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Universidade Federal Rural de Pernambu o - UACSA Lista de Exer í ios 1 - Parte 1- Cál ulo II Data de entrega: 11/05/2015 Profa. Amanda Souza de Paula Nome: Curso: Questão 1 Esbo e as urvas om equações paramétri as dadas por: (a) x = 2 cos(t) e y = t− cos(t), 0 ≤ t ≤ 2pi (b) x = tan2(θ) e y = sec(θ), −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2 ( ) x = √ θ, y = 1− θ Questão 2 Cal ule a área delimitada pelo eixo y e pela urva om equações paramétri as: x = t2−2t e y = √t. Questão 3 Cal ule a área delimitada pelo eixo x e pela urva om equações paramétri as: x = 1+et e y = t−t2. Questão 4 Esbo e as urvas e determine a equação da reta tangente nos pontos indi ados: (a) x = t− t−1 e y = 1 + t2, t = 1 (b) x = 3 sin(t) e y = t+ t2, t = 0 Questão 5 Determine e esbo e os domínios das seguintes funções de várias variáveis: (a) f(x, y) = √ x+ √ 9− x2 − y2 (b) f(x, y) = log(x2 − y2) ( ) f(x, y) = arcsin( √ |x|+ |y|) Questão 6 Tra e urvas de nível das seguintes funções: (a) f(x, y) = log(x2 + 4y2) (b) f(x, y) = exp(−x2 − y2) ( ) f(x, y) = y sec(x) (d) f(x, y) = √ y2 − x2 1 0.00753 0.00914 0.0108 0.0108 0.0124 0.0124 0.014 0.0156 0.0172 0.0172 0.0188 0.0204 0.022 0.0237 0.0253 0.0269 0.0269 0.0285 0.0285 0.0301 0.0317 0.0333 0.0349 0.0366 0.0382 x y −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figure 1: Curvas de nível da função do exer í io 7 Questão 7 Uma função de duas variáveis muito importante na área de engenharias é a Gaussiana bidimensional. Essa função surge quando tratamos de fen�menos que apresentam ara terísti as aleatórias (que podem ou não o orrer om uma dada probabilidade). Por exemplo, quando estamos analisando um sistema de omuni ação que está sujeito a erros no momento de de odi� ar o sinal re ebido. A função Gaussiana pode apresentar a seguinte lei de formação: f(x, y) = 1 2piσ2 e− 1 2σ2 ((x−µ1)2+(y−µ2)2) Em que σ2 é uma onstante (denominada variân ia de X e Y), µ1 e µ2 são outras duas onstantes (as médias de X e Y , respe tivamente). Se a função tem urvas de nível omo mostradas na Fig. 1, estime os valores de σ, µ1eµ2. Questão 8 Determine os seguintes limites (se existirem). Justi�que os asos em que o limite não existe. (a) lim(x,y)→(1,−1) e −xy cos(x+ y) (b) lim(x,y)→(0,0) x2 sin2(y) x2+y2 ( ) lim(x,y)→(0,0) xy4 x2+y8 Questão 9 Os ál ulos de ertos limites são fa ilitados quando abordados om oordenadas polares. Note que fazer (x, y) tender a (0, 0) é equivalente a fazer r tender a 0. Cal ule os seguintes limites utilizando essa mudança de oordenadas. (a) lim(x,y)→(0,0) x3+y3 x2+y2 (b) lim(x,y)→(0,0)(x 2 + y2) ln(x2 + y2) ( ) lim(x,y)→(0,0) sin(x2+y2) x2+y2 2 −1.36 −1.21 −1.07 −0.929 −0.786 −0.643 −0.5 −0.357 −0.214 −0.0714 0.0714 0.214 0.357 0.5 0.643 0.786 0.929 1.07 1.21 1.36 x y −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figure 2: Curvas de nível da função do exer í io 10 Questão 10 Considere uma função de duas variáveis om urvas de nível mostradas na Fig. 2. Estime as seguintes grandezas: (a) ∂f ∂x (−1,−1/2) (b) ∂f ∂y (−1,−1/2) ( ) ∂2f ∂x2 (−1,−1/2) (d) ∂2f ∂x∂y (−1,−1/2) Sabendo que a função é do tipo: f(x, y) = Ay x2 + y2 +B em que A e B são onstante, estime os valores de A e B. Questão 11 A Lei dos Gases Ideais, uma das leis fundamentais da Quími a, diz que: PV = nRT Em que P é a pressão, V é o volume, n é o número de mols, R é a onstante universal dos gases perfeitos e T é a temperatura. (a) Mostre que: ∂V ∂T ∂P ∂V ∂T ∂P = −1 (b) Mostre que: T ∂P∂T ∂V ∂T = nR. Considerando n uma onstante, interprete o seu resultado. 3 Questão 12 A potên ia dissipada num dispositivo om resitên ia R é dada por: P = RI2 A orrente está variando no tempo da seguinte forma: I(t) = I0e −t/τ em que I0 e τ são onstantes. A resistên ia R também varia om o tempo. Essa variação pode ser expli ada da seguinte forma: om a mudança do valor de orrente, há uma variação da temperatura, o que altera o valor da resistên ia. Nesse exer í io, onsidere que a variação se dá de a ordo om o seguinte modelo: R(t) = R0 − αt em que R0 e α são onstantes. Mostre omo se dá a variação da potên ia do ir uito om o tempo. Qual é a variação de potên ia no instante t = 2ms (em W/s) se as onstantes assumem os seguintes valores: I0 = 1mA, τ = 1ms, R0 = 2, 2kΩ, α = 2Ω/s? 4
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