APOSTILA MECANICA DOS FLUIDOS 2011
209 pág.

APOSTILA MECANICA DOS FLUIDOS 2011


DisciplinaFenômenos de Transporte I16.223 materiais154.043 seguidores
Pré-visualização46 páginas
n
t
n
t
A
n
n
n
n
n
A
n
dA
dF
A
F
dA
dF
A
F
=
\u2206
\u2206=
=
\u2206
\u2206=
\u2192\u2206
\u2192\u2206
lim
lim
0
0
\u3c4
\u3c3
 
 
Onde n indica que as tensões estão associadas à superfície \u2206A que passa pelo ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 Elemento de fluido e forças agido no elemento de área. 
 
Quando se considera o elemento de área orientado aos planos cartesianos, podemos definir as 
componentes da tensão por índices duplos para designar as tensões: 
 
1o índice: Indica o plano no qual atua a tensão 
2o índice: Indica o sentido no qual atua a tensão 
 
 
 
 
 
 
Para uma área dAx temos as tensões \u3c3xx \u3c4xy \u3c4xz 
Para uma área dAy temos as tensões \u3c4yx \u3c3yy \u3c4yz 
Para uma área dAz temos as tensões \u3c4zx \u3c4zy \u3c3zz Obs. (\u3c4yx=\u3c4xy) (\u3c4zx=\u3c4xz) (\u3c4zy=\u3c4yz) 
 
Os planos são nomeados positivos ou negativos segundo o sentido da sua normal. No caso da 
Fig.4.7 o plano do elemento de área dAx é positivo (+) porque aponta no sentido positivo do eixo x. 
 
\u2206F 
\u2206Ft 
\u2206Fn 
\u2206F \u2206A 
C 
 
\u3c4xy 
Age numa área dAx ( plano y-z) cuja normal é x 
A tensão aponta na direção y 
(Ver Fig.4.7 ) 
(b) (a) 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-12 
Considerando um elemento de fluido dAx, cuja normal aponta para fora do eixo x como mostra a 
Fig.4.7 , a força F é descomposta em cada um das coordenadas e as tensões são determinadas pelo 
limite, obtendo-se as seguintes tensões: 
 
x
z
x
z
A
xz
x
y
x
y
A
xy
x
x
x
x
A
xx
dA
dF
A
F
dA
dF
A
F
dA
dF
A
F
=
\u2206
\u2206=
=
\u2206
\u2206
=
=
\u2206
\u2206=
\u2192\u2206
\u2192\u2206
\u2192\u2206
lim
lim
lim
0
0
0
\u3c4
\u3c4
\u3c3
 
 
analogamente teríamos tensões para um elemento de área normal ao plano y e ao plano z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 Cubo diferencial e forças e tensões agindo no plano normal a x. 
 
Desta forma o estado de tensões num ponto é determinado especificando-se as tensões que atuam 
nos três planos perpendiculares que passam pelo ponto. Assim, a tensão que passa por um ponto é 
especificada pelas suas nove componentes sendo denominada tensor de tensões. 
 
\uf8fa\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u21d2
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
TensõesdeTensor
\u3c3\u3c4\u3c4
\u3c4\u3c3\u3c4
\u3c4\u3c4\u3c3
 
 
 
Convenção de Sinais: 
O vetor de área dA sempre aponta para fora do volume de controle. 
 
Tensão Positiva ( + ): 
Quando o elemento de área dA e a tensão apontam no mesmo sentido (negativo ou positivo) dos 
eixos de referência. (sendo o caso da área dAx e das 3 tensões mostradas na Fig.4.7) 
 Tensão Negativa (- ): 
Quando e elemento de área e a tensão apontam em sentido contrário. 
 
dFx 
dFy 
dFz 
\u3c3xx 
\u3c4xy 
\u3c4xz 
x 
z 
y 
x 
z 
y 
área dAx 
 
dAx (-) dAx (+) 
x 
y 
Capítulo 4: Conceitos Básicos do Movimento dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 4-13 
4.7 Expansão em Série de Taylor para Análise do Campo de Escoamento 
 
Numa análise de partículas de fluido é necessário avaliar propriedades como massa específica, 
campo de pressões, forças e tensões. Para tal se considera um elemento de fluido muito pequeno, 
reduzido a um ponto, considerando este como um cubo infinitesimal, no qual se realiza uma 
expansão em serie de Taylor para avaliar as propriedades em estudo em cada uma das caras ou 
faces do cubo. 
Por exemplo, a Fig.4.8 apresenta um cubo diferencial de um elemento de fluido no qual, em seu 
centro, atua uma propriedade P. Analisando o plano x-y (normal a z), podemos obter pela série de 
Taylor o valor da quantidade P nas faces direita e esquerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8 Série de Taylor aplicada a um elemento de fluido 
 
Na face direita: 
) ...
2!2
1
2
2
2
2
2
+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+=+ dx
x
Pdx
x
PPP dxx 
 
Na face esquerda: 
) ...
2!2
1
2
2
2
2
2
+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212=\u2212 dx
x
Pdx
x
PPP dxx 
 
fazendo desprezível os termos de segunda ordem se obtém: 
 
Na face direita: 
)
22
dx
x
PPP dxx \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+=+ 
 
Na face esquerda: 
)
22
dx
x
PPP dxx \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212=\u2212 
 
Propriedades como pressão, tensões normais e tensões de cisalhamento podem ser avaliadas num 
elemento diferencial com tal procedimento. 
 
x 
z 
y 
x 
y 
dx 
dy 
dz 
dx 
dx/2 
P 
Face direita Face esquerda 
)
2
dx
xP +)
2
dx
xP \u2212 
x 
Mecânica dos Fluidos 
 
Movimento dos Fluidos 4-14 
4.7.1 Tensões normais e tangenciais num elemento de fluido 
 
A modo de exemplificar determinaremos aqui todas as tensões que agem na direção-x. Com os 
mesmo procedimento podem ser avaliadas as tensões na direção-y e direção-z. 
 
No caso de tensões normais (Fig.4.9) considerando que no centro do cubo age a tensão normal \u3c3xx 
apontando em forma positiva (+) obtemos as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.9 Tensões normais num elemento de fluido 
 
No caso de tensões tangenciais considerando que no centro do cubo age a tensão de cisalhamento 
\u3c4yx (Fig.4.10) obtemos as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10 Tensões tangenciais num elemento de fluido 
 
 
 
 
 
Na face direita: 
)
22
dx
x
xx
xx
dx
xxxd \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+==
+
\u3c3
\u3c3\u3c3\u3c3 
 
Na face esquerda: 
 
)
22
dx
x
xx
xx
dx
xxxe \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212==
\u2212
\u3c3
\u3c3\u3c3\u3c3 
 
x 
y dx 
dx/2 
\u3c3xx 
Face direita Face esquerda 
d\u3c3 e\u3c3 
x 
 
 
Na face superior: 
2
dy
y
yx
yxS \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Na face inferior: 
 
2
dy
y
yx
yxi \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
x 
y 
dy 
dy/2 
\u3c4yx 
Face inferior 
Face superior 
y 
\u3c4i (-) 
\u3c4s (+) 
Capítulo 4: Conceitos Básicos do Movimento dos Fluidos 
 
Jorge A. Villar Alé 4-15 
Da mesma forma podemos obter para o plano x-y (Fig. 4.11) as tensões de cisalhamento nas faces 
do cubo denominadas cara (frente) e fundo do plano normal a z. Considerando que no centro do 
cubo age a tensão de cisalhamento \u3c4zx (+), obtemos as seguintes relações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo: Tensões agindo nas fases do elemento de fluido \u2013 Direção -x 
 
Face direita: 
2
dx
x
xx
xxd \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c3\u3c3\u3c3 
Face esquerda: 
2
dx
x
xx
xxe \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c3\u3c3\u3c3 
 
Face superior: 
2
dy
y
yx
yxS \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Face inferior: 
2
dy
y
yx
yxi \uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Face da cara: 
2
dz
z
zx
zxc \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Face do fundo: 
2
dz
z
zx
zxf \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
 
Da mesma forma poderíamos obter as tensões normais e tangenciais que agem no eixo-y e as 
tensões normais e tangenciais que agem no eixo-z. Tais equações são utilizadas posteriormente para 
avaliar na forma diferencial a equação da quantidade de movimento nas coordenadas x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No lado da cara: 
 
2
dz
z
zx
zxc \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202+= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
Na lado do fundo: 
 
2
dz
z
zx
zxf \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2212= \u3c4\u3c4\u3c4 
 
 
 
 Figura 4.11 Tensões tangenciais no plano x-
z 
x 
dz 
dz/2 
\u3c4zx 
Cara