Aula06

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Aulas de FUV - CTT 110 - 2011/2
Dsc. Jaqueline M. da Silva
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
ICTM
Projeção 8
UFVJM
Frações Parciais
Apresentação
1
Frações Parciais
Frações Parciais
Considere função racional
f(x) =
P (x)
Q(x)
(1)
onde P (x) e Q(x) são polinômios.
É possível expressar f(x) como uma soma de frações mais simples, desde
que o grau de P (x) seja menor que o grau de Q(x).
Essa função racional é denominada Função Própria.
Lembre-se de que se
P (x) = anx
n + an−1xn−1 + ...a1x + a0 (2)
No qual an 6= 0, então o grau de P (x) é n, e escrevemos gr(P ) = n.
Frações Parciais
Se f(x) é uma Função Imprópria, isto é, gr(P ) ≥ gr(Q), então devemos
fazer uma etapa preliminar dividindo P (x) por Q(x) (por divisão de
polinômios).
Até o resto R(x) ser obtido, com gr(R) < gr(Q).
O resultado da divisão é
f(x) =
P (x)
Q(x)
= S(x) +
R(x)
Q(x)
(3)
onde S(x) e R(x) também são polinômios.
Frações Parciais
Exemplo 1
Encontre a integral ∫
x3 + x
x− 1 dx (4)
Obs: O grau do numerador é maior que o grau do denominador. Então
primeiro devemos fazer a divisão.
Frações Parciais
Exemplo 1
Podemos escrever:∫
x3 + x
x− 1 dx =
∫ (
x2 + x + 2 +
2
x− 1
)
dx (5)
=
x3
3
+
x2
2
+ 2x + 2 ln |x− 1|+ C (6)
Frações Parciais
Etapa 2
A etapa 2 é fatorar o denominador Q(x) o máximo possível.
Obs: É possível demonstrar que qualquer polinômio Q(x) pode ser
fatorado como um produto de fatores lineares:
da forma
ax + b
e fatores quadráticos irredutíveis da forma
ax2 + bx + c
onde ∆ = b2 − 4ac < 0.
Frações Parciais
Etapa 3
A etapa 3 é expressar a função racional própria
R(x)
Q(x) como uma soma de
frações parciais da forma:
A
(ax + b)i
(7)
ou
Ax + B
(ax2 + bx + c)j
(8)
Obs: Há um teorema na Álgebra que garante que é sempre possível fazer
isso.
Frações Parciais
Exemplo 2
Calcule a integral: ∫
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2xdx (9)
Obs: Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não
precisamos dividir P (x) por Q(x).
Então fatoramos o denominador Q(x):
Q(x) = 2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x− 2) = x(2x− 1)(x + 2) (10)
Frações Parciais
Exemplo 2
Como o denominador tem três fatores lineares distintos, a decomposição
da função própria em frações parciais do integrando tem a forma:
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2x =
A
x
+
B
2x− 1 +
C
x + 2
(11)
Multiplicando ambos lados, temos:
x2 + 2x− 1 = A(2x− 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x− 1) (12)
Expandindo e reescrevendo na forma polinomial, temos:
x2 + 2x− 1 = (2A + B + C)x2 + (3C + 2B − C)x− 2A (13)
Frações Parciais
Exemplo 2
Como os polinômios são idênticos, seus coeficientes também são. Assim:
2A + B + C = 1 (14)
3C + 2B − C = 2
−2A = −1
Assim,
A =
1
2
(15)
B =
1
5
C = − 1
10
Frações Parciais
Exemplo 2
Reescrevendo,∫
x2 + 2x− 1
2x3 + 3x2 − 2xdx =
∫ (
1
2
1
x
+
1
5
1
2x− 1 −
1
10
1
x + 2
)
dx (16)
=
1
2
ln |x|+ 1
5
ln |2x− 1| − 1
10
ln |x + 2|+ C
Frações Parciais
Exemplo 3
Calcule, ∫
1
x2 − a2dx (17)
onde a 6= 0.
Pelo Método das Frações Parciais:
1
x2 − a2 =
1
(x− a)(x + a) (18)
=
A
x− a +
B
x + a
E portanto,
A(x + a) + B(x− a) = 1 (19)
Frações Parciais
Exemplo 3
Assim:
A + B = 0 (20)
A−B = 1
E,
A =
1
2a
(21)
B = − 1
2a
Frações Parciais
Exemplo 3
Reescrevendo,∫
1
x2 − a2dx =
1
2a
∫ (
1
x− a −
1
x + a
)
(22)
=
1
2a
(ln |x− a| − ln |x + a|) + C
=
1
2a
ln
∣∣∣∣x− ax + a
∣∣∣∣+ C
Frações Parciais
Observações Gerais
Obs: Quando o fator linear se repete r vezes, ou seja, temos (ax + b)r,
então temos:
A1
(ax + b)
+
A2
(ax + b)2
+ ... +
Ar
(ax + b)r
(23)
Obs: Quando Q(x) tem ∆ < 0 temos sempre:
Ax + B
ax2 + bx + c
(24)
Frações Parciais
Exercícios
Calcule, ∫
x4 − 2x2 + 4x + 1
x3 − x2 − x + 1 dx (25)∫
2x2 − x + 4
x3 + 4x
dx (26)∫
4x2 − 3x + 2
4x2 − 4x + 3dx (27)
Obs: Lembre-se que:∫
1
x2 + a2
dx =
1
a
tg−1
(x
a
)
+ C (28)
	Frações Parciais