Funções - Introdução

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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Prof. Dra. Jaqueline M. da Silva
Func¸o˜es de Uma Varia´vel
CTT 110 - FUV
https://sites.google.com/site/jaquemsilva
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Cieˆncia, Engenharia e Tecnologia
Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia
ICET-UFVJM
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Objetivos
Objetivos
Discutiremos:
Ideias ba´sicas relacionadas a`s func¸o˜es;
Gra´ficos;
Formas de combina´-los e transforma´-los.
Tambe´m
Examinar os principais tipos de func¸o˜es que ocorrem no ca´lculo;
Descrever o modo de usa´-las como modelos matema´ticos de
fenoˆmenos do mundo real;
Introduzir o uso de software gra´fico para computadores.
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Uma func¸a˜o pode ser representada de va´rias maneiras:
Por uma equac¸a˜o;
Por uma tabela;
Por um gra´fico;
Por meio de palavras.
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exemplos
Exemplo A: A a´rea A de um c´ırculo C depende de seu raio r .
A lei que relaciona r e A e´ dada pela equac¸a˜o
AC = pir
2. (1)
A cada nu´mero r positivo (r ∈ R∗+) esta´ associado um u´nico valor de
AC .
Dizemos que AC e´ uma func¸a˜o de r .
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exemplos
Exemplo B: A populac¸a˜o humana mundial P depende do tempo t.
A tabela a seguir fornece estimativas da populac¸a˜o mundial P(t) no
instante t, para determinados anos.
Para cada valor do tempo t, existe um valor de P correspondente e
dizemos que P e´ uma func¸a˜o de t.
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exemplos
Exemplo C: A acelerac¸a˜o vertical a do solo registrada por um
sismo´grafo durante um terremoto e´ uma func¸a˜o do tempo t
decorrido.
Para um dado valor de t, o gra´fico fornece um valor correspondente
para a acelerac¸a˜o a.
Figure : Atividade s´ısmica durante o terremoto de Northridge. Los Angeles, 1994
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Definic¸o˜es
Cada um dos exemplos anteriores descreve uma lei segundo a qual, dado
um nu´mero (r , t, t), fica determinado outro nu´mero (AC ,P, a).
Em cada caso dizemos que o segundo nu´mero e´ uma func¸a˜o do primeiro.
Definition (Func¸a˜o f (x))
Uma func¸a˜o f e´ uma lei que associa cada elemento x em um
conjunto D a um elemento f (x) em um conjunto E .
Definition (Dom´ınio Df )
O conjunto A e´ chamado dom´ınio da func¸a˜o.
Definition (Imagem Imf )
A imagem de f e´ o conjunto de todos os valores poss´ıveis de f (x)
quando x varia por todo o dom´ınio.
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Interpretac¸a˜o
Se x estiver no dom´ınio D da func¸a˜o f , quando x entrar na ’ma´quina’, ele
sera´ aceito como entrada, e a ma´quina produzira´ uma sa´ıda f (x) de
acordo com a lei que define a func¸a˜o.
Podemos pensar no dom´ınio como o conjunto de todas as entradas,
enquanto a imagem e´ o conjunto de todas as sa´ıdas poss´ıveis.
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Diagrama de Venn
Cada flecha conecta um elemento do conjunto D com um elemento
do conjunto E.
A flecha indica que f (x) esta´ associado a x , f (a) esta´ associado a a
etc.
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Graficamente
Se f for uma func¸a˜o com dom´ınio D, enta˜o seu gra´fico sera´ o
conjunto de pares ordenados {(x , f (x))|x ∈ Df }.
Observe que {(x , f (x))} sa˜o os pares entrada-sa´ıda.
O gra´fico de f consiste em todos os pontos (x , y) do plano
coordenado tais que y = f (x) e x esta´ no dom´ınio de f .
Podemos ler o valor f (x) como a altura do ponto no gra´fico acima de x .
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Gra´fico
O gra´fico de f tambe´m nos permite visualizar:
O dom´ınio Df sobre o eixo x .
A imagem Imf sobre o eixo y
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exemplos
Observe
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exemplos
Observe
A func¸a˜o f (x) esta´ definida quando 0 ≤ x ≤ 7. Logo, o Dom´ınio de f e´ o
intervalo fechado [0, 7].
Observe que os valores de f variam de −2 ate´ 4. Assim, a Imagem de f e´
o intervalo [−2, 4].
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exemplos
Enta˜o
O ponto (1, 3) esta´ no gra´fico de f .
O valor de f em 1 e´ f (1) = 3.
O ponto sobre o gra´fico correspondente a x = 1 esta´ treˆs unidades
acima do eixo x .
Quando x = 5, o ponto no gra´fico que corresponde a esse valor esta´
0, 7 unidade abaixo do eixo x .
Estimamos que f (5) = −0, 7.
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exerc´ıcio
Esboce o gra´fico e encontre o dom´ınio e a imagem de cada func¸a˜o.
a) f (x) = 2x − 1.
b) g(x) = x2
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exerc´ıcio
a)f (x) = 2x − 1
Dom´ınio: R
Imagem: R
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exerc´ıcio
b)g(x) = x2
Dom´ınio: R
Imagem: R+
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Exerc´ıcio
Proposta: Se f (x) = 2x2 − 5x + 1 e a 6= 0, calcule:
f (a)
f (a + 1)
f (x+a)−f (x)
a
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Func¸o˜es - Introduc¸a˜o
Teste da Reta Vertical
O gra´fico de uma func¸a˜o e´ uma curva no plano xy .
Pergunta: Quais curvas no plano xy sa˜o gra´ficos de func¸o˜es?
R:
Uma curva no plano xy e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de x se e somente se
nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.
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Teste da Reta Vertical
Teste da Reta Vertical
A para´bola x = y2 − 2 mostrada na figura na˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
de x .
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Teste da Reta Vertical
Teste da Reta Vertical
No entanto, conte´m os gra´ficos de duas func¸o˜es de x : f (x) =
√
x + 2 e
g(x) = −√x + 2.
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Definition
Sa˜o definidas por fo´rmulas distintas em diferentes partes de seus dom´ınios.
Seja f a func¸a˜o definida por f (x) =
{
1− x , se x ≤ 1
x2, se x > 1
Calcule:
f (0), f (1) e f (2) e esboce o gra´fico de f (x).
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Uma vez que 0 ≤ 1, temos f (0) = 1− 0 = 1.
Uma vez que 1 ≤ 1, temos f (1) = 1− 1 = 0.
Uma vez que 2 > 1, temos f (2) = 22 = 4.
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Observac¸a˜o:
O c´ırculo cheio indica que o ponto de coordenadas (1, 0) esta´ incluso
no gra´fico.
O c´ırculo vazio indica que o ponto de coordenadas (1, 1) esta´
exclu´ıdo do gra´fico.
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Seja f a func¸a˜o definida por |x | =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0
Observe que o gra´fico de f coincide com a reta y = x , a` direita do eixo y ,
e com a reta y = −x , a` esquerda do eixo y . Enta˜o:
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Seja f a func¸a˜o definida por |x | =
{
x , se x ≥ 0
−x , se x < 0
Observe que o gra´fico de f coincide com a reta y = x , a` direita do eixo y ,
e com a reta y = −x , a` esquerda do eixo y . Enta˜o:
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Encontre uma fo´rmula para a func¸a˜o f cujo gra´fico esta´ na figura.
Obs
Lembre-se da equac¸a˜o geral da reta:
m =
y − y0
x − x0 (2)
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
1) A reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, 1) tem inclinac¸a˜o m = 1.
Tem intersecc¸a˜o com o eixo y , logo b = 0. Assim, sua equac¸a˜o e´
y = x .
Para a parte do gra´fico de f que liga os pontos (0, 0) e (1, 1), temos:
f (x) = x se 0 ≤ x ≤ 1.
2) A reta que passa pelos pontos (1, 1) e (2, 0) tem uma inclinac¸a˜o de
Logo temos f (x) = 2− x se 1 < x ≤ 2.
Vemos tambe´m que o gra´fico de f coincide com o eixo x para x > 2.
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Juntando todas as informac¸o˜es, temos a seguinte fo´rmula em treˆs partes
para: f (x) =

x , se 0 ≤ x ≤ 1
2− x , se 1 < x ≤ 2
0 se x > 2
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Anteriormente consideramos o custo C (w) do envio pelo correio de uma
carta com pesow .
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Func¸o˜es Parciais
Func¸o˜es Parciais
Na realidade, trata-se de uma func¸a˜o definida por partes, pois a partir da
tabela de valores apresentada anteriormente temos:
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Simetrias
Simetrias
Definition (Func¸a˜o Par)
Se f satisfizer f (−x) = f (x) para todo nu´mero x em seu dom´ınio, dizemos
que f e´ uma func¸a˜o par.
Definition (Func¸a˜o I´mpar)
Se f satisfizer f (−x) = −f (x) para todo nu´mero x em seu dom´ınio,
dizemos que f e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
Por exemplo, a func¸a˜o f (x) = x3 e´ ı´mpar, pois
f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x).
Observac¸a˜o
O gra´fico de uma func¸a˜o ı´mpar e´ sime´trico em relac¸a˜o a` origem e o de
uma func¸a˜o par e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y .
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Simetrias
Simetrias
Func¸a˜o Par Func¸a˜o I´mpar
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Simetrias
Simetrias
Determine se as func¸o˜es abaixo sa˜o par, ı´mpar ou nenhum dos dois.
Esboce seus respectivos gra´ficos.
a) f (x) = x5 + x
b) g(x) = 1− x4
c) h(x) = 2x − x2
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Simetrias
Simetrias
a)f (x) = x5 + x
Temos f (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x)
Portanto, f e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
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Simetrias
Simetrias
b)g(x) = 1− x4
Temos g(−x) = 1− (−x)4 = 1− x4
Portanto, g e´ uma func¸a˜o par.
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Simetrias
Simetrias
c)h(x) = 2x − x2
Temos h(−x) = 2(−x)− (−x2) = −2x − x2
Como h(−x) 6= h(x) e h(−x) 6= −h(x) conclu´ımos que h na˜o e´ par nem
ı´mpar.
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Simetrias
Simetrias
Observac¸a˜o
O gra´fico de h na˜o e´ sime´trico em relac¸a˜o ao eixo y nem em relac¸a˜o a`
origem.
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Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Definition (Func¸o˜es Crescentes)
Uma func¸a˜o f e´ chamada crescente em um intervalo I se f (x1) < f (x2)
sempre que x1 < x2 em I .
Definition (Func¸o˜es Decrescentes)
Uma func¸a˜o f e´ denominada decrescente em I se f (x1) > f (x2) sempre
que x1 < x2 em I .
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Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
A desigualdade f (x1) < f (x2) deve estar satisfeita para todo par de
nu´meros x1 e x2 em I com x1 < x2.
Observe que a func¸a˜o f (x) = x2 e´ decrescente no intervalo (−∞, 0] e
crescente no intervalo [0,∞).
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Polinoˆmios
Polinoˆmios
Definition
Uma func¸a˜o P e´ denominada polinoˆmio (ou func¸a˜o polinomial) se
P(x) = anx
n + an−1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x + a0 onde n e´ um inteiro na˜o
negativo e os nu´meros a0, a1, a2, ..., an sa˜o constantes chamadas
coeficientes do polinoˆmio.
Obs 1:
O dom´ınio de qualquer polinoˆmio e´ R.
Obs 2:
Se o coeficiente dominante an 6= 0 , enta˜o o grau do polinoˆmio e´ n.
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Polinoˆmios
Polinoˆmios
Definition (Func¸a˜o Linear)
Um polinoˆmio de grau 1 e´ da forma P(x) = mx + b e, portanto, e´ uma
func¸a˜o linear.
Definition (Func¸a˜o Quadra´tica)
Um polinoˆmio de grau 2 e´ da forma P(x) = ax2 + bx + c e e´ chamado
func¸a˜o quadra´tica.
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Polinoˆmios
Polinoˆmios
Se P(x) e´ uma func¸a˜o quadra´tica, seu gra´fico e´ sempre uma para´bola
obtida por translac¸o˜es da para´bola y = ax2.
A para´bola abre-se para cima se a > 0 e para baixo quando a < 0.
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Polinoˆmios
Polinoˆmios
Definition (Func¸a˜o Cu´bica)
Um polinoˆmio de grau 3 tem a forma P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0)
e e chamado func¸a˜o cu´bica.
Observac¸a˜o
Os polinoˆmios sa˜o usados comumente para modelar diversas fenoˆmenos
sociais e naturais.
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Func¸o˜es Poteˆncia
Func¸o˜es Poteˆncia
Definition (Func¸a˜o Poteˆncia)
Uma func¸a˜o da forma f (x) = xa, onde a e´ uma constante, e´ chamada
func¸a˜o poteˆncia.
Vamos considerar va´rios casos.
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Func¸o˜es Poteˆncia
Func¸o˜es Poteˆncia
Caso 1: a = n, onde n e´ um inteiro positivo
Os gra´ficos de f (x) = xn para n ∈ Z+ esta˜o na figura abaixo. Esses sa˜o
monoˆmios.
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Func¸o˜es Poteˆncia
Func¸o˜es Poteˆncia
A forma geral do gra´fico de f (x) = xn depende de n ser par ou ı´mpar.
Se n for par, enta˜o f (x) = xn sera´ uma func¸a˜o par e seu gra´fico e´ similar
ao da para´bola y = x2
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Func¸o˜es Poteˆncia
Func¸o˜es Poteˆncia
Se n for ı´mpar, enta˜o f (x) = xn sera´ uma func¸a˜o ı´mpar e seu gra´fico e´
similar ao de y = x3.
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Func¸o˜es Poteˆncia
Func¸o˜es Poteˆncia
Caso 2: a = 1n , onde n ∈ Z+.
Para n = 2, ela e´ a func¸a˜o raiz quadrada, com Df = [0,∞) e
Imf = [0,∞]. Graficamente:
Obs
Para outros valores pares de n ∈ Z+, o gra´fico e´ similar ao de f (x) =
√
x .
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Func¸o˜es Poteˆncia
Func¸o˜es Poteˆncia
Para n = 3, temos a func¸a˜o raiz cu´bica f (x) = 3
√
x com Df = R
Obs
Para outros valores ı´mpares de n, o gra´fico de e´ similar ao de f (x) = 3
√
x .
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Func¸o˜es Poteˆncia
Func¸o˜es Poteˆncia
Caso 3: a = −1
Seja a func¸a˜o f (x) = x−1 = 1x
O gra´fico e´ uma hipe´rbole com os eixos coordenados como suas
ass´ıntotas.
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Func¸o˜es Racionais
Func¸o˜es Racionais
Definition (Func¸o˜es Racionais)
Uma func¸a˜o racional f (x) e´ a raza˜o de dois polinoˆmios:
f (x) =
P(x)
Q(x)
(3)
em que P(x) e Q(x) sa˜o polinoˆmios. O dom´ınio consiste em todos os
valores de x tais que Q(x) 6= 0.
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Func¸o˜es Racionais
Func¸o˜es Racionais - Exemplo
A func¸a˜o
f (x) =
2x4 − x2 + 1
x2 − 4 (4)
e´ uma func¸a˜o racional com dom´ınio Df = {x |x 6= ±2}
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Func¸o˜es Alge´bricas
Func¸o˜es Alge´bricas
Definition (Func¸o˜es Alge´bricas)
Uma func¸a˜o f (x) e´ chamada func¸a˜o alge´brica se puder ser constru´ıda por
meio de operac¸o˜es alge´bricas (como adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o,
divisa˜o e extrac¸a˜o de ra´ızes) a partir de polinoˆmios.
Obs
Toda func¸a˜o racional e´ automaticamente uma func¸a˜o alge´brica.
Alguns exemplos:
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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Trigonome´tricas
Obs 1
Em ca´lculo, convenciona-se dar a medida de aˆngulos em radianos (exceto
quando explicitamente mencionado).
Obs 2
Por exemplo, se f (x) = sin(x), entende-se que sin(x) seja o seno de um
aˆngulo cuja medida em radianos e´ x .
Obs 3
As treˆs func¸o˜es trigonome´tricas remanescentes (cossecante, secante e
cotangente) sa˜o as rec´ıprocas das func¸o˜es seno, cosseno e tangente
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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Trigonome´tricas
Func¸a˜o cossecante:
csc(x) =
1
sin(x)
(5)
Func¸a˜o secante:
sec(x) =
1
cos(x)
(6)
Func¸a˜o cotangente:
cot(x) =
1
tan(x)
(7)
ou
cot(x) =
cos(x)
sin(x)
(8)
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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Trigonome´tricas
Obs 1
Sua natureza perio´dica permite que sejam usadas para modelar fenoˆmenos
repetitivos tais como mare´s, cordas vibrantes e ondas sonoras.
Obs 2
Um modelo razoa´vel para o nu´mero de horas de luz solar na Filade´lfia t
dias apo´s oˆ primeiro dia de janeiro e´ dado pela func¸a˜o:
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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Trigonome´tricas
Func¸a˜o de horas de luz solar e seu respectivo gra´fico.
L(t) = 12 + 2, 8 sin
2pi
365
(t − 80) (9)
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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Trigonome´tricas
Func¸a˜o Seno
Assim, para todos os valores de x temos
−1 ≤ sin(x) ≤ 1 ou | sin(x)| ≤ 1 (10)
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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Trigonome´tricas
Func¸a˜o Cosseno
Assim, para todos os valores de x temos
−1 ≤ sin(x) ≤ 1 ou | cos(x)| ≤ 1 (11)
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Func¸o˜es Trigonome´tricas
Trigonome´tricas
Func¸a˜o Tangente
Ela na˜o esta´ definida quando cos(x) = 0, isto e´, x = ±pi2 ,±3pi2 , ...
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Func¸o˜es Exponenciais
Func¸o˜es Exponenciais
Definition (Func¸o˜es Exponenciais)
As func¸o˜es exponenciais sa˜o da forma f (x) = ax , em que a base a e´ uma
constante positiva.
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Func¸o˜es Exponenciais
Func¸o˜es Exponenciais
Observe as func¸o˜es y = 2x e y = (0, 5)x .
Em ambos os casos Df = (−∞,∞) e Imf = (0,∞).
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Func¸o˜es Logaritmicas
Func¸o˜es Logaritmicas
Definition (Func¸o˜es Logaritmicas)
As func¸o˜es logar´ıtmicas f (x) = log(x), onde a base a e´ uma constante
positiva.
Obs
As func¸o˜es logar´ıtmicas sa˜o as func¸o˜es inversas das func¸o˜es exponenciais
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Func¸o˜es Logaritmicas
Func¸o˜es Logaritmicas
Observe a figura
Em cada caso Df = (0,∞), Imf = (−∞,∞) e as func¸o˜es crescem
vagarosamente quando x > 1.
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Func¸o˜es Logaritmicas
Exerc´ıcio
Observe as func¸o˜es abaixo, classifique-as as func¸o˜es e determine seus
respectivos dom´ınio e imagem.
a)
f (x) = 5x (12)
b)
g(x) = x5 (13)
c)
h(x) =
1 + x
1−√x (14)
d)
u(t) = 1− t + 5t4 (15)
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Composic¸a˜o
Composic¸a˜o
Em geral, dadas quaisquer duas func¸o˜es f e g , comec¸amos com um
nu´mero x no dom´ınio de g e encontramos sua imagem g(x).
Se este nu´mero g(x) estiver no dom´ınio de f , enta˜o podemos calcular o
valor de f (g(x)).
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Composic¸a˜o
Composic¸a˜o
Se f (x) = x2 e g(x) = x − 3, encontre as func¸o˜es compostas fog e gof .
Temos:
a) (fog)(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)2
b) (gof )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2 − 3
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Composic¸a˜o
Composic¸a˜o
Se f (x) =
√
x e g(x) =
√
2− x , encontre cada uma das func¸o˜es e
explicite seus dom´ınios.
a) (fog)(x)
b) (gof )(x)
c) (fof )(x)
d) (gog)(x)
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Composic¸a˜o
Refereˆncias: James Stewart
5a Edic¸a˜o
(Tem muitos na Biblioteca)
6a Edic¸a˜o
Volume 1
(LNCC) ICET-UFVJM 70 / 71
Composic¸a˜o
Refereˆncias: George Thomas e Hamilton Guidorizzi
Volume 1
(LNCC) ICET-UFVJM 71 / 71
	Objetivos
	Funções - Introdução
	Teste da Reta Vertical
	Funções Parciais
	Simetrias
	Funções Crescentes e Decrescentes
	Polinômios
	Funções Potência
	Funções Racionais
	Funções Algébricas
	Funções Trigonométricas
	Funções Exponenciais
	Funções Logaritmicas
	Composição