Buscar

lista1

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 4 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural de Pernambu
o - UACSA
Lista de Exer
í
ios 1 - Parte 1- Cál
ulo II
Data de entrega: 11/05/2015
Profa. Amanda Souza de Paula
Nome: Curso:
Questão 1
Esbo
e as 
urvas 
om equações paramétri
as dadas por:
(a) x = 2 cos(t) e y = t− cos(t), 0 ≤ t ≤ 2pi
(b) x = tan2(θ) e y = sec(θ), −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2
(
) x =
√
θ, y = 1− θ
Questão 2
Cal
ule a área delimitada pelo eixo y e pela 
urva 
om equações paramétri
as: x = t2−2t e y = √t.
Questão 3
Cal
ule a área delimitada pelo eixo x e pela 
urva 
om equações paramétri
as: x = 1+et e y = t−t2.
Questão 4
Esbo
e as 
urvas e determine a equação da reta tangente nos pontos indi
ados:
(a) x = t− t−1 e y = 1 + t2, t = 1
(b) x = 3 sin(t) e y = t+ t2, t = 0
Questão 5
Determine e esbo
e os domínios das seguintes funções de várias variáveis:
(a) f(x, y) =
√
x+
√
9− x2 − y2
(b) f(x, y) = log(x2 − y2)
(
) f(x, y) = arcsin(
√
|x|+ |y|)
Questão 6
Tra
e 
urvas de nível das seguintes funções:
(a) f(x, y) = log(x2 + 4y2)
(b) f(x, y) = exp(−x2 − y2)
(
) f(x, y) = y sec(x)
(d) f(x, y) =
√
y2 − x2
1
0.00753
0.00914
0.0108
0.0108
0.0124
0.0124
0.014
0.0156
0.0172
0.0172
0.0188
0.0204
0.022
0.0237
0.0253
0.0269
0.0269
0.0285
0.0285
0.0301
0.0317
0.0333
0.0349
0.0366
0.0382
x
y
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figure 1: Curvas de nível da função do exer
í
io 7
Questão 7
Uma função de duas variáveis muito importante na área de engenharias é a Gaussiana bidimensional.
Essa função surge quando tratamos de fen�menos que apresentam 
ara
terísti
as aleatórias (que podem
ou não o
orrer 
om uma dada probabilidade). Por exemplo, quando estamos analisando um sistema de
omuni
ação que está sujeito a erros no momento de de
odi�
ar o sinal re
ebido. A função Gaussiana
pode apresentar a seguinte lei de formação:
f(x, y) =
1
2piσ2
e−
1
2σ2
((x−µ1)2+(y−µ2)2)
Em que σ2 é uma 
onstante (denominada variân
ia de X e Y), µ1 e µ2 são outras duas 
onstantes (as
médias de X e Y , respe
tivamente). Se a função tem 
urvas de nível 
omo mostradas na Fig. 1, estime
os valores de σ, µ1eµ2.
Questão 8
Determine os seguintes limites (se existirem). Justi�que os 
asos em que o limite não existe.
(a) lim(x,y)→(1,−1) e
−xy cos(x+ y)
(b) lim(x,y)→(0,0)
x2 sin2(y)
x2+y2
(
) lim(x,y)→(0,0)
xy4
x2+y8
Questão 9
Os 
ál
ulos de 
ertos limites são fa
ilitados quando abordados 
om 
oordenadas polares. Note que
fazer (x, y) tender a (0, 0) é equivalente a fazer r tender a 0. Cal
ule os seguintes limites utilizando
essa mudança de 
oordenadas.
(a) lim(x,y)→(0,0)
x3+y3
x2+y2
(b) lim(x,y)→(0,0)(x
2 + y2) ln(x2 + y2)
(
) lim(x,y)→(0,0)
sin(x2+y2)
x2+y2
2
−1.36
−1.21
−1.07
−0.929
−0.786
−0.643
−0.5
−0.357
−0.214
−0.0714
0.0714
0.214
0.357
0.5
0.643
0.786 0.929
1.07
1.21
1.36
x
y
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figure 2: Curvas de nível da função do exer
í
io 10
Questão 10
Considere uma função de duas variáveis 
om 
urvas de nível mostradas na Fig. 2. Estime as
seguintes grandezas:
(a)
∂f
∂x (−1,−1/2)
(b)
∂f
∂y (−1,−1/2)
(
)
∂2f
∂x2 (−1,−1/2)
(d)
∂2f
∂x∂y (−1,−1/2)
Sabendo que a função é do tipo:
f(x, y) =
Ay
x2 + y2 +B
em que A e B são 
onstante, estime os valores de A e B.
Questão 11
A Lei dos Gases Ideais, uma das leis fundamentais da Quími
a, diz que:
PV = nRT
Em que P é a pressão, V é o volume, n é o número de mols, R é a 
onstante universal dos gases
perfeitos e T é a temperatura.
(a) Mostre que:
∂V
∂T
∂P
∂V
∂T
∂P = −1
(b) Mostre que: T ∂P∂T
∂V
∂T = nR. Considerando n uma 
onstante, interprete o seu resultado.
3
Questão 12
A potên
ia dissipada num dispositivo 
om resitên
ia R é dada por:
P = RI2
A 
orrente está variando no tempo da seguinte forma:
I(t) = I0e
−t/τ
em que I0 e τ são 
onstantes. A resistên
ia R também varia 
om o tempo. Essa variação pode ser
expli
ada da seguinte forma: 
om a mudança do valor de 
orrente, há uma variação da temperatura,
o que altera o valor da resistên
ia. Nesse exer
í
io, 
onsidere que a variação se dá de a
ordo 
om o
seguinte modelo:
R(t) = R0 − αt
em que R0 e α são 
onstantes.
Mostre 
omo se dá a variação da potên
ia do 
ir
uito 
om o tempo.
Qual é a variação de potên
ia no instante t = 2ms (em W/s) se as 
onstantes assumem os seguintes
valores: I0 = 1mA, τ = 1ms, R0 = 2, 2kΩ, α = 2Ω/s?
4

Outros materiais