Aula05

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Aulas de FUV - CTT 110 - 2011/1
Dsc. Jaqueline M. da Silva
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
ICTM
UFVJM
Funções Trigonométricas
Apresentação
1
Funções Trigonométricas
2
Substituição Trigonométrica
Funções Trigonométricas∫
senm(x)cosn(x)dx
1
Se o expoente da função cosseno for ímpar, guarde um fator cosseno e
use cos2(x) = 1− sen2(x) para expressar os fatores em termos de seno:
2
Então:∫
senm(x)cos2k+1(x)dx =
∫
senm(x)(cos2(x))kcos(x)dx (1)
=
∫
senm(x)(1− sen2(x))kcos(x)dx
3
Use a mudança de variável u = sen(x) nos fatores que restaram.
Funções Trigonométricas∫
senm(x)cosn(x)dx
1
Se o expoente da função seno for ímpar, guarde um fator seno e use
sen2(x) = 1− cos2(x) para expressar para expressar os fatores em
termos de cosseno:
2
Então:∫
sen2k+1(x)cosn(x)dx =
∫
(sen2(x))kcosn(x)sen(x)dx (2)
=
∫
(1− cos2(x))kcosn(x)sen(x)dx
3
Use a mudança de variável u = cos(x) nos fatores que restaram.
Funções Trigonométricas∫
senm(x)cosn(x)dx
Se o expoente da função cosseno ou da função seno for par, usamos
os ângulos metade:
→ sen2(x) = 12(1− cos(2x))
→ cos2(x) = 12(1 + cos(2x))
→ sen(x)cos(x) = 12sen(2x)
Funções Trigonométricas∫
tgm(x)secn(x)dx
1
Se o expoente da função secante for par, guarde um fator sec2(x) e use
sec2(x) = 1 + tg2(x) para expressar os fatores em termos de tangente.
2
Então:∫
tgm(x)sec2k(x)dx =
∫
tgm(x)(sec2(x))k−1sec2(x)dx (3)
=
∫
tgm(x)(1 + tg2(x))k−1sec2(x)dx (4)
→ Use a mudança de variável u = tg(x) nos fatores que restaram.
Funções Trigonométricas∫
tgm(x)secn(x)dx
1
Se o expoente da função tangente for ímpar (m = 2k + 1), guarde um
fator sec(x)tg(x) e use tg2(x) = sec2(x)− 1 para expressar os fatores
em termos de secante.
2
Então:∫
tg2k+1(x)secn(x)dx =
∫
(tg2(x))ksecn−1(x)tg(x)dx (5)
=
∫
(sec2(x)− 1)ksecn−1(x)tg(x)dx(6)
→ Use a mudança de variável u = sec(x) nos fatores que restaram.
Funções Trigonométricas
Para calcular as integrais:∫
sen(mx)cos(nx)dx,∫
sen(mx)sen(nx)dx ou∫
cos(mx)cos(nx)dx, use a identidade correspondente:
sen(A)cos(B) = 12 (sen(A−B) + sen(A+B)).
sen(A)sen(B) = 12(cos(A−B)− cos(A+B))
cos(A)cos(B) = 12(cos(A−B) + cos(A+B))
Funções Trigonométricas
Exercício
Encontre ∫ pi
0
sin2(x)dx (7)
∫
sin4(x)dx (8)
Observe que
cos2(2x) =
1
2
(1 + cos(4x))
∫
tan6(x) sec4(x)dx (9)
∫
tan5(θ) sec7(θ)dθ (10)
Substituição Trigonométrica
Apresentação
1
Funções Trigonométricas
2
Substituição Trigonométrica
Substituição Trigonométrica
Substituição Trigonométrica
Exemplo
Calcule a área da Elipse:
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (11)
Resolvendo, obtemos:
y = ± b
a
√
a2 − x2 (12)
Como a Elipse é simétrica nos eixos, temos AT = 4A.
Substituição Trigonométrica
Exemplo
Para o primeiro quadrante temos 0 ≤ x ≤ a,
y =
b
a
√
a2 − x2 (13)
Então
A =
∫ a
0
b
a
√
a2 − x2 (14)
Fazemos x = a sin(θ).
Então dx = a cos(θ)dθ.
Quando x = 0, sin(θ) = 0⇒ θ = 0.
Quando x = a⇒ sin(θ) = 1.
Logo θ = pi2 .
Substituição Trigonométrica
Exemplo
Além disso,
√
a2 − x2 = a cos(θ)
e portanto:
AT = 4
∫ a
0
b
a
√
a2 − x2 = piab (15)
Substituição Trigonométrica
Exercício:
Encontre ∫
x√
x2 + 4
dx (16)
∫
1
x2
√
x2 + 4
dx (17)
∫
1√
x2 − a2dx (18)
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