ã™
33. Calcule os limites:
(a) lim
x→−∞
Å
1 +
2
x
ãx
(b) lim
x→−∞
Å
1− 3
x
ãx
(c) lim
x→+∞
Å
1 +
1
x
ã3x
(d) lim
x→+∞
Å
1− 4
x
ã5x
(e) lim
x→−∞
Å
1 +
1
x
ãx
(f) lim
x→+∞
Å
x + 1
x − 1
ãx
(g) lim
x→∞
Å
x
1 + x
ãx
(h) lim
x→+∞
Å
x + 5
x
ã2x+3
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 5
34. Determine:
(a) lim
x→0
ex − 1
2x
(b) lim
x→0
31+x − 3
x
(c) lim
x→3
4x − 64
x − 3 (d) limx→0
4− e2x
x
35. Calcule os limites:
(a) lim
x→ 3pi2
[1 + cos(x)]3
1
cos(x) (b) lim
x→0
ex − 1
sen(x)
(c) lim
x→0
−5x3 + sen5(x)
6x3
(d) lim
x→+∞ 2
1+x2
2x2
36. Use o teorema do confronto para determinar lim
x→∞
sen2 x
x2
.
Limites Envolvendo Funções Limitadas
37. Calcule os limites:
(a) lim
x→0
x · sen
Å
1
x
ã
(b) lim
x→+∞
sen(x) + x6
x
(c) lim
x→−∞
ex · sen(x)
(d) lim
x→0+
ß
x3
[
4− cos(x−2)] + ex
x
™ (e) limx→+∞
(2 + x3) · cos[ln(x)]
1− 3x7
(f) lim
x→+∞
3 cos(x) + 2x
2x
38. Determine se o que está estabelecido é falso ou verdadeiro. Se verdadeiro, explique, se falso, explique
o porquê ou dê um contra-exemplo.
(a) lim
x→3+
2x
x − 3 = +∞, neste caso, dizemos que a reta y = 3 é uma assíntota vertical.
(b) lim
x→0
x
|x | não existe.
(c) lim
x→0
√
x · ecos(3pi/x) = 0
(d) A função f (x) = x
3 − x2 − 2x
x − 2 tem uma descontinuidade removível em x = 2 e f pode ser redefinida
como uma nova função dada por g(x) =


x3 − x2 − 2x
x − 2 , se x 6= 2
−6 , se x = 2
(e) Existe um número real que é exatamente um a mais que seu cubo.
(f) lim
x→0
sen(7x)
sen(5x)
=
7
5
.
Limites e Continuidade
39. Considere a função y = f (x) abaixo definida no domínio R \
{
−π
2
;
π
2
}
. Analisando o gráfico de f (x),
responda, justificando:
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 6
y
x−π −pi2 0
pi
2
π 3pi2
1
2
3
(a) lim
x→0
f (x)
(b) lim
x→ pi2 +
f (x)
(c) lim
x→ pi2 −
f (x)
(d) lim
x→ pi2
f (x)
(e) lim
x→pi+
f (x)
(f) lim
x→pi−
f (x)
(g) lim
x→pi
f (x)
(h) lim
x→− pi2
f (x)
(i) lim
x→ 3pi2 +
f (x)
(j) lim
x→ 3pi2 −
f (x)
(k) lim
x→ 3pi2
f (x)
(l) lim
x→−pi−
f (x)
(m) lim
x→−pi+
f (x)
(n) lim
x→−pi
f (x)
(o) lim
x→−∞ f (x)
(p) lim
x→+∞
f (x)
(q) f (−π)
(r) f (0)
(s) f (π)
(t) f
Å
3π
2
ã
(u) f é contínua em x0 = 0?
(v) f é contínua em x0 = −π?
(w) f é contínua em x0 = 3π
2
?
(x) f é contínua em x0 = π?
(y) f é contínua em x0 = −π
2
?
40. Mostre que a função é contínua em x0 em cada caso.
(a)f (x) = x2 +√7− x , x0 = 4 (b) g(x) = (x + 2x3)4, x0 = −1 (c) h(x) = x + 1
2x2 − 1, x0 = 4
41. Investigue a continuidade das seguintes funções:
(a) f (x) =


x3 − 8
x2 − 4, x 6= 2,
1, x = 2
(b) f (x) = 2
3x2 + x3 − x − 3
(c) f (x) =
®
0, x ≤ 0
x , x > 0
(d) f (x) =


x
|x | , x 6= 0
−1, x = 0
42. Calcule as constantes a e b de modo que:
(a) lim
x→b
x2 − a
x − b = 4 (b) limx→3
x2 − ax + b
x − 3 = 5 (c) limx→+∞
ï
ax − bx + 3
x + 1
ò
= 5
43. Se f e g são funções contínuas, com f (3) = 5 e lim
x→3
[2f (x)− g(x)] = 4, encontre g(3).
44. Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a) f (x) =
®
x2 + px + 2, x 6= −3
x , x = −3(b) f (x) =
®
x + 2p, x ≤ −1
p2, x > −1 (c) f (x) =
®
e2x , x 6= 0
p3 − 7, x = 0
45. Esboce o gráfico das funções abaixo, determine lim
x→x−
0
f (x), lim
x→x+
0
f (x) e, caso exista, lim
x→x0
f (x).
(a) f (x) =
®
x2 − 3x + 2, x ≤ 3
8− 2x , x > 3 , a = 1;
(c) f (x) =
®
x2 − x , x ≥ 0
−x , x < 0 , a = 0;
(b) f (x) =


x2 − 1, x ≥ 1, x 6= 2
1, x = 2
1− x , x < 1
, a = 2;
(d) f (x) = |x |
x
, a = 0;
46. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede (use o Winplot 1 para visualizar
e confirmar os gráficos construídos)
1
<http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html>
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 7
(a) f (x) =


4x + 12, x < −2
x2, −2 ≤ x ≤ 1
−x2 + 3, x > 1
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→1
f (x)
(iii) lim
x→−2
f (x)
(iv) lim
x→+∞
f (x)
(b) f (x) =
®
2−x , x > 0
x−1, x < 0
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→0+
f (x)
iii. lim
x→0−
f (x)
iv. lim
x→+∞ f (x)
(c) f (x) =


2x , x < 0
1− x , 0 ≤ x < 1
x2 − 1, x > 1
1, x = 1
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→1
f (x)
iii. lim
x→0
f (x)
iv. lim
x→+∞ f (x)
(d) f (x) =


x + 5, x ≤ −2
x2 − 1, −2 ≤ x ≤ −1
2x + 2, −1 < x ≤ 0
2−x , x > 0
i. lim
x→−∞
f (x)
ii. lim
x→+∞ f (x)
iii. lim
x→−2
f (x)
iv. lim
x→0
f (x)
47. Se uma esfera oca de raio a = 2cm é carregada com unidade de eletricidade estática, a intensidade
de campo elétrico E no ponto P depende da distância x do centro da esfera até P pela seguinte lei:
E (x) =
®
0 ; se 0 ≤ x < a
x−2 ; se x ≥ a
Estude a continuidade do campo na superfície da esfera.
48. Que tipo de descontinuidade possui a função f (x) = e 11−x em x = 1?
49. Mostre que a função é contínua no intervalo dado.
(a) f (x) = x√16− x2; [−4, 4] (b) f (x) = x + 1
x − 3 ; (−∞, 3)
50. Encontre os pontos no(s) qual(is) a função é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à
direita, à esquerda ou em nenhum deles? Esboce o gráfico.
(a) f (x) =


2x + 1 , se x ≤ −1
3x , se − 1 < x < 1
2x − 1 , se x ≥ 1
(b) f (x) =
®
(x − 1)3 , se x < 0
(x + 1)3 , se x ≥ 0
51. Explique o porquê que a função é contínua. Estabeleça o domínio.
(a) f (x) = x
x2 + 5x + 6
(b) f (t) = 2t +√25− t2
(c) f (x) = 5√x − 1(x2 − 2)
(d) f (x) = sen(x)
x + 1
(e) f (x) = ex sen(5x)
(f) f (x) = sen−1(x2 − 1)
52. Use a continuidadepara calcular o limite.
(a) lim
x→4
5 +
√
x√
5 + x
(b) lim
x→pi
sen(x + sen(x)) (c) lim
x→1
ex
2−x (d) lim
x→2
arctg
Å
x2 − 4
3x2 − 6x
ã
53. A força gravitacional exercida pela terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do
planeta é
F (r) =


GMr
R3
, se r < R
GM
r2
, se r ≥ R
em que M é a massa da terra, R é o seu raio e G é a constante gravitacional. A função F é uma função
contínua em r?
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 8
54. Quais das seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a? Se esta for removível,
encontre uma função g que é igual a f , para x 6= a e que seja contínua em R.
(a) f (x) = x
2 − 2x − 8
x + 2
, a = −2 (b) f (x) = x − 7|x − 7| , a = 7
(c) f (x) = x
3 + 64
x + 4
, a = −4 (d) f (x) = 3−
√
x
9− x , a = 9
Derivadas Imediatas e as Regras Operacionais
Derivadas Imediatas
1. k ′ = 0, ∀ k ∈ C;
2. (xn)′ = nxn−1;
3. (ax)′ = ax · ln(a),
em particular, (ex)′ = ex ;
4. (sen(x))′ = cos(x);
5. (cos(x))′ = − sen(x);
6. (tg(x))′ = sec2 x ;
7. (cotg(x))′ = − cossec2 x ;
8. (sec(x))′ = tg(x) · sec(x);
9. (cossec(x))′ = cotg(x) · cossec(x);
10. (loga x)′ =
1
x · ln(a) , ∀x ∈ R
∗
+, 0 < a 6= 1,
em particular, (ln x)′ = 1
x
;
11. (arcsen x)′ = 1√
1− x2 ;.
12. (arccos(x))′ = −1√
1− x2 ;
13. (arctg(x))′ = 1
1 + x2
;
Regras da Derivação
1. d(u ± v) = du ± dv ; 2. d(u · v) = u · dv + v · du; 3. d
(u
v
)
=
vdu − udv
v2
.
55. Encontre a derivada de cada uma das funções.
(a) f (x) = 2x4 − 3x2 + 5x − 2
(b) f (x) = 3
2x
+ 2x(
5
√
x3)− 2√
x
(c) f (x) = (3x5 − 1)(2− x4)
(d) f (s) = √3(s3 − s2)
(e) f (t) = t
3 − 3t
t5 − 5t (t
2 − 2t)
(f) f (x) = x
3
ex
+
ex
x3
(g) f (x) = x2 sen(x)− ln(x) cos(x)
(h) f (θ) = 2 cotg(θ)
1− sen(θ)
(i) f (x) = sec
2 t
1 + t2
;
(j) g(x) =
Å
3x2 + 4
x7 + 1
ã10
;
(k) f (t) = sen2(3t)√cos 2t;
(l) f (t) = e3t2−t3 − ln(cos 3t).
(m) f (x) =
Å
3x2 + 4
x7 + 1
ã2
;
(n) f (θ) = e3θ. sen2(3θ);
(o) f (t) = ln(cos(t)).
56. Se f (x) = ex · g(x), em que g(0) = 2 e g ′(0) = 5. É correto dizer que f ′(0) é:
(a) 7 (b) 2 (c) 5 (d) 10
57. Calcule as abscissas dos pontos do gráfico de y = x3 + 2x2 − 4x nos quais a reta tangente é:
(a) Horizontal. (b) Paralela à reta 2y + 8x − 5 = 0.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 9
58. Determine a equação da reta tangente à curva f (x) = x − 3
x + 3
no ponto x = −2. Existe reta tangente ao
gráfico de f que tem inclinação horizontal? Por quê?
Derivada da Função Composta
Derivada da Função Composta
h(x) = f (g(x))⇒ h′(x) = [f (g(x))]′ · g ′(x).
Derivada da Função Exponencial Composta
y = [u(x)v(x)]⇒ y ′ = v · uv−1 · u′ + uv · v ′ · ln x .
59. Calcule a derivada de:
(a) y = 3√3x − 1
(b) z(x) = ln(x2 − 6)
(c) f (t) = e4t3
(d) f (t) = ln(sec(x))
(e) y = cos[tg(3− 5x)]
(f) y = sen(x2 − 2x)
(g) f (t) = e 4t3t+4
(h) y = √−3− 7x cos(−15x)
(i) y = sec
î
log2
Ä
4
√
x3 −√2
äó
60. Encontre a derivadas das funções dadas.
(a) f (x) = (3x5 − 1)10(2− x4)
(b) f (t) = (t
3 − 3t)3
(t5 − 5t)5
(c) f (s) = ln(e5s−3)
(d) f (x) = 1
2
ln(7x2 − 4)
(e) f (x) = ex2 + 4
(f) f (θ) = 2 cos(2θ2 − 3θ + 1)
(g) f (θ) = 2 cos2(θ) sen(θ)
(h) f (θ) = sen2(θ) + cos2(θ)
(i) f (x) = ln
Å
x + 1
ex
ã
(j) f (x) = ln(sen2(x))
(k) f (x) = arctg(x2 + 1)
(l) f (θ) = earcsen(θ)
61. Determine f ′(3),
(a) sabendo que f (1 + 2x) + f (2x2 + 1) = 4x2 + 4x + 2, ∀ x ∈ R.
(b) sabendo que f (4x − 1) · f (−2x3 + 5) = x5 + x3 − x e que f (3) < 0.
62. Mostre que:
(a) Se y = xn, com n ∈ R, então y ′ = n · xn−1.
(b) Se f é uma função par, então f ′(x) = −f ′(−x).
(c) Se f é uma função ímpar, então f ′(x) = f ′(−x).
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 10
Derivada da Função Inversa
Derivada da Função Inversa
y−1 =
1
f (x)
⇒ (y−1)′ = 1
f ′(x)
.
63. Calcule a área do triângulo retângulo sombreado na figura
ao lado, sabendo-se que n é a reta normal a f (x) = ex no ponto
de abscissa x0 = 1.
x
y f (x)
n
1
64. Determine (f −1)′(−5), sabendo que:
f : (2, +∞) → R
x 7→ x2 − 4x − 2.
65. Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função f (x) = arctg2(x) no ponto de
abscissa
√
3.
66. Calcule a derivada da função inversa de f (x) = 5√x no ponto y = 1.
67. Determine a derivada da função inversa das funções a seguir.
(a) f (x) = 2x2 − 3 (b) f (x) = 5− 7x (c) f (x) = x4 + 1
Derivadas Sucessivas
68. Mostre que y = A cos(ω − t) + B sen(ω − t), satisfaz a equação: d
2y
dω2
− d
2y
dt2
= 0.
69. Determine a derivada de ordem 2006 das funções:
(a) f (x) = (2x + 1) (b) f (x) = ex(x + 1)
L’Hospital
70. Calcule o limite utilizando as regras de L’Hospital.
(a) lim
x→0
x
tg(x)
(b) lim
x→0
ex − cos(x)
x sen(x)
(c) lim
x→+∞
ln(x)√
x
(d) lim
x→0
x2 + 6x
x3 + 7x2 + 5x
(e) lim
x→+∞
Å
ln
x
x + 1
ã
(f) lim
x→+∞
x99
ex
Derivação Implícita
71. Determine dy
dx
por derivação implícita:
(a) x2 + y2 = 16 (b) 1
x
+
1
y
= 1 (c) y2 = cos(x − y) (d) ex+y = arctg(y)
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 11
72. Ache a equação da reta tangente à curva x − y = √x + y no ponto (3, 1).
73. Determine f ′(3) sabendo que 2f (5x−2) = x3 + 3x2
Diferenciais
Diferencial de uma Função
Seja uma função y = f (x) uma função. Da igualdade lim
∆x→0
∆y
∆x
= f ′(x), temos:
∆y
∆x
− f ′(x) = α Diferença entre a razão incremental e a derivada da função.
Logo:
∆y = f ′(x) ·∆x︸ ︷︷ ︸
Diferencial da função
+ α ·∆x ; dy = f ′(x)∆x .
74. Usando diferenciais, determinar um valor aproximado para:
(a) √64, 1; (b) 4√13 (c) ln(2, 53) sabendo que ln(2, 5) = 0, 91629
75. Encontrar o acréscimo ∆y e a diferencial dy para os valores dados:
(a) y = 1
2x2
; ∆x = 0, 001; x = 1;
(b) y = 5x2 − 6x ; ∆x = 0, 02; x = 0;
(c) y = 2x + 1
x − 1 ; ∆x = 0, 1; x = −1.
76. Calcular a diferencial das seguintes funções:
(a) y = (2x2 + x + 1)ex2 (b) y =√ln[tg(3x)] (c) y = 2sen(x) (d) x + 1
ex
Taxas de Variação
77. Um material arenoso está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é
sempre igual ao raio da base. Se dado instante o raio é 12 metros, use diferenciais para obter a variação
do raio que origina um aumento de 2 m3 no volume da pilha.
78. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que
cada um de seus lados mede 1.200 m, como um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o
possível erro no cálculo da área do terreno.
79. Um tanque em forma de cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm de mate-
rial para um melhor isolamento térmico. Se o lado do tanque é de 2 m, usando diferencial, encontrar a
quantidade de revestimento necessária.
80. Uma pedra cai livremente num lago parado. Ondas circulares se espalham e o raio da região afetada
aumenta a uma taxa de 16 cm/s. Qual a taxa segundo a qual a região estará aumentando quando o raio
for de 4 cm?
81. Uma piscina está sendo drenada para a limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros
e depois de um tempo t este volume diminui 2.500 t2 litros, determinar:
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 12
(a) tempo necessário para esvaziamento da piscina;
(b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];
(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
82. Um tanque tem a forma de um cilindro reto de 5 m de raio de base e 10m de altura. No tempo t = 0,
a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3/h. Com que velocidade o nível da água sobe? Quanto
tempo levará para o tanque ficar cheio?
83. Um tanque cilíndrico aberto, deveter um revestimento externo com 2cm de espessura. Se o raio interno
for 6m e a altura 10m, encontre, por diferenciais, a quantidade de material necessária para o revestimento.
84. Uma caixa de metal na forma de um cubo deve-se ter um volume inferior a 1000 cm3. Os seis lados são
feitos de metal, com espessura de 12cm. Se o custo do material for de R$ 0, 20 por centímetros cúbicos,
use diferencial para encontrar o custo aproximado do metal a ser usado na confecção da caixa.
85. Um reservatório de água tem 80m de comprimento e sua secção transversal é um trapézio isósceles
com lados iguais a 10m, uma base superior de 17m e uma base inferior de 5m. Quando a água tiver 5m
de profundidade, ache a taxa segundo qual estará escoando, se o nível de água estiver abaixando a uma
taxa de 0, 1 m/h.
86. Em um lago grande, um peixe predador alimenta-se de um peixe menor e a população de predadores
em qualquer época é uma função do número de peixes no lago, naquele período de tempo. Suponha que
quando há x peixes pequenos no lago, a população de predadores é y e y = 1
2
x2 +80. Se a temporada de
pesca terminou t semanas atrás, x = 8t+90. A que taxa a população de peixe predador estará crescendo
9 semanas após o término da temporada da pesca?
87. A constante de uma reação química equilibrada varia com a temperatura absoluta de acordo com a lei
K = K0 · e
−q(T−T0)
2T0T ,
em que K0, q e T0 são constantes. Ache a taxa de variação instantânea de K em relação a T .
Crescimento, Extremante, Inflexão e Esboço de Gráficos
88. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes e decrescentes.
(a) y = x3 + 2x2 − 4x + 2
(b) y = x
2
x − 1
(c) y = t
2 + 9
(t − 3)2
(d) y = e−x
(e) y = ex(x2 − 2x)
(f) y = x
2
ex
(g) y = x4 + 4x
(h) y = x5 − 25
3
x3 + 20x − 2
(i) y = 5x3 − 3x5
(j) y = ln x
3− x
89. Encontre os pontos críticos das seguintes funções:
(a) f (x) = 5x2 + 4x
(b) f (t) = 2t3 + 3t + 6t + 4
(c) f (x) = xe2x
(d) f (s) = √3(s2 − s)
(e) f (t) = t + 1
t2 + t + 1
(f) s(t) = 2t3 + 3t2 + 6t + 4
(g) f (x) = x + sen(x)
(h) f (θ) = 5 + 6θ − 2θ3
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 13
90. Encontre os valores de mínimo e de máximo de f no intervalo dado.
(a) f (x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3]
(b) f (t) = t3 − 3t + 1, [0, 3]
(c) f (x) = 2t3 + 3t2 + 4, [−2, 1]
(d) f (s) = 3x5 − 5x3 − 1, [−2, 2]
(e) f (t) = t
t2 + 1
, [0, 2]
(f) s(t) = ln x
x
, [1, 3]
(g) f (x) = cos(x) + sen(x),
[
0,
π
3
]
(h) f (θ) = θe−θ, [0, 2]
91. Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que:
(a) f (x) = axe−x2 tenha um máximo em x = 1√
2
;
(b) f (x) = x3 + ax2 + bx + c tenha pontos críticos em x = −2 e x = 3. Qual é o de máximo e qual é o de
mínimo?
92. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Rolle para as funções a seguir, nos intervalos
especificados. Ache, então, um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f ′(c) = 0.
(a) f (x) = 4x3 − 9x , I1 =
ï
−3
2
, 0
ò
, I2 =
ï
0,
3
2
ò
e I3 =
ï
−3
2
,
3
2
ò
.
(b) f (x) =
®
x + 2 , x ≤ 2
4− x , x > 1 e I = [−2, 4]
93. Verifique se estão satisfeitas as hipóteses do Teorema de Lagrange para as funções a seguir, nos
intervalos I especificados. Em seguida, obtenha um c ∈ I que satisfaça a tese do teorema.
(a) f (x) = x2 + 2x − 1 e I = [0, 1];
(b) f (x) = 3√x2 e I = [0, 2];
(c) f (x) = x
2 + 4x
x − 1 e I = [2, 6]
94. Determine os pontos de inflexão e verifique, também, os intervalos os quais o gráfico delas tem
concavidade positiva ou negativa das funções da questão 88.
95. Determine as coordenadas dos pontos extremantes identificando-os, caso existam, de cada uma das
funções da questão 88, usando o teste da primeira e o da segunda derivada.
96. Determine (se existir) as assíntotas: horizontais, verticais ou oblíquas das funções a seguir:
(a) y = 3x + 1
(x + 2)(x − 3) (b) y =
x2
x − 3
97. Esboce o gráfico de cada uma das funções da questão 88, informando no plano cartesiano os pontos
determinados pelas intersecções com os eixos (quando for fácil), os pontos onde a função possui extremos
relativos e os pontos de inflexão. Utilize o software winplot 2 para conferir.
98. Esboce os gráficos das funções a seguir:
(a) y = −x2 + 4x + 2
(b) y = −x4 − x3 − 2x2
(c) y = 3x + 1
(x + 2)(x − 3)
(d) y = ln(x2 + 1)
(e) y = x
2
x − 3
2download em http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 14
99. Sabendo que f é definida e contínua em R e que o gráfico a seguir representa a derivada de f ,
determine para a função f :
(a) as abscissas dos pontos críticos;
(b) as abscissas dos pontos de máximo e mínimo locais;
(c) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(d) os intervalos nos quais a função tem concavidade voltada
para cima e nos quais a função tem concavidade voltada
para baixo;
(e) as abscissas dos pontos de inflexão.
x
y
−2
0
2
4 6
100. Considere uma função duplamente derivável y = f (x) com as seguintes propriedades:
x y Derivadas
x < −1 y ′ > 0 y ′′ < 0
−1 0 y ′ > 0 y ′′ = 0
−1 < x < 0 y ′ > 0 y ′′ > 0
0 1 y ′ > 0 y ′′ = 0
0 < x < 2 y ′ > 0 y ′′ < 0
2 3 y ′ = 0 y ′′ < 0
x > 2 y ′ < 0 y ′′ < 0
(a) Informe, sem cálculos, quais são os extremantes relativos e os pontos de inflexão, caso existam.
(b) Esboce o gráfico da função com as informações dadas acima. Quando for possível, indique as
coordenadas.
101. Considere a função f (x) = 4x
x2 + 1
.
(a) Encontre os intervalos os quais a função é crescente e decrescente;
(b) Classifique os pontos críticos;
(c) Encontre os intervalos os quais a função tem concavidade voltada para cima e para baixo;
(d) Determine as coordenadas dos pontos de inflexão, caso existam;
(e) Determine as equações das assíntotas, caso existam;
(f) Esboce o gráfico da função, indicando os pontos determinados nos itens anteriores.
102. Determine, se possível, as raízes reais do polinômio f (x) = −2x4 + 4x3 + 3x2 + 6x + 9 e seus pontos
críticos. Faça o esboço do gráfico deste polinômio utilizando os dados acima.
103. Dada a função racional f (x) = 2x
2 − 8
x2 − x − 6 , determine o domínio, o conjunto imagem e as equações
das assíntotas horizontais e verticais. Esboce o gráfico de f .
Problemas de Otimização
104. Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço papelão medindo 8 centímetros de
largura por 15 centímetros de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os lados para
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 15
cima. Determine o comprimento x dos lados dos quadrados que devem cortados para a produção de uma
caixa de volume máximo.
105. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular
de 12.100m2. A prefeitura exige que exista um espaço livre de
25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as
dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser
construído este galpão. 25m
20m
1
2
m
1
2
m12.100m
2
x
y
106. [Construindo uma tubulação] Superpetroleiros descarre-
gam petróleo, em atracadouros a 4 milhas da costa. A refina-
ria mais próxima está 9 milhas a leste do ponto da costa mais
próximo do atracadouro. Uma tubulação precisa ser construída
para conectar a refinaria ao atracadouro. Os dutos subaquáticos
custam R$300.000, 00 por milha e os terrestres, R$200.000, 00
por milha. Localize o ponto B para minimizar os custos da cons-
trução.
Costa
A B Refinaria
Atracadouro
4 mi
9 mi
107. [Locação de uma estação bombeadora] Duas
cidades estão localizadas ao sul de um rio. Uma es-
tação bombeadora de água será instalada para servir
às duas cidades. A tubulação seguirá as retas que li-
gam cada cidade à estação. Defina o ponto onde a
estação bombeadora deve ser instalada para minimi-
zar o custo da tubulação.Veja a figura:
P
B
A
2 mi
5 mi
10 mi
108. [Lançamento da água] Desprezando a resistência do ar, o jato d’água de uma mangueira de incêndio
satisfaz à equação
y = mx − 16(1 +m2)
(x
v
)2
,
em que m é a inclinação do bico, v é a velocidade do jato no bico em metros por segundos e y é a altura
em metros do jato a x metros do bico. Considere que v seja uma constante positiva. Calcule:
(a) o valor de x para a altura y do jato seja máxima para um valor fixo m;
(b) o valor de m para que o jato chegue ao chão a uma distância máxima do bico;
(c) o valor de m para o qual a água atingirá altura máxima num muro vertical a x metros do bico da
mangueira.
109. [Reação a medicamento] Em medicina é frequentemente aceito que a reação R a uma dose x de
uma droga é dada pela equação da forma R = Ax2(B − x), em que A e B são certas constantes positivas.
A sensibilidade de alguém a uma dose x é definida pela equação d
dx
R da reação com a respectiva dose.
Para que valor de x :
(a) a reação é máxima? (b) a sensibilidade é máxima?
110. Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm3. O material da tampa e da
base deve custar R$3, 00 por centímetro quadrado e o material para os lados custa R$1, 50 por centímetro
quadrado. Queremos encontrar as dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo.
111. Se uma lata fechada com volume 16π cm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura
e o raio, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 16
112. Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de papelão
com 12 cm de lado. Para isso, ele pretende retirar quadrados iguais dos quatro cantos, dobrando, a seguir,
os lados.
(a) Se x cm for o comprimento dos quadrados a serem cortados, expresse o volume da caixa em centí-
metros cúbicos como função de x .
(b) Qual é o domínio da função?
(c) A função é contínua em seu domínio?
(d) Determine o comprimento do lado do quadrado para que a caixa tenha volume máximo.
113. Dois pontos A e B estão colocados em lados opostos a um rio cuja largura é de 3 km. A linha AB
é ortogonal ao rio. Um ponto C está na mesma direção que B, mas 2 km do rio abaixo. Uma companhia
telefônica deseja estender um cabo de A até C . Se o custo por quilômetro do cabo é 25% mais caro sob a
água do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor possível?
114. Um campo retangular à margem de uma rio deve ser cercado, com exceção do lado ao longo do
rio. Se o custo do material for de R$12, 00 por metro linear no lado paralelo ao rio e de R$8, 00 por metro
linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que possa ser cercado com R$3.600, 00 de
material.
115. Ao planejar um restaurante, estima-se que se houver de 40 a 80 lugares, o lucro bruto diário será de
R$16, 00 por lugar. Se contudo, o número de assentos for acima de 80 lugares, o lucro bruto diário por lugar
decrescerá de R$0, 08 vezes o número de lugares acima de 80. Qual deverá ser o número de assentos
para que o lucro bruto diário seja máximo?
116. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a.
Se cada pasto deve medir 400m2 de área, determine as dimensões a e b, de forma que o comprimento da
cerca seja mínimo.
117. Encontre as dimensões do retângulo de menor perímetro cuja área é de 100 cm2.
118. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à razão de 8 cm3/min.
Como está variando o raio no instante em que a bola tem 4 cm de diâmetro?
119. Uma cerca de 8 m de altura corre paralela a um edifício a uma distância de 4 m desta. Qual é o
comprimento da menor escada que alcança o edifício quando inclinada sobre a cerca?
120. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo com catetos 3 cm e 4 cm
se dois lados do retângulo estão sobre os catetos.
121. Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está
localizada no chão a 20 m da trajetória (distância ortogonal) e é mantida focalizada na direção do homem.
Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo
da lâmpada?
122. O telescópio espacial Huble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial
Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em t = 0 até a
entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s é dado por
v(t) = 0, 001302t3− 0, 09029t2 + 23, 61t − 3, 083 pés/s.
Usando esse modelo, estime os valores máximos e mínimo absoluto da aceleração do ônibus entre o
lançamento e a entrada do foguete auxiliar.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 17
123. Um modelo para o índice de preço de alimento (o preço de uma cesta básica) entre 1984 e 1994 é
dado pela função
I (t) = 0, 00009045t5 + 0, 001438t4− 0, 06561t3 + 0, 4598t2 − 0, 6270t + 99, 33,
em que t é medido em anos desde a metade do ano de 1984; assim 0 ≤ t ≤ 10, e I (t) é medido 1987
em dólares e reduzido em uma escala tal que I (3) = 100. Estime os períodos nos quais a comida foi mais
barata e mais cara durante 1984-1994.
124. Um tanque de zinco na forma cilíndrica deve ser construído para a cultivo de peixes. Tal tanque deve
conter 8.000 litros de água e não precisará de tampa. Determine as medidas do tanque (a altura h e o raio
r do cilindro) para que a quantidade de zinco seja mínimo. DICA: Volume do cilindro V = πr2 · h, área da
superfície do cilindro menos a tampa S = 2πr · h + πr2.
125. Uma lata cilíndrica de estanho (sem tampa) tem volume de 5 cm3. Determine suas dimensões se a
quantidade de estanho para a fabricação da lata é mínima.
126. James mora numa ilha a 6 km da praia e sua namorada Jeane mora a 4 km praia acima. James pode
remar seu barco a 3 km por hora e pode andar a 5 km por hora na praia. Encontre o tempo mínimo gasto
por James para alcançar a casa de Jeane vindo de sua ilha.
127. A rapidez com que um boato se espalha em uma comunidade é proporcional ao produto do número de
pessoas que já ouviram o boato pelo número de pessoas que ainda não o ouviram. Mostre que a rapidez
é máxima no instante em que metade das pessoas ainda não ouviu o boato.
128. Uma certa árvore possui seu tronco na forma de um cilindro de raio 1m e altura 4m. Um certo fungo
alojou-se sobre a casca do tronco destruindo 5cm de profundidade. Qual a quantidade de material que
deve ser retirado?
129. Encontre as medidas de cada um dos lados do triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito
numa circunferência de raio 4 cm.
Resumo: Cálculo Diferencial e Integral
Definição
Sejam y = f (x) uma função e c ∈ R. Denomina-se INTEGRAL da função f (x), a função primitiva
F (x) + c , pois (F (x) + c)′ = f (x).
Propriedades
1. d
∫
f (x) dx = f (x) dx;
2.
∫
df (x) dx = f (x) + C ;
3.
∫
k · f (x) dx = k ·
∫
f (x) dx, k ∈ C;
4.
∫
[f (x) + g(x)] dx =
∫
f (x) dx+
∫
g(x) dx;
5.
Å∫
f (x) dx
ã′
= f (x).
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 18
Integrais imediatas
1.
∫
xn dx =
xn+1
n+ 1
+ C , n ∈ R \ {−1};
2.
∫
1
x
dx = ln |x |+ C ;
3.
∫
sen(x) dx = − cos(x) + C ;
4.
∫
cos(x) dx = sen(x) + C ;
5.
∫
tg(x) dx = ln | sec(x)|+ C ;
6.
∫
cotg(x) dx = ln | sen(x)|+ C ;
7.
∫
sec(x) dx = ln | tg(x) + sec(x)|+ C ;
8.
∫
cossec(x) dx = ln | cotg(x)− cossec(x)|+ C ;
9.
∫
sec2 x dx = tg(x) + C ;
10.
∫
cossec2(x) dx = − cotg(x) + C ;
11.
∫
sec(x) · tg(x) dx = sec(x) + C ;
12.
∫
cossec(x) · cotg(x) dx = − cossec(x) + C ;
13.
∫
ax dx =
ax
ln a
+ C , a ∈ R∗+ \ {1};
14.
∫
ex dx = ex + C ;
15.
∫
dx√
1− x2 = arcsen x + C ;
16.
∫
dx√
b2 − a2x2 =
1
a
arcsen(a
b
x
)
+ C ;
17.
∫
dx
1 + x2
= arctg(x) + C ;
18.
∫
dx
b2 + a2x2
=
1
ab
arctg
( a
b
x
)
+ C ;
19.
∫
dx
a2x2 ± b2 =
1
2ab
ln
∣∣∣∣ax ± bax ∓ b
∣∣∣∣+ C ;
20.
∫
dx√
a2x2 ± b2 =
1
a
ln
∣∣∣ax +√a2x2 ± b2∣∣∣+ C ;
21.
∫
ln x dx = x(ln |x | − 1) + C .
22.
∫
dx
x
√
x2 − a2 =
1
a
arcsec
(x
a
)
+ C .
Métodos de integração
Por substituição;
Por partes: u · v
∫
v · du.
Integral de certas funções que contém um trinômio
1.
∫
dx
ax2 + bx + c
.
∫
dx
x2 + 5x + 4
=
∫
dxÅ
x2 + 5x +
25
4
ã
+ 4− 25
4
=
∫
dxÅ
x +
5
2
ã2
−
Å
3
2
ã2
=
1
2 · 3
2
∫
ln
∣∣∣∣∣∣∣
x +
5
2
− 3
2
x +
5
2
+
3
2
∣∣∣∣∣∣∣+ c =
1
3
ln
∣∣∣∣x + 1x + 4
∣∣∣∣+ c
2.
∫
(mx + n) dx
ax2 + bx + c
;
∫
(2x + 3) dx
x2 + 5x + 4
u = x2 + 5x + 4 ⇒ du = 2x + 5 dx∫
(2x + 5− 2) dx
x2 + 5x + 4
=
∫
du
u
− 2
∫
dx
x2 + 5x + 4
= ln |x2 + 5x + 4| − 2
3
ln
∣∣∣∣x + 1x + 4
∣∣∣∣+ c
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 19
Integral de funções racionais
f (x) =
p(x)
q(x)
, q(x) 6= 0, ∀ x ,
em que p(x) e q(x) são dois polinômios.
Devemos observar as seguintes hipóteses:
1. Grau de p(x) < grau de q(x).
2. Grau de p(x) > grau de q(x).
Na primeira hipótese, decompomos p(x)
q(x)
em frações parciais, de acordo com a natureza das raízes do
polinômio q(x). Este pode apresentar raízes reais ou complexas, simples ou múltiplas. Os casos a seguir
ilustrarão estes quatro aspectos.
1.
∫
(2x − 1) dx
(x − 1)(x − 2)
Façamos
(2x − 1)
(x − 1)(x − 2) =
A
x − 1 +
B
x − 2
=
(A+ B)x − 2A− B
(x − 1)(x − 2) ⇒
{
A+ B = 2
−2A− B = −1 ⇒
{
A = −1
B = 3
Logo, ∫
(2x − 1) dx
(x − 1)(x − 2) = −
∫
dx
x − 1 + 3
∫
dx
x − 2
= ln
∣∣∣∣(x − 2)2x − 1
∣∣∣∣+ c
2.
∫
dx
(x − 1)2(x − 2)
Façamos
1
(x − 1)2(x − 2) =
A
(x − 1)2 +
B
x − 1 +
C
x − 2
=
A(x − 2) + B(x2 − 3x + 2) + C (x2 − 2x + 1)
(x − 1)2(x − 2)
⇒


B + C = 0
A− 3B − 2C = 0
−2A+ 2B + C = 1
⇒


A = −1
B = −1
C = 1
Logo, ∫
dx
(x − 1)2(x − 2) = −
∫
dx
(x − 1)2 −
∫
dx
x − 1 +
∫
dx
x − 2
=
1
x − 1 ln
∣∣∣∣x − 2x − 1
∣∣∣∣+ c
3.
∫
x dx
(x2 + 1)(x − 1)
Façamos
x
(x + 1)2(x − 1) =
Ax + B
x2 + 1
+
C
x + 1
=
(A+ C )x2 + (B − A)x + C − B
(x2 + 1)(x − 1)
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 20
⇒


A+ C = 0
B − A = 1
C − B = 0
⇒


A = −1
2
B =
1
2
C =
1
2
Logo, ∫
x dx
(x2 + 1)(x − 1) = −
∫
x dx
2(x2 + 1)
+
∫
dx
2(x2 + 1)
+
∫
dx
2(x − 1)
=
1
2
arctg(x) + ln
∣∣∣∣∣ 4
 
(x − 1)2
x2 + 1
∣∣∣∣∣+ C
4.
∫
(x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx
(x2 + 2x + 3)(x + 1)
(x4 + 4x3 + 11x2 + 12x + 8) dx
(x2 + 2x + 3)(x + 1)
=
Ax + B
(x2 + 2x + 3)2
+
Cx + D
(x2 + 2x + 3
+
E
x + 1
= . . .
Na segunda hipótese, devemos dividir, inicialmente, p(x) por q(x) e efetuar o procedimento de cálculo
da integral.
5.
∫
(x5 + x4 − 8) dx
x3 − 4x =
∫
(x2 + x + 4) dx+
∫
(4x2 + 16x − 8) dx
x3 − 4x
= . . .
=
x3
3
+
x2
2
+ 4x + ln
∣∣∣∣x2(x − 2)5(x + 2)3
∣∣∣∣+ c
Identidades trigonométricas importantes
1. sen2(x) = 1− cos(2x)
2
;
2. cos2(x) = 1 + cos(2x)
2
;
3. sen(x) · cos(x) = 1
2
sen 2x ;
4. sen(x) · cos(y) = 1
2
[sen(x − y) + sen(x + y)];
5. sen(x) · sen(y) = 1
2
[cos(x − y)− cos(x + y)];
6. cos(x) · cos(y) = 1
2
[cos(x − y) + cos(x + y)].
Funções hiperbólicas
1. senh(x) = e
x − e−x
2
= −i sen(iθ);
2. cosh(x) = e
x + e−x
2
= cos(iθ);
3. cosh2(x)− senh2(x) = 1;
4. senh2(x) = 1
2
(cosh(2x)− 1);
5. cosh2(x) = 1
2
(cosh(2x) + 1);
6. senh(x) · cosh(x) = 1
2
senh(2x).
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 21
Integral das Funções Hiperbólicas
1.
∫
senh(x) dx = cosh(x) + c ⇒ (cosh(x))′ = senh(x);
2.
∫
cosh(x) dx = senh(x) + c ⇒ (senh(x))′ = cosh(x);
Cálculo de Comprimento
Cartesianas ℓ =
∫ b
a
»
1 + (f ′(x))2 dx;
Polares ℓ =
∫ θ2
θ1
 
ρ2 +
Å
dρ
dθ
ã2
dθ;
x = f1(t)
y = f2(t)
⇒
∫ β
α
 Å
dx
dt
ã2
+
Å
dy
dt
ã2
dt
Cálculo de Áreas
A =
∫ b
a
f (x) dx∫ b
a
f (y) dy
; A =
1
2
∫ β
α
ρ2dθ.
Cálculo do Volume
V = π
∫ b
a
x2 dy V = π
∫ b
a
y2 dx.
Integrais Indefinidas
130. Calcule a integral e, em seguida, derive as respostas para conferir os resultados.
(a)
∫
y3(2y2 − 3) dy
(b)
∫ Å
2
x2
+
3
x3
+ 5
ã
dx
(c)
∫
2 cotg2(θ) − 3 tg2(θ)dθ
(d)
∫
ax4 + bx3 + 3c dx
(e)
∫
dx
sen2(x)
(f)
∫
cos(θ) tg(θ)dθ.
131. Calcule as seguintes integrais e, em seguida, derive para verificar sua resposta.
(a)
∫
2x7 dx
(b)
∫
dx
x3
(c)
∫
x
2
3 dx
(d)
∫
xpi dx
(n)
∫
sen(x)
cos2(x)
dx
(o)
∫
(4 cossec(x) · cotg(x) + 2 sec2(x)) dx
(p)
∫
sec2(x)[cos3(x) + 1] dx
(q)
∫
e
4x2 + 4
dx
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 22
(e)
∫
(3x4 − 5x3 + 4) dx
(f)
∫
1
4
x4 +
2
3
x3 − 12x2 + 8x − 1 dx
(g)
∫
6t2 3
√
tdt
(h)
∫
x4(5 − x2) dx
(i)
∫ Å√
x − 1√
x
ã
dx
(j)
∫ Å
2
x3
+
3
x2
+ 5
ã
dx
(k)
∫
2
x
√
x
− x
3
√
x
2
dx
(l)
∫
y4 + 2y2 − 1√
y
dy
(m)
∫
(5 cos(x)− 4 sen(x)) dx
(r)
∫
(3 cossec2(t)− 5 sec(t) · tg(t)) dt
(s)
∫
dx
(ax)2 + a2
; a 6= 0.
(t)
∫ 5√
x2
x3
4
√
x dx
(u)
∫
1
sen2(x)
dx
(v)
∫
1
cos2(x)
dx
(w)
∫
1− cos2(x)
sen(x)
dx
(x)
∫
tg2(x)
sen(x)
dx
(z)
∫
cossec(x)
tg(x)
dx
132. Determine a função f (x), tal que∫
f (x) dx = x3 +
1
3
· cos(2x) + C .
133. Determine a função f (x) tal que
∫
f (x) dx = x2 +
1
2
cos(2x) + c .
134. Encontre uma função f (x) tal que 1
2
f ′(x)− e2x = 0 e f (0) = 1.
135. Utilizando o método da substituição, calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
x
5
√
x2 − 1 dx
(b)
∫
sen2(x) cos(x) dx
(c)
∫
tg(x) sec2(x) dx
(d)
∫
6x2 sen(x3) dx
(e)
∫
x2(x3 − 1)10 dx
(f)
∫
(x + sec2(3x)) dx
(g)
∫
arcsen(y)
2
√
1− y2 dy
(h)
∫
x2 + 2x√
x3 + 3x2 + 1
dx
(i)
∫
1
2
t cos(4t2) dt
(j)
∫
(tg(2x) + cotg(2x))2 dx
(k)
∫
(e2x + 2)5e2x dx
(l)
∫
sen(θ)dθ
[5− cos(θ)]3
(m)
∫ √
1− 4y dy
(n)
∫
x2(x3 − 1)10 dx
(o)
∫
6x2 sen(x3) dx
(p)
∫ …
1 +
1
3x
dx
x2
(q)
∫
(x3 − 2)1/7x2 dx
(r)
∫ √
x2 + 2x4 dx
(s)
∫
e1/x + 2
x2
dx
(t)
∫
xe3x
2
dx
(u)
∫
cos(x)
3− sen(x) dx
Integrais Definidas
136. Determine a soma de Riemann para a função no intervalo, usando a partição P dada e os valores de
ξi dados.
(a) f (x) = x2, 0 ≤ x ≤ 3; para P =
ß
0,
1
2
,
5
4
,
9
4
, 3
™
e ξ1 =
1
2
, ξ2 = 1, ξ3 =
3
2
, ξ4 =
5
2
.
(b) f (x) = 1
x
, 1 ≤ x ≤ 3; para P =
ß
1,
5
3
,
9
4
,
8
3
, 3
™
; e ξ1 =
5
4
, ξ2 = 2, ξ3 =
5
2
, ξ4 =
11
4
.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 23
(c) f (x) = x2 − x + 1, 0 ≤ x ≤ 1; para f1 = 0, 1, ξ2 = 0, 4, ξ3 = 0, 6, ξ4 = 0, 9.
137. Calcule as integrais definidas:
(a)
∫ 5
2
3 dx
(b)
∫ 2
−1
6 dx
(c)
∫ 2
−2
√
5 dx
(d)
∫ −2
5
2 dx
(e)
∫ 4
1
(
√
2t + 3
√
t)dt
(f)
∫ pi
2
0
cos(x)
[1 + sen(x)]3
dx
(g)
∫ 5
1
√
2t − 1dt
(h)
∫ 1
0
xex
2−1 dx
138. Calcule as integrais definidas usando os seguintes resultados:
∫ 2
−1
x2 dx = 3,
∫ 2
−1
dx =
3
2
,∫ pi0
sen(x) dx = 2,
∫ 2
−1
x2 dx = 3,
∫ pi
0
cos(x) dx = 0,
∫ pi
0
sen2(x) dx =
π
2
.
(a)
∫ 2
−1
(2x2 − 4x + 5) dx
(b)
∫ 2
−1
Å
2− 5x + x
2
2
ã
dx
(c)
∫ −1
2
(2x + 1)2 dx
(d)
∫ −2
−1
(x − 1)(2x + 3) dx
(e)
∫ pi
0
(2 sen(x) + 3 cos(x) + 1) dx
(f)
∫ pi
0
(cos(x) + 4)2 dx
139. Encontre o valor médio das funções dadas abaixo, definidas em seus respectivos intervalos. Encontre,
também, o valor de x no qual ocorre o valor médio.
(a) f (x) = x2, [−1, 2], sabendo-se que
∫ 2
−1
x2 dx = 3.
(b) f (x) = sen(x), [0,π], sabendo-se que
∫ pi
0
sen(x) dx = 2.
140. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ 3
−1
4 dx
(b)
∫ 2
0
(x3 + 3x − 1) dx
(c)
∫ 3
0
(3x2 − 4x + 1) dx
(d)
∫ 6
3
(x2 − 2x) dx
(e)
∫ 5
−2
|x − 3| dx
(f)
∫ pi
8
0
sen(2x) dx
(g)
∫ 2
1
1
x2
dx
(h)
∫ −1
−2
Å
1
x2
+ x
ã
dx
(i)
∫ 1
−1
e2x dx
(j)
∫ 4
1
(5x +
√
x) dx
(k)
∫ 1
0
1
x + 1
dx
(l)
∫ pi
4
0
sec2 x dx
(m)
∫ 2
1
(x − 2)5 dx
(n)
∫ 1
0
3
√
5− x dx
(o)
∫ 0
−1
x
√
x + 1 dx
(p)
∫ 1
0
1
(x + 1)5
dx
(q)
∫ 1
0
x2
1 + x3
dx
(r)
∫ 1
0
x2
(1 + x3)2
dx
(s)
∫ pi
3
0
cos(2x) dx
141. Calcule a área S da figura plana limitada pela(s):
(a) reta y = 2x − 1, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5
(b) curva y = 10 + x − x2, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 3;
(c) curvas y = x3 − 6x2 + 8x e y = x2 − 4x ;
(d) curvas y = x3 + 2x2 − 8x e y = x2 + 2x − 8;
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 24
(e) curvas y = 2− x2 e y3 = x2;
(f) curvas y = x2 − 6x + 9 e y = −x2 + 9;
(g) curva y = x3 e a primeira bissetriz.
(h) curvas y = 3x − 3
4
x2 e g(x) = 3− 3
4
x .
(i) curvas y = e−2x , y = x + 1, y = 0 e x = 1.
142. Encontre a área da região hachurada em cada caso.
(a) f (x) = 2
x
e g(x) = −x2 + 2x + 1; (b) f (x) = x3 e g(x) = 4x .
0
1
2
3
0 1 2 3
x
y
x
y
(c) f (x) = 2x − 1 e g(x) = −x ;
x
y
1
−1
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 25
Gabarito
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. lim
x→4
f (x) = 0. 8. 9. (a) 4; (b) −7; (c) 43 ; (d) − 15 ; (e) 75 ; (f) 25 ; (g) (h) (i) 32 ; (j) 35 ; (k) −3 (l) (m) (n) (o) 10..
(a) 12 ; (b) 13 ; (c) 43 ; (d) 16√3 ; (h)
−1
56 ; (i) − 13 ; (j) 112 ; (l) − 23√9 . 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 21. 22. 23. 24. (a) x = −3;
(b) x = −3; (c) x = −5 e x = −3. 25. (a) +∞; (b) 0; (c) −∞; (d) −5; (e) +∞; (f) 1; (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) 1/2; (p) 1/3. 26. (a)
y = 2; (b) y = 4. 27. (a) ; (b) (c) (d) (e) (f) . 28. (a) 20 unidades; (b) tende a produzir um número de 30 novas unidades. 29. (a) 24
unidades; (b) 600. 30. (a) 24 e 60 milhões; (b) 120 milhões. 32. (a) 32 ; (b) 107 ; (f) 0; (k) 0; (m) 1. 33. 34. 35. 36. 37. 39. 40.
41. (a) Descontínua no ponto x = −2; (b) Descontínua no conjunto {−3,−1, 1}; (c) Contínua em R; (d) Descontínua em x = 0. 46. 43.
6. 44. (a) p = 143 ; (b) p = 1; (c) p = 2. 45. 46. 47. É descontínuo, pois lim
x→2
E(x) 6= E(2). 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54.
55. (a) 8x3 − 6x + 5 (b) −3
2x2
+ 165
5√
x3 +
1√
x
(c) −27x8 + 30x4 + 4x3 (d) √3(3s2 − 2s) (e) 2t
8 + 6t7 − 18t6 − 20t5 + 30t4 + 30t3 − 30t2
(t5 − 5t)2 (f)
−x3 + 3x2
ex
+ ex
Ä
1
x3
− 3
x4
ä
(g) 2x sen(x) + x2 cos(x) − 1
x
+ tg(x) (h) cotg(θ)
[1− sen(θ)]2 [2 − 2 cossec(θ) + cos(θ)] 56. 57. 58. 59. 60. (a)
(3x5 − 1)9(−162x8 + 300x4 + 4x3); (b) (t
3 − 3t2)(9t7 − 9t5 − 95t3 + 15t)
(t5 − 5t)6 ; (c) 5; (d)
7x
7x2 − 8 ; (e) 2xe
x2 ; (f) −2 sen(2θ2 − 3θ + 1)(4θ − 3);
(g) 2 cos(θ)[3 cos2(θ) − 2]; (h) 0; (i) 1
x + 1
− 1; (j) 2 cotg(x); (k) 2x
x4 + 2x2 + 2
; (l) e
arcsen(θ)√
1− θ2
. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 5. 67. (a)
(f−1)′(x) = 1
2
√
2x+6
; (b) (f−1)′(x) = − 17 ; (c) (f−1)′(x) = 14 4√x−1
3
. 68. Demonstração. 69. 70. (a) 1; (b) +∞; (c) 0; (d) 0; (e) 0; (f) 0. 130.
131. (a) x
8
4
+C ; (b) − 1
2x2
+C ; (c) 3
5
x
5
3 +C (d) 1
pi + 1
xpi+1 +C (e) 3 x
5
5 − 5 x
4
4
+ 4x +C ; (f) 1
20
x5 +
1
6
x4 − 4x3 + 4x2 − x + C (g) 9
5
t
10
3 +C ;
(h) x5− x
7
7
+C ; (i) 2
3
x
√
x−2√x +C ; (j)− 1
x2
− 3
x
+5x +C ; (k)− 4√
x
− 3x
2 3
√
x
14
+C (l) ( 2
9
y4 +
4
5
y2−2)√y +C ; (m) 5 sen(x)+4 cos(x)+C ;
(n) sec(x) + C ; (o) −4 cossec(x) + 2 tg(x) + C ; (p) sen(x) + tg(x) + C ; (q) e
4
arctg(x) + C ; (r) −3 cotg(t)− 5 sec(t) + C ; (s) 1
a2
· arctg(x) + C ;
(t) − 20
27x
27√
x7
+ C ; (u) − cotg(x) + C ; (v) tg(x) + C ; (w) − cos(x) + C . 132. f (x) = 2x2 − 23 sen(2x). 133. f (x) = − sen(2x) + 2x.
134. f (x) = e2x 135. (a) 5
8
(x2 − 1)4/5 + C ; (b) sen
3(x)
3
+ C ; (c) tg
2(x)
2
+ C ; (d) −2 cos3(x) + C ; (e) (x
3 − 1)11
33
+ C ; (f) 1
3
tg(3x) + C ; (g)
1
4
arcsen(y2) + C ; (h) 2
3
√
x3 + 3x2 + 1 + C ; (i) 1
16
sen(4t2) + C ; (j) 1
2
tg(2x) − cotg(2x) + C ; (k) 1
12
(e2x + 2)6 + C ; (l) −1
2(5− cos(θ))2 + C .
136. (a) 247
32
; (b) 1469
1320
; (c) 0, 835. 137. (a) 9; (b) 18; (c) 4√5; (d) −14. 138. (a) 15; (b) 0; (c) −21; (d) − 3
2
; (e) 4 + pi; (f) 33pi
2
. 139.
(a) 1 e ±1; (b) 2
pi
e 0, 69. 140. (a) 16; (b) 8; (c) 12; (d) 36; (e) 29
2
; (f) 2−
√
2
4
; (g) 1
2
, (h) −1; (i) 1
2
(e2 − e−2); (j) 253
6
; (k) ln(2); (l) 1; (m)
− 1
6
; (n) 45
4
; (o) − 4
15
; (p) 15
64
; (q) 1
3
ln(2); (r) 1
6
; (s)
√
3
4
. 141. (a) 20. (b) 2456 . (c) (d) (i) 1 − 12e2 . 142. (a) 53 − ln(4). (b) 8 (c) log2(e) − 12
77. 4, 421 milímetros. 78. 24.000m2 79. 0, 06m3. 80. 128pi cm2/s. 81. (a) 6s; (b) −17.500m3/s; (c) −10.000m3/s. 82. 1pim/h; 10pih.
83. 0, 4pim2 84. 85. −12, 5 m3/h 86. 88. (a) (−∞,−2] ∪ [2/3,∞) crescente; [−2, 2/3] decrescente; (b) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) crescente;
[0, 1) ∪ (1, 2] decrescente; (c) (−∞,−3] ∪ (3, +∞) crescente; [−3, 3) decrescente; (d) (−∞,∞) decrescente; (e) (−∞,−√2] ∪ [√2,∞)
crescente; [−√2,√2] decrescente; (f) (−∞, 0] ∪ [2, +∞) decrescente; [0, 2] crescente; (g) [−1,∞) crescente; (−∞,−1] decrescente; (h)
(−∞,−2] ∪ [−1, 1] ∪ [2,∞) crescente; [−2,−1] ∪ [1, 2] decrescente; (i) (−∞,−1] ∪ [1,∞) decrescente; [−1.1] crescente; (j) (−∞, 0[
crescente; ]3,∞) decrescente. 89. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 90. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 91. (a) ∀ a ∈ R∗+, (b) a = − 32 , b = −18 e
c ∈ R. xmax = −2 e xmin = 3. 92. 93. 94. (a) (−2/3; f (2/3)) PI; ] − 2/3, +∞) côncava para cima; (−∞,−2/3[ côncava para baixo; (b)
(−∞, 1[ côncava para baixo; ]1, +∞) côncava para cima; (c) (−6, f (−6)) PI; (−6, +∞) côncava para cima; (−∞,−6) côncava para baixo;
(d) (−∞, +∞) côncava para cima; (e) (−1−√3, f (−1−√3)) e (−1 +√3, f (−1 +√3)) PI; (−∞,−1−√3[∪]− 1 +√3,∞) côncava para
cima; ]− 1−√3,−1 +√3[ côncava para baixo; (f) (2−√2, f (2−√2)) e (2 +√2, f (2 +√2)) PI; (−∞, 2−√2[∪]2 +√2,∞) côncava para
cima; ]2−√2, 2+√2[ côncava para baixo; (g) (−∞,∞) CVC; (h) (−
√
5
2 , f (−
√
5
2 )), (0, f (0)) e (
√
5
2 , f (
√
5
2 )) PI; (−∞,−
√
5
2 [∪]0,
√
5
2 [
CVB; ]−
√
5
2 , 0[∪]
√
5
2 ,∞) CVC; (i) (−
√
2
2
, f (−
√
2
2
)), (0, f (0)) e (
√
2
2
, f (
√
2
2
)) PI; (−∞,−
√
2
2
[∪]0,
√
2
2
[ CVC; ]−
√
2
2
, 0[∪]
√
2
2
,∞) CVB;
(j) (−∞, 0[∪]3,∞) CVC. 95. (a) (−2, 10) ponto de Máximo; (2/3, 14/27) ponto de Mínimo; (b) (0, 0) ponto de Máximo; (2, 4) ponto de Mínimo;
(c) (−3, 1/2) ponto de Mínimo; (d) 6 ∃; (e) (−√2, e−
√
2(2 + 2
√
2) ponto de Máximo; (+
√
2, e
√
2(2− 2√2)) ponto de Mínimo; (f) (0, 0) ponto de
Mínimo; (2, 4/e2) ponto de Máximo; (g) (−1,−3) ponto de Mínimo; (h) (−2,−22/3) e (1, 22/3) pontos de Máximo; (−1,−44/3) e (2, 125/3)
pontos de Mínimo; (i) (−1,−2) ponto de Mínimo; (1, 2) ponto de Máximo; (j) 6 ∃ 96. 97. 98. 99. 100. 103. 104. x = 53 cm.105.
88, 33 + 24× 150, 62 + 45. 106. A 8
√
5
5 mi do ponto A. 107. A 7, 9 mi da perpendicular da cidade B . 108. (a) x =
v2m
32(1 + m2)
; (b) m = 1 (c)
m =
v2
32x
. 109. (a) x = 23B ; (b) x = 13B . 110. 10× 10× 20. 111. r = 2, h = 4. 112. (d) 8 cm. 113. diretamente de A a C . 114. 16.875m2 .
115. 140 lugares e R$1.568, 00 o lucro bruto diário. 116. a = 40
√
3
3
; b = 10
√
3. 120. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. h = r = 203√pi .
125. h = r = 3
√
5
pi . 126. 127. 128.
LISTA DE EXERCÍCIOS # CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 26

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